数值计算基础实验指导书.doc

数值计算基础实验指导书2012年目录实验一直接法解线性方程组的 (1)实验二插值方法 (4)实验三数值积分 (6)实验四常微分方程的数值解 (8)实验五迭代法解线性方程组与非线性方程 (10)实验一 直接法解线性方程组一、实验目的掌握列选主元消去法与追赶法解线性方程组。

二、实验内容分别写出Guass 列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

1、用Guass 列选主元消去法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--5.58.37.33.47.11.85.16.93.51.53.25.2321x x x2、用追赶法求解方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----000010210000210000210000210000254321x x x x x 三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理1、Guass 列选主元消去法 对于AX =B1）、消元过程：将（A|B ）进行变换为)~|~(B A ，其中A ~是上三角矩阵。

即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn nnn nnn n nn b a b a b a a b a a a b a a a b a a a0010122111221222221111211 k 从1到n-1a 、 列选主元选取第k 列中绝对值最大元素ik ni k a ≤≤max 作为主元。

b 、 换行ik ij kj b b n k j a a ⇔+=⇔,,1,c 、 归一化 kkk k kj kk kj b a b n k j a a a ⇒+=⇒/,,1,/d 、 消元nk i b b a b n k j n k i a a a a i k ik i ij kj ik ij ,,1,,,1;,,1, +=⇒-+=+=⇒-2）、回代过程：由)~|~(B A 解出11,,,x x x n n -。

1,2,,1,/1-=⇒-⇒∑+=n k x x a b x a b k nk j j kj k nnn n2、追赶法 线性方程组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n n n n n nn n n f f f f f x x x x x a b c a b c a b c a b c a 132********33322211做LU 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1111,12133221n n n R L βββαγαγαγα分解公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-====-)1,,2,1(),,3,2(,),,3,2(111n i c n i b b n i a i i i i i i i i i αββγααγ 则⎩⎨⎧==⇒=⇒=y Ux fLy f LUx f Ax 回代公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-),,3,2(1111n i y f y f y i i i i i αγα⎩⎨⎧--=-==+)1,,2,1(1n n i x y x y x i i i i n n β五、实验步骤1、理解并掌握列选主元消去法与追赶法；2、画出列选主元消去法与追赶法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。

八、思考题若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。

实验二 插值方法一、实验目的掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

二、实验内容分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

已知下列函数表求x=0.5635时的函数值。

三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理已知n 个插值节点的函数值，则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值。

拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：1、Lagrange 插值公式)()(...)()()(01100x l y y x l y x l y x l x L nk k k n n n ∑==+++=∏≠=+-+---=----------=n kj j jk j n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 011101110)())(())(()())(())(()( 2、Newton 插值公式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N五、实验步骤1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过。

六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项Newton插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商。

八、思考题比较Lagrange插值法与Newton插值法的异同。

实验三 数值积分一、实验目的掌握复化梯形法与龙贝格法计算定积分。

二、实验内容分别写出变步长梯形法与Romberge 法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

求00001.0,sin 10≤⎰εdx x x。

三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理通过变步长梯形法与龙贝格法，我们只要知道已知n 个求积节点的函数值，则可由相应的公式求出该函数的积分值，从而不需要求该函数的原函数。

变步长梯形法与龙贝格法公式如下：1、变步长梯形法∑∑-=-=+++=+=11101)]()(2)([2)]()([2n i i n i i i n b f x f a f hx f x f hT∑-=++=12/12)(221n i i n nx f h T T用ε≤-n n T T 2来控制精度 2、龙贝格法14)1()(4)1(11---=---m m m m m k T k T k T用ε≤--)1()0(1m m T T 来控制精度五、实验步骤1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项在⎰10sin dx x x积分中，被积函数在x=0点函数值为1，对该点在程序设计中应注意对其的定义。

八、思考题使用复化梯形法与复化Simpson 法来计算该问题有何缺点？实验四 常微分方程的数值解一、实验目的掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。

二、实验内容分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

求⎩⎨⎧≤≤=-=')50(2)0(2x y xy y 步长h=0.25。

三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理常微分方程的数值解主要采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前推进，在单步法中改进欧拉法和四阶龙格-库塔法公式如下：1、改进欧拉法),(1n n n n y x hf y y +=+)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y2、四阶龙格-库塔法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n nn n n n n 五、实验步骤1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的公式；2、画出改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项⎩⎨⎧≤≤=-=')50(2)0(2x y xy y 的精确解为)1/(22x y +=，通过调整步长，观察结果的精度的变化 八、思考题如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。

实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程一、实验目的掌握高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组与牛顿迭代法求方程根。

二、实验内容分别写出高斯-塞德尔迭代法与牛顿迭代法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一个方程的求根，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

1、高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----017413231511222315921274321x x x x 2、用牛顿迭代法求方程013=--x x 的近似根，00001.0≤ε，牛顿法的初始值为1。

三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理二分法通过将含根区间逐步二分，从而将根的区间缩小到容许误差范围。