幂级数的收敛域..
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§9.2 函数项级数
五、和函数的分析性质
定理 6（连续性） 若函数项级数∑un(x)在区间 I 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在I 上也 连续． 在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺 序，即
x x0
lim un ( x ) lim un ( x ).
n 1 n 1 x x0
n
(i) 当 0 l 时, 由 l | x | 1 得幂级数收敛半 1 径 r ; l (ii) 当 l 0 时, 对任何 x 皆有 l | x | 1, 所以 r ;
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
(iii)
当 l 时, 则对除 x 0 外的任 何 x 皆有
n
令y a x, 则得最简形式的幂级数 ：
n 2 n a x a a x a x a x n 0 1 2 n n 0
(1)
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
一、幂级数的收敛域
n 首先，幂级数 a x n 在x 0都 收 敛. n 0
定理1 (阿贝尔第一定理) 1)若幂级数 an x n在x0 0
l | x | 1, 所以 r 0.
2n n 例1、求幂级数 x 的收敛半径，并讨论收 敛 域. n 1 n
n1 2n 2 解 : an , an1 , n n1 2 n1 n an1 n lim 2n 2 l lim| | lim n n 1 2 n n 1 n an
n
收敛半径为 r 0.
Leabharlann Baidu
收敛域为 {0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例4、 求 幂 级 数 ( x 2 ) 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. 2 n 1 n
解：设 x 2 y,
1 1 n n ( x 2 ) y 2 2 n 1 n n 1 n
心的对称区间. 若以2r表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径.
当r 0时，
幂级数仅在 0收敛 ;
(,)收敛; 当r 时， 幂级数在
幂级数在 ( r , r )收敛, 当0 r 时，
至于x r处，可能收敛也可能发 散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
定理2
当y
1 1时， n2 (1)n n 1
§9.2 函数项级数
定理 7（逐项求积分） 若函数项级数∑un(x)在[a , b] 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a , b] 可 积，且
u ( x )dx
b a n 1 n n 1
b a
un ( x )dx .
定理 8（逐项求导） 若 ∑un(x)在I收敛，un (x) 在 [a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
则其和函数在I连续可导，且
d d un ( x ) un ( x ). dx n1 n 1 dx
§9.3 幂级数
幂级数的一般形式为
n 2 a ( y a ) a a ( y a ) a ( y a ) n 0 1 2 n 0
an ( y a ) ,
2
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例2、 求 幂 级 数 x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. n 1 n! 1 1 , 解 : an , an1 ( n 1)! n!
an1 n! 1 l lim| | lim lim 0 n ( n 1)! n n n 1 an
n 则幂级数 a x 收敛, n 在x :| x | | x0 | 都绝对收敛；
n0
2)若幂级数 an x n在x1发散， 则幂级数 an x n在x :| x | | x1 |
n0
n 0
n0
都发散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
注 由定理1知道: 幂级数(1)的收敛域是以原点为中
收敛半径为 r .
收敛域为 R.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
n n 例3、 求 幂 级 数 n 收 域. x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 n 1
解 : an n n ,
n lim n lim n l lim | an | n
n
n
n
幂级数的收敛域
n 证 对于幂级数 | an x |, 由于 n0
§9.3 幂级数
lim | an x n | lim n | an | | x | l | x |,
n n
n
根据级数的根式判别法, 当 l | x | 1 时, 级数
| a
n 0
n
x | 收敛. 当 l | x | 1 时, 级数发散. 于是
n 对幂级数 a x n ，若 n 0
an1 lim| | l n an
则
(lim an l )
n
n
1 (i) 0 l 时, 此幂级数的收敛半径 r ; l
(ii) l 0 时, 此幂级数的收敛半径 r ;
(iii) l 时, 此幂级数的收敛半径 r 0.
1 1 , a n 2 , a n1 2 ( n 1) n n2 an1 l lim| | lim 1 n ( n 1) 2 n an
yn 2 收敛半径为 r 1. n 1 n
1 n 当y 1时， 2 (1) 12 收敛. n 1 n n 1 n
收 敛 半 径 为 r
1 . 2
1 2n 1 n 1 当x 时 ， ( ) 发 散; 2 n 1 n 2 n 1 n
n 2 1 n n 1 1 ( ) (1) 收敛 当x - 时 ， 2 n n 1 n n 1
收 敛 域 为 [
1 1 , ). 2 2
五、和函数的分析性质
定理 6（连续性） 若函数项级数∑un(x)在区间 I 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在I 上也 连续． 在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺 序，即
x x0
lim un ( x ) lim un ( x ).
n 1 n 1 x x0
n
(i) 当 0 l 时, 由 l | x | 1 得幂级数收敛半 1 径 r ; l (ii) 当 l 0 时, 对任何 x 皆有 l | x | 1, 所以 r ;
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
(iii)
当 l 时, 则对除 x 0 外的任 何 x 皆有
n
令y a x, 则得最简形式的幂级数 ：
n 2 n a x a a x a x a x n 0 1 2 n n 0
(1)
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
一、幂级数的收敛域
n 首先，幂级数 a x n 在x 0都 收 敛. n 0
定理1 (阿贝尔第一定理) 1)若幂级数 an x n在x0 0
l | x | 1, 所以 r 0.
2n n 例1、求幂级数 x 的收敛半径，并讨论收 敛 域. n 1 n
n1 2n 2 解 : an , an1 , n n1 2 n1 n an1 n lim 2n 2 l lim| | lim n n 1 2 n n 1 n an
n
收敛半径为 r 0.
Leabharlann Baidu
收敛域为 {0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例4、 求 幂 级 数 ( x 2 ) 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. 2 n 1 n
解：设 x 2 y,
1 1 n n ( x 2 ) y 2 2 n 1 n n 1 n
心的对称区间. 若以2r表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径.
当r 0时，
幂级数仅在 0收敛 ;
(,)收敛; 当r 时， 幂级数在
幂级数在 ( r , r )收敛, 当0 r 时，
至于x r处，可能收敛也可能发 散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
定理2
当y
1 1时， n2 (1)n n 1
§9.2 函数项级数
定理 7（逐项求积分） 若函数项级数∑un(x)在[a , b] 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a , b] 可 积，且
u ( x )dx
b a n 1 n n 1
b a
un ( x )dx .
定理 8（逐项求导） 若 ∑un(x)在I收敛，un (x) 在 [a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
则其和函数在I连续可导，且
d d un ( x ) un ( x ). dx n1 n 1 dx
§9.3 幂级数
幂级数的一般形式为
n 2 a ( y a ) a a ( y a ) a ( y a ) n 0 1 2 n 0
an ( y a ) ,
2
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例2、 求 幂 级 数 x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. n 1 n! 1 1 , 解 : an , an1 ( n 1)! n!
an1 n! 1 l lim| | lim lim 0 n ( n 1)! n n n 1 an
n 则幂级数 a x 收敛, n 在x :| x | | x0 | 都绝对收敛；
n0
2)若幂级数 an x n在x1发散， 则幂级数 an x n在x :| x | | x1 |
n0
n 0
n0
都发散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
注 由定理1知道: 幂级数(1)的收敛域是以原点为中
收敛半径为 r .
收敛域为 R.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
n n 例3、 求 幂 级 数 n 收 域. x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 n 1
解 : an n n ,
n lim n lim n l lim | an | n
n
n
n
幂级数的收敛域
n 证 对于幂级数 | an x |, 由于 n0
§9.3 幂级数
lim | an x n | lim n | an | | x | l | x |,
n n
n
根据级数的根式判别法, 当 l | x | 1 时, 级数
| a
n 0
n
x | 收敛. 当 l | x | 1 时, 级数发散. 于是
n 对幂级数 a x n ，若 n 0
an1 lim| | l n an
则
(lim an l )
n
n
1 (i) 0 l 时, 此幂级数的收敛半径 r ; l
(ii) l 0 时, 此幂级数的收敛半径 r ;
(iii) l 时, 此幂级数的收敛半径 r 0.
1 1 , a n 2 , a n1 2 ( n 1) n n2 an1 l lim| | lim 1 n ( n 1) 2 n an
yn 2 收敛半径为 r 1. n 1 n
1 n 当y 1时， 2 (1) 12 收敛. n 1 n n 1 n
收 敛 半 径 为 r
1 . 2
1 2n 1 n 1 当x 时 ， ( ) 发 散; 2 n 1 n 2 n 1 n
n 2 1 n n 1 1 ( ) (1) 收敛 当x - 时 ， 2 n n 1 n n 1
收 敛 域 为 [
1 1 , ). 2 2