直线与圆锥曲线的交点个数问题
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法作者：黄志宁来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期点、直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，怎样才能学好这部分知识，我认为必须掌握好如何判别过点的直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法.通过本人多年的研究，总结出求过点作直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线方程的解法必须同时具备以下三个步骤：第一步是确定点与圆锥曲线的位置关系，确定直线的条数；第二步是判断直线与圆锥曲线的位置关系；第三步是确定直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况.以下针对三种不同类型的题型进行探讨一、直线与圆或椭圆直线与圆或椭圆有且仅有一个交点，只有相切时才成立.（注意利用判别式为零或斜率不存在的情况）针对点P（m,n）与椭圆＞b＞0)时，①点P在椭圆内，不存在；②点P在椭圆上，只有一条直线，即；③点P在椭圆外时，有两条直线且为切线，利用点斜式求出斜率即可，注意切线垂直于x 轴时的情况【例1】求过点P（0,4）与椭圆有且仅有一个交点的直线方程解：把点P代入椭圆方程的左边得016+169=169＞1，∴点P在椭圆外，有两条直线与椭圆相切设切线方程为：y-4=kx，即y=kx+4，代入椭圆方程得，(9+-∴即∴切线方程为y=±74x+4,所求的直线方程为二、直线与双曲线直线与双曲线有且仅有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行且与双曲线相交针对点P（m，n）与双曲线-而言（1）当P点在双曲线内时，能作两条分别与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点，此时，可以利用点斜式求出直线方程（2）当P点在双曲线上时，能作出三条直线，其中两条为与渐近线平行的交线，一条为双曲线的切线，此时，可以利用点斜式求出交线方程.切线方程利用点斜式求出或用公式-求出（注意当P点在双曲线顶点时切线方程x=a或x=-a）（3）当P点在双曲线外时：①点P只在一条渐近线上时，能作出两条，其中一条为切线（注意斜率不存在的切线），另一条为平行于另一条渐近线的交线②点P在两条渐近线的交点上时，不能作出直线与双曲线有且只有一个交点③点P不在渐近线上时，能作四条，其中两条是切线，两条是与渐近线平行的直线，此时切线可以利用点斜式求出直线方程（注意斜率不存在的切线）【例2】已知双曲线方程-，针对P（m，n）所在平面的位置，求出过点P引直线与双曲线有且只有一个交点的直线方程.①P(3,0)；②P(1,1)；③P(0,0)；④解：选②.把点P代入双曲线方程的左边得14-14=0＜1，则点P在双曲线外双曲线的渐近线方程为：y=±x，可知点P在双曲线的一条渐近线上,则能作出两条满足条件的直线，其中一条为切线，另一条为平行于另一条渐近线的交线交线为：y-1=-(x-1),即y=-设切线为：y-1=k(x-1)，即y=kx+(1-k)，代入双曲线方程得：-［kx+(1-k)］--2k(1-k)x--2k+5)=0.当(1-时,即k=1或k=-1，此时平行于渐近线的直线为y=x(不合题意舍去)或y=-x+2；当(1-时，则由［2k(1-k)］--2k+5)=0得-5=0，则k=-53,k=1(不合题意舍去切线方程为：y=-53x+83.综合所求直线方程为：y=-53x+83或y=-三、直线与抛物线直线与抛物线有且仅有一个交点的两种可能分别是相切和直线平行于抛物线的对称轴针对点Q(m,n)与抛物线而言：（1）当点Q（m,n）在抛物线内时，有且只有一条直线，即y=n，平行于对称轴；（2）当点Q(m,n)在抛物线上时，有两条，其中一条为切线，一条为交线，且交线为y=n.切线时，利用点斜式就可以求出切线方程，或利用公式即：，或利用求导数的方法求斜率；（3）当点Q(m,n)在抛物线外时，有三条.其中两条为切线，一条为交线，交线的方程为y=n，切线时，注意点Q是否在y轴上，利用点斜式就可以求出切线方程【例3】已知抛物线，过点Q（2，3）作一直线与抛物线有且只有一个交点，求这条直线的方程解：把点Q的坐标代入抛物线方程得：左边右边∴左边>右边,∴点Q在抛物线外∴过点Q可以作三条直线与抛物线有且只有一个交点，其中有两条是切线及一条是交线∵Q点不在y轴上，∴交线为y=3，与抛物线有且只有一个交点将切线设为：y-3=k(x-2)，则y=［kx+(3-2k)］，代入抛物线方程得:［kx+(3-2k)］，即--3k+1)x+(3-∵k≠0，∴Δ＝---即-6k+1=0,则k=34±54,故切线为y-3=(34±54)(x-2).综合所求直线方程为：y=3，y-3=(34±54)(x-综合上述过一点引直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况，首先是判断点与圆锥曲线的位置关系，其次判断能引几条与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线，最后利用点斜式设切线方程，解一元二次方程组，二次项系数为零或判别式为零求斜率，从而求出直线方程由于点、直线与圆锥曲线的位置关系与其他知识联系既多又广，因此，它的题型多而又活，常考常新.所以，掌握好点、直线与圆锥曲线的位置关系是很有必要的.希望同学们可以根据上述内容，寻找到适合自己的解决点、直线与圆锥曲线的位置关系的判别方法(责任编辑金铃）。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
圆锥曲线与直线相交问题的求法
个 或２ 个． 总结 ： 在 数 学 中数 与 形 作 为 基 本 的 研 究 对 象 在 很 多 时 候 是 密不 可分 的 ．那 么 我们 常 用 数 形 结 合 的 方 法 解 决 数 学 中 的 些问题 ， 它 不 仅 可 以 减 少 计 算量 ， 而 且 是解 题 的一 条 捷 径 ． 三、 判 别 式 法
２５
｛ ｘ ＋ 喾 ０ ， 消 元 （ ｘ 或 ｙ ） ， 若 消 去 ｙ 得 ａ 。 ｘ ＋ ｂ 。 ｘ ＋ ｃ ， ＝ ｏ ．
（ １ ） 若ａ ． ＝ ０ ， 此 时 圆 锥 曲线 不 是 椭 圆． 当 圆锥 曲 线 为 双 曲 线 时， 直线ｌ 与 双 曲 线 渐进 线 平 行或 重 合 ； 当 圆 锥 曲线 是 抛 物 线 时， 直线 ｌ 与 抛 物 线 的 对 称 轴平 行 或 重 合 ．
一
＼ ／
，
例３ ： 求 经 过 点 Ｍ（ ０ ， ２ ） 并 且 与抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点
的直线方程． 解： 设 直 线 的斜 率 为 ｋ 当ｋ ＝ ０ 时， 直 线 方 程 为ｖ ＝ ２； 当ｋ ≠０ 时， 设 直 线 方 程 是ｘ ＝ ｍ（ ｙ 一 ２ ）
一
０ ６ ５ ０ ０ ０ ）
联立 ｛２
【 Ｙ＝ ８ ｘ
得： ｖ ＿ ＿ ８ ｍ ｙ ＋ ｌ ６ ｍ ： ０ 。
’
＇
、
Ｃ： ＋ 一 －＝ Ｙ ｌ 和直 线 ｌ ： ２ ｘ — ｙ ＋ ４ ＝ ０ 的 交 点 坐 标 为
解： 联 立直 线 方 程 与 椭 圆 方 程得
Ｙ ． ） ， Ｂ （ Ｘ ， ， Ｙ ， ） ， 则 弦长
高中数学 同步教学 直线与圆锥曲线的交点
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
高三数学—选修2-1直线与圆锥曲线交点问题—刘剑敏-古城中学
直线与圆锥曲线交点问题北京市古城中学 刘剑敏【案例描述】直线与圆锥曲线相交问题是高考的重要问题，C 级要求。
下面，通过例题进行描述。
例题：求过定点P(0,1)且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线的方程。
错解1、设所求直线方程为y =kx +1由方程组{y =kx +1y 2=2x,消元得 k 2x 2+2(k −1)x +1=0若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k −1)2−4k 2=0所以k =12 即所求直线的方程为y =12x +1错解2、(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x =0 由{x =0y 2=2x 得{x =0y =0即直线x =0与抛物线只有一个交点。
(2)若直线斜率存在，设为k ，则直线方程是y =kx +1,由方程组{y =kx +1y 2=2x消元得k 2x 2+2(k −1)x +1=0因为直线与抛物线只有一个公共点所以∆=4(k −1)2−4k 2,即k =12,即直线方程为y =12x +1。
综上(1)、(2)可知，所求直线方程为y =12x +1和x =0.【诊断分析】从上面的解法的分析中，我们会发现错解一有两处错误：○1是遗漏直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线。
○2方程组消元后的方程k 2x 2+2(k −1)x +1=0被认定为二次方程，因而由直线与抛物线只有一个公共点得出∆=0.事实上，方程的二次项系数为含字母的参数k 2,方程不一定为二次方程。
当k=0时，方程式一次方程，此时方程组只有一解。
错解二注意了直线斜率不存在的情况，但与错解一一样，没有注意到方程k 2x 2+2(k −1)x +1=0中当k =0时方程为一次方程。
【策略步骤】实际上，上面两种解法都有错误：(1) 若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x =0，且直线斜率不存在的情况要在设方程之前就要讨论，此时直线x =0与抛物线只有一个公共点(0,0).(2) 若直线斜率存在，设为k ，则过点P(0,1)的直线方程为y =kx +1由方程组{y =kx +1y 2=2x消元得 k 2x 2+2(k −1)x +1=0 当k=0时，解得x =12,y =1,直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k−1)2−4k2=0.所以k=12x+1。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。
在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。
下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。
一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。
2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。
3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。
二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。
2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。
3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。
三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。
2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。
3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。
4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。
通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。
这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。
直线与圆锥曲线的位置关系的判断
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)。
高三数学直线与圆锥曲线的位置关系——交点个数
当 0 即 5 m 5 时,直线与椭圆相交; 当 0 即 m 5 时,直线与椭圆相交; 当 0 即 m 5或 m 5 时,直线与椭圆相交.
归纳总结：把直线与椭圆的位置关系(或交点数)， 操作程序总结如下流程图1.
1 k 2 0 要使直线与双曲线无公共点,则需: 0 5 5 解得: k 或 k ； 2 2
1 k 2 0 要使直线与双曲线有两个不同的公共点,则需: 0 5 5 k 解得: 且 k 1； 2 2 2 要使直线与双曲线只有一个公共点,则需: 1 k 0 或
的公共点?只有一个公共点?两个公共点分别在双曲线的 左右两支上?两个公共点在双曲线的左支上?
y kx 1 2 2 得 : 1 k x 2kx 5 0 解:联立 2 2 x y 4
则 2k 2 4 5 1 k 2 16k 2 20
y 1 k x 2 2 由 2 得: ky 4 y 42k 1 0 y 4x
当k 0时,方程化为: - 4 y 4 0,可得: y 1.
1 1. 则直线与抛物线仅有一个公共点 ， 4
当k 0时,方程:ky 2 4 y 42k 1 0为一元二次方程.
直线与圆锥曲线的位置关系 ——交点个数问题
教学目标
1.知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系：相离、相 切、相交，及其判定，理解其不同位置关系下的交点个数.
2.过程与方法：通过体验判断直线与圆锥曲线的位置关系的
过程，感受数形结合的基本思想.
3.情感、态度与价值观：能用坐标法解决一些简单的直线与
圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学和物理学领域。
而在解决圆锥曲线问题中，焦点定理是一种常用的解题技巧。
本文将介绍焦点定理的定义，详细说明焦点与直线的距离关系，并用实例说明如何利用这个关系解决圆锥曲线问题。
一、焦点定理的定义焦点定理是圆锥曲线研究中的一个重要定理，用来描述焦点与直线之间的距离关系。
根据焦点定理，对于给定的焦点和一条直线，如果该直线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离比相等，那么这条直线必定是圆锥曲线的一条切线。
二、焦点与直线的距离关系在圆锥曲线问题中，焦点与直线之间的距离关系可以通过几何方法求解。
首先，我们假设给定的焦点为F，直线为l，圆锥曲线为C。
根据焦点定理的定义，我们可以得出以下结论：1. 对于焦点F和直线l上的任意一点P，如果焦点F到点P的距离PF与直线l的距离d的比等于一个常数e，即PF/d = e，那么直线l必定是圆锥曲线C的一条切线。
2. 如果e = 1，那么直线l与圆锥曲线C的交点个数为1，即直线l 与圆锥曲线C相切。
3. 如果e > 1，那么直线l与圆锥曲线C没有交点，即直线l与圆锥曲线C没有交点。
4. 如果e < 1，那么直线l与圆锥曲线C有两个交点，即直线l与圆锥曲线C相交于两个点。
三、利用焦点定理解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解焦点定理的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦点在椭圆的纵轴上，离中心点的距离为c。
现在我们想要求解椭圆上到直线y = mx + n的距离为d的点的坐标。
我们可以根据焦点定理来解决这个问题。
首先，我们知道椭圆的焦点到直线的距离为d，也就是PF/d = e。
根据椭圆的性质，椭圆上的任意一点与焦点之间的距离满足焦距定理，即PF = 2a - c。
将这两个条件带入PF/d = e中，我们可以得到(2a - c)/d = e。
直线与圆锥曲线的交点知识讲解
直线与圆锥曲线的交点课题直线与圆锥曲线的交点设计：宁勇强审核：包科领导： 2020年6月2日学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。
导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。
（1）曲线0(=,xg的交点问题，可以通过讨论方程组的)yf与0)(=,xy解来解决。
也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。
（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。
“定性”讨论有没有公共点，“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。
第三层次的问题求出方程组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问题只需知道方程组有解与否。
（3）交点问题其实就是位置关系问题。
直线与圆的位置关系有，，三种，由几何条件确定，结论是：。
如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是： .直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。
另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。
（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。
它往往需要中收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。
常用的方法有“k 参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。
（5）曲线上两点间的线段称为弦。
弦长当然可用两点的距离公式来求。
斜率为k 的弦可用如下公式求弦长：｜AB ｜＝||11||1212212y y kx x k -+=-+， 其中 21221214)(||x x x x x x -+=-， 21221214)(||y y y y y y -+=-.自学检测：1.直线0=-y x 与曲线2222=+y x 的交点坐标是 ，所得弦长为 .2.过P(0，2)的直线与曲线12+=x y 有 个交点.3.已知过P(0，2)的直线l 与曲线2222=+y x 相切，则l 的方程为 .4.过点（-1，1）与曲线x y 42=有一个公共点的直线有 条。
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直线与圆锥曲线的交点个数问题
直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。
一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求
设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩
，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：
注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。
例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数．
解：联立方程2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩
，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x =．
当1k ≠±时，22248(1)84k k k ∆=+-=-，
若0∆>，则22k -<<；若0∆=，则2k =±；若0∆<，则2k <-或2k >． 综上所述，当2k =±时，直线与双曲线相切于一点；1k =±时，直线与双曲线相交
于一
点；k<
或k>时，直线与双曲线没有公共点
；1k
<<或11
k
-<<
或1
k
<<-时，直线与双曲线有两个公共点．
点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程
例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB=
2
1
2
1
x
x
y
y
-
-
=2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。
三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数
例3、若直线1
y kx
=+与焦点在x轴上的椭圆
22
1
5
x y
m
+=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05
m
<<．
由22
1
1
5
y kx
x y
m
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
，
，
得22
(5)105(1)0
m k x kx m
+++-=．
又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0
∆≥对一切实数k成立，
即22
(10)4(5)5(1)0
k n k m
-⨯+⨯-=，亦即2
51
k m
-
≥对一切实数k成立．10
m
-
∴≤，即1
m≥．故m的取值范围为[)
15
m∈，．
解法二：由于直线过定点(01)
，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01)
，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05
m
<<．
又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)
，必在椭圆内部或边界上．22
01
1
5m
+
∴≤，即1
m≥．故m的取值范围为[)
15
m∈，．
点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷．
总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法
的运用。
练一练：
1．直线与双曲线的右支交于不同的两点A 、B ，求实数k 的取
值范围。
解：将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程后，整理得。
①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故 ，解得k 的取值范围为
2．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求实数a 的值．
解：联立方程2(1)1y a x y ax =+-⎧⎨=⎩
，， （1）当0a =时，此方程组恰有一解为10.x y =⎧⎨=⎩
， （2）当0a ≠时，消去x ，整理得2110a y y a
+--=． 若1a =-，则方程组恰有一解为11.x y =-⎧⎨=-⎩
， 若1a ≠-，令0∆=，可解得45
a =-． 所以，当4015
a =--，，时，原直线与曲线恰有一个公共点． 3．试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称.
解:设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点.从而有.
由
(1)-(2)得:
∴
由
由在直线上
从而有.。