边缘分布和条件分布

从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范 性.
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例：设（X,Ｙ）的联合分布率为
Y
X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求在Ｙ＝0的条件下，X 的条件分布率；X＝1 的条件下Ｙ的条件分布率.
解： P{X 0 | Y 0} P{X 0,Y 0} 0.1 1
P{Y 0} 0.3 3
第三章 多维随机变量及其分布 第二次课
•边缘分布 •条件分布
1
§2 边缘分布
1.边缘分布函数
设 二维随机变量（X,Ｙ)的分布函数为 F(x, y) 分量X、Ｙ也是随机变量，它们的分布函数FX (x), FY ( y) 分别称为（X,Ｙ)关于X、Ｙ的边缘分布函数.
边缘分布函数与联合分布函数的关系
FX (x) P{X≤x} P{X≤x,Y≤ } F (x, )
同样，有
fY|X ( y | x) A
f (x, y) fX (x)
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并称 FX|Y (x | y) A P{X ≤x | Y y} A
x
f X |Y (x | y)dx
为在 Y y条件下的条件分布函数。
同样，有
FY|X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A
y
fY|X ( y | x)dy
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例： 设(X
,Y
)
~
N
(1,
2 ,12
,
2 2
,
), 求X
,Y的边缘密度.
解：
fX (x) f (x, y)dy
1
e
(
x 1 212
)2
2 1
所以
X ~ N (1,12 )
同理
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
从以上讨论可知
联合分布可以决定边缘分布；一般情况下，边 缘分布不能决定联合分布.
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§3 条件分布
即
FX (x) F(x, )
FY ( y) F(, y)
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自
的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1, 2,L
则关于X 的边缘分布率
P{X xi} P{X xi ,Y y1} P{X xi ,Y y2} L
pij pgj
,i 1, 2,L
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为在 Y y j条件下X的 条件分布率.
同样，对于固定的 i,若P{X xi} 0, 则称
P{Y
yj
|
X
xi}
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij , pig
j
1, 2,L
为在X xi条件下Y的 条件分布率.
条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上 “另一个随机变量取定某值”这个条件.
x
f (x, y)dydx
此式说明：X 是连续型随机变量，其概率密度
fX (x) f (x, y)dy
同理
fY ( y) f (x, y)dx
并分别称fX (x), fY ( y)为X ,Y的边缘概率密度
6
例：设（X,Ｙ）的概率密度为
6, x2≤y≤x
f (x, y) 0,
其它
描述二维随机变量（X,Ｙ）整体的统计规律用联
合分布；描述单个分量的统计规律用边缘分布， 当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个 分量的统计规律，就是所谓的条件分布.
1.离散型
定义：设（X,Ｙ）是二维离散型随机变量，对 于固定的j ，若 P{Y y j} 0, 则称
P{X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y y j} P{Y y j}
求边缘概率密度fX (x), fY ( y). y
解：
fX (x)
f (x, y)dy
x
6dy, 0
x2
x 1
0,
其它
yx
6(x x2 ), 0 x 1
0,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其它
o
y x2
x
fY ( y)
f
(
x,
y)dx
y
y
6dx,0
y
1
6(
0,
其它 0,
y y), 0 y 1 其它
pi1 pi2 L pij A pig i 1, 2,L j 1
3
即有
P{X xi} pig, P{Y y j} pgj ,
i 1, 2,L j 1, 2,L
例：设（X,Ｙ)的联合分布率为
Y0
1
2
X
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求X、Ｙ的边缘分布率.
4
解： X、Ｙ的联合、边缘分布率如下表
X 的统计规律，由于P{Y y} 0, 不能直接用条件概
率 P{X≤x | Y y} 来定义。
考虑P{ X ≤x
|
y≤Y
y
}
P{X≤x, y≤Y y
P{y≤Y y }
}
x
y y
f (x, y)dydx
y
y fY ( y)dy
当ε很小，在某些条件下有
13
x
P{X≤x | y Y≤y }
P{X 1| Y 0} P{X 1,Y 0} 0.2 2 P{Y 0} 0.3 3
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X k 0
1
P{X k | Y 0} 1/3
2/3
同样可得
Y k 0
1
2
P{Y k | X 1} 2/5
2/5
1/5
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2.连续型
对连续型（X,Ｙ），考虑 Y y时, ( y为一固定的数)
1, 1 y2
1 y2 x
1 y2
0,
其它
当| y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
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例：设数X 在区间(0,1)上随机取值，当观察到
X x(0 x 1) 时，数Ｙ 在区间 (x,1) 上随机取
值，求Y的概率密度fY ( y).
解：
1, 0 x 1
fX (x) 0, 其它
f (x, y)
将条件密度 fX|Y (x | y) A fY ( y) 与条件概率 P(A | B) P(AB) 对照，有相似之处。
P(B)
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例：设(X ,Y )在圆域x2 y2≤1上服从均匀分布， 求条件概率密度fX|Y (x | y).
解： (X ,Y )的概率密度
1/ , x2 y2≤1
f (x, y)dx
x
f (x, y) dx
fY ( y)
fY ( y)
定义：设(X ,Y )的概率密度为f (x, y), fY ( y)为Y的边缘密度
若对固定的y,
fY ( y)
0, 则称
f (x, y) 为在Y fY ( y)
y的条件下X
的条件概率密度，记为
f (x, y) f X |Y (x | y) A fY ( y)
其它 0,
其它
19
f (x, y) 0, 其它
y 1
1 y2
y
O
fY ( y) f (x, y)dx
1
1 1 y2
2
1 y2
dx
0,
1 y2 , 1≤y≤1 其它
1 y2
x
16
于是，当－1 y 1时有
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
1/ (2 / ) 1 y2
2
Y0
X
1
2 P{X i}
0 0.1 0.3 0.1 0.5
1 0.2 0.2 0.1 0.5
P{Y j} 0.3 0.5 0.2 1
即有边缘分布率：
X0
1
0.5 0.5
Y0
12
0.3 0.5 0.2
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3.边缘概率密度
设二维连续型随机变量（X,Ｙ）的密度为 f (x, y)
FX (x) F(x, )
对x (0 x 1)
fY | X
(y
|
x)
1 1
x
,
x
y
1
0, 其它
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因此，（X,Ｙ）的联合密度
f
(x,
y)
fY|X ( y |
x) fX (x)
1
1
x
,
0
x
y
1
0, 其它
所以，
fY ( y) f (x, y)dx
y1 dx,
0 1 x
0,
0 y 1 ln(1 y), 0 y 1