余数性质及同余定理答案

知识框架

一、带余除法的定义及性质

1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,

0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型：如图

屈

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数

的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质

⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；

⑵余数小于除数.

二、余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同.

一、同余定理

1、定义

整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b 在模m下同

余，即a=b (modm )

2、同余的重要性质及举例。

〈1 > a=a(modm ) (a为任意自然)；

〈2> 若a=b (modm)，贝U b=a (modm )

〈3> 若a=b (modm), b=c (modm )贝9 a=cC modm );

〈4> 若a=b (modm),贝U ac= bc(modm )

〈5> 若a=b (modm), c=d (modm),贝U ac=bd (modm );

〈6> 若a=b (modm )贝9 an三bm( modm )

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性, "性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc (modm )且(c, m) =1则a=b(modm )

3、整数分类：

〈1>用2来将整数分类,分为两类：

1, 3, 5, 7, 9,……(奇数);

0, 2, 4, 6, 8,……(偶数)

〈2>用3 来将整数分类，分为三类：

0, 3, 6, 9, 12,……(被3除余数是0)

1, 4, 7, 10, 13,……(被3除余数是1)

2，5，8，11 ，14 ，……(被3 除余数是2)

3>在模6 的情况下，可将整数分成六类，分别是：

一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被 9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用•在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一

些运用技巧和方法.

【例1】 一个两位奇数除1477，余数是49,那么，这个两位奇数是多少

这个两位奇数能被1477-49= 142S 整除，且必须丸于49t 142S=2x2x3x7xl71所以这岸的两位奇数只

有5L

【巩固】2024除以一个两位数，余数是 22 •求出符合条件的所有的两位数.

| 2024 - 22 - 2002 ? 2002 - 2 x 7 x I J x 13 ,那么符合条件的所有的两位救有 I

1.]3,14,22,26,77,91 ?

因划涂毀小于除型所以舍去11J344.22,26 ,答案只有77^1

【例2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则被除数是

因为祓除數减去S 后是除数的4您川以；艮据和倍问题_可知，除數为Ul5-4-«-N)^t4+l)=79 ,

所以、被除數为79 x 4 “ X =眈4 °

【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是16•被除数、除数、商、余数的和是 933，求

这2个自然数各是多少

本题为带余除法定义式的基本题型。报携题意设两个自然数分别为可以得到

(mod6): 0, 6, 12, 18, 24,……

(mod6): 1, 7, 13, 19, 25,……

(mod6): 2, 8, 14, 20, 26,……

(mod6): 3, 9, 15, 21, 27,……

(mod6): 4, 10, 16

, 22, 29,……

(mod6): 5, 11, 17,

23, 29,……

重难点

；工 即5个自磁分别是皿21.

0 1 2 3 4 5 例题精讲

x —40^ + 16 x + y + 40 + 16 —