边缘分布和条件分布
联合分布律边缘分布律条件分布律
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条件分布和边缘分布的关系
条件分布和边缘分布的关系条件分布和边缘分布是概率论和数理统计学中两个重要的概念，它们之间有一定的联系和关系。
下面我会具体介绍条件分布和边缘分布的概念，并且解释它们之间的关系。
首先，我们来介绍条件分布的概念。
在概率论中，条件分布是指在已知某些条件下，随机变量的分布情况。
换句话说，条件分布是指在已知某个条件时，所关心的随机变量的分布情况。
条件分布通常用P(Y|X)来表示，其中X是所关心的条件变量，Y是需要得到其分布的随机变量。
P(Y|X)表示在已知X的条件下，Y的分布情况。
举个例子来说明条件分布的概念。
假设我们研究一个班级的学生，X表示学生的年龄，Y表示学生的身高。
如果我们对条件分布P(Y|X)感兴趣，那么我们可以根据学生的年龄来推测学生的身高分布。
例如，当X为10岁时，Y的分布可能是一个正态分布，而当X为20岁时，Y的分布可能是另一个不同的正态分布。
接下来，我们来介绍边缘分布的概念。
在概率论中，边缘分布是指随机变量的分布情况，而不考虑其他变量的情况。
换句话说，边缘分布是指所关心的随机变量的分布情况，而不考虑其他随机变量的影响。
边缘分布通常用P(X)或P(Y)来表示，表示随机变量X或Y的分布情况。
继续以上面的例子来说明边缘分布的概念。
假设我们对边缘分布P(Y)感兴趣，表示学生的身高分布情况，而不考虑学生的年龄。
我们可以直接统计班级中学生的身高分布，而不需要考虑他们年龄的影响。
在条件分布和边缘分布之间存在一定的关系。
具体来说，边缘分布可以通过条件分布来计算得到。
这是因为边缘分布是在不考虑其他变量的情况下计算得到的，而条件分布是在已知某个条件下计算得到的。
通过概率论中的乘法规则，我们可以得到边缘分布的公式：P(X) = ∑ P(X, Y)。
这个公式表示随机变量X的边缘分布可以通过将随机变量X和Y的联合分布P(X, Y)在所有可能的取值情况下求和得到。
我们可以通过条件分布来计算边缘分布。
假设我们已知条件分布P(Y|X)，我们可以通过边缘分布的公式，将Y积分掉，得到边缘分布P(X)。
条件分布
对于任一给定的值
x
(0<x<1), 在X=x
的条件下, Y 的条件概率密度为 :
1 , f Y |X ( y | x) 1 x 0,
x y 1, 0thers.
f ( x, y ) 由 f Y |X ( y | x) 得X 和 Y 的 联 合概率密度 f X ( x)
P{ X x i , Y y j } P { X xi } pi j pi . , j 1, 2,...
为在X ＝ x i 条件下，随机变量Y的条件分布律.
简言之：条件分布等于联合分布与边缘 分布之商
例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道 工序是由机器人完成的. 其一是紧固 3 只螺栓,其二是焊接2处焊点. 以X表示由 机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目 , 以Y表示由机器人焊接 的不良焊点的数 目 ,据积累的资料知 ( X , Y ) 具有分布 律:
x
f ( x, y) dx . f Y ( y)
在 X= x 的条件下 Y的条件概率密度为 f ( x, y) f Y|X( y | x ) f X ( x) 在 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数为 F Y|X( y | x) P{ Y y | X x }
y
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度 为 f (x,y),(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度 为 f Y ( y ). 若对于固定的 y, f Y ( y ) 0, 则 f ( x, y) 称 为在 Y=y 的条件下X 的条件概 f Y( y ) 率密度, 记为: f ( x, y) . f X|Y ( x | y ) f Y ( y)
边缘分布与条件分布
1
三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y f 各自的概率密度,分别记为： X ( x), fY ( y)， 下面讨论二维
连续型随机变量 ( X , Y )的概率密度 f ( x, y)与f X ( x)及
fY ( y)之间的关系:
由于
FX ( x) F ( x, )
记住：
fY ( y) FY ( y) fY ( y )
f ( x, y) d x.
f X (x) f (x, y)d y,
f (x, y)d x.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
f X ( x)
因而得
O
x
f ( x, y) d y 0d y 0.
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
下求：fY ( y)
f ( x, y) d x
y y x
(1,1)
当 0 y 1 时, fY ( y ) f ( x , y ) d x
二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律
一般地，对二维离散型随机变量 ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
(X,Y) 关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:
P X xi P X xi ,Y y j pij pi .
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
边缘分布和条件分布
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
考研数学 概率论部分的重要考点与常见题型
考研数学概率论部分的重要考点与常见题型摘要：在考研数学中，概率论与数理统计是非常重要的一部分，这部分要想拿分，就要了解下它里面内容的重要考点和常考题型。
1、随机变量及其分布在考试中，该考点所占比重很大，每年分值在12分左右。
&bull重要考点：I、分布函数、分布律、概率密度的相关性质II、联合分布、边缘分布与条件分布的计算III、随机变量函数的分布以及随机变量独立性的判断IV、常见分布的相关性质以上考点中，要重点掌握边缘分布以及条件分布的定义与相关的计算公式、随机变量函数的分布，在历年考研数学中考查力度还是相当大的。
求解过程中重在理解分布函数的定义，尤其涉及到随机变量范围的讨论时，避免失误，各位考研君一定要多加注意!&bull常考题型：I、有关分布函数、分布律、概率密度的相关性质的考察II、离散型或连续型随机变量边缘分布、条件分布的计算III、求解随机变量函数的分布。
2、数字特征考研中对数字特征的考察，频率也是很高的，在考试中，此考点一般与随机变量结合出题，每年的平均分值大概也在8分左右，所以考研的小伙伴更是不能忽视呦!&bull重要考点：I、随机变量以及随机变量函数的期望、方差相关计算公式II、数字特征的常用性质、常见分布的数字特征及运用III、二维随机变量协方差、相关系数的计算及其性质IV、独立性与不相关性的讨论&bull常考题型：I、直接考察数字特征的计算II、考察数字特征的常用性质对于该常考考点，公式多，记忆量大，所以要把相关的公式以及性质进行有效记忆，避免出现公式错用、混用的情况。
在考研中该考点与考点1经常结合出题，构成考研数学概率中的一道大题，各位考研君一定要提高警惕!3、参数估计参数估计是数理统计的重要内容，也是考试的重点，考研中对此考点的考查方式多以大题为主。
&bull重要考点：点估计。
点估计方法中，以矩估计和最大似然估计为主。
在复习该重要考点时，重点把握两种估计方法的求解步骤。
概率基本法则随机变量联合分布，边缘分布，条件概率
P(s) = 0.01
P(s | m) P(m)
P(s)
=
已给定的
0.8 x 0.0001 .
0.01
◦ 注意: meningitis 的后验概率还是非常小: 0.008 (但比先验概率大80倍 – 为什么?)
◦ 注意: 如果有了症状还是应该去检查! 为什么?
小练习
假设两个随机变量A和B，它们的值域是 A ∈{ true, false } , B
P(Roll2=5 | Roll1=5) = P(Roll2=5)
举例: 独立性
n 个公平，独立的硬币翻转:
P(X1)
P(X2)
P(Xn)
H
0.5
H
0.5
H
0.5
T
0.5
T
0.5
T
0.5
P(X1,X2,...,Xn)
2n
真实世界里的（概率事件）独立性
独立性是简化建模的假设
有时对于真实世界的变量是合理的
0.01
30
条件独立性（条件无关）
Conditional Independence
无条件的 (绝对的) 独立性非常稀少 (为什么?)
条件独立性是我们对于不确定环境的最基本和鲁棒的知识蕴藏
形式
X 是 条件独立于(conditionally independent) Y, 给定 Z
当且仅当:
x,y,z
上次的内容
概率
概率基本法则
随机变量
联合分布，边缘分布，条件概率，条件分布
人工智能导论：
概率推理
概率推理(Probabilistic Inference)
概率推理: 从其他已知概率里计算一个想知
条件分布律条件分布函数条件概率密度
pqnm1, n m 1, m 2,
P X m， Y n q p q p q p
m1
nm1
n2 2
n 2, 3， ； m 1， 2， ， n 1
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第三章 随机变量及其分布
二、条件分布函数
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
f (x, y)
fY X
( y) 在Y
.
y的条件下的条件密度函
数。
第三章 随机变量及其分布
三、连续型随机变量的条件密度函数
§3条件分布
设X， Y 是二维连续型随机变量 ，其联合密度函数为 f x， y
又随机变量 X 的边缘密度函数为：
fX x f x， ydy
随机变量 Y 的边缘密度函数为：
存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写
成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y).
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{X x, y Y y }
FX |Y
(x
|
y)
lim
0
P{y Y y }
lim F (x, y ) F (x, y ) 0 FY ( y ) FY ( y )
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{X xi} pi pi j , i 1,2, j 1
P{Y y j} p j pi j , j 1,2, i 1
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第三章 随机变量及其分布
由条件概率公式自然地引出如下定义：
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
正态分布的条件分布与边缘分布
正态分布的条件分布与边缘分布
本⽂总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都⽐较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy⼀书。
1 正态分布的条件分布
对于联合正态分布变量x∼N(µ,Σ)，定义精度矩阵（the precision matrix）为协⽅差矩阵的逆，即Λ≡Σ−1，做分块处理：
x=x a
x b,µ=
µa
µb,Σ=
ΣaaΣab
ΣbaΣbb
,Λ=
ΛaaΛab
ΛbaΛbb
那么，条件分布
p(x a|x b)=N(µa|b,Λ−1)
其中
µa|b=µa−Λ−1aaΛab(x b−µb)如何证明？证明的关键在于，对于正态分布的密度函数来说，它的指数项都可以写作
−1
2(x−µ)′Σ−1(x−µ)=−
1
2x′Σ−1x+x′Σ−1µ+C
其中C是常数项。
因此，只需将联合分布的密度函数展开，再将其关于x a的⼆次项、⼀次项整理出来，利⽤其系数即可得到Σ−1和µ的表达式。
2 正态分布的边缘分布
按与上⼀节同样的设定，x a的边缘分布为
p(x a)=N(x a|µa,Σaa)
如何证明？只需将原来的密度函数对x b积分即可，利⽤配⽅，积分并不困难。
或者，取A=[I,0]，则有Ax=x a∼N(Aµ,AΣA′)，展开后即可直接得到上⾯的结果。
[][][][]
Processing math: 100%。
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系1 联合分布联合分布是指两个或多个随机变量同时出现时的概率分布，通过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
它描述了两个或多个随机变量的变化趋势和相关性。
联合分布通常被用于描述两种或以上的变量之间的关系，例如X和Y的关系。
2 边缘分布边缘分布是指从联合分布中推导出来的某个随机变量的概率分布，可以通过联合分布来求出。
边缘分布描述了单个随机变量的变化趋势，与其他随机变量无关。
在具体计算过程中，可以通过边缘概率密度函数或边缘概率质量函数来描述单个随机变量的分布。
例如，在二元联合分布中，计算出X 的边缘分布，将另一个随机变量的取值范围积分掉即可。
3 条件分布条件分布是指当已知某一个或几个随机变量的取值时，另一个或其他随机变量的概率分布，是建立在已有的数据基础上的一种条件概率分布。
其计算方式为联合分布除以相关随机变量的边缘分布。
条件分布也可以用条件概率密度函数或条件概率质量函数来表示。
条件分布在实际应用中非常广泛，例如计算出当已知某一变量取值时其他变量发生的概率，可以用于决策分析、风险识别等。
4 联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系联合分布、边缘分布和条件分布是统计学中非常重要的概念，在实际应用中它们常常紧密结合在一起。
它们之间的关系可以总结为以下几个方面：1. 联合分布是由边缘分布和条件分布相结合得到的。
2. 边缘分布是从联合分布中推导出来的，而条件分布则是从边缘分布中推导出来的。
3. 联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的描述方式，但它们所描述的概率分布是一致的。
4. 在具体计算中，可以通过联合分布转换成边缘分布和条件分布进行计算。
可以根据需要，选择不同的概率分布进行计算和分析。
总之，联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的概率分布描述方式，在统计学中具有非常广泛的应用，对于数据的分析和建模具有非常重要的意义。
多元正态分布的边缘分布和条件分布
多元正态分布的边缘分布和条件分布在多元正态分布的世界里，我们就像在一个神秘的森林中探险，那里每个树木和小溪都蕴含着无穷的可能性。
说到边缘分布和条件分布，这两个概念可真是让人又爱又恨。
想象一下，边缘分布就像是森林的一片开阔地，你在这里可以看到整体的风景，虽然有些地方看起来有点模糊，但大致的轮廓还是能看得见。
比如说，当我们只关心某个变量，比如身高，边缘分布就会告诉我们这个身高在总体分布中的位置，像是给你了一张旅游地图，让你大概知道该往哪个方向去探险。
条件分布就像是你在这片开阔地里发现的一条小路。
它带你深入某个特定的区域，给你更详细的信息。
比如说，如果我们知道某人的体重，这时候条件分布就能告诉我们在这个体重的情况下，身高大概在什么范围内。
就像你在找餐馆时，朋友告诉你“这里的菜特别好吃”，你就会觉得更有方向感，心里也更踏实。
这个条件分布真的是太有用了，能让我们在复杂的数据世界中找到那条清晰的小路。
而多元正态分布的奇妙之处在于，它的边缘分布和条件分布其实都是正态分布，这一点就像是大自然的奥妙。
想象一下，你在那片神秘的森林里，无论走到哪里，都是那么的美好。
边缘分布就像是一个简单的湖泊，清澈见底，波光粼粼。
而条件分布就像是小溪边的野花，五颜六色，充满生机。
即使在复杂的环境中，这种规律性仍然让人觉得心里有底，真是有趣极了。
理解这些概念需要点时间，就像喝一杯慢慢煮的茶，越喝越有味道。
我们可以把多元正态分布想象成一个大家庭，每个变量都是这个家庭中的一员，彼此关系密切。
在这个大家庭中，边缘分布就好比是家庭成员的个人简历，简单明了。
而条件分布则更像是家庭聚会的活动安排，告诉你在特定的条件下，大家可以一起做些什么。
是不是很有趣呢？再进一步说，边缘分布和条件分布不仅是统计学里的工具，更是我们生活中的智慧。
当我们面对不确定性时，知道怎样去简化和聚焦，能够帮助我们做出更好的决策。
这就好比在超市里选水果，看到一筐苹果，你不会每个都尝试，而是依靠自己的经验和别人的推荐，选择看起来最好吃的那几个。
3.2.边缘分布_条件分布
2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布 函数,则
FX ( x) F ( x, )
称
x
f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )
2023考研概率统计全考点精讲-第三讲 多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布【考试要求】1.理解多维随机变量的概念（仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布（数一理解；数三掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的独立性与不相关性的关系.3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.考点：多维随机变量及其分布1.二维随机变量设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量为二维随机变量.2.联合分布函数的定义设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.【注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率.()X X ω=()Y Y ω=Ω),(Y X ()X ,Y x,y ()(){}{}(,),F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤∆≤≤()X ,Y X Y ()X ,Y (,)F x y ()x,y ()X ,Y ()x,y3. 联合分布函数的性质（1）分别对于变量和是单调不减的.（2）,,,,.（3）分别关于和右连续，即，.（4）随机点落在矩形域上的概率为.【例1】 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为(),F x y ，边缘分布函数为()X F x ，()Y F y ，则{},P X x Y y >>等于（ ）（A ）()1,F x y − （B ）()()1X Y F x F y −− （C ）()()(),1X Y F x y F x F y −−+ （D ）()()(),1X Y F x y F x F y ++−),(y x F x y 1),(0≤≤y x F (,)0F y −∞=(,)0F x −∞=(,)0F −∞−∞=(,)1F +∞+∞=),(y x F x y (0,)(,)F x y F x y +=(,0)(,)F x y F x y +=(){}1212,|,x y xx x y y y <≤<≤{}121222211211,(,)(,)(,)(,)0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=−−+≥考点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布1. 二维离散型随机变量若二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称是二维离散型随机变量.2. 联合分布律（1）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为，称 为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律.也可以用表格来表示和的联合分布律，如下表所示：（2）性质①； ②.【例1】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的分布律.【例2】 已知的分布律为),(Y X ),(Y X ),(Y X (),,,1,2,ijx y i j ={,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====),(Y X X Y X Y 0ij p ≥111iji j p∞∞===∑∑Y X ,),(Y X ),(Y X的分布函数为，则，. 3. 边缘分布律若二维离散型随机变量的概率分布为，则分别称， ，为关于和关于的边缘分布律.【例3】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数. 求的边缘分布律.【例4】 设随机变量101~(1,2)111424i X i −⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭，且12(0)1P X X +==，则12()P X X ==（ ）（A ）0 （B ）14 （C ）12（D ）1 4. 条件分布律设二维离散型随机变量的分布律为，(),X Y (),F x y 1,1____2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,_____2P X Y ⎧⎫≥>=⎨⎬⎩⎭),(Y X (){,},1,2,i j ij P X x Y y p i j ===={}{,}i i ij i jP X x P X x Y p p •===<+∞==∑1,2,i={}{,}j j ij j iP Y y P X Y y p p •==<+∞===∑1,2,j=),(Y X X Y Y X ,),(Y X ),(Y X {,}i j ij P X x Y y p ===(),1,2,i j =对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.同理，对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.j()1,2,j ={}0j P Y y =>{}{}{}12•========i j ij i j jj P X x ,Y y p P X x Y y ,i ,,p P Y y j Y y =X i ()1,2,i ={}0i P X x =>{}{}{}12•========i j ij j i i i P X x ,Y y p P Y y X x ,j ,,P X x p i X x =Y考点：二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度1. 二维连续型随机变量设二维随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数()f x,y ，使得对于任意,x y ，有(,)(,)d d xyF x y f u v u v −∞−∞=⎰⎰，则称()X ,Y 为二维连续型随机变量，称函数()f x,y 为二维随机变量()X ,Y 的概率密度或随机变量X 和Y 的联合概率密度.2. 联合概率密度的性质 （1）. （2）.（3）若在点处连续，则. （4）设是平面上的区域，点落在内的概率为.【例1】 设的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）. 3. 边缘概率密度若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称，为关于和关于的边缘概率密度.4. 条件概率密度设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概()0f x,y ≥()(,),1f x y dxdy F +∞+∞−∞−∞=+∞+∞=⎰⎰(,)f x y ()x,y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂G xoy ()X ,Y G {}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰()X ,Y (),01,0,Cx x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他C 1,12P X Y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭),(Y X (),f x y ()(),X f x f x y dy +∞−∞=⎰()(),Y f y f x y dx +∞−∞=⎰),(Y X X Y ),(Y X (),f x y ),(Y X Y率密度为. 若对于固定的，，则称为在的条件下的条件概率密度，记为.类似地，若对于固定的，，则称为在条件下的条件概率密度.【例2】 设的概率密度函数为，求：（1）；（2），.【例3】 设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为， （1）求和的联合概率密度； （2）求边缘概率密度.()Y f y y ()0Y f y >()(),Y f x y f y Y y =X ()()()X|Y Y f x,y f x |y f y =x ()0X f x >()()()Y|X X f x,y f y |x f x =x X =Y ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他()(),X Y f x f y ()Y|X f y |x ()X|Y f x|y ()~0,1X U X x =Y ()100Y|Xx,y f y |x x ,⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他X Y (),f x y ()Y f y考点：随机变量的独立性1.定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数. 若对于任意实数，有，则称随机变量和相互独立.当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是.当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是.【注】证明两个随机变量不独立的方法：若存在00,y x ，使得{}{}{}0000,y Y P x X P y Y x X P ≤≤≠≤≤，则与不相互独立.2.性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独立.【例1】 设随机变量与独立同分布，且，则下列等式成立的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【例2】 设的密度函数为，问和是否独立？(,)F x y ()X F x ()Y F y ),(Y X ,x y (,)()()X Y F x y F x F y =X Y ),(Y X X Y ()12ij i j p p p i,j ,••=⋅=),(Y X X Y ()()()()X Y f x,y f x f y x R,y R =∈∈X Y X Y ()(),g t h t ()(),g X h Y X Y {}{}2111===−=X P X P {}41==Y X P {}21==Y X P {}410==+Y X P {}411==XY P ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他X Y考点：常见二维随机变量的分布1.二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称在上服从均匀分布.2.二维正态分布（1）定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握）为，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记为.（2）性质 若()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρ，则 ①()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ；②和相互独立的充分必要条件是；③仍服从正态分布；④令⎩⎨⎧+=+=Y b X a V Yb X a U 2211，当02211≠b a b a 时，()V U ,服从二维正态分布.【注】若()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ且独立，则服从二维正态分布，且仍服从正态分布.【例1】 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求.),(Y X ()()1,,,0,x y Gf x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他G G A ),(Y X G ),(Y X ()()()()()()22112222211221221x x y y f x,y μμμμρσσσσρ⎧⎫⎡⎤−−−−⎪⎪=−−+⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,x y R ∈1212,,,,μμσσρ120011,,σσρ>>−<<),(Y X ()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρX Y 0ρ=()220aX bY a b ++≠,X Y (),X Y ()220aX bY a b ++≠),(Y X {}01,D x y x =<<<()x y f X Y ||【例2】 设二维随机变量，则. 【例3】（课后作业）设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布()0;1,1;0,1N ，则{0}____.P XY Y −<=()()00110X ,Y ~N ,;,;0_____X P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭考点：二维随机变量函数的分布1.Y X ,均为离散型随机变量情形一：二维离散型→一维离散型 即：()=,Z g X Y . 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.情形二：二维离散型→二维离散型 即：()()12=,,,U g X Y V g X Y =，(),U V 为二维离散型随机变量. 做法：找出U 和V 的全部可能取值，画出表格，求出相应的概率.【例1】 设二维随机变量的分布律为求的分布.【例2】 设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),(1,2,3)3P i i ξ===，又设max{,}X ξη=，min{,}Y ξη=.求(,)X Y 的联合分布律.2.X 和Y ，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量做法：有限可加性或全概率公式【例3】 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从标准正态分布，且Y 的分布律为1(0)(1)2P Y P Y ====. 求的概率密度. 3.Y X ,均为连续型随机变量设二维连续型随机变量的概率密度为.（1）若()=,Z g X Y 为离散型随机变量，求Z 的分布律. 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.),(Y X Z X Y =+Z X Y =+),(Y X (,)f x y（2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为，. 进而的概率密度为.（3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例） ①=Z X Y +的分布（和的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y +的概率密度为：()()(),,Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰. 若和相互独立，则有卷积公式：()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰.②=Z X Y −的分布（差的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y −的概率密度为：()()(),,Z f z f x x z dx f y z y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰若和相互独立，则有：()()()()()Z X Y X Y f z f x f x z dx f y z f y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰.③=Z XY 的分布（积的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z XY 的概率密度为：()11,,||||Z z z f z f x dx f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 若和相互独立，则有：()()()11||||Z X Y X Y z z f z f x f dx f f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.④=XZ Y的分布（商的分布） 设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=XZ Y的概率密度为： ()()||,Z f z y f yz y dy +∞−∞=⎰.若和相互独立，则有：()()()||Z X Y f z y f yz f y dy +∞−∞=⎰.【注】推广的卷积公式：设随机变量()Y X ,的概率密度为()y x f ,，()Y X g Z ,=.(,)Z g X Y =(,)Z g X Y =()()(),,Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰z R ∈Z ()()Z Z f z F z '=X Y X Y X Y X Y【例4】 设二维随机变量服从上的均匀分布，令，求的概率密度.【例5】 设二维随机变量的概率密度为，求的概率密度. 4.最值的分布设相互独立，它们的分布函数分别是(),1,2,,i X F x i n =，则及的分布函数分别为： ，.特别地，当相互独立且具有相同分布函数时，有，.【例6】 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则(),X Y {}10,10≤≤≤≤=y x D ||Y X Z −=Z (),X Y ()2,01,01,0,x y x y f x y −−<<<<⎧=⎨⎩其他Z X Y =+12,,,n X X X {}12max ,,,n M X X X ={}12min ,,,n N X X X =()12max ()()()n X X X F z F z F z F z =()12min 11()1()1()n X X X F z F z F z F z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦12,,,n X X X ()F x ()[]max ()nF z F z =()[]min 11()nF z F z =−−max{,}Z X Y =的分布函数为（ ）（A ）2()F x （B ）()()F x F y （C ）21[1()]F x −− （D ）[1()][1()]F x F y −−.【例7】 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，),min(Y X V =. 求V 的概率密度()v f V .。
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
概率论-边缘分布、条件分布
解: (1) 所求概率分布律为 P{ i | 2} i 0,1,2,3 于是 P{ 0 | 2} P{ 0, 2} 10 100 1
P{ 2} 210 210 10 同理 P{ 1 | 2} 60 100 3
210 210 5
(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.
(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.
0 1 2 3 p j
0
1
2
3
0
0 10/210 20/210
0 15/210 60/210 30/210
3/210 30/210 30/210 0
2/210 5/210 0
0
5/210 50/210 100/210 50/210
4
pi
则随机变量 的边缘概率分布律为
P{ xi } pij pi i 1,2,, n, j1
同理随机变量 的边缘概率分布律为
P{ y j } pij p j j 1,2,, m,
i
3、边缘分布函数
若二随机变量( , )的联合分布函数为F ( x, y) ，则称 随机变量 或 的分布函数 F ( x) 或F ( y) 为F ( x, y) 的 边缘分布函数。
类似地，当 pi 0时，在 xi 条件下 的条件分布律为
P(
yj
|
xi )
P( xi , y j ) P( xi )
pij pi
j 1,2,
续例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现
从这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 及二等品件 数 的联合分布列. 求随机变量 (或 )的分布列.
0
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系在概率论与数理统计中，联合分布、边缘分布及条件分布是重要的概念，它们描述了多个随机变量之间的关系。
联合分布指的是多个随机变量同时取某些值的概率分布；边缘分布是指某个或某些随机变量的概率分布；条件分布则是在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其余随机变量的概率分布。
联合分布可以通过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
在二维情况下，联合概率密度函数可以用于连续型随机变量，联合概率质量函数则用于离散型随机变量。
联合分布可以通过计算随机变量同时满足某些条件的概率来获得。
边缘分布是指从联合分布中抽取某个或某些随机变量的概率分布。
通过对联合概率密度函数或联合概率质量函数进行边缘化，可以得到边缘分布。
边缘分布描述了某个或某些随机变量的单独行为，而忽略了其他随机变量的影响。
条件分布是指在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其他随机变量的概率分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布之间的关系求得。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布为P(X,Y)，边缘分布分别为P(X)和P(Y)。
那么在给定X=x的条件下，随机变量Y的条件分布为P(Y|X=x)。
条件分布可以用于进行概率推断和预测。
联合分布、边缘分布及条件分布之间存在着紧密的关系。
给定一个联合分布，可以通过边缘化得到边缘分布。
而给定一个联合分布和某些随机变量的取值，可以通过条件概率的定义得到条件分布。
边缘分布和条件分布是联合分布的一种特殊情况。
在实际问题中，联合分布、边缘分布及条件分布的概念经常被使用。
例如，在统计建模中，我们常常需要研究多个变量之间的关系，通过分析它们的联合分布可以得到它们之间的相互作用。
而在机器学习领域，条件概率和条件分布被广泛应用于分类、回归等任务中。
联合分布、边缘分布及条件分布是概率论与数理统计中重要的概念，它们描述了多个随机变量之间的关系。
联合分布描述了多个随机变量同时取某些值的概率分布，边缘分布描述了某个或某些随机变量的概率分布，条件分布描述了在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其他随机变量的概率分布。
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f (x, y)dx
x
f (x, y) dx
fY ( y)
fY ( y)
定义：设(X ,Y )的概率密度为f (x, y), fY ( y)为Y的边缘密度
若对固定的y,
fY ( y)
0, 则称
f (x, y) 为在Y fY ( y)
y的条件下X
的条件概率密度，记为
f (x, y) f X |Y (x | y) A fY ( y)
第三章 多维随机变量及其分布 第二次课
•边缘分布 •条件分布
1
§2 边缘分布
1.边缘分布函数
设 二维随机变量（X,Ｙ)的分布函数为 F(x, y) 分量X、Ｙ也是随机变量，它们的分布函数FX (x), FY ( y) 分别称为（X,Ｙ)关于X、Ｙ的边缘分布函数.
边缘分布函数与联合分布函数的关系
FX (x) P{X≤x} P{X≤x,Y≤ } F (x, )
其它 0,
其它
19
1, 1 y2
1 y2 x
1 y2
0,
其它
当| y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
17
例：设数X 在区间(0,1)上随机取值，当观察到
X x(0 x 1) 时，数Ｙ 在区间 (x,1) 上随机取
值，求Y的概率密度fY ( y).
解：
1, 0 x 1
fX (x) 0, 其它
对x (0 x 1)
fY | X
(y
|
x)
1 1
x
,
x
y
1
0, 其它
18
因此，（X,Ｙ）的联合密度
f
(x,
y)
fY|X ( y |
x) fX (x)
1
1
x
,
0
x
y
1
0, 其它
所以，
fY ( y) f (x, y)dx
y1 dx,
0 1 x
0,
0 y 1 ln(1 y), 0 y 1
Y0
X
1
2 P{X i}
0 0.1 0.3 0.1 0.5
1 0.2 0.2 0.1 0.5
P{Y j} 0.3 0.5 0.2 1
即有边缘分布率：
X0
1
0.5 0.5
Y0
12
0.3 0.5 0.2
5
3.边缘概率密度
设二维连续型随机变量（X,Ｙ）的密度为 f (x, y)
FX (x) F(x, )
同样，有
fY|X ( y | x) A
f (x, y) fX (x)
14
并称 FX|Y (x | y) A P{X ≤x | Y y} A
x
f X |Y (x | y)dx
为在 Y y条件下的条件分布函数。
同样，有
FY|X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A
y
fY|X ( y | x)dy
x
f (x, y)dydx
此式说明：X 是连续型随机变量，其概率密度
fX (x) f (x, y)dy
同理
fY ( y) f (x, y)dx
并分别称fX (x), fY ( y)为X ,Y的边缘概率密度
6
例：设（X,Ｙ）的概率密度为
6, x2≤y≤x
f (x, y) 0,
其它
即
FX (x) F(x, )
FY ( y) F(, y)
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自
的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1, 2,L
则关于X 的边缘分布率
P{X xi} P{X xi ,Y y1} P{X xi ,Y y2} L
描述二维随机变量（X,Ｙ）整体的统计规律用联
合分布；描述单个分量的统计规律用边缘分布， 当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个 分量的统计规律，就是所谓的条件分布.
1.离散型
定义：设（X,Ｙ）是二维离散型随机变量，对 于固定的j ，若 P{Y y j} 0, 则称
P{X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y y j} P{Y y j}
f (x, y) 0, 其它
y 1
1 y2
y
O
fY ( y) f (x, y)dx
1
1 1 y2
2
1 y2
dx
0,
1 y2 , 1≤y≤1 其它
1 y2
x
16
于是，当－1 y 1时有
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
1/ (2 / ) 1 y2
2
pij pgj
,i 1, 2,L
9
为在 Y y j条件下X的 条件分布率.
同样，对于固定的 i,若P{X xi} 0, 则称
P{Y
yj
|
X
xi}
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij , pig
j
1, 2,L
为在X xi条件下Y的 条件分布率.
条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上 “另一个随机变量取定某值”这个条件.
P{X 1| Y 0} P{X 1,Y 0} 0.2 2 P{Y 0} 0.3 3
11
X k 0
1
P{X k | Y 0} 1/3
2/3
同样可得
Y k 0
1
2
P{Y k | X 1} 2/5
2/5
1/5
12
2.连续型
对连续型（X,Ｙ），考虑 Y y时, ( y为一固定的数)
7
例： 设(X
,Y
)
~
N
(1,
2 ,12
,
2 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ), 求X
,Y的边缘密度.
解：
fX (x) f (x, y)dy
1
e
(
x 1 212
)2
2 1
所以
X ~ N (1,12 )
同理
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
从以上讨论可知
联合分布可以决定边缘分布；一般情况下，边 缘分布不能决定联合分布.
8
§3 条件分布
求边缘概率密度fX (x), fY ( y). y
解：
fX (x)
f (x, y)dy
x
6dy, 0
x2
x 1
0,
其它
yx
6(x x2 ), 0 x 1
0,
其它
o
y x2
x
fY ( y)
f
(
x,
y)dx
y
y
6dx,0
y
1
6(
0,
其它 0,
y y), 0 y 1 其它
X 的统计规律，由于P{Y y} 0, 不能直接用条件概
率 P{X≤x | Y y} 来定义。
考虑P{ X ≤x
|
y≤Y
y
}
P{X≤x, y≤Y y
P{y≤Y y }
}
x
y y
f (x, y)dydx
y
y fY ( y)dy
当ε很小，在某些条件下有
13
x
P{X≤x | y Y≤y }
pi1 pi2 L pij A pig i 1, 2,L j 1
3
即有
P{X xi} pig, P{Y y j} pgj ,
i 1, 2,L j 1, 2,L
例：设（X,Ｙ)的联合分布率为
Y0
1
2
X
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求X、Ｙ的边缘分布率.
4
解： X、Ｙ的联合、边缘分布率如下表
从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范 性.
10
例：设（X,Ｙ）的联合分布率为
Y
X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求在Ｙ＝0的条件下，X 的条件分布率；X＝1 的条件下Ｙ的条件分布率.
解： P{X 0 | Y 0} P{X 0,Y 0} 0.1 1
P{Y 0} 0.3 3
f (x, y)
将条件密度 fX|Y (x | y) A fY ( y) 与条件概率 P(A | B) P(AB) 对照，有相似之处。
P(B)
15
例：设(X ,Y )在圆域x2 y2≤1上服从均匀分布， 求条件概率密度fX|Y (x | y).
解： (X ,Y )的概率密度
1/ , x2 y2≤1