《高等数学》泰勒 ( Taylor )公式
高等数学上泰勒公式
高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。
通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。
设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。
根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。
拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。
皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。
泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。
显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。
接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。
g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。
我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。
泰勒公式
3
sin x x
x
5
( 1) m 1
x
2 m 1
3!
5!
m sin() mx 2 1)π) ( 1 cos( 2 x
(2m 1) !
R2 m ( x)
其中 R2 m ( x)
麦克劳林公式
( 2m 1) !
f (0) 2! x
df
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三节 泰勒公式
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0) x
f (0) 2! x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 由此得近似公式
f (0) n 2 (0) x f (x) f (0) f ) x fx( x0 2! n2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )! 若在公式成立的区间上 f ( n1) n1) 2 ! , 则有误差估计式 (x) M (n) ( f ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) M n 1 n ! Rn ( x ) ( n x ) ! 1 ( 在 x0 与 x 之间) ( n 1) !
Rn
( n 1)
1 之间)
(n) Rn ( x0 )
( n 1) 2( n x0 ) 0
( )
( n 1) !
( 在 x0 与 n 之间) x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
高等数学 泰勒公式
高等数学泰勒公式1 泰勒公式介绍泰勒公式是一种重要的数学计算方法，它可以用来求解函数的数值解。
泰勒公式不像常用的无穷级数展开，而是用数值解的方式给出函数的近似值，从而使其在计算中更接近真实解。
泰勒公式最初是以JohnathanTaylor的名字命名的，但实际上，它可以追溯到叙利亚数学家艾哈迈德·泰勒，他是在1800年代末定义函数的隐函数形式的先驱者。
2 泰勒公式的定义泰勒公式可以被定义为：当f(x)是在点x0内可从某处n次可连续微分的函数时，令微分次数增加到n+1，则有：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} 3 泰勒公式的应用由于泰勒公式的本质是利用函数的多项式区间进行逼近，因此它可以用来求解根问题、最小值、积分以及其他的数学问题。
比如，用泰勒公式求根问题：假设存在一个函数f(x)，当x_0处f(x)可导数且f(x_0)=0时，f(x) = 0可以用泰勒公式写作：f(x) =f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots = 0。
这样，x_0就是f(x) = 0的一个根，而当f''(x) > 0时，x_0是其唯一解。
泰勒公式也可以用来求函数的最大值或最小值，最大值或最小值的函数在泰勒公式处可导数并且函数值为零。
由于泰勒公式可以对函数值的近似表达作出估算，因此也可以用来做积分，将函数分段展开，然后用此泰勒展开式加以求和便可以求出积分值了。
4 泰勒公式的缺点虽然泰勒公式在多个应用中都表现出了优良的数值结果，但泰勒公式也有一定的缺点，比如函数值的计算方式比较复杂、计算量也太大，也有的函数集合不能只靠泰勒公式求解，甚至得到的数值可能不是最精确的值，所以使用时必须谨慎。
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
3[1]3泰勒公式
![3[1]3泰勒公式](https://img.taocdn.com/s3/m/359145e250e2524de5187ec2.png)
证明: 由假设, Rn ( x)在(a,b)内具有直到(n 1)阶
导数,且
Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn(n) ( x0 ) 0
两函数 Rn ( x) 及( x x0 )n1 在以 x0 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , sin x x (matlab)
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 )( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
佩亚诺形式的余项
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 》 3.3 泰勒公式
Taylor 公式的数学思想---局部逼近.y=sinx
泰勒公式
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(k )
x3 x5 x 2 m1 sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
x x e e 1 x x n1 2! n! ( n 1)!
x
2
n
x
(0 1).
x2 xn x 由公式可知 e 1 x 2! n!
估计误差 (设 x 0)
ex ex Rn ( x ) x n 1 x n1 (0 1). ( n 1)! ( n 1)! 1 1 取x 1, e 1 1 2! n! 3 e 其误差 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1，介于x与x0之间. ( n 1)!
2 f (1) f ( x ) f (1) f (1)( x 1) ( x 1) 2! (4)
f
(1)
4!
( x 1)
4
5 f ( 5 ) ( ) ( x 1) 5!
例3 将f ( x) 1 3x 5 x 2 x 化为含
2 3
f ( 1 ) f ( x ) f ( 1 ) f ( 1 )( x 1 ) ( x 1) 2 解 2! (4) ( 1 ) f f ( ) 3 ( x 1) ( x 1) 4 3! 4!
泰勒(Taylor)公式
O
π
x
p8 ( x ) 比 p2 ( x )在更大的范围 想法：对于精确度要求 内更接近余弦函数. 较高时候可以用高次多 项式来近似表达函数.
-1
p2 ( x )
问：要找的多项式应满足什么条件？ 从几何上看， y f ( x ), y Pn ( x ) 代表两条曲线，
很明显 要使它们在x0附近与很靠近，
使得 f ( x ) Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )n 且误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) 可估计。 Pn ( x0 ) f ( x0 ), 为了在性质上吻 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 合的更好，我们 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 要求: P ( x ) f ( x )
( n) pn ( x) n1 n a ( x x ) a1 2a2 ( x x0 ) n 0
2 ! a2
n( n 1)an ( x x0 )n 2
n 3
( x ) pn
3 !a3 n( n 1)( n 2)an ( x x0 )
1 ( n) 1 ( n) , an pn ( x0 ) f ( x0 ) n! n!
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n 1 a0 f ( x0 ) a1 f ( x0 ) a2 f ( x0 ) 2!
( n 1) 1 ( n) f ( ) f ( x0 )( x x0 )n ( x x0 ) n 1 n! ( n 1)!
f ( n1) ( ) (4) Rn ( x ) ( x x0 )n1叫Lagrange余项. ( n 1)! M n 1 ( n 1 ) 若f ( x ) M， 则 Rn ( x ) x x0 ( n 1)!
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。
泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。
1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。
我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。
2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。
对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。
通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。
3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。
当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。
通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。
4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。
当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。
将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。
5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。
在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。
在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。
泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。
通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。
了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。
十个复杂的高等数学公式
十个复杂的高等数学公式1. 泰勒公式泰勒公式就像是一个超级魔法。
它说呢，一个函数f(x)在点x = a附近可以写成f(x)=∑_{n = 0}^∞frac{f^(n)(a)}{n!}(x a)^n。
啥意思呢？就是把一个复杂的函数用多项式来近似表示。
比如说f(x)是个弯弯曲曲很难算的函数，我们就可以用这个公式把它变成好多项相加的形式，就像把一个怪东西拆成一堆小零件，f^(n)(a)是f(x)在a点的n阶导数哦。
2. 牛顿莱布尼茨公式这个公式可牛啦，它就像一座桥梁。
如果有个函数f(x)在区间[a,b]上连续，而且它的原函数是F(x)，那么∫_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
你可以想象成，你要计算函数f(x)在区间[a,b]下面围起来的面积（就是定积分啦），只要找到它的原函数F(x)，然后把区间端点的值一减就成。
就好比你要知道从A点到B点走了多远，只要知道起始和结束的状态就行。
3. 格林公式格林公式有点像在平面上玩的一种游戏规则。
对于平面闭区域D，它的边界是分段光滑的曲线L，如果有向量场→F(x,y)=<=ft(P(x,y),Q(x,y))，那么∬_{D}((∂ Q)/(∂x)-(∂ P)/(∂ y))dxdy=∮_{L}Pdx + Qdy。
简单说呢，就是把平面区域上的一种双重积分和这个区域边界上的曲线积分联系起来了。
就好像区域里面的情况和边界的情况是有某种神秘联系的。
4. 高斯公式高斯公式可不得了，它是在三维空间里的一个大发现。
对于空间闭区域varOmega，它的边界曲面是∑，向量场→F(x,y,z)=<=ft(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，那么∭_{varOmega}((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dxdydz=∬_{∑}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy。
这就像是把空间区域里面的一种三重积分和这个区域表面的曲面积分给关联起来了，就好像空间里面的东西和它表面的东西在互相交流信息呢。
高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
高等数学 第三节 泰勒(Taylor)公式
例 3 . 求 sin x 的 Maclaurin 展开式 .
解.
D n sin x sin x cos x sin x cos x sin x
D n sin x 0 1 0 1 0
x 0
sin x 0 1 x 0 x 2 1 x 3 0 x 4 1 x 5 4! 2! 3! 5!
D n f ( x0 )
56
21
24 x 30 24 0 f x 56 21 ( x 4) 74 ( x 4)2 2! 66 ( x 4)3 24 ( x 4)4 3! 4!
74 66 24
( 余项 Rn 0 .)
56 21( x 4) 37 ( x 4)2 11( x 4)3 ( x 4)4 .
称 pn ( x ) 为 f ( x ) 的 Taylor 多项式 , 或 Taylor 展开式 . *
1
余项 :
Rn ( x ) f ( x ) pn ( x )
应用 Cauchy 定理和罗彼塔法则可推出余项的两个重要形式 :
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1. ( 介于 x0 与 x 之间 .) ( n 1)! 称为 Taylor 公式的拉格朗日(Lagrange) 余项 .
第三节
泰勒(Taylor)公式
P 137
设 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有 n 1 阶导数 . pn ( x ) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n . 为了能用 n 次多项式 pn ( x ) 近似代替 f ( x ) , 我们规定 :
高等数学——泰勒公式
与x
之间)
P (n1) n
(
x)
0,
R ( n1) n
(
x
)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
(在x0与x之间)
注：与皮亚诺余项的泰勒公式作比较
注: 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
23
h0
2
2
lim f ( x h) f ( x) f ( x) f ( x h)
h0
2h
lim f ( x h) f ( x) lim f ( x) f ( x h)
h0
2h
h0
2h
f ( x) f ( x) f ( x).
2
2
3.3.2 带拉格朗日余项的泰勒公式
定理 2 如果函数 f ( x)在含有 x0的某个开区 间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则当 x 在
几个常用函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式
e ,在0与x之间
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
sin x x x3 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
(1)n1 cos x 2n3
(2n 3)!
Rn (1 ) (n 1)(1
x0 )n
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
n(n
Rn(2 ) 1)(2
x0 )n1
(2在x0与1之间)
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
高等数学4-3泰勒中值定理
(k 0,1, , n) ,
则称之为 f (x) 的在 x0 的 n 阶近似多项式。
3/23
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
f (x) f (a) f (a)(x a) f ( ) (x a)2 ， 介于x 与a 之间，
2 则
f (a)(x a) f (x) f (a) f ( ) (x a)2 ，
2
27-23
2021/1/5
续解 故
lim[
xa
1 f (x)
f (a)
1 ] f (a)(x a)
Peano型余项只给出了余项的阶，无法估计余项的大 小。
6/23
注
(1) 当 x0 0 时的泰勒公式（多项式）称为麦克劳林 公式（多项式）:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f ( (n1) ) xn1
(n 1)!
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
9/23
⑵ 微分中值定理之间的关系
罗尔 中值定理
f (a) f (b)
g(x) x
拉格朗日 中值定理
n0
柯西 中值定理
泰勒 中值定理
四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) ex ,
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a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f (x0 ), , an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
作业 P143：4，5，6，7，9（1），10（2）
例如 目录 上页 下页 返回 结束
泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x
7
1 9!
x9
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(3) f (x) cos x
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2 m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
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(4) f (x) (1 x) (x 1)
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn( x) pn(n) (x) a0 pn (x0 ) f (x0 ) ,
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 1)2(n x0 )
) 0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与n 之间)
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Rn (x) f (x) pn (x)
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,)则(x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第七节
第二章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
(0 1)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f 误差
(x) f (0) f (0)x
Rn (x)
M (n 1) !
x
f
n1
(0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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例1.
用近似公式cos
x
1
x2 2!
计算
cos
x
的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
特点: p1(x0 ) f (x0 )
p1(x0 ) f (x0 )
p1 ( x)
o x0 x
x
以直代曲
需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
能准确到 0.005 .
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2. 利用泰勒公式求极限
例2. 求 lim
x0
3x
4
x
2
4
3x
4
.
用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
3x
4
2(114343xx)
1 2
2
1
1 2
( 43
x)
1 2!
1 2
(12
1)
( 43
x)2
Hale Waihona Puke o( x2 )(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
Rn (x)
e x (n 1) !
x n 1
(0 1)
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(2) f (x) sin x
f
(k) (x)
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(5) f (x) ln(1 x) (x 1)
已知
f
(k) (x)
(1)
k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1, 2,)
类似可得
ln(1 x) x x2 2
x3 3
(1)n1 xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
) Rn (
f ( 2
x)
x0 !
)
(
x
x0 )2 ①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
sin( x
k
2
)
f
(k ) (0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1, 2,) k 2m 1
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)
m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) )
(2m 1) !
x 2 m 1
(0 1)
(1)n1 (2n1)!
x
2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
yx
y
x
x3 3!
x5 5!
y sin x
6
4
2
0
2
4
6
2
4
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泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
7
lim 12
x0
x4
o(x4 ) x4
7 12
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内容小结
1. 泰勒公式
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理