《高等数学》泰勒 ( Taylor )公式

f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
) Rn (
f ( 2
x)
x0 !
)
(
x
x0 )2 ①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
特点: p1(x0 ) f (x0 )
p1(x0 ) f (x0 )
p1 ( x)
o x0 x
x
以直代曲
需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
Rn (x)
e x (n 1) !
x n 1
(0 1)
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(2) f (x) sin x
f
(k) (x)
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
7
lim 12
x0
x4
o(x4 ) x4
7 12
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内容小结
1. 泰勒公式
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
(1)n1 (2n1)!
x
2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
yx
y
x
x3 3!
x5 5!
y sin x
6
4
2
0
2
4
6
2
4
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泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,)则(x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x) k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1, 2,)
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1)(
(n 1) !
n) (1
x) n1 xn1
(0 1)
f
(x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
f (n1) ( x) xn1
(n 1) !
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f 间(x上0 )(
x f
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
(1
x4)原 3式1x (xl2ixm((101n)43(112)(2x!)!191261)nxx)2x2(212o 43( xxx)2)14n(1196x3nx192)21n(!o((x02n)1)
xn 1)
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3. 利用泰勒公式证明不等式
) Rn (
f (x0 2!
x)
)
(
x
x0 )2
其中余项
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((x
x0 )n )
( 在 x0 与x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
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2. 常用函数的麦克劳林公式 ( 见课本 )
ex , ln(1 x), sin x , cos x , (1 x)
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例1.
用近似公式cos
x
1
x2 2!
计算
cos
x
的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
n!an a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f (x0 ), , an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
能准确到 0.005 .
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2. 利用泰勒公式求极限
例2. 求 lim
x0
3x
4
x
2
4
3x
4
.
用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
3x
4
2(114343xx)
1 2
2
1
1 2
( 43
x)
1 2!
1 2
(12
1)
( 43
x)2
o( x2 )
n!
xn
(
1(1n)x1)(!1n2x)
(1
x2 8
x)( xn10x) n1
(0 1)
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3. 利用泰勒公式求极限
例4
lim ex2
x0
2 cos x4
x
3.
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn( x) pn(n) (x) a0 pn (x0 ) f (x0 ) ,
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 1)2(n x0 )
) 0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与n 之间)
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(3) f (x) cos x
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2 m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
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(4) f (x) (1 x) (x 1)
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2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 ) x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x 2 n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y
x
x3 3!
x5 5!
x9 9!
x11 11!
4
x7 7!
x9 9!
2
y sin x
6
4
2
0
2
4
6
2
4
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泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有:
sin( x
k
2
)
f
(k ) (0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1, 2,) k 2m 1
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)
m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) )
(2m 1) !
x 2 m 1
(0 1)
(0 1)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f 误差
(x) f (0) f (0)x
Rn (x)
M (n 1) !
x
f
n1
(0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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(5) f (x) ln(1 x) (x 1)
已知
f
(k) (x)
(1)
k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1, 2,)
类似可得
ln(1 x) x x2 2
x3 3
(1)n1 xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
x0
)
n
o[(x x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
f (x) 在点 x0 有直到 n 阶的导数
④ 式成立
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f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 ) (x 2!
x0 )2
特例:
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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泰勒中值定理 :
若 f (x) 在包含 x0 的某开区间 (a,b) 内具有 直到 n 1阶的导数 , 则当 x (a ,b)时, 有
第七节
第二章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
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Rn (x) f (x) pn (x)
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
可见
f (x) f (x)
f (x0 ) f (x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( )
2 !(
(x x0 )2 在 x0 与x
之间)
误差
R1(x)
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
( 在 x0 与x 之间)
df
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
作业 P143：4，5，6，7，9（1），10（2）
例如 目录 上页 下页 返回 结束
泰勒多项式逼近 sin x
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x
7
1 9!
x9
例3. 证明 1 x 1 x x2 28
证:
1
1 x (1 x)2
(x 0).
1 x 2
1 1 (1 1)x2 2! 2 2
1
1 (1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
(1
x)
1 1x2x(x282!1)116x2(1
x) 52(x 3 1)(0(n11))