直线与圆锥曲线的交点个数问题

直线与圆锥曲线的交点个数问题

直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。

一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求

设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩

，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：

注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。 例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数．

解：联立方程2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩

，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x =．

当1k ≠±时，22248(1)84k k k ∆=+-=-，

若0∆>，则22k -<<；若0∆=，则2k =±；若0∆<，则2k <-或2k >． 综上所述，当2k =±时，直线与双曲线相切于一点；1k =±时，直线与双曲线相交

于一

点；k<

或k>时，直线与双曲线没有公共点

；1k

<<或11

k

-<<

或1

k

<<-时，直线与双曲线有两个公共点．

点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程

例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)

又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB=

2

1

2

1

x

x

y

y

-

-

=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。

三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数

例3、若直线1

y kx

=+与焦点在x轴上的椭圆

22

1

5

x y

m

+=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05

m

<<．

由22

1

1

5

y kx

x y

m

=+

⎧

⎪

⎨

+=

⎪

⎩

，

，

得22

(5)105(1)0

m k x kx m

+++-=．

又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0

∆≥对一切实数k成立，

即22

(10)4(5)5(1)0

k n k m

-⨯+⨯-=，亦即2

51

k m

-

≥对一切实数k成立．10

m

-

∴≤，即1

m≥．故m的取值范围为[)

15

m∈，．

解法二：由于直线过定点(01)

，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01)

，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05

m

<<．

又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)

，必在椭圆内部或边界上．22

01

1

5m

+

∴≤，即1

m≥．故m的取值范围为[)

15

m∈，．

点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷．

总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法

的运用。

练一练：

1．直线与双曲线的右支交于不同的两点A 、B ，求实数k 的取

值范围。

解：将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程后，整理得。①

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故 ，解得k 的取值范围为

2．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求实数a 的值．

解：联立方程2(1)1y a x y ax =+-⎧⎨=⎩

，， （1）当0a =时，此方程组恰有一解为10.x y =⎧⎨=⎩

， （2）当0a ≠时，消去x ，整理得2110a y y a

+--=． 若1a =-，则方程组恰有一解为11.x y =-⎧⎨=-⎩

， 若1a ≠-，令0∆=，可解得45

a =-． 所以，当4015

a =--，，时，原直线与曲线恰有一个公共点． 3．试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称.