第5章、时变电磁场

J c d S d D d S
S
dt S
D
J c d S
dS
S
S t
(Jc D)dS 0
S
t
D
(Jc )dS 0
S
t
式中 J c 为传导电流
定义:位移电流密度
D Jd
t
J S Jc Jd Jc D t
全电流密度
J s d S 0 全电流遵从电流守恒定律 S
式中等式右边为B对t的偏导数，该式用于分析时变场
式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场
感应电场是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋涡状 的电场
对任意回路（不一定有导体存在）成立
磁场不随时间变化时，有 E 0，与静电场的形式
相同，可见静电场是时变场的特殊情况
当导体回路以速度 v 运动时,可以证明
第5章、时变电磁场
5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 位移电流 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件 5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 5.6 波动方程 5.7 动态位与滞后位 5.8 时谐电磁场 5.9 电磁对偶性（略） 5.10 似稳电磁场（略）
5.1 法拉第电磁感应定律
静态场 场大小不随时间发生改变（静电场，恒定磁场） 特性：电场和磁场相互独立，互不影响
场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且 dB dt k
为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自
己的磁场略去不计）
r dr
h
R
h
r dr
B
已知 R , h , , B , dB dt k
求I
r dr
h
解 如图取一半径为 r ,宽度
为dr,高度为 h的圆环.
则E圆i 环中L E的k感 d生l电动S势ddB的t 值ds为
r dr
代入已知条件得
Ei
dB dt
ds k π r 2
S
又
dR 1 2π r
hdr
所以
dI kh
2
rdr
由计算得圆环中电流
dI kh rdr
2
于是圆盘中的感应电流为
I
dI
k h
2
R
0 rdr
1 kR2h
4
r dr
h
r dr
五、涡电流
感应电流不仅 能在导电回 路内出 现，而且当大块导 体与磁场有相对运 动或处在变化的磁 场中时，在这块导 体中也会激起感应 电流.这种在大块导 体内流动的感应电 流,叫做涡电流 , 简 称涡流.
d dt
S
Bd
S
S
B t
d
S
C(
Bv
)dl
当磁场不随时间变化时
C
E dl
d dt
S
BdS
C( v B
)dl
F qv B
E F vB
q
导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的
洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁 场中运动而形成的.
例 设有一半径为R ,高度为h的铝圆盘, 其电导
率为 . 把圆盘放在磁感强度为 B 的均匀磁场中, 磁
l
E
dl
d dt
d dt
S
BdS
当回路静止时
l
E
dl
d dt
S
Bd
S
S
B t
d
S
根据斯托克斯(Stokes)定理
S
(
E)
d
S
S
B t
d
S
上式对任意面积均成立
E B 法拉第电磁感应定律微分形式 t
E B 法拉第电磁感应定律微分形式 t
物理意义：随时间变化的磁场将产生电场。
讨 论 对法拉第电磁感应定律的讨论
i
闭合回路由 N 匝密绕线圈组成
四、法拉第电磁感应定律微分形式
感应电动势
感应电场. 令感应电场为 Ein
Ein dl d
l
dt
如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电
场
E
，则总电场
c
E
Ec
E in
E dl Ec dl Ein dl Ein dl
l
l
l
l
d d
l E dl dt dt S B d S
+ +
-+
- + Ic
全电流 Is Ic Id
位移电流和传导电流的比较 1）全电流是连续的； 2）位移电流和传导电流一样激发磁场； 3）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热.
讨 论 对安培环路定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电 流外，还有位移电流.
位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发 起磁场.
应用：热效应、电磁阻尼效应
5.2 位移电流
一、安培环路定律的局限性
稳恒磁场中,安培环路定理 H dl I j ds
l
s
S2
S1
-+ -+
-+
L -+
（以 L 为边做任意曲面 S ）
LH
dl
S1
j
ds
I
I
H dl j ds 0
L
S2
结论: 恒定磁场中推导得到的安培环路定律不实用 于时变场问题
二、位移电流假说 在电容板之间，不存在自由电流，但存在随时间
变化的电场。
为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出
了位移电流假说：在电容器之间，存在着因变化的电 场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同,量值与 回路中自由电流相等.
由电流连续性方程,知在极板间，有
J c d S dq
S
dt
三、安培环路定律广义形式
由一般情况下,时变场空间同时存在真实电流（传 导电流）和位移电流
D
H dl J S d S (J c ) d S
L
S
S
t
H d S (J c D) wenku.baidu.com S
S
S
t
H Jc D t
广义安培环路定律
物理意义：随时间变化的电场能产生磁场
-
Id
++++++++
++++++++
维持滑杆运动必须外加一力，此过程为外力克 服安培力做功转化为焦耳热.
三、法拉第电磁感应定律
当穿过闭合回路所围
面积的磁通量发生变化时，
回路中会产生感应电动势，
且感应电动势正比于磁通
量对时间变化率的负值.
d d dt dt
BdS
S
d
dt
d dt
N i 1
2020/9/15
B
N
F
v
S
用 楞
B
次
定
I
律
v
判
S
断
感
应
N
电
流
方
向
B
I
N
Sv
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电
流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁
感应的原因.
楞次定律是能量 守恒定律的一种表现
机械能
焦耳热
B+
+
+
++
+ + + Fm+
++
++
+
I
+
i
+ + +
++
v+ +
++
时变场：场的大小随时间发生改变 特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的 统一的整体，称为电磁场
一、电磁感应现象
实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时， 回路中会出现感应电流。——电磁场感应现象
二、楞次定律 闭合的导线回路中所
出现的感应电流，总是使 它自己所激发的磁场反抗 任何引发电磁感应的原因 （反抗相对运动、磁场变 化或线圈变形等）.