第三章光的干涉1

3.1.3 双光束干涉的基本条件
干涉的三个要素： 一般说来光源、干涉装置（能产生两束或多束光波并形成干
涉现象的装置）和干涉图形构成干涉问题的三个要素。
研究光的干涉就是研究这三个要素之间的关系，以达到可以由 其中两者求出第三者的目的。
“光源”的性质由位置、大小、亮度分布和光谱组成等因素决定；
“干涉装置”的性质主要体现它对各个光束引入的位相延迟；
光源要足够小。
3.干涉装置 干涉装置的作用可以概括为三个方面：
获得相干光源。 引入被测物理量。 改变相干光波的传播方向，使之叠加。
3.1.4 两个平面波的干涉
1.干涉场强度公式
设两列波 的波函数 分别为：
E 1(r
,
t)
E10
exp[
j(k1
r
Leabharlann Baidu
t
10
)]
E2(r,t) E20 exp[ j(k2 r t 20)]
第三章 光的干涉
干涉现象是波动的基本特征之一。
本章主要从光的干涉现象来说明光的波动性质，讲述 光的干涉规律、典型的干涉装置及其应用、并讨论光 的相干性。
在两束(或多束)光在相遇的区域内,各点的光强可能不同于各 光波单独作用所产生的光强之和,形成稳定的明暗交替或彩色 条纹的现象,称为光的干涉现象。
强度分布是否稳定是区别相干和不相干的主要标志。
此正是等强度面的法线方向，也是强度在空间变化量最快的方向。
f 的大小取决于 k 2 k1的大小，它表示考察点沿 f 方向移
动单位距离时的m变化量，也即干涉场强度变化的周期数。
如图画出了 k
2
k
在图平面上时的矢量差：
1
设 k2 , k1 的夹角为θ，则
f
1
2
k2 k1
θ k2
k1
P
1
2
2 k1
“干涉图形”由干涉场强度分布描述，包括干涉条纹的形状、 间距、反衬度和颜色等。通常它可以被直接测量。
1.干涉场强度
我们已经知道在光和物质相互作用的过程中起主要作用的是电
场。因此，干涉场的强度可由电场的能量密度来表征，但是，
光波频率极高，电场能量密度变化太快，任何探测器都只能测
量它的平均值：
e
2
E2
对于相干光波 ：
N
E ( P) Ei ( P)
i 1
即N列相干光波的振幅满足线性迭加关系。
波在传播中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质”。
3.1.2 光波叠加综述
1.两个频率、振动方向、传播方向相同的光波的迭加
设这两个标量波的波函数为：
E1(z, t) E10 exp[ j(kz t 10 )] E2 (z, t) E20 exp[ j(kz t 20 )]
3.1 干涉的基本理论
3.1.1 波的叠加原理
波的独立传播原理：两列光波在空间交迭时，它的传 播互不干扰,亦即每列波如何传播，就像另一列波完 全不存在一样各自独立进行.此即波的独立传播定律。
必须注意的是：此定律并不是普遍成立的。
波的叠加原理：当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立 传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时，在它 们的交叠区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振 动的合成。
等强度面就是满足I＝C的曲面。
由相干条件： 20 10 常数
等强度面要满足：
(k2
k1)
r＝C
即：
k
r＝C
y
krcos C
r
（2）峰值强度面
θ
O
k
X
I (r) I1 I2 2 I1I2 cos()
z
在最大强度处：
此时，
(k2
k1)
r
(20
10
2
Imax E10 E20
)
2m
在最小强度处：
(k2 k1) r (20 102) (2m 1)
此时，
Imin E10 E20
式子中的m称为干涉级，一般取值范围为整数域，但是， m也可以取小数，这时m所表示的区域介于峰值强度之间。
（3）干涉条纹的空间频率与空间周期
I (r) I1 I2 2 I1I2 cos()
E0 e j0
这样： E(z,t) E0 exp[ j(kz t 0)]
E0 [E120 E220 2E10E20 cos(20 10)]1/2
0
tan 1
E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos20
特别的，当进行叠加的两列波振幅相等时，即 E10 E20时：
将S1和S2的连线取为x轴，在空间建立直角坐标系，使S1和S2坐 标分别为（l/2,0,0），（－l/2,0,0），其中l为S1、S2的间距，考 察点P坐标为（x，y，z）,它与S1、S2的距离分别为d1、d2，则 两球面波在P点的电场振动可分别表示为：
产生干涉需要三个基本条件：
1 2 两束光的频率相等。 E10 E20 0 两束光的偏振方向不能垂直。 d (10 20 ) 0 位相差恒定。
dt
不是说满足了这三个条件就能够形成干涉，因为我们刚才 引入的两列波是理想的波动，考虑到实际光源的特点，实 际上产生干涉还需要一些额外的限制，比如： 光程差要小于波列长度。
2.两个频率、振动方向相同，传播方向相反的光波的迭加 设这两个标量波的振幅相同，其波函数为：
E1(z, t) E0 exp[ j(kz t 10)] E2(z, t) E0 exp[ j(kz t 20 )]
叠加后的波函数为：
E(z,t) E1(z,t) E2(z,t)
2E0
cos(kz
与独立传播定律类似，叠加原理适用性也是有条件的。这条 件,一是媒质,二是波的强度。
光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。
光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。
波在传播中服从叠加原理的媒质称为“线性媒 质”。 此时，对于非相干光波：
N
I (P) Ii (P) i 1
即N列非相干光波的强度满足线性迭加关系。
I1 I2 2 I1I2 cos()
其中：
(k2 k1) r (20 10)
2.干涉场强度分布特点
由干涉场强度公式可以分析出干涉场强度在三维空间的分布
以及在二维观察屏上的强度分布（干涉条纹）特点。
I
(r
)
I1
I2
2
I1I2 cos()
(k2 k1) r (20 10)
（1）等强度面
sin
2
2
sin
2
当考察点沿f方向移动一个距离p时，恰好使m所改变量为1， 则称p为等强度面的空间周期。
由前式知：
p 1 f 2sin( / 2)
显然：p的物理意义是：两个强度相度相同的相邻等强度面之 间的距离。
（4）.接收屏上的强度分布——干涉图形
考虑在干涉场中放入平面状观察屏П ，则其上将呈现辐照度按 余弦规律变化的直线型干涉条纹如图示：
定义对比度：
V IM Im IM Im
2 2
V
E10 E20
2
E10 E20
2
E10
2
E20
2
E10 E20 E10 E20 E10 E20
所以：1≥V≥0
显然，当E10=E20时，V=1， 此时条纹最清晰，即完全相干。 V=0时，无条纹。
上式说明，完全相干的充要条件是 , 大小相同，方向平行， 此条件并不易满足，故一般看到的是部分相干条纹。
令：
I2
I1
得到：
V 2 cos 1
ψ是两束光偏振方向夹角。
V ( 0)
V ( 1)
3.1.5 两个球面波的干涉
1.两球面波干涉的强度分布
考虑如图中的两个相干点光源S1和S2发出的两束球面波的干涉 问题。
y
P (x , y, z)
d2 d1
0
S2 -l/2
l/2 S1
x
z
假定S1和S2的电场振动方向相同，则距离这两点足够远的考 察点P处，两球面波的振动方向近似相同，故可用标量波近似 讨论。
20
10
2
) exp
jt
20
10
2
此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 的简谐振动。
仔细研究这个波函数我们发现： 合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，满足
kz 20 10 m
2
m=0、1、 2
的位置上振幅最大，为2E10，这些点称为波腹，波腹间距为λ/2。
满足：
kz 20 10 (m 1 )
则干涉场强度：
I(r)
(E1
E2
)
(E1*
E2*
)
E1 E1* E2 E2* E1 E2* E1* E2
E1 E1* E2 E2* E1 E2* E1* E2
2 2
E10
E20
2E10 E20 cos[(k2 k1) r (20 10 )]
叠加后的波函数为：
E(z,t) E1(z,t) E2(z,t)
[E10 exp( j10 ) E20 exp( j20 )] exp[ j(kz t)]
叠加后的波函数可写成：
E(z,t) E0 exp[ j(kz t)] 其中： E0 E10 exp( j10 ) E20 exp( j20 )
图中一组虚线表示最大强度 y 面与图面的交线。
屏垂直于空间频率，干涉条 纹空间频率：
f1 0
屏平行于空间频率，干涉条
纹空间频率：
f2
f
2 sin( / 2)
П1 f
П2
X П3
屏平和空间频率夹角为α，干涉条纹空间频率：
f3
2 sin(
/ 2) cos
（5）.干涉条纹的反衬度（对比度）
E1(z, t) E10 exp[ j(k1z 1t 10 )] E2 (z, t) E10 exp[ j(k2z 2t 20 )]
叠加后的波函数为：
E(z,t) E1(z,t) E2(z,t)
2E10
cos
k 2
z
2
t
0
2
exp j(kz t 0 )
即合成波可看成一个频率为平均值，而振幅受到调制（随时间和 位置在–2E10到2E10之间变化）的波。
2
EE
在多数场合，我们往往只关心干涉场的相对分布，为此，定
义干涉场强度：
I(r) E E
2.干涉项 以两列单色平面波为例，来分析干涉的基本条件。
设两列波的波函数分别为：
E1(r,
t)
E10
cos(k1
r
1t
10
)
E2(r,t) E20 cos(k2 r 2t 20)
叠加后的波函数为：
I(r)
E10
2
E20 2
2E10 E20 cos[(k2
k1) r (20
10)]
两束平面波干涉的结果是在一直流量上加入了一余弦变化量， 其清晰程度与强度的起伏大小以及平均背景大小有关。
起伏程度（即强度分布的“交变”部分）越大，平均背景越小， 则条纹越清晰。对于强度按余弦规律变化的干涉条纹，可以用 反衬度（也称“对比度”，“可见度”或“调制度”）定量地 描述其清晰程度：
E(r , t) E1(r , t) E2(r , t)
干涉场的强度为：
I (r ) (E1 E2 ) (E1 E2 )
I (r ) (E1 E2 ) (E1 E2 )
E1 E1 E2 E2 2 E1 E2
I1(r ) I2(r ) 2 E1 E2
E
(
z,
t)
2E10
cos
20
2
10
exp
j(kz
t
20
2
10
)
合成波的初位相等于原光波初位相的平均值。
合成波的振幅与原光波的位相差有密切关系：
当两列波相位相等时，两个波处处、时时完全相加， 合成振幅加倍。
当两列波反相时，两列波处处时时完全抵消，合振幅为零， 合成波不再存在。
当位相差为其它值时，振幅介于2E10与零之间。
由干涉的定义，只有在上式第三项不为零时，才有干涉发生。
2 E1 E2 被称为干涉项。
下面具体分析一下干涉发生条件（干涉项不为零）。
2 E1 E2
E10 E20{ cos[(k1 k2 ) r (1 2 )t (10 20 )]
cos[(k1 k2 ) r (1 2 )t (10 20 )] }
2
2
m=0、1、 2
的位置上振幅为零，这些点称为为波节，间距也为λ/2。
合成波的相位因子与位置无关，这说明合成波的相位并不传 播，因此这种波被称为驻波。
3.两个频率、振动方向相同，传播方向任意的光波的迭加 这就是我们以后将要讨论的平面波的干涉问题。
4.两个频率不同、振动方向相同，光波的迭加 这时合成波相当复杂，我们仅就最简单的情况进行分析。 考虑两个同向传播、振幅相等的平面简谐波的叠加问题。 设这两个标量波的波函数为：
干涉场强度在空间呈周期性分布，可以用空间频率和空间 周期来描述。
在最大强度处：
(k2
k1)
r
(20
10
)
2m
知：当考察点在空间移动距离r 时，干涉级m的改变量为：
m
1
2
(k2
k1 )
r
由此，我们定义两束平面波干涉场强度分布的空间频率：
f
1
2
(k2
k1)
则 m f r
显然：f 的方向 取决于两光波传播矢量之差 k2 k1的方向，