大气涡旋的螺旋结构

= D + Ω,
( 4)
为 ζ g ( x2 + y2 ) = p 1 4 fρ 将 ( 9) 式代入 ( 7) 式 , 得到 g x x 1 0 -ζ = . 2 ζ y 0 y g ψ=
( 9)
1ω 2 2
其中 , 5w 5v ω , 1 = 5y 5z 5u 5w ω , 2 = 5z 5 x
( 17)
λ=
代入 ( 17) 式 , 并解出 u 、v , 得到 : ζ g k 2 f
x y = u v
1 +
=
k f
2
0
x
-
0
ζ g k 2 f
k f
2
y
2
1 + 0
-
由于气旋
fρ
ζ g
1 +
k f x y
851
有变形的辐合辐散部分 , 令 ( 10) 式右端为 0 , 解得 速度场的奇点 , ( x , y) = ( 0 , 0) . ( 11) ( ) 方程 10 右端雅可比矩阵的特征值满足
1 0 -λ - ζ g 2 1ζ g 2 0 -λ
= 0, ( 12)
-
1 5p - ku + f v = 0 , ρ 5x
5v 5u ω , 3 = 5x 5y 是涡度 ω = rot v 的三个分量 , 矩阵 D 和 Ω 分别是 对称矩阵和反对称矩阵 。由 ( 4) 式看出 , 三维速度 场可以分为两部分 , 变形部分 D 和旋转部分 Ω[ 2 ] 。 变形部分是由速度剪切变形 , 包括水平辐合辐散造 成的 , 而旋转部分是由涡度造成的 。应该指出 , 变 形矩阵 D 由于是对称矩阵 , 它可以通过相似变换为 对角矩阵 , 其对角线矩阵之和仍与 D 相同 , 故常写 成如下形式 : 5u 5x
5v 5y 5w 5z
1
( 5)
便得到涡旋的速度场为零的点 , 称为奇点 ( 无风的 点) 。由于 ( 1) 式右端是非线性的 , 因此一般奇点 有多个 。我们不妨设奇点的位置为 ( 0 , 0 , 0 ) , 则
( 1 ) 式右端可以在奇点 ( 0 , 0 , 0 ) 作台劳展开到一
对于不可压缩流体 , 矩阵 D 的对角线之和为零 。
第 30 卷 第 5 期 2006 年 9 月
大 气 科 学
Chinese Journal of At mo sp heric Sciences
Vol1 30 No1 5 Sept . 2006
大气涡旋的螺旋结构
刘式达 刘式适 梁福明 付遵涛
北京大学物理学院大气科学系 , 北京 100871
1 5p + fv = 0, ρ 5x
ρ 5y
1 5p
( 6)
- fu = 0,
其中 , f 是 Coriolis 参数 。由 ( 6 ) 式可以求出二维 速度场 , ψ 1 5p 5 =, fρ 5 y 5y
1 5p
=
矩阵 J 称为雅可比矩阵 , 它可以写成 5u 5x
J =
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1 5v + 5u 2 5x 5y
Abstract The 32D velocity fields of at mo sp here can be decompo sed into t he deformation and rotation fields. The de2 formatio n field consist s of t he velocity divergence , it is symmet ry mat rix. The rotation field co nsist s of t he vorticity , it is anti2symmet ry mat rix. The st ruct ure of at mo sp here vortex can be determined by t he J acobian mat rix of t he ve2 locity field , t he J aco bian mat rix is the sum of t he above symmet ry mat rix and anti2symmet ry mat rix. The singular point of t he velocity field denotes t he wind2f ree place. The characteristic values of t he J acobian mat rix at t he singular point determine the p ropert y of vortex. When t he p ressure gradient fo rce is balanced wit h t he Co riolis fo rce in at2 mo sp heric dynamical equatio ns , t he 22D velocity field is only t he rotation field , t he characteristic value is p ure imagi2 nary. The cyclone and anticyclo ne vo rtex patterns are a clo sed form in t he surface synoptic map . When t he f riction is added in t he above balance , t he 22D velocity fields have also t he defo rmation field except fo r t he rotation field , t he characteristic value is a complex number. The cyclone and anticyclo ne vortex patterns beco me spiral form. The 32D at mo sp heric vortex pattern is usually t he spiral co nic form wit h t he defo rmation and rotatio n fields. The t hree char2 acteristic values are o ne real and two co mplex. They are a f unnel st ruct ure. The smaller f unnel hole is up for ty2 p hoo n , t he larger f unnel hole is up wit h lo ng and t hin for tornado . Key words at mo sp heric vortex , spiral st ruct ure , deco mpo sitio n of velocity field
D = ( 2)
通常 , u 、v 、w 是 x 、y 、z 的 非线 性函 数 。符 号 “・ ”表示对时间 t 的微商 。 但是 , 在大气涡旋中总存在无风的点 ( x0 , y0 ,
z0 ) , 如台风中心 、 气旋反气旋的中心等 。令方程 ( 1 ) 式右端为零 , u ( x , y , z) = 0 , v ( x , y , z) = 0 , w ( x , y , z) = 0 .
摘 要 利用速度场的分解 , 说明大气中常见的斑图 。速度场可分为变形场和旋转场 。若大气动力学方程中只有 气压梯度力和科里奥利力平衡 , 此时速度场只有旋转场 , 地面天气图上气旋反气旋斑图是闭合的 。若再加上摩擦 力 , 则斑图为实际的气旋反气旋螺旋 。对三维有水平辐散辐合的涡旋 , 其斑图为三维螺旋型式 , 常见是漏斗状 。 台风小口朝上 , 龙卷风大口朝上 。 关键词 大气涡旋 螺旋结构 速度场分解 文章编号 1006 9895 ( 2006) 05 0849 05 中图分类号 P425 文献标识码 A
大 气 科 学 Chinese Jo urnal of At mo sp heric Sciences
30 卷 Vol1 30
2 速度场的分布
大气速度场 v ( u , v , w ) , 一般可以写成微分 方程形式 :
x = u = u ( x , y , z) , y = v = v ( x , y , z) , z = w = w ( x , y , z) 1 ( 1)
1 5w + 5u 2 5 x 5z 1 5w + 5v 2 5 y 5z
u = x =v = y =
1 5v + 5u 2 5x 5y 1 5u + 5w 2 5z 5 x 0
+ -
5v 5y
1 5v + 5w 2 5z 5 y 1ω 3 2 1ω 2 2 1ω 1 2 0
fρ 5 x
ψ 5 , 5x
1 引言
天气图上有许多涡旋 , 如气旋 、 反气旋 。它 们是二维涡旋 。在三维空间 ( x , y , z ) 中 , 大气 也常 见 台 风 、龙 卷 风 等 涡 旋 。这 些 涡 旋 的 斑 图
( pattern) 是什么型式 ? 它们是如何形成的 ? 如何
判断这些涡旋的特征 ? 本文将速度场分解为变形 场的对称矩阵和旋转场的反对称矩阵 。因此 , 从 矩阵的形式及它的特征值很易识别大气涡旋的斑 图。
3 气旋 、 反气旋的结构
在大气运动方程中 , 若气压梯度力和科里奥利 力平衡[ 3 ] ,
-
阶项 , 得到线性常微分方程 [ 1 ] ,
x y z =
5u 5x 5v 5x 5w 5x
5u 5y 5v 5y 5w 5y
5u 5z 5v 5z 5w 5z
x y z
( 0 , 0 , 0)
x = J y 1 ( 3) z -
( 7)
其中 , ψ= p/ fρ是流函数 。 对于一个孤立的气旋和反气旋 , 垂直涡度 5v 5u 52ψ 52ψ 2 ω ( 8) = + = hψ, 3 = 5x 5y 5 x 2 5 y2 可以看成是常数ζ g , 则二维 Poisso n 方程 ( 8 ) 的解
1ω 3 2
-
0 1ω 1 2
ρ 5y
1 5p
( 16)
- kv - f u = 0 ,
其中第二项是摩擦力 , 它与速度的方向相反 , k 为 摩擦系数 。或另述成 ψ 5 5x ψ 5 5y 用 ψ= ζ g ( x 2 + y2 ) 4
k u + v = 0, f k v - u = 01 f
其中 ,
1 ± ζ g i1 2 由于λ 是纯虚数 , 因而奇点是中心点 , 围绕中心点 的轨道是闭合轨道 。事实上 , 由 ( 10) 式 , 得 dx y ( 13) =, dy x 2 2 ( 14) x + y = c1 所以无摩擦力时 , 气旋 、反气旋的斑图是一个圆 ( 见图 1) 。 将方程 ( 10) 化成极坐标形式 , ・ ζ θ = x y -2 y x = g 1 ( 15) 2 r
The Spiral Structure f or Atmospheric Vortex
L IU Shi2Da , L IU Shi2 Kuo , L IAN G Fu2Ming , and FU Zun2 Tao
S chool of Physics , Peki n g Uni versit y , B ei j i ng 100871
收稿日期 2006 04 24 , 2006 06 13 收修定稿 资助项目 国家自然科学基金重点项目 90511009 作者简介 刘式达 , 男 , 1938 年出生 , 教授 , 研究方向 : 非线性大气动力学和气候物理学 。E2mail :liusd @p ku. edu. cn
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将 ( 10) 式与 ( 3) 、( 4) 式对照 , 可以看出此时 速度场的雅可比矩阵只有旋转的反对称矩阵 , 而没
Δ
5w 5z
( 10)
5期 No1 5
刘式达等 : 大气涡旋的螺旋结构 L IU Shi2Da et al. The Spiral St ruct ure fo r At mo sp heric Vo rtex