欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用

摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在

求定积分时的应用。对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1

()r m

的

计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。

关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式

1、 知识预备

、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件：

（1）f(x)>0 x ∀∈（0，+ ∞） f(1)=1；

（2）(1)()f x x f x +=⋅ x ∀∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数，

那么必有f(x)=r(x) x ∀∈（0，+ ∞）。

、对于p 不是整数时

22

112(1)sin n n p p p p n π

π∞==+--∑

、对于0

112(1)1p n n y p

dy y p p n -∞+∞

==+-+-∑⎰ $

、瓦里斯公式：

n =

、对于(0,1]x ∈，我们有 2

21sin (1)n x x x n ππ∞

==⋅-∏

2、欧拉积分

、定义

含参变量的广义积分

+s-1-x 0

()x e dx r s ∞=⎰

s>0 (1)

1

p-1q-10

(,)x (1-x)dx B p q =⎰ p>0,q>0 (2)

它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma 函数（r 函数），后者称贝塔Bate 函数（B 函数）。（即r 函数与B 函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数） 、性质

2.2.1、r 函数的性质 ·

（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数

（2）递推公式(1)()r s s r s +=⋅ (s>0) 如果s 取整数n ，那么有

(1)()!r n n r n n +=⋅=

（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s ≠---……外均收敛 （4）根据()()s

s

s 1+Γ=

Γ及()s s Γ+→0lim =∞+， ()s s Γ+∞→lim =∞+ 可得到图像：

（5）函数的其他形式

ａ）当x py = (p>0),则有r(s)= +s-1-x 0

x e dx ∞

⎰=+s-1-0

()e dx py py ∞

⎰

=+s-1-0

e dx py p

y ∞

⎰

（s>0,p>0）

ｂ）当2

x y =,则有r(s)=

+s-1-x

x e dx ∞

⎰

= 2

2(-1)0

dx s y y

e

+∞

-⎰

= 2

2-10

2dx s y y e +∞

-⎰

!

2.2.2、B 函数的性质

（1）(,)B p q 在p>0,q>0内连续 （2）对称性：(,)(,)B p q B q p = （3）1

(,)(,1)1

q B p q B p q p q -=

-+- (p>0,q>1)

1

(,)(1,)1

p B p q B p q p q -=

-+- (p>1,q>0)

(1)(1)

(,)(1,1)(1)(2)

q p B p q B p q p q p q --=--+-+- (p>1,q>1)

（4）B 函数的其他形式

ａ）在（2）式中，令2cos x ϕ=，

则有212120

(,)2cos q p B p q sin d π

ϕϕϕ--=⎰

ｂ）在（2）式中，令1y

x y

=+ (y>0)，于是有

1

(,)(1)p p q

y B p q dy y -+∞

+=+⎰

|

dy y y dy y y dy y y q

p p q p p q p p ⎰⎰⎰

∞++-+-∞

++-+++=+11

1010

1)1()1()1(

再对第二个式子令1y t

=，

整理得：dt t t dy y y dy y y q p q q p p q p p ⎰⎰⎰

∞++-+-∞

++-+++=+111010

1)

1()1()1( 所以11

1

(,)(1)

p q p q

y y B p q dy y --++=

+⎰

（p>0,q>0） 、B 函数与r 函数联系

()()

(,)()

r p r q B p q r p q =

+ p>0,q>0

证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数

()(,)

()()

r p q B p q f p r q +=

，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条

件：

（1）

显然有f(p)>0 p ∀∈（0，+ ∞），并且

1()

(1)(1,)

(1)1()()

qr q r q B q q

f r q r q +=

==

（2）

()()

(,)(1)(1,)

(1)()

()

()

p

p q r p q B p q r p q B p q p q

f p pf p r q r q +++++++=

=

=

（3）

对于任意的q>0，因为ln ()r p q +和ln (,)B p q )都是变元x