秦九韶算法-课件
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秦九韶算法课堂教学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
秦九韶算法
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0 要求多项式旳值，应先计算最内层多项式：
v0=an
.
v1=anx+an-1
然后，由内到外逐层计算一次多项式旳值：
v2=v1x+an-2
秦九韶算法
v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3
பைடு நூலகம் ……
.
vn=vn-1x+a0
1
i≥0? N Y 输入ai v=vx+ai i=i-1
输出v
结束
逐项求和法
逐项求和法在直接求和法旳基础上做了改善， 先把多项式写成
f(x)=an·xn+an-1·xn-1+…+a1·x1+a0 旳形式，这么多项式旳每一含x旳幂旳项都是
ak与xk旳乘积（k=1,2,…,n）。在计算ak·xk项时 把xk旳值保存在变量c中，求ak+1·xk+1项时只需 计算ak+1·x·c，同步把x·c=xk+1旳值保存入c中， 继续下一项旳运算，然后把这n+1项旳值相加。
霍纳算法（Horner algorithm或Horner scheme）
《数学九章》——秦九韶算法
设f(x)是一种n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0
1.3算法案例---秦九韶算法PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
21.05.2019
在数学的发展史上，从公元前2、3世 纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮， 也有过低落，但一直走在世界的前列，是 世界数学的中心。中国古代数学对世界数 学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法 就是中国古代数学的一枝奇葩。 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。
21.05.2019
பைடு நூலகம்
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
（3）若将x的值代入变形后的式子 中，那么求值的计算过程是怎样的？
将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
21.05.2019
在数学的发展史上，从公元前2、3世 纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮， 也有过低落，但一直走在世界的前列，是 世界数学的中心。中国古代数学对世界数 学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法 就是中国古代数学的一枝奇葩。 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。
21.05.2019
பைடு நூலகம்
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
（3）若将x的值代入变形后的式子 中，那么求值的计算过程是怎样的？
将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
秦九韶算法与进位制课件
• v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698；
• v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
• ∴f(2)＝1397.
• [例5] 将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
• ∴f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)·x＋3)·x＋0)·x＋0)·x＋2)x＋
1
• 按照由内及外的顺序，依次计算一次多项式当x＝ 2时的值：
• v0＝8；
v4＝87×2＋0＝174；
• v1＝8×2＋5＝21; v5＝174×2＋0＝348；
• 则119＝(2) • 所以434(5)＝(2)
• [点评] 1.k进制之间相互转化可以借助十进制作跳板来进行．
• 2．将十进制与k进制相互转换的算法结合在一块，就能实现非十进 制数之间的转换了．
多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用前项的结 果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
• 求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．
• [解析] 先改写多项式，再由内向外计算．
• f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
• ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
• 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以 将法，8进应制用数循3环14结70构6(8可)化以为设十计进程制序数．，然后根据该算
• 361×48700＝61(80) ＝49032×.8所5 ＋以，1×化84为＋十4×进8制3 ＋数7是×8120＋49002×.81 ＋
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
秦九韶算法课件
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
秦九韶算法课件
[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
算法案例—秦九韶算法.ppt
方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，
((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.
9次乘法运算,5次加法运算
与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了, 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的 运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得 到结果.
秦九韶算法
秦九韶和《数书九章》
秦九韶
秦九韶（约公元1202年－1261年），字 道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东 阜一带人）
据史书记载，他“性及机巧，星象、 音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李 梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线 进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文 历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、 商业金融等方面。
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
①
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.
9次乘法运算,5次加法运算
与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了, 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的 运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得 到结果.
秦九韶算法
秦九韶和《数书九章》
秦九韶
秦九韶（约公元1202年－1261年），字 道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东 阜一带人）
据史书记载，他“性及机巧，星象、 音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李 梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线 进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文 历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、 商业金融等方面。
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
①
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
《秦九韶算法》课件
秦九韶பைடு நூலகம்法的代码示例
} ``` Java实现
秦九韶算法的代码示例
01
```java
02
import java.util.Scanner;
public class Main {
03
秦九韶算法的代码示例
01
02
03
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new
秦九韶算法的步骤解析
01
确定多项式的最高次项 系数和次数。
02
根据秦九韶算法的公式 ，计算一次多项式的系 数。
03
利用一次多项式求值公 式，计算多项式的值。
04
重复以上步骤，直到求 出所有需要计算的多项 式的值。
秦九韶算法的公式推导
根据多项式求值原理，推导出秦九韶 算法的公式。
利用递归的思想，将高次多项式转化 为一次多项式，推导出秦九韶算法的 公式。
编写代码
按照秦九韶算法的步骤，编写相应的代码。需要注意代码 的健壮性和可读性，以便于后续的维护和调试。
测试代码
通过输入不同的多位数，测试代码的正确性和性能。
秦九韶算法的代码示例
C语言实现 ```c
int main() {
秦九韶算法的代码示例
int n, x = 0, i, d; printf("请输入一个多位数：");
05
秦九韶算法的优缺点
秦九韶算法的优点
01
02
03
高效性
秦九韶算法将多项式求值 问题转化为一系列一元运 算，减少了乘法的次数， 提高了运算效率。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确， 易于转化为程序代码，便 于计算机实现。
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
秦九韶算法与进位制-课件
• v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698；
• v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
• ∴f(2)＝1397.
• [例5] 将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
• 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以 将8进制数314706(8)化为十进制数，然后根据该 算法，应用循环结构可以设计程序．
• 314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81 ＋6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902.
• 8 进 制 数 314706(8) 中 共 有 6 位 ， 因 此 可 令 a ＝ 314706，k＝8，n＝6，设计程序如下：
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:16:44 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
∴当 x＝3 时，多项式的值为 11 320.
秦九韶算法的步骤：
利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零， 则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到 大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公 约数．
用更相减损术求最大公约数
用更相减损术求 154,484 的最大公约数． 【思路探究】 解答本题可先将两数约简然后按更相减 损术的步骤反复相减直至得出结果．
更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都 是 偶数 ．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数 减 去较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以 大 数减 小 数．继续这个操作，直 到所得的差与减数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数 m、n. 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝ 0 ，则 m、n 的最大公约数等于 m ， 否则返回第 二 步.
更相减损术
【问题导思】 设两个正整数 m>n(m>n)，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大 公约数和 n 与 k 的最大公约数相等，反复利用这个原理，可 求63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝ 21,21－7＝14,14－7＝7，∴98 与 63 的最大公约数为 7.
秦九韶算法
将 f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x ＋…＋a1)x＋a0.
具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1＝anx＋an－1. Q (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …
秦九韶算法的步骤：
利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零， 则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到 大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公 约数．
用更相减损术求最大公约数
用更相减损术求 154,484 的最大公约数． 【思路探究】 解答本题可先将两数约简然后按更相减 损术的步骤反复相减直至得出结果．
更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都 是 偶数 ．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数 减 去较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以 大 数减 小 数．继续这个操作，直 到所得的差与减数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数 m、n. 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝ 0 ，则 m、n 的最大公约数等于 m ， 否则返回第 二 步.
更相减损术
【问题导思】 设两个正整数 m>n(m>n)，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大 公约数和 n 与 k 的最大公约数相等，反复利用这个原理，可 求63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝ 21,21－7＝14,14－7＝7，∴98 与 63 的最大公约数为 7.
秦九韶算法
将 f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x ＋…＋a1)x＋a0.
具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1＝anx＋an－1. Q (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …
秦九韶算法与进位制课件
1．理解秦九韶算法的关键：一是弄清算法原理是加法对 乘法的分配律，二是弄清算法设计中递推关系是一个反复执
行的运算，故用循环语句来实现．
(1)秦九韶算法过程分析：
由于vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k. 其中 k＝1,2，…，n. 这样我们便可由 v0 依次求出 v1，v2，…，vn： v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝ vn－1x＋a0. 于是我们用 v 来记录每次一次式计算的结果，最初赋值 v＝an，用 v＝v*x＋an－i 实现递推循环，i 的初值为 1，i＝i＋ 1 记录循环次数，i≤n 控制何时结束循环输出 v.f(x)的系数 ak 用一个循环语句实现输入．
• WEND • PRINT b • END
• 程序框图
• 依据此程序：
• 第1轮(i＝1)循环结束时b＝a0. • 第2轮(i＝2)循环结束时b＝a1k＋a0. •…
• 第j轮(i＝j)循环结束时，b＝aj－1kj－1＋aj－ 2kj－2＋…＋a1k＋a0.
• 最后结束时，b＝ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k ＋a0.
• 1．把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1 ＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
• f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 • ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 • ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 • ＝＋…＋a1)x＋a0
• 算法程序为： • INPUT “a，k＝”；a，k • b＝0 • i＝0
• DO • q＝a\k • r＝a MOD k • b＝b＋r*10^i • i＝i＋1 • a＝q
• LOOP UNTIL q＝0 • PRINT b • END • 用WHILE语句编程如下：
算法案例2秦九韶算法课件
k
已知n 已知 次多项式 Pn ( x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
我国南宋时期的数学家秦九韶(约 我国南宋时期的数学家秦九韶 约1202-1261) 在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法. 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法 把一个n次多项式 把一个 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0 改写成如下形式： 改写成如下形式： f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 = ( anxn-1 + an-1xn-2 + ··· + a1 ) x + a0 = ( ( anxn-2 + an-1xn-3 + ··· + a2 ) x + a1 ) x + a0 = ··· = (··· ( ( anx + an-1) x + an-2 ) x + ···+a1 ) x +a0
, 如果在一种算法中计算x0 (k = 2, 3, 4, ..., n) k 9 的值需要 − 1次乘6次乘法, 3次加法), 那么计算 n ( x0 )的值共 需要______ 次运算.
k
已知n 已知 次多项式 Pn ( x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
《考一本》第10课时 考一本》 课时
【例1】 】
5次多项式为 已知一个 次多项式为 f ( x) = 4x + 2x + 3.5x − 2.6x + 1.7 x − 0.8 ,
已知n 已知 次多项式 Pn ( x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
我国南宋时期的数学家秦九韶(约 我国南宋时期的数学家秦九韶 约1202-1261) 在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法. 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法 把一个n次多项式 把一个 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0 改写成如下形式： 改写成如下形式： f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 = ( anxn-1 + an-1xn-2 + ··· + a1 ) x + a0 = ( ( anxn-2 + an-1xn-3 + ··· + a2 ) x + a1 ) x + a0 = ··· = (··· ( ( anx + an-1) x + an-2 ) x + ···+a1 ) x +a0
, 如果在一种算法中计算x0 (k = 2, 3, 4, ..., n) k 9 的值需要 − 1次乘6次乘法, 3次加法), 那么计算 n ( x0 )的值共 需要______ 次运算.
k
已知n 已知 次多项式 Pn ( x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
《考一本》第10课时 考一本》 课时
【例1】 】
5次多项式为 已知一个 次多项式为 f ( x) = 4x + 2x + 3.5x − 2.6x + 1.7 x − 0.8 ,
高中数学人教版必修三《1.3.2秦九韶算法》课件
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
• 四级所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
• 五级
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
2023/9/16
4
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算法二：先运算x2的值，然后顺次运算
• 单击此处编辑x2母·x、版（文本x2样·x）式·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
2023/9/16
2
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案例2、秦九韶算法
• 单击此秦处九编韶辑算母法版是文求本一样元式多项式的值的一种方法。
• 二级
•怎三样•级四求级多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一• 五：级把5代入，运算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算x2·x、
• 单击此处课编堂辑母小版结文本：样式
• 二•级三级1、秦九韶算法的方法和步骤 • 2四、级• 五秦级九韶算法的流程图及程序
2023/9/16
14
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• 二1级.3.2 • 三级 谢谢大家 • 四级 • 五级
人教版 高中数学
秦九韶算法和进位制 课件
秦九韶算法和进位制
基础梳理
1．秦九韶计算多项式的方法 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用 秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值． 解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1＝(((x法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋ 6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法 的次数分别为( A )
A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5
题型二 秦九韶算法的程序框图与程序 例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5
A．10 000 (2)
B．10 100(2)
C．11 001(2) D．10 001(2)
5．二进制数10 0001(2)等于十进制数____3_3___．
自测评价
1．关于进位制说法错误的是( D )
A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数
系统
B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一 C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几 D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标明
跟踪 训练
3．把十进制数53化为五进制数为________． 解析：
答案：203(5)
方法二
答案：B
跟踪 训练
2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n 位)：a＝anan－1…a3a2a1(k)＝ank(n－1)＋an－1k(n－2) ＋…＋a3k2＋a2k1＋a1k0的算法步骤．
基础梳理
1．秦九韶计算多项式的方法 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用 秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值． 解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1＝(((x法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋ 6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法 的次数分别为( A )
A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5
题型二 秦九韶算法的程序框图与程序 例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5
A．10 000 (2)
B．10 100(2)
C．11 001(2) D．10 001(2)
5．二进制数10 0001(2)等于十进制数____3_3___．
自测评价
1．关于进位制说法错误的是( D )
A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数
系统
B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一 C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几 D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标明
跟踪 训练
3．把十进制数53化为五进制数为________． 解析：
答案：203(5)
方法二
答案：B
跟踪 训练
2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n 位)：a＝anan－1…a3a2a1(k)＝ank(n－1)＋an－1k(n－2) ＋…＋a3k2＋a2k1＋a1k0的算法步骤．
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v2v1xan2 v3 v2xan3
最后的一 项是什么？
vnvn1xa0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多 项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘 法和n次加法即可。
例： 已知一个五次多项式为
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
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f( x ) 5 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
f ( x ) (5 x ( 2 ) ( x 3 ( . 5 ) x 2 . 6 ) x 1 . 7 ) x 0 . 8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 58 怎样的规律？
v313 .5 8 52.668 .99 怎么用程序框
v468 .9 9 51.734.251图来描述呢？
v534.25 51 0.817.2 255
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
程序框图：
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
v v0 k a vk n1xank(k1,2, ,n)
n=1 v=a5
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n≤5?
Y
输出v
n=n+1 v=vx0+a5-n N
结束
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式 f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
这是怎样的 一种改写方 式？最后的 结果是什么？
(a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 )x a 0
(a n ( x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图
作业： 1、P47 2 2、P50 2
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:16:25 AM
算法案例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
（2）程序框图：
开始
输入n,an,x V=an
i=n-1
i>=0? N
输出v 结束
i=i-1
v=vx+ai
输入ai
Y
（3）程序：
INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1 WHILE i>=0
+
X5
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 25 135 692.5 3449.5 17256 5 27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1anxan1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１