成本最小化

成本最小化 问题
老驴厂商使用两种投入进行生产。 生产函数是
y = f(x1,x2). 将产出水平y 0 视作给定 当投入价格w1和w2给定，投入组合
(x1,x2)的成本是 w1x1 + w2x2.
成本最小化 问题
对于给定的w1, w2和y，厂商的成本最小 化问题是
min w1x1 w2x2
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y

(
x*1
)1/ 3

2w1 w2
x*1
2/3


2w1 w2

2/3
x*1.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
第二十章
成本最小化
成本最小化
一个厂商是成本最小化者（costminimizer），如果对于任意给定产出水 平y 0 ，它总是尽可能使用最小的总成 本。
c(y)代表厂商为制造y单位产出可以达到 的最小的总成本。
c(y)是厂商的总成本函数。
成本最小化
当厂商面临给定的投入价格w = (w1,w2,…,wn) 时，总成本可以写作 c(w1,…,wn,y).
即
w1x1 w2x2 c
x2


w1 w2
x1

c w2
.
斜率是- w1/w2.
等成本曲线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
等成本曲线
x2
斜率= -w1/w2.
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
y’单位产出的等产量线
.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y

(x*1
)1/
3

2w1 w2
x*1
2/3
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)等成本线斜率= 等产量线斜率
即
w1 TRS MP1
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
x2*
f(x1,x2) y’
x1*
x1
成本最小化的科布-道格拉斯例子
厂商的科布-道格拉斯生产函数是
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
投入价格是w1和w2. 厂商的条件投入需求函数是什么？
成本最小化的科布-道格拉斯例子
投入组合(x1*,x2*) 使得 生产y单位产出的成本最小化：
(a)
y (x*1)1/3(x*2 )2/3
且
(b)
w1 w2



y/ y/
x1 x2


(1 (2
/ /
3)(x*1 )2/3(x*2 )2/ 3)(x*1 )1/3(x*2 )1/


w2 2w1

2/ 3
y,
源自文库

2w1 w2

1/
3 y
.
条件投入需求曲线
x2 固定的w1和w2.
y y
y x1
条件投入需求曲线
x*1


w2 2w1

2/3
y
x*2

2w1 w2

w2 2w1

2/ 3
y


2ww21
1/
3
y
是厂商对投入2的条件需求
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
生产y单位产出最便宜的投入组合是
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)

成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y

(
x*1
)1/ 3

2w1 w2
x*1
2/3


2w1 w2

2/3
x*1.
故
x*1


w2 2w1

2/3
y 是厂商对投入1的条件需求
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
由
x*2

2w1 w2
x*1
以及
3 3


x*2 2x*1
.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
x1 ,x 2 0
s.t. f (x1, x2 ) y.
成本最小化 问题
最小成本投入组合中的x1*(w1,w2,y)和 x1*(w1,w2,y) 是厂商对投入1和2的条件需 求（条件需求）
生产y单位产出的（最小的可能）总成本产 出是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y 且
(b)等成本线斜率= 等产量线斜率
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y 且
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
条件投入需求
给定w1, w2和y， 最小成本 投入组合是 如何确定的？
总成本函数是如何计算？
等成本曲线
包含相同成本的投入组合的曲线就是等 成本曲线。
例如，给定w1和w2， $100等成本线方 程为
w1x1 w2x2 100.
等成本曲线
一般地，给定w1和w2，等成本线的方程 为