计数原理知识点、题型小结doc

第一章、计数原理知识点小结

一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，

在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，

完成这件工作共有 种不同的方法.

2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第

2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。

3.两种方法的区别与联系：

4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细

分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分

别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任

务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。

5.常用的方法有：填空法，使用时注意：

6.常见的题型：

（1）有关数字排列问题

例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个

呢？）

变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

小结：

（2）形如n m m n 和的问题。

例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方

法？

变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情

况（没有并列冠军）

小结：

（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？

变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不

同，则有多少种不同的涂色方法？

小结：

1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫

做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.

2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？

3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n

个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.

4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A

5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A

6.n 的阶乘定义： 用 表示。=n n

A 规定：0！= 注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！=

例1计算：⑴410A ; ⑵ 2

18A ; ⑵ 66A

7.解决排列问题的基本方法

类型一：直接法和间接法

例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）

小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作 ．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用 求解；

间接法的步骤：

类型二：排列问题(无限制条件的和有限制条件的)

例2：有4名男生，3名女生排成一排

（1） 有多少种排列方法？

（2） 若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？

（3） 若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？

（4） 若甲只能在中间或者两端？

（5） 甲乙必须在两端呢？

（6） 甲不站排头，乙不站排尾呢？

（7） 若3名女生必须排在一起

（8） 若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？

（9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？

（10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？

（11）若甲乙间恰有两人？

小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑 ，然后在考虑 ；位置分析法——即优先考虑 ，再考虑

小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素

进行排列，此法称为“ ”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，

然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“ ”等.

练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.

（1）没有重复数字的四位偶数？

（2）比1325大的没有重复数字四位数

1组合的定义：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素

中取出m 个元素的一个组合.

2.排列和组合的区别和联系？相同点： 不同点：

3. 组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元

素中取出m 个元素的组合数．．．

．用符号 表示 4.m n C 与m n A 的关系为：m n A = m n C =

5：组合数公式：m

n C ＝ ＝ 这里的m 、n 满足的条件是

6：用阶乘表示m n C = 我们规定：=0n C 7.组合数的性质一：

8.常见的题型：

类型一：计算

例1：2313;C C 计算： 14C ；24C ； 34C ；35C ；25C

例2：解方程：已知3618n C +=4218n C -，求n=? 例3： 解不等式：4n C >6

n C

类型二：没有限制条件的组合问题

例3：（1）. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．

（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .

（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规

则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，

问：（1）这位教练从这17位学员中可以形成多少种学员上场的方案？

（2）如果在选出的11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？

类型三：有限制条件的组合问题

例4：在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列

条件下，有多少种不同的选法？

（1） 任意选5人

（2） 甲乙丙三人必须参加

（3） 甲乙丙三人不能参加

（4） 甲乙丙三人只能有1人参加

（5） 甲乙丙三人至少有1人参加

（6） 甲乙丙三人至多有1人参加

小结：有限制条件的组合应用题:解决“含与不含”，问题时，将限制条件视为 ，优先满足。 解决至少与至多问题时，常用的方法有 ，注意不重不漏。

类型四.：与平面几何有关的问题

在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O

点）为顶点，可以得到多少个三角形？