具有最大熵的连续信源
连续信源高斯分布微分熵
连续信源高斯分布微分熵介绍连续信源高斯分布微分熵是信息论中的一个重要概念，用于描述连续信源的不确定性。
本文将深入探讨连续信源、高斯分布以及微分熵的概念和性质。
连续信源连续信源是指信源输出的符号集是连续的。
与离散信源不同，连续信源的输出可以是无限个可能值中的任意一个。
连续信源常用于描述实际世界中的连续变量，如温度、压力等。
高斯分布高斯分布，也被称为正态分布，是一种在统计学中常用的概率分布。
它的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，x是随机变量的取值，μ是均值，σ是标准差。
高斯分布的图像呈钟形曲线，均值处为峰值，随着离均值的距离增加，概率密度逐渐减小。
微分熵微分熵是对连续信源的不确定性进行度量的指标。
它可以用概率密度函数的负对数积分来计算，表示为：H(X)=−∫f+∞−∞(x)log2(f(x))dx其中，f(x)是连续信源的概率密度函数。
微分熵的单位是比特，表示信源输出的平均信息量。
微分熵的性质微分熵具有以下性质：1. 非负性微分熵始终大于等于零，即H(X)≥0。
当且仅当连续信源的概率密度函数为高斯分布时，微分熵达到最大值。
2. 不变性微分熵对信源的均匀线性变换具有不变性。
即对于连续信源X和线性变换Y=aX+b，有H(Y)=H(X)，其中a和b是常数。
3. 可加性对于相互独立的连续信源X和Y，它们的联合微分熵等于它们各自微分熵的和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
4. 连锁规则对于连续信源X、Y和Z，有H(X,Y,Z)=H(X)+H(Y|X)+H(Z|X,Y)。
连锁规则可以推广到更多的连续信源。
应用场景连续信源高斯分布微分熵在许多领域都有重要的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 通信系统设计在通信系统中，了解信源的不确定性非常重要。
通过计算连续信源的微分熵，可以为系统设计提供指导，例如确定合适的编码方式和信道容量。
2. 数据压缩微分熵可以用于数据压缩算法中的信息量度量。
信息论连续信源
其他连续熵的定义：
h( XY ) p( xy) log p( xy)dxdy
R2
h( X ) p( xy) log p( x )dxdy Y y 2
R
h(Y
y )dxdy ) p( xy) log p( X x 2
R
2.3.2 几种特殊连续信源的熵
1
均匀分布的连续信源的熵
n
0
lim log p ( x)dx
n
0
连续信源熵定义：
1
h( X ) p( x) log p( x)dx
为了在形式上与离散信源熵统一 熵差仍然具有信X ) H ( X ) Y
例
求均匀分布的连续信源熵
原因
2影响信源的整体特性，m
对整体特性无影响
3 指数分布的连续信源的熵
1 e x0 p ( x) m 0 其它 h( X ) p( x) log p( x)dx
x m
0
1 p( x) log( e )dx 0 m x log m p( x)dx log e p( x) dx 0 0 m log( me)
x m
2.3.3 连续熵的性质
1 2
连续信源熵可为负值 可加性
h( XY ) h ( X ) h (Y
X
)
h( XY ) h (Y ) h ( X ) Y
3
非负性
Ic ( X ;Y ) 0
4
对称性
I c ( X ;Y ) I c (Y ; X )
2.3.4 最大熵和熵功率
p( x i )
信息论与编码试题集与答案(新)
一填空题（本题20分，每小题2分）1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。
信息论考试题(填空简答)
一.填空题（每空1分，共20分）1.香农信息论的三个基本概念分别为_______________ 、_____________ 、 ____________ 。
2•对离散无记忆信源来说，当信源呈_______________ 分布情况下，信源熵取最大值。
3•写出平均互信息的三种表达公式________________ 、_____________ 、 ____________ 。
4.若连续信源输出的平均功率和均值被限定，则其输出信号幅度的概率密度函数为______________ 时，信源具有最大熵值；若连续信源输出非负信号的均值受限，则其输出信号幅度呈____________ 分布时，信源具有最大熵值。
5. ________________________________ 信道容量是为了解决通信的_________________________ 问题，而信息率失真函数是为了解决通信的___________ 问题。
6. ______________________________________________________ 费诺编码比较适合于的信源。
7•无记忆编码信道的每一个二元符号输出可以用多个比特表示，理想情况下为实数，此时的无记忆二进制信道又称为__________________________ 。
&差错控制的4种基本方式是：_________________ 、_____________ 、 ____________ 、______________ 。
9 . （n,k）线性码能纠t个错误，并能发现I个错误（l>t）,码的最小距离为：10.循环码码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘___________________ 后再模______________ 。
二.简答题（每小题5分，共30分）1 •分别说明平均符号熵与极限熵的物理含义并写出它们的数学表达式。
2•写出二进制均匀信道的数学表达式，并画出信道容量C与信道转移概率 p的曲线图。
2.6连续信源的熵
2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。
见图2.6.1。
各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。
图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。
设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。
连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。
同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。
1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。
设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。
在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。
信息论与编码考试题(附答案版)
1.按发出符号之间的关系来分，信源可以分为（有记忆信源）和（无记忆信源）2.连续信源的熵是（无穷大），不再具有熵的物理含义。
3.对于有记忆离散序列信源，需引入（条件熵）描述信源发出的符号序列内各个符号之间的统计关联特性3.连续信源X,平均功率被限定为P时，符合（正态）分布才具有最大熵，最大熵是（1/2ln（2 ⅇ 2））。
4.数据处理过程中信息具有（不增性）。
5.信源冗余度产生的原因包括（信源符号之间的相关性）和（信源符号分布的不均匀性）。
6.单符号连续信道的信道容量取决于（信噪比）。
7.香农信息极限的含义是（当带宽不受限制时，传送1bit信息，信噪比最低只需-1.6ch3）。
8.对于无失真信源编码，平均码长越小，说明压缩效率（越高）。
9.对于限失真信源编码，保证D的前提下，尽量减少（R(D)）。
10.立即码指的是（接收端收到一个完整的码字后可立即译码）。
11.算术编码是（非）分组码。
12.游程编码是（无）失真信源编码。
13.线性分组码的（校验矩阵）就是该码空间的对偶空间的生成矩阵。
14.若（n，k）线性分组码为MDC码，那么它的最小码距为（n-k+1）。
15.完备码的特点是（围绕2k个码字、汉明矩d=[（d min-1）/2]的球都是不相交的每一个接受吗字都落在这些球中之一，因此接收码离发码的距离至多为t，这时所有重量≤t的差错图案都能用最佳译码器得到纠正，而所有重量≤t+1的差错图案都不能纠正）。
16.卷积码的自由距离决定了其（检错和纠错能力）。
（对）1、信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。
（对）2、信息就是信息，既不是物质也不是能量。
（错）3、马尔可夫信源是离散无记忆信源。
（错）4、不可约的马尔可夫链一定是遍历的。
（对）5、单符号连续信源的绝对熵为无穷大。
（错）6、序列信源的极限熵是这样定义的：H(X)=H(XL|X1,X2,…,XL-1)。
（对）7、平均互信息量I(X;Y)是接收端所获取的关于发送端信源X的信息量。
第二章基本信息论6_连续信源的熵
一、连续信源熵的定义
♦连续信源：输出在时间和取值上都是连续的信源 连续信源：
连续信源
采样
离散信源
求信源熵
若连续信源的频带受限， 若连续信源的频带受限，为W，则根据采样定理， ，则根据采样定理， 只要采样频率大于2W， 只要采样频率大于 ，则连续信源经采样离散 不损失任何信息。 后，不损失任何信息。 p( x ) 将连续信源离散化为离散 信源，其信源熵为： 信源，其信源熵为：
∞
1 λ1 −1 e = σ 2π ⇒ λ =− 1 2 2 2σ
− 2 1 得p ( x ) = e 2σ 为高斯分布 σ 2π
x2
P(x)
最大熵
H max ( X ) = − ∫ p ( x )log p( x )dx
−∞
x 1 − 2 = − ∫ p ( x )ln e 2σ −∞ σ 2π
H max ( X ) = − ∫
V2 −V1
V2
x
p ( x )log p ( x )dx = log(V1 + V2 )
2、输出平均功率受限的信源 、 设信源 ( X ) = − ∫ p( x )log p ( x )dx为极大值的p ( x )
−V
V
以及对应的最大熵H max ( X )， 其限制条件：
P( x )
1/ 2
0
1 dx1 3
x
P(x)
2
dx2
6 x
二、连续信源熵的性质
♦ 连续信源熵可正可负
H ( X ) = −∫
−∞
∞
p ( x )log p( x )dx
1 1 = − ∫ lb dx = −1比特/采样 3 2 2
第二章 信源和信息熵
第二章 信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章 信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少 的熵，所以：
第二章 信源和信息熵
离 散 平 稳 信 源 性 质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章 信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章 信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前 后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可 能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少 信息量才可确认？
第二章 信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量： 第二次测量获得信息量： 第三次测量获得信息量： 每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。
连续信源的最大熵与最大熵条件解析
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
2.3 连续信源的熵
p ( x )( log
2
2
)dx
p ( x ) log
2
e
dx
p ( x ) dx 1 1 2
2
上式
log
2
2
2
log
2
2
e p(x)
(x m) 2
2
2
dx
(x m)
p(x)
p ( x )dx
2
(x m) 2 1 2
,其熵为
H ( X ) p ( x ) log p ( x ) dx p ( x ) log
0
1
2
x m
e
dx e p(x) x m dx
m
2
log
2
m p ( x ) dx log E[ X ] m
2
xp ( x ) dx
2
H ( X ) log 2 m log log me
9
几种特殊连续信源的熵
均匀分布的连续信源的熵
X在[a,b]上均匀分布，其熵为
H ( X ) log 2 ( b a )
服从（m,б2）高斯分布的连续信源的熵
概率密度函数为正态分布，即 p ( x )
1 2
2 (xm ) 2
2 2
e
，其熵为
H (X )
p ( x ) log
设连续信源X 概率密度函数p(x) 则相对熵为：
H (X ) x ) dx
n
离 散 信 源 ： H ( X ) p ( x i ) lo g 2 p ( x i )
信息论与编码考试题(附答案版)
1.按发出符号之间的关系来分，信源可以分为（有记忆信源）和（无记忆信源）2.连续信源的熵是（无穷大），不再具有熵的物理含义。
3.对于有记忆离散序列信源，需引入（条件熵）描述信源发出的符号序列内各个符号之间的统计关联特性3.连续信源X,平均功率被限定为P时，符合（正态）分布才具有最大熵，最大熵是（1/2ln （2πⅇσ2））。
4.数据处理过程中信息具有（不增性）。
5.信源冗余度产生的原因包括（信源符号之间的相关性）和（信源符号分布的不均匀性）。
6.单符号连续信道的信道容量取决于（信噪比）。
7.香农信息极限的含义是（当带宽不受限制时，传送1bit信息，信噪比最低只需-1.6ch3）。
8.对于无失真信源编码，平均码长越小，说明压缩效率（越高）。
9.对于限失真信源编码，保证D的前提下，尽量减少（R(D)）。
10.立即码指的是（接收端收到一个完整的码字后可立即译码）。
11.算术编码是（非）分组码。
12.游程编码是（无）失真信源编码。
13.线性分组码的（校验矩阵）就是该码空间的对偶空间的生成矩阵。
14.若（n，k）线性分组码为MDC码，那么它的最小码距为（n-k+1）。
15.完备码的特点是（围绕2k个码字、汉明矩d=[（d min-1）/2]的球都是不相交的每一个接受吗字都落在这些球中之一，因此接收码离发码的距离至多为t，这时所有重量≤t的差错图案都能用最佳译码器得到纠正，而所有重量≤t+1的差错图案都不能纠正）。
16.卷积码的自由距离决定了其（检错和纠错能力）。
（对）1、信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。
（对）2、信息就是信息，既不是物质也不是能量。
（错）3、马尔可夫信源是离散无记忆信源。
（错）4、不可约的马尔可夫链一定是遍历的。
（对）5、单符号连续信源的绝对熵为无穷大。
（错）6、序列信源的极限熵是这样定义的：H(X)=H(XL|X1,X2,…,XL-1)。
（对）7、平均互信息量I(X;Y)是接收端所获取的关于发送端信源X的信息量。
信息论 复11习
复习第1章的练习题1. 请问提高通信系统传输的有效性属于信息论与编码技术的哪部分内容？信源编码2. 请问提高通信系统传输的可靠性属于信息论与编码技术的哪部分内容？信道编码3. 请问消息、信号、符号和信息的区别是什么？信息是任何随机事件发生所包含的内容。
消息包含信息，是信息的载体。
符号和信号是携带信息是消息的运载工具。
4. 什么叫样本空间？概率空间？所有可能选择的消息的集合称为样本空间。
一个样本空间和它的概率测度一起构成一个概率空间。
5. 事件的概率取对数再取负值，这时它代表什么？自信息6. 对于概率为1的确定事件来说，它含不含信息？对于概率为0的确定事件来说，它含不含信息？不含信息。
含有信息。
7. 通信系统的模型由哪三部分组成？编码器和解码器属于哪部分的？信源、信道、信宿。
编码器分为信道编码器和信源编码器，译码器分为信道译码器和信源译码器。
8. 信息论研究的主要内容是什么？信息的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。
9. 编码技术研究的主要内容是什么？信源编码和信道编码。
第2章的练习题1. 在通信系统中，消息发出的源头叫什么？信源2. 若信源的样本空间为X=[a,b,c]，其对应的概率为p(x)=[0.1,0.3,0.6]，请写出该信源的数学模型。
3. 研究信息的基础理论是：函数、统计学、算术、曲线？4. 这个概率空间p(x)=[0.1,0.4,0.3,0.1]和q(x)=[0.1,0.4,0.3,0.21]正确吗？为什么？不正确。
概率和不为15. 自信息的数学期望代表什么？信息熵6. 在信源输出前，信息熵H(X)表示什么？信源的平均不确定性7. 在信源输出后，信息熵H(X)表示什么？每个消息提供的平均信息量8. 考虑一个信源概率为{0.3,0.25,0.2,0.15,0.1}的DMS，求信源的的H(X)。
（DMS：离散无记忆信源）H(x)=0.3log(0.3)+0.25log(0.25)+0.2log(0.2)+0.15log(0.15)+0.1log( 0.1)=…9. 离散无记忆信源所发出的各个符号之间是a。
简述最大熵定理内容
简述最大熵定理内容最大熵原理是一种选择随机变量统计特性最符合客观情况的准则，也称为最大信息原理。
随机量的概率分布是很难测定的，一般只能测得其各种均值（如数学期望、方差等）或已知某些限定条件下的值（如峰值、取值个数等），符合测得这些值的分布可有多种、以至无穷多种，通常，其中有一种分布的熵最大。
选用这种具有最大熵的分布作为该随机变量的分布，是一种有效的处理方法和准则。
这种方法虽有一定的主观性，但可以认为是最符合客观情况的一种选择。
在投资时常常讲不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，这样可以降低风险。
在信息处理中，这个原理同样适用。
在数学上，这个原理称为最大熵原理。
历史背景最大熵原理是在1957年由E.T.Jaynes提出的，其主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。
因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。
我们知道，熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，换句话说，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。
从这个意义上讲，那么最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设，这些约束和假设根据我们掌握的信息无法作出。
可查看《浅谈最大熵原理和统计物理学》——曾致远(RichardChih-YuanTseng)研究领域主要为古典信息论，量子信息论及理论统计热物理学，临界现象及非平衡热力学等物理现象理论研究古典信息论在统计物理学中之意义及应用[1]。
发展过程早期的信息论其中心任务就是从理论上认识一个通信的设备（手段）的通信能力应当如何去计量以及分析该通信能力的规律性。
但是信息论研究很快就发现利用信息熵最大再附加上一些约束，就可以得到例如著名的统计学中的高斯分布（即正态分布）。
第三章4连续信源及信源熵
(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布 时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独 立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内 均匀分布，即
1
N
p(x)
(N
x (bi ai ) i 1
若一维随机变量X的取值区间是[0,∞)，其概 率密度函数为
p(x)
1 m
e
x m
(x 0) m是X的均值
E[X ] m
xp(x)dx
0
0
x
1 m
e
x m
dx
m
指数分布连续信源的熵为
Hc ( X ) 0 p(x) log2 p(x)dx
0
p(x) log2
1 m
e
x m
dx
随机变量X的方差E[( X m)2 ] E[ X 2 ] m2 P2 m2 2
当均值m 0时，平均功率P 2
对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；
把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨 论；
把平均功率受限当成是m=0情况下，方差受限的 特例。
定义高斯分布的连续信源的熵记为Hc[p(x),X] 定义任意分布的连续信源的熵记为Hc[q(x),X] 已知Hc[p(x),X]=(1/2)log2(2πeσσ) 任意分布的连续信源的熵为
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2
信息论与编码试题集与答案(新)
一填空题（本题20分，每小题2分）1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。
信息论与编码填空题(新)
信息论与编码填空题(新)1.在无失真的信源中，信源输出由H(X)来度量；在有失真的信源中，信源输出由R(D) 来度量。
2.要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，然后_加密_编码，再_信道编码，最后送入信道。
3.带限AWGN波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是=+；当归一化信道容量C/W趋近于零C W SNRlog(1)时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b/N0为 -1.6 dB，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。
4.保密系统的密钥量越小，密钥熵H(K)就越小，其密文中含有的关于明文的信息量I(M；C)就越大。
5.已知n＝7的循环码42g x x x x=+++，则信息位长()1度k为 3 ，校验多项式h(x)= 31++。
x x6.设输入符号表为X＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。
输入信号的概率分布为p＝(1/2，1/2)，失真函数为d(0，0) = d(1，1) = 0，d(0，1) =2，d(1，0) = 1，则D min＝ 0 ，R(D min)＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D max ＝ 0.5 ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。
若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。
１．设Ｘ的取值受限于有限区间［a,b ］，则X 服从 均匀 分布时，其熵达到最大；如X 的均值为μ，方差受限为2σ，则X 服从 高斯 分布时，其熵达到最大。
2．信息论不等式：对于任意实数0>z ，有1ln -≤z z ，当且仅当1=z 时等式成立。
连续信源和连续信道
当信源的概率密度符合正态分布时，其相对熵仅与随机 变量的方差 2 有关，而方差在物理含义上往往表示信号
的交流功率,即p 2
在限制信号平均功率的条件下，正态分布的信源可输出最
大相对熵 而增加。
Hc
(X
)
1 2
log 2
2e
2
其值随平均功率的增加
如果噪声是正态分布，则噪声熵最大，因此高斯白噪声 获得最大噪声熵。
i 1
bi
ai
i 1
0
N
x bi ai i 1
N
N
Hc ( X ) log2 (bi ai ) log2 (bi ai )
i 1
i 1
HcX1 HcX2 HcXN
连续随机矢量中各分量相互统计独立时，其矢量熵就 等于各单个随机变量的熵之和，与离散信源情况类似。
2. 高斯分布的连续信源的熵：与数学期望无关，仅与方 差有关
单变量连续信源X呈正态分布的概率密度函数为
p(x)
1
e
(
xm) 2 2
2
2 2
且：
p(x)dx 1
Hc
(X
)
1 2
log 2
2e
2
xp(x)dx m
x2 p(x)dx P
E X m2 E X 2 m2 P2 m2 2
当连续信源输出信号的均值为零、平均功率受限 时，只有信源输出信号的幅度呈高斯分布时，才会有 最大熵值。
连续信源的熵具有相对性，有时称为相对熵,在取两熵 之间的差时才具有信息的所有特性.
例2.3.1有一信源概率密度如图所示，求连续熵
解:
由图(a)得
Hc(X )
P(x) log 2P(x)dx
连续信源的最大熵与最大熵条件
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
连续信源熵
Ic (X ;Y ) 0 Ic ( X ;Y ) Ic (Y ; X ) Ic (X ; Z) Ic(X ;Y )
u du a a
Su
1 a
pX
u a
log
1 a
pX
u a
log
a
du
pU u log pU u log a du
Su
Hc U log a
Hc aX log a
2.5 连续信源
离散信源
信源的数学模型
– 随机变量、随机序列
信源的信息测度
– 简单离散信源：H(X) – 离散无记忆信源：H ∞(X) = HL(X)=H(X) – 离散有记忆信源：H∞(X) ≤ HL(X) ≤ H(X)
连续信源的数学模型
输出消息取值上连续的信源，如语音，电视信源等，对 应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。
2
2
2 2
p(x) ln q(x)dx
p(
x)
1 2
ln
2
2
(x m)2
2 2
dx
1 ln 2 2 1 1 ln 2 e 2
2
22
p(x) ln q(x)dx q(x) ln q(x)dx
具有最大熵的连续信源
具有最大熵的连续信源具有最大熵的连续信源马冬梅2001级信息与计算科学摘要：在连续信源中差熵也具有极大值，但它与在离散信源中，当信源符号等概率分布时信源的熵取最大值时的情况有所不同。
除存在完备集条件()1Rp x dx =?以外，如有其他约束条件，当各约束条件不同时，信源的最大差熵值不同。
关键词：最大差熵值峰值功率平均功率最大相对熵概率密度函数詹森不等式1 问题提出我们在求信源的最大熵时，会受到很多条件的约束。
一般情况，在不同约束条件下，求连续信源差熵的最大值，就是在下述若干约束条件下()1p x dx ∞-∞=?122()()()xp x dx K x m p x dx K ∞-∞∞-∞=-=??求泛函数()()log ()h x p x p x dx ∞-∞=-的极值。
通常我们考虑两种情况：一种是信源的输出值受限；另一种是信源的输出平均功率受限。
2 峰值功率受限条件下信源的最大熵假设某信源输出信号的峰值功率受限为?p，即信源输出信号的瞬时电压限定在内，它等价于信源输出的连续随机变量x 的取值幅度受限，限于[],a b 内取值，所以我们求在约束条件()1bap x dx =?下，信源的最大相对熵。
定理 1 若信源输出幅度被限定在[],a b 区域内，则当输出信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。
其值等于log()b a -.若当N 维随机变量取值受限时，也只有各随机分量统计独立并均匀分布时具有最大值。
在此，只有对一维随机变量进行证明，对于N 维随机矢量可采用相同的方法进行证明。
证明：设()p x 为均匀分布概率密度函数1()p x b a=-，并满足()1b a p x dx =?，又设()q x 为任意分布的概率密度函数，也有()1baq x dx =?。
则[,()][,()]()log ()()log ()bbaah X q x h X p x q x q x dx p x p x dx-=-+??()log ()[log()()]b baaq x q x dx b a p x dx =---??()log ()[log()()]b baaq x q x dx b a q x dx =---??()log ()()log ()b baaq x q x dx q x p x dx =-+-??()()()log log[()]0()()bb a a p x p x q x dx q x dx q x q x =≤=?? 其中运用了詹森不等式，因而[,()][,()]h X q x h X p x ≤当且仅当()()q x p x =时等式才成立。
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具有最大熵的连续信源
马冬梅
2001级信息与计算科学
摘要：在连续信源中差熵也具有极大值，但它与在离散信源中，当信源符号等概率分布时信源的熵
取最大值时的情况有所不同。
除存在完备集条件()1R
p x dx =⎰
以外，如有其他约束条件，当各约束条件
不同时，信源的最大差熵值不同。
关键词：最大差熵值 峰值功率 平均功率 最大相对熵 概率密度函数 詹森不等式
1 问题提出
我们在求信源的最大熵时，会受到很多条件的约束。
一般情况，在不同约束条件下，求连续信源差熵的最大值，就是在下述若干约束条件下
()1p x dx ∞
-∞=⎰
1
22
()()()xp x dx K x m p x dx K ∞
-∞∞
-∞
=-=⎰⎰
求泛函数()()log ()h x p x p x dx ∞
-∞
=-
⎰
的极值。
通常我们考虑两种情况：一种是信源的输出值受限；另一种是信源的输出平均功率受限。
2 峰值功率受限条件下信源的最大熵
假设某信源输出信号的峰值功率受限为ˆp
，即信源输出信号的瞬时电压限定在内，它等价于信源输出的连续随机变量x 的取值幅度受限，限于[],a b 内取值，所以我们求在约束条件
()1b
a
p x dx =⎰
下，信源的最大相对熵。
定理 1 若信源输出幅度被限定在[],a b 区域内，则当输出信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。
其值等于log()b a -.
若当N 维随机变量取值受限时，也只有各随机分量统计独立并均匀分布时具有最大值。
在此，只有对一维随机变量进行证明，对于N 维随机矢量可采用相同的方法进行证明。
证明： 设()p x 为均匀分布概率密度函数1
()p x b a
=-，并满足()1b a p x dx =⎰，又设()
q x 为任意分布的概率密度函数，也有
()1b
a
q x dx =⎰。
则
[,()][,()]()log ()()log ()b
b
a
a
h X q x h X p x q x q x dx p x p x dx
-=-+⎰⎰
()log ()[log()()]b b
a
a
q x q x dx b a p x dx =---⎰⎰
()log ()[log()()]b b
a
a
q x q x dx b a q x dx =---⎰⎰
()log ()()log ()b b
a
a
q x q x dx q x p x dx =-+-⎰⎰
()()
()log log[()]0()()b
b a a p x p x q x dx q x dx q x q x =≤=⎰⎰ 其中运用了詹森不等式，因而
[,()][,()]h X q x h X p x ≤
当且仅当()()q x p x =时等式才成立。
即，任何概率密度分布时的熵必小于均匀分布时的熵，即当均匀分布时差熵达到最大值。
3．平均功率受限条件下信源的最大值
在此情况下，我们直接利用一个定理及其证明来求信源的最大熵。
定理2 若一个连续信源输出信号的平均功率被限定为p ，则其输出信号幅度的概率密
度分布是高斯分布时，信源有最大的熵，其值为
1
log 22
ep π.对于N 维连续平稳信源来说，若其输出的N 维随机序列的协方差矩阵C 被限定，则N 维随机矢量为正态分布时信源的熵
最大，也就是N 维高斯信源的熵最大，其值为1log ||log 222
N
C e π+
现在被限制的条件是信源输出的平均功率受限为p 。
对于均值为零的信号来说这条件就是
其方差2
σ受限。
在此，我们只证明一般均值不为零的一维随机变量。
即是在约束条件
()1p x dx +∞
-∞
=⎰
和
2
2
()()x m p x dx σ+∞
-∞
=-<∞⎰
下，出现差熵()h x 的极大值。
而均值为零，平均功率受限的情况只是一个特例。
证明： 设()q x 为信源输出的任意概率密度分布。
因为其方差受限为2
σ，所以必满足
()1q x dx ∞
-∞
=⎰
和2
2()()x m q x dx σ∞
-∞
-=⎰。
又设()p x 是方差为2σ的正态概率密度分布，
即有
()1p x dx ∞
-∞=⎰，2
2
()()x m p x dx σ∞
-∞
-=⎰我们已计算得21(,())log 22
h X p x e πσ=。
现计算
22
()21()log
()]()x m q x dx q x dx p x σ--
∞
∞
-∞
-∞=-⎰
⎰
22()
()l ()l o
g 2x m q x q x dx e σ∞
∞
-∞-∞-=-+⎰⎰
21
log 22
e πσ=
得
1
(,())()log
()
h X p x q x dx p x ∞
-∞
=⎰ 而 1
(,())(,())()log ()()log
()
h X q x h X p x q x q x dx q x dx p x ∞
∞
-∞
-∞
-=-
-⎰
⎰ ()
()log
()
p x q x dx q x ∞
-∞
=⎰ 根据詹森不等式得
()
(,())(,())log ()
log10()
p x h X q x h X p x q x dx q x ∞
-∞
-≤==⎰ 所以得
(,())(,())h X q x h X p x ≤
当且仅当()()q x p x =时等式成立。
4 结果分析
定理2 的结果说明，当连续信源输出信号的平均功率受限时，只有信号的统计特性与高斯噪声统计特性一样时，才会有最大的熵值。
从直观上看这是合理的，因为噪声是一个最不确定的随机过程，而最大的信息量只能从最不确定的事件中获得。
若在一上述条件下，再进一步限定：协方差矩阵C 中协方差0()ij i j μ=≠。
即随机序列12N X X X X = 中各分量之间不相关，又2(1,2,,),ii i i N μσ== 则可证明N 维序列的各分量i X 彼此统计独立，并各自达到正态分布时的熵最大，也就是N 维无记忆高斯信源的熵最大，最大值为
222
121log(2)()2
N N e πσσσ 。
若随机序列12N X X X X = 中各分量的均值0(1,2)i m i N == ，而平均功率受限为
i p ，即2i i p σ=，则得N 维无记忆高斯信源的熵最大，最大值为121
log(2)()2
N N e p p p π .
参考文献
[1] 傅祖芸.信息论------基础理论与应用[M].北京：电子工业出版社.2003，6。