边界层对流换热微分方程组数量级分析法
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第四版传热学第五、六,七 八 章习题解答
第五章复习题1、试用简明的语言说明热边界层的概念。
答：在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，而在此薄层之外，流体的温度梯度几乎为零，固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。
2、与完全的能量方程相比，边界层能量方程最重要的特点是什么？答：与完全的能量方程相比，它忽略了主流方向温度的次变化率σα22x A ，因此仅适用于边界层内，不适用整个流体。
3、式（5—4）与导热问题的第三类边界条件式（2—17）有什么区别？答：=∂∆∂-=yyt th λ（5—4）)()(f w t t h h t-=∂∂-λ （2—11）式（5—4）中的h 是未知量，而式（2—17）中的h 是作为已知的边界条件给出，此外（2—17）中的λ为固体导热系数而此式为流体导热系数，式（5—4）将用来导出一个包括h 的无量纲数，只是局部表面传热系数，而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。
4、式（5—4）表面，在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热，那么在对流换热中，流体的流动起什么作用？答：固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关，流动速度越大，边界层越薄，因此导热的热阻也就越小，因此起到影响传热大小5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容？既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解，那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义？答：对流换热问题完整的数字描述应包括：对流换热微分方程组及定解条件，定解条件包括，（1）初始条件 （2）边界条件 （速度、压力及温度）建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系，每一种关系都必须满足动量，能量和质量守恒关系，避免在研究遗漏某种物理因素。
基本概念与定性分析5-1 、对于流体外标平板的流动，试用数量级分析的方法，从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式：x xRe 1~δ解：对于流体外标平板的流动，其动量方程为：221xy u v dx d y u v x y u ∂+-=∂∂+∂∂ρρ 根据数量级的关系，主流方的数量级为1，y 方线的数量级为δ则有2211111111δρδδv +⨯-=⨯+⨯ 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级，那么，等式右侧也是数量级为1级， 为使等式是数量级为1，则v 必须是2δ量级。
第四章 对流换热_2
粘性扩散能力 热扩散能力
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr
a
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,
dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr
a
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,
dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
5.34边界层型对流传热解析
故：湍流换热比层流换热强！
三、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y 2 2 v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y 2 2 t t t t c p u x v y x 2 y 2
u x
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
Pr
a
注意：特征 尺度为当地 坐标x
Re：惯性力与粘性力之比的量度。 Nu：壁面上流体的无量纲温度梯度。 Pr：粘性(动量)扩散能力与热扩散能力的量度。
与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动:
u const ,
2
dp 0 dx
1 1 （1 1
1
）
1 1 （ 2 1
2
2
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）
2
v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
1 （1
1
）
（
2
12
） 2
p ~ 0( ) y
p ~ 0(1) x
边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
三、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y 2 2 v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y 2 2 t t t t c p u x v y x 2 y 2
u x
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
Pr
a
注意：特征 尺度为当地 坐标x
Re：惯性力与粘性力之比的量度。 Nu：壁面上流体的无量纲温度梯度。 Pr：粘性(动量)扩散能力与热扩散能力的量度。
与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动:
u const ,
2
dp 0 dx
1 1 （1 1
1
）
1 1 （ 2 1
2
2
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）
2
v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
1 （1
1
）
（
2
12
） 2
p ~ 0( ) y
p ~ 0(1) x
边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
边界层对流换热微分方程组数量级分析法[专业类别]
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第六章 单相对流传热 的实验关联式
高级课件
1
主要内容：
6-1 比拟理论、相似原理及量纲分析 6-2 相似原理的应用 6-3 内部流动强制对流换热实验关联式 6-4 外部流动强制对流换热实验关联式 6-5 自然对流换热及其实验关联式
高级课件
2
Quick Review：
5-3 对流换热的边界层微分方程组
(2) 分析无量纲湍流边界层动量和能量方程以及边界条件
(3) 分别得到
U Y
Y 0 c f
Rex 2
Y Y 0 Nux
(4) 通过实验确定cf , 从而获得Nux
(5) 对雷诺比拟进行修正，从而拓展到Pr1的情况
(6) 获得既包含层流又包含湍流的平均Nu 。
高级课件
28
6-1 相似原理及量纲分析
（1）速度边界层的定义、产生、特性和结构
（2）热边界层的定义和特点
（3）量级分析的基本思想
（4）将边界层微分方程组应用于外掠等温平板层流对流换
热过程获得的准则方程：
1
1
（5）和t的关系： hx x 0.332 u x 2 3
a
Nux 高0级.课33件2 Re1x 2 Pr1 3
3
速度边界层特点： ——边界层理论的基本思想
高级课件
26
注意以下几点：
a. Rec 和 Re的区别；
b. xc的计算；
c. 层流和湍流的判断 d. 如果既有层流，也有湍流，则需要采取分段计算热
流密度或上述的平均对流换热系数 e. 如果采用Num时，注意特征长度为换热面全长
高级课件
27
比拟理论求解湍流对流换热方法小结：
(1) 利用边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，得到 边界层内动量（流动）和能量（换热）的微分方程组
高级课件
1
主要内容：
6-1 比拟理论、相似原理及量纲分析 6-2 相似原理的应用 6-3 内部流动强制对流换热实验关联式 6-4 外部流动强制对流换热实验关联式 6-5 自然对流换热及其实验关联式
高级课件
2
Quick Review：
5-3 对流换热的边界层微分方程组
(2) 分析无量纲湍流边界层动量和能量方程以及边界条件
(3) 分别得到
U Y
Y 0 c f
Rex 2
Y Y 0 Nux
(4) 通过实验确定cf , 从而获得Nux
(5) 对雷诺比拟进行修正，从而拓展到Pr1的情况
(6) 获得既包含层流又包含湍流的平均Nu 。
高级课件
28
6-1 相似原理及量纲分析
（1）速度边界层的定义、产生、特性和结构
（2）热边界层的定义和特点
（3）量级分析的基本思想
（4）将边界层微分方程组应用于外掠等温平板层流对流换
热过程获得的准则方程：
1
1
（5）和t的关系： hx x 0.332 u x 2 3
a
Nux 高0级.课33件2 Re1x 2 Pr1 3
3
速度边界层特点： ——边界层理论的基本思想
高级课件
26
注意以下几点：
a. Rec 和 Re的区别；
b. xc的计算；
c. 层流和湍流的判断 d. 如果既有层流，也有湍流，则需要采取分段计算热
流密度或上述的平均对流换热系数 e. 如果采用Num时，注意特征长度为换热面全长
高级课件
27
比拟理论求解湍流对流换热方法小结：
(1) 利用边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，得到 边界层内动量（流动）和能量（换热）的微分方程组
5.34边界层型对流传热解析
对流传热的理论基础
5.3 边界层型对流传热问题数学描写 5.4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、稳态、不可压 缩牛顿流体，受迫流动忽略重力场)
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
t y w, x
t
算例：对于主流场均速 u 、均温 t ，并给定恒定壁温的 情况下的流体纵掠平板换热，即边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w y u u , t t
可视为边界层的又一特性
边界层内任一截面压力与 y 无关而 等于主流压力
p dp x dx
2
u u dp u （u v ) 2 x y dx y
dp du 由上式： u dx dx
du dp 若 0，则 0 dx dx
t t t t u v a( 2 2 ) x y x y
j 称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广
5.3 边界层型对流传热问题数学描写 5.4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、稳态、不可压 缩牛顿流体，受迫流动忽略重力场)
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
t y w, x
t
算例：对于主流场均速 u 、均温 t ，并给定恒定壁温的 情况下的流体纵掠平板换热，即边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w y u u , t t
可视为边界层的又一特性
边界层内任一截面压力与 y 无关而 等于主流压力
p dp x dx
2
u u dp u （u v ) 2 x y dx y
dp du 由上式： u dx dx
du dp 若 0，则 0 dx dx
t t t t u v a( 2 2 ) x y x y
j 称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广
高等热质交换技术 边界层的分析
1.速度边界层（流动边界层） 速度发生明显变化 的 流体薄层。
流动边界层厚度 :
u 0.99u
流场的划分: 主流区：y< 理想流体
紊流核 心
u 边界层区: y 速度梯度存在与粘性力的作用区。
边界层的流态： 层流边界层、过渡区、紊流边界层
2
临界距离xc ： 边界层从层流开始向紊流过渡的距 离。其大小取决于流体的物性、固体壁面的粗糙度等 几何因素以及来流的稳定度，由实验确定的临界雷诺 数Rc给定。
对流项 导热项
对流项进行比较分析
１．假定Δ／Δ ≥ １，在这种情形下，导热项的系数就应 该等于 1 1 t P r Re 2 t
由于
1 Re
t
1 Re P r
Pr t
这种情形下成立的条件只能是Ｐｒ ≥ １，意味着这样的流 体，流动边界层厚度大于或等于温度边界层厚度．
温度的无量纲参数采用： T Tw T Tw
变化范围０－１
热边界层厚度δ ｔ度不一定等于流动边界层厚度δ， δ＝ＬΔｔ ， Δｔ是某个百分数。
无量纲参数：
x X L
y Y L
1 2 2 2 U V 2 2 2 X t Y c p Lu t X Y
导热项是偏微分方程中最高阶项，必须考虑，但 2 2 2 远小于 可以忽略不计。 2 2 X Y
无量纲能量方程
1 1 2 U V 2 X t Y Pr Re 2 Y t
有量纲边界层能量 方程
T T 2T u v x y cp p y 2
u v 0 x y
边界层对流 换热微分方 程组：
边界层对流换热微分方程组数量级分析法共50页文档
边界层对流换热微分方程组数量级分 析法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— 。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
边界层分析求解
5
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内
粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x w
9
9 1 10
m
t∞ u
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
δ 0
t
δ
tw x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 0.99 时的空间位置为速度边界层的 外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
0
x
x x 5.0 w x
1
2
5.0 Re
1
2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x 1 )， 也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够 Re 1 的大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流 场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc， 其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
边界层对流换热微分方程组
（1）湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层流？
T y
w,t
T y
w, L
故：湍流换热比层流换热强！
四、边界层对换热的影响
边界层的两个作用: (1) 进行方程简化，进行理论求解； (2) 定性分析传热过程；
1、局部平均对流换热系数
右图，无限大平板，沿平板x方向 有t = t(x, y), 即二维温度场分布
17
前面4个方程求出温度场之后，可以利用对流换热微分方程：
hx
t
t y
w,x
计算当地对流换热系数 hx
说明：
1、4个方程，4个未知数(u,v,p,t) ，方程虽封闭，但是难求解；
2、1904年德国科学家普朗特(L. Prandtl) 提出了边界层概念，使 方程分解解得到发展。
相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
(4) 换热表面的几何因素：
内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
11
(5) 流体的热物理性质：
热导率 [W (m C)]
密度 [kg m3]
比热容 c [J (kg C)] 动力粘度 [N s m2 ]
目的：计算h
3
2 对流换热的特点?
(1) 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程 (2) 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须
有温差 (3) 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响，紧贴
壁面处会形成速度梯度很大的边界层
3 对流换热的基本计算式?
牛顿冷却公式:
Φ hA(tw t ) W
壁面特征长度： l ~ 0(1);
例：二维、稳态、强制对流
对流换热—2章1
2. 数学性质
从数学上看，边界层动量方程与能量方程都由原来的椭圆型 方程转化为抛物型方程，所描述问题由边值问题转化为初值问题。 二元二阶偏微分方程：
A xx B xy C yy D x E y F G( x, y )
其中， A, B, C , D, E , F , G 均为x、y的函数。 当
恒关系，不能保证边界层内任意分布函数，我们称其解为近 似解。就方程本身的性质而言，在数学上其解称为”弱解”。 边界层微分方程：尽管比原始方程简单，但还是针对边界层内任 意小的微元体建立守恒关系，其解仍称为精确解。
需要说明：对大多数层流强制对流换热，往往忽略体积力和
没有影响，也就是说，边界层流动在主流方向上呈现出步进性。
y向动量方程中：对流项、扩散项均比x向动量方程中的小得多， 可忽略，即y向的动量变化很小。此时边界层方程简化为：
p 0 y
（2.1.3）
这说明：边界层内，压力 P沿 y方向几乎无变化，而仅是 x的函数， 在任何x处截面上，各点压力相等、等于边界层外主流压力。 在主流区：
3、边界条件
描述一般二维稳态层流对流换热的微分方程是椭圆型方程，其 解的依赖域是整个求解域的封闭边界，这意味着边界条件须给出 求解域四条边界线上所有因变量的值、或分布函数、或导数。
而描述二维层流边界层稳态对流换热的微分方程是抛物型方 程，不需给出下游边界上的条件。
如对绕流等温平壁的二稳态层流边界层对流换热： u
了对流换热理论的发展。
到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。 下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。
一、边界层理论要点
1.流动边界层
绕流固体壁面的流场可分 为边界层、主流（势流区） 两个特征不同的流动区域：
CRX5
分析对象：dx·dy·z（z＝1）的微元体。
dy dx
理论依据： ① 动量守恒、能量守恒、质量守恒、付立叶定律； ② 边界层特性和数量级分析法。
2t 2u 舍去 2 、 2 ，y 方向动量微分方程. x x
方程数量：连续性方程，x 向动量微分方程， 能量微分方程，对流换热微分方 程共 4 个。
5-3 边界层对流换热微分方程组
对流换热微分方程组包括： 连续性方程、动量微分方程、能量微分方程、对流 换热微分方程。 利用对流换热微分方程组，可以确定速度场、温度 场、进而求出对流换热系数 h。 推导： 条件：二维、不可压缩牛顿型粘性流体（服从
u 、 常物性、 流速不太高。 ） 无内热源、 y
对空气， Pr const ，则可简化为 （受迫） （自由）
Nu f (Gr )
说明： ① 实验关联式上的每一个点代表了无数个相 似现象。
② 只有当已定准则（如Re、Pr）完全相同时，
两现象才相似，但当难以完全做到时，可以
放弃次要因素采取近似模化。
③ 在整理实验结果时，应预先选取定性温度和
定型尺寸。 四、模型实验数据整理方法（自学）ref. P116～118
1 2 C , ——时间相似倍数。 1 ' 2 '
其它： C , C , C , Ct 说明：① 物理现象相似的先决条件是几何相似； ② 相似现象只发生于同类物理现象中。
二、相似准则
1. 相似准则的导出 由两相似现象的微分方程 对应的相似准则。 2. 对流换热常用相似准则及其物理意义 1）雷诺准则 Re 由动量微分方程通过相似分析导出
对平板： 临界长度 xc：由层流转变成紊流处距前缘的长度。 临界雷诺数 Rec：Re＝Rec 时，流动状态开始由 层流→紊流。
层流边界层流动和换热的相似解(一) 共17页PPT资料
L
（2） 考虑边界层内x方向的动量方程
（ u u xv u y) 1 p x( x 2u 2 y 2u 2)
U
U L
，vU
p ，U，U L L
分母为平 方
由于L >> δ，上式可简化为： 可忽略
（ u u xv u y) 1 p x y2u 2 （1）
由表8-1知， f ''(0) 0.332
η=ν·ρ ν－－试样运动粘度 ρ－－与测量运动粘度 相同温度下试样的密度
w0.332xU 3
0.332U 2
Rxe
引入局部摩擦系数
Cf 1 2U w 2 0.66R4e12
对应于整个平板长度L的平均摩擦系数为
C f,mL 10 LC fd x1.32 R8 L e 12
2T 2T
uxvya(x2 y2)
u|y00,v|y00,t |y0tw u|yu,t |yt u const
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
x～L，y～δ，u～ U∞
（1） uv 0 x y
U
v
L
由
U L
~
v
，可知 v～ U
dppp dy dx x y dx
（4）
从动量方程的数量级分析，考虑压力项和摩擦项平衡， 如方程（1），有 Nhomakorabeap～
x
U 2
类似地，由方程（2）得
p ～
y
v 2
再考虑方程（3）的右侧第二项的数量级
(p/y)d ( /yd)x ～v～ （ ） 2 ＜1＜
p/x
dx
uv 0 x y
（ u u xv u y) 1dd px y 2u 2
（2） 考虑边界层内x方向的动量方程
（ u u xv u y) 1 p x( x 2u 2 y 2u 2)
U
U L
，vU
p ，U，U L L
分母为平 方
由于L >> δ，上式可简化为： 可忽略
（ u u xv u y) 1 p x y2u 2 （1）
由表8-1知， f ''(0) 0.332
η=ν·ρ ν－－试样运动粘度 ρ－－与测量运动粘度 相同温度下试样的密度
w0.332xU 3
0.332U 2
Rxe
引入局部摩擦系数
Cf 1 2U w 2 0.66R4e12
对应于整个平板长度L的平均摩擦系数为
C f,mL 10 LC fd x1.32 R8 L e 12
2T 2T
uxvya(x2 y2)
u|y00,v|y00,t |y0tw u|yu,t |yt u const
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
x～L，y～δ，u～ U∞
（1） uv 0 x y
U
v
L
由
U L
~
v
，可知 v～ U
dppp dy dx x y dx
（4）
从动量方程的数量级分析，考虑压力项和摩擦项平衡， 如方程（1），有 Nhomakorabeap～
x
U 2
类似地，由方程（2）得
p ～
y
v 2
再考虑方程（3）的右侧第二项的数量级
(p/y)d ( /yd)x ～v～ （ ） 2 ＜1＜
p/x
dx
uv 0 x y
（ u u xv u y) 1dd px y 2u 2
高等传热学复习题答案
2013年高等传热学复习题黄祯光 12S002002一、解释概念（数学表达式、物理含义）。
1、粘性耗散效应及耗散函数Φ：粘性应力做功将动能转化为热能的现象即为粘性耗散效应，将引起粘性耗散效应的流体应变关系定义为耗散函数Φ：22()()3j j i i j j i jx x x x υυυυ∂∂∂∂Φ=+-∂∂∂∂ 2、随动导数（物质导数、实体导数）：d d i ib b bv x ττ∂∂=+∂∂，表示的是固定流体质点的某一特性量变化率。
若b 代表流速v i ，则d d iv τ代表流体质点的真实加速度d d i i i i j j v v v a v x ττ∂∂==+∂∂，式中iv τ∂∂表示当地加速度，i j j v v x ∂∂表示对流加速度。
3、热边界层：固体壁面附近，在垂直于壁面方向上，存在很大的温度梯度，流体温度发生剧烈变化的薄层。
在热边界层内沿壁面法向导热是主要的传热方式，热边界层厚度δt <<L ，热边界层的流动状态对换热起着决定性作用。
层流热边界层内：沿壁面法向的热流传递方式主要是导热。
湍流边界层内：粘性底层靠导热，湍流核心区的脉动对流占主要地位。
4、热充分发展流：将热边界层汇合后的区域称为热充分发展流，此区域为无量纲温度分布不随主流方向(x 方向)发生变化，即截面内各点的温度保持按一定规律同步变化，流体与壁面的换热强度不变化。
5、雷诺应力：tij i j τρυυ''=-，表示因速度脉动而引起的动量传递（扩散性质），通常称为湍流附加应力或雷诺应力。
6、雷诺热流：t j p j q c T ρυ''=，表示因速度脉动与温度脉动所引起的x j 方向附加热流，称为湍流附加热流或雷诺热流。
7、湍流强度J ：湍流脉动速度与平均速度的比值，21211(')3j J v V ==，V u '，v '，w '是三个方向的脉动速度，当222u v w '''==时为各项同性湍流，否则为各向异性湍流。
5.34边界层型对流传热
当 Pr = 1时，则 u* 与 应该有完全相同的解，此时：
u *
y * y* 0
y * y * 0
u* y*
y* 0
u y
y0
l u
u
y
l
y0 u
w
l
u
cf
Re 2
w cf
u 2
2
u* y*
y* 0
u y
y 0 u 0, v 0, t tw
y u u, t t
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0
x Re x
cf
w
1 2
u2
0.664 Re x
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
1
1
hx
0.332
x
u
x
2
St
Nu
Re Pr
j 称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广
此时的准则数为：
Nux
cf 2
1
Rex Pr3
c f 0.0592Rex1 5
41
Nux 0.0296 Rex5 Pr3
当平板长度 l 大于临界长度 xc 时，平板上的边界层由层流段和 湍流段组成。其Nu分别为：
y x l
v ~ 0( )
u v 0 x y
1 1
（u
u x
v
u y
)
p x
(
2u x2
2u y 2
第5章 对流传热理论与计算-3-边界层理论ppt课件
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4
§5-3 边界层概念及边界层换热微分方程组
★普朗特提出了边界层理论 ★边界层理论的意义：简化N-S方程，得到分析解 ★类似于流动边界层，提出了热边界层，以简化能量方程
1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl
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5
普朗特
❖ 普朗特（Ludwig Prandtl 1875~1953）德国力学家。 近代力学奠基人之一
x y
y x 2 y 2
t t t
2t 2t
uxvya(x2y2)
h 最新t版整理ytpp|ty0
3
§5-3 边界层概念及边界层传热微分方程组
对流项的非线性
u u u x v u yX 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
目前为止完整的动量方程方程仍然没有求出解析解
48
2 热边界层
❖ 热边界层——壁面附近温度发生剧烈变化的区域 ❖ 热边界层厚度将随着壁面加热或冷却作用而不断加厚
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49
❖ 受管内空间限制，在离管入口的某个长度处，热边界层 充满整个管道
❖ 换热充分发展——热边界层厚度达到管半径的对流传热 ❖ 换热入口段——管入口到热边界层开始充满整个管道的
扩散系数
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35
❖ 边界层越厚，说明壁面的传热或摩擦对流体的温度或 速度的影响越大
❖ 2 两类边界层是相互影响
❖ 流动和传热同时存在时，两类边界层存在着密切的联系 ❖ ——温度边界层通过影响粘度而影响速度边界层 ❖ ——热边界层内的传热机理取决于流动边界层内的流
动状态
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36
29
2 热边界层的特点
对流换热---讲义
在y方向上导入的净热量：
在x方向上流入的净热量
2t 2 dxdy y
u t ucptdy c p u dx t dx dy x x u t u t ucp tdy c p dy ut tdx udx dxdx x x x x u t u t c p t dxdy c p u dxdy c p dxdxdy x x x x
略去高次项后得
t u c p t u dxdy x x
同理得Y方向上的净热量
v t c p t v dxdy y y 单位时间内的微元控制体内的焓增 dxdyc p t
代入热力学第一定理得
t 2t 2t dxdycp 2 dxdy 2 dxdy x y u t v t c p t u t v dxdy x x y y
对流换热
§5-1 对流换热概述
对流换热:流体流过固体壁面情况下所发生的热量交换. 对流换热以牛顿冷却公式为其基本计算式,即
q ht
或对于面积为A的接触面
hAtm
其中t 为换热面积A上的平均温差.约定q 及 总是取正值,因 此t及tm也要求取正值.
一.对流换热的分类
1.按动力分
二、对流传热的基本公式 ( h 的确定方式)
q 滑移边界条件
W
t A y
y 0
令上两式相等则有
t Ah t A y
则
y 0
t h t y
y 0
§5-2
一、假设条件
对流换热问题的数学描述
为简化分析,对于影响常见对流换热问题的主要因素,做如 下假设: (1) 流动是二维的; (2) 流体为不可压缩的牛顿流体; (3) 流体物性为常数,无内热源; (4) 流速不高,忽略粘性耗散(摩擦损失) ; (5) 流体为连续性介质
在x方向上流入的净热量
2t 2 dxdy y
u t ucptdy c p u dx t dx dy x x u t u t ucp tdy c p dy ut tdx udx dxdx x x x x u t u t c p t dxdy c p u dxdy c p dxdxdy x x x x
略去高次项后得
t u c p t u dxdy x x
同理得Y方向上的净热量
v t c p t v dxdy y y 单位时间内的微元控制体内的焓增 dxdyc p t
代入热力学第一定理得
t 2t 2t dxdycp 2 dxdy 2 dxdy x y u t v t c p t u t v dxdy x x y y
对流换热
§5-1 对流换热概述
对流换热:流体流过固体壁面情况下所发生的热量交换. 对流换热以牛顿冷却公式为其基本计算式,即
q ht
或对于面积为A的接触面
hAtm
其中t 为换热面积A上的平均温差.约定q 及 总是取正值,因 此t及tm也要求取正值.
一.对流换热的分类
1.按动力分
二、对流传热的基本公式 ( h 的确定方式)
q 滑移边界条件
W
t A y
y 0
令上两式相等则有
t Ah t A y
则
y 0
t h t y
y 0
§5-2
一、假设条件
对流换热问题的数学描述
为简化分析,对于影响常见对流换热问题的主要因素,做如 下假设: (1) 流动是二维的; (2) 流体为不可压缩的牛顿流体; (3) 流体物性为常数,无内热源; (4) 流速不高,忽略粘性耗散(摩擦损失) ; (5) 流体为连续性介质
层流边界层的流动与换热
引入前面定义的相似变量η，得到
u ( ) U U x
（7-3-5）
令f
U x
称无量纲流函数，则有
1 2
(U x)
f ( )
（7-3-6）
考虑常物性不可压缩流体流过平板的二维稳态边界层的连续 性方程和动量方程及相应的边界条件得到： （7-3-7） ''' ''
t t 2T 2T u v a( ) 2 2 x y x y
•边界条件为： 壁面处 u=0, 非滑移界面 v=0,无渗透表面 T T0 ,常壁温 远离壁面处 u= U , 均匀流 v=0,均匀流 T T ,均匀温度
§7-2 边界层分析
1、速度边界层
从 y = 0、u = 0 开始，u 随着 y 方向离壁面距离的增加而迅 速增大；经过厚度为 的薄层， u 接近主流速度 u y = 薄层 — 流动边界层 或速度边界层
相似变量η与坐标y成正比，比例系数与x有关，令
u （） U
（7-3-1）
y y 12 Re x y ( x) x
U x
（7-3-2）
23
第七章 层流边界层的流动与换热
将速度用流函数ψ表示：
u
则
y
, v x
（7-3-3） （7-3-4）
u 1 U U y
4、边界层的提出 温度边界层以外的区域中，流体内部没 有温差，因而不存在传热，研究对流换 热问题只需要考虑温度边界层内的热量 传递就够了。因此，温度边界层概念的 提出，不仅可以简化对流传热问题的数 学模型，而且使需要求解的区域大大缩 小。
第七章 层流边界层的流动与换热
第7章 对流换热求解方法-技工院
15
传热学
3. 凡是彼此相似的现象，描写该现象的同名特征数对应 相等。 三、判断相似的条件 • 判断相似的条件是： （1）同名的已定特征数相等；（2）单值性条件相似。 2. 已定特征数是由所研究问题的已知量组成的特征数。 如在研究对流换热现象时，Re、Pr数是已定准则数，而 Nu数为待定准则数，因为其中 h 是要求解的未知量。 3. 单值性条件包括初始条件、边界条件、几何条件和 物理条件。
0 ( x / )
x
0: 1:
Bi ( x / )
由上可知：
f 明：4个无量纲量以一定的函数形式联系在 一起，而且对两个一维无限大平板的非稳态导热问 题而言，只要单值性条件相似， 之值对 Fo, Bi, x / 值必定相等，即非稳态导 应相等，则两个平板的 热现象相似。
6
传热学
• 引入速度边界层的意义：流动区域可分为主流区 和边界层区，主流区可看作理想流体的流动，只 在边界层区才需要考虑流体的粘性作用。
y 主流区 0 x
u∞
l
7
边界层区
x
传热学
2) 温度边界层（热边界层）
• 定义：在对流换热时，固体壁面附近温度发生 剧烈变化的薄层称为温度边界层或热边界层。
x y u u 1 dp 2u u v 2 x y dx y t t 2t u v a 2 x y y
13
传热学
7.2
相似理论基础
1. 由实验求取对流换热的实用关联式，仍是传热
研究中的一个重要和可靠的手段。
2. 对存在许多影响因素的复杂物理现象，要找出
• 高普朗特数流体，如一些油类的流体，在 102~103的量级；
• 中等普朗特数的流体，0.7~10之间，如气 体为0.7~1.0，水为0.9~10； • 低普朗特数的流体，如液态金属等，在 0.01的量级。
传热学
3. 凡是彼此相似的现象，描写该现象的同名特征数对应 相等。 三、判断相似的条件 • 判断相似的条件是： （1）同名的已定特征数相等；（2）单值性条件相似。 2. 已定特征数是由所研究问题的已知量组成的特征数。 如在研究对流换热现象时，Re、Pr数是已定准则数，而 Nu数为待定准则数，因为其中 h 是要求解的未知量。 3. 单值性条件包括初始条件、边界条件、几何条件和 物理条件。
0 ( x / )
x
0: 1:
Bi ( x / )
由上可知：
f 明：4个无量纲量以一定的函数形式联系在 一起，而且对两个一维无限大平板的非稳态导热问 题而言，只要单值性条件相似， 之值对 Fo, Bi, x / 值必定相等，即非稳态导 应相等，则两个平板的 热现象相似。
6
传热学
• 引入速度边界层的意义：流动区域可分为主流区 和边界层区，主流区可看作理想流体的流动，只 在边界层区才需要考虑流体的粘性作用。
y 主流区 0 x
u∞
l
7
边界层区
x
传热学
2) 温度边界层（热边界层）
• 定义：在对流换热时，固体壁面附近温度发生 剧烈变化的薄层称为温度边界层或热边界层。
x y u u 1 dp 2u u v 2 x y dx y t t 2t u v a 2 x y y
13
传热学
7.2
相似理论基础
1. 由实验求取对流换热的实用关联式，仍是传热
研究中的一个重要和可靠的手段。
2. 对存在许多影响因素的复杂物理现象，要找出
• 高普朗特数流体，如一些油类的流体，在 102~103的量级；
• 中等普朗特数的流体，0.7~10之间，如气 体为0.7~1.0，水为0.9~10； • 低普朗特数的流体，如液态金属等，在 0.01的量级。
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就不必进行换热实验，只要由比拟关系并利用阻力系数cf的实 验结果，就可得到Nu的计算公式。
24
当 Pr 1时，需要进行修正，于是有 契尔顿－柯尔本比拟（修正雷诺比拟）：
cf 2
St Pr2 / 3
j
(0.6 Pr 60)
式中， St 称为斯坦顿（Stanton）数，其定义为
St
t y
a
2t y2
边界层对流换热微分方程组：
u v 0
x y
u
u x
v
u y
1
dp dx
2u y 2
t t 2t
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
u x v y a y2
实例：
对于主流场均速 u 、均温 t，并给定恒定壁温的情况下的流体 纵掠平板换热，即边界条件为
（2）热边界层的定义和特点
（3）量级分析的基本思想
（4）将边界层微分方程组应用于外掠等温平板层流对流换
热过程获得的准则方程：
1
1
（5）和t的关系：
hx x
0.332
u x
2
3
a
Nux 0.332 Re1x 2 Pr1 3
3
速度边界层特点： ——边界层理论的基本思想
注意：特征 尺度为当地
普朗特数
坐标x
10
平均努塞尔数Nu：
Nul
l
Nu
dx
0.664 Re1 2 Pr1 3
0
x
计算时注意适用条件：
1）Nux，Nul，hx，hl的区别 2）Pr≥1
3）x 和 l 的选取
4）Re5×105
5）定性温度t 取 t t f tw 2
11
六、流动边界层和热边界层比较
13
5-4 流体外掠平板传热的层流分析解及比拟理论
一、流体外掠等温平板传热的层流分析解
假定平板表面温度为常数，边界层动量方程中dp/dx=0，可以求解 得到层流截面上速度场和温度场的分析解。
离开前缘x处的边界层厚度为
局部切应力与
5.0
x
Re x
流动动压头之 比
范宁局部摩擦系数（Fanning friction coefficient）
（1）流场分为主流区和边界层区。只有在边界层区才考虑粘性 的影响，需用粘性流体的微分方程描述。在主流区，流体视为理 想流体，用贝努利程描述； （2）边界层内厚度δ<<壁面尺寸l， δ= δ (x) ； （3）在边界层内，流动状态分为层流、过渡流和紊流；紊流边 界层内紧贴壁面处仍有极薄层保持层流状态，称为层流底层。
(a)
x y
1
1
动量方程：
（ u
u x
v
u y
)
p x
(
2u x2
2u y 2
)
(b)
1（1 1 1
1）
1 （2 1
12
1）
2
（ u
v x
v
v y
)
p y
(
2v x2
2v y2
)
(c)
1（1
1
）
(3) 分别得到
U Y
Y 0 c f
Rex 2
Y
Y 0
Nux
(4) 通过实验确定cf , 从而获得Nux
11
x xc时，层流，Nux 0.332 Re 2 Pr 3
41
x xc时，湍流，Nux 0.0296Re 5 Pr 3
则平均对流换热系数 hm 为:
hm
0.332
u
1
2
l
xc
1
x2
dx
0.0296
u
4
5
0
l 1 1 x 5 dx Pr 3
c. 层流和湍流的判断 d. 如果既有层流，也有湍流，则需要采取分段计算热
流密度或上述的平均对流换热系数 e. 如果采用Num时，注意特征长度为换热面全长
27
比拟理论求解湍流对流换热方法小结：
(1) 利用边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，得到 边界层内动量（流动）和能量（换热）的微分方程组
(2) 分析无量纲湍流边界层动量和能量方程以及边界条件
Nu
Re Pr
j 称为 j 因子，无量纲表面传热系数，在制冷、低温工业的换热器 设计中应用较广。
此时的准则方程为：
Nux
cf 2
Rex
1
Pr 3
c f 0.0592Rex1 5
41
Nux
0.0296
Re
5 x
Pr 3
25
当平板长度 l 大于临界长度 xc 时，平板上的边界层由层流段和 湍流段组成。其Nu分别为：
——边界层概念的基本思想
五、边界层对流换热微分方程组
根据流动边界层和热边界层的特点，运用数量级分析的方法，将 对流换热微分方程组进行简化，即
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
数量级分析法：通过比较方程式中各项数量级的相对大小，把量 级大的保留，量级小的舍弃，实现方程式的简化。
第六章 单相对流传热 的实验关联式
主要内容：
6-1 比拟理论、相似原理及量纲分析 6-2 相似原理的应用 6-3 内部流动强制对流换热实验关联式 6-4 外部流动强制对流换热实验关联式 6-5 自然对流换热及其实验关联式
Quick Review：
5-3 对流换热的边界层微分方程组
（1）速度边界层的定义、产生、特性和结构
（2
12
） 2
p dp x dx
p ~ 0( )
y
p ~ 0(1) x
（u
u x
v
u y
)
dp dx
2u y2
能量方程：
u
t x
v
t y
a(
2t x 2
2t y 2
)
(d)
1
1 1
1
（2
1 12
1）
2
u
t x
v
2 4.64 x
0.332
x
Re
x
1 2
Pr
1 3
Nux
hx
1
0.332 Re x 2
1
Pr 3
整个平板表面换热系数：
h 1 l
l
0 hxdx 2hl
1
0.664Re 2
1
Pr 3
1
1
Nu 0.664Re 2 Pr 3
15
计算过程注意事项：
a. Pr 1 ；
b. Nu 与 Nu ，hx 与 h 两对变量的差别；
3
Nu x
0.332
Re
1 x
2
Pr1
3
特征数方程 (准则方程)
9
Nu x
0.332
Re
1 x
2
Pr
1
3
特征数方程 或准则方程
注意上面准则方程的适用条件：
外掠等温平板、层流、无内热源
式中：
Nux
hx x
Re x
u x
Pr
a
努塞尔(Nusselt)数
雷诺(Reynolds)数
解：空气的物性参数按板表面温度和空气温度的平均值 30 ℃确定。30℃时空气的=16×10-6m2/s, Pr=0.701 对长为400mm的平板而言：
Re
ul v
10 0.4 16106
2.5 105
这一Re数位于层流到湍流的过渡范围内。但由图5-9可见，按层流处 理仍是允许的，其流动边界层的厚度按式5-19计算为：
5.0 vx 5.0 16106 m2 / s x
u
10m / s
6.36
103
m
1 2
1
x 0.0636cm 2
x
18
热边界层的厚度可按式5-21计算
t
3 Pr
3
0.701
1.13
及t 计算结果示于图5-11
19
二、比拟理论
基本思想：假设流动的阻力特性与换热特性有一 定的关系，依据这种关系就可以在已知阻力系数 的情况下推算出与之对应的换热系数。
y 0，u 0 ，v 0 ，t 0
y ，u u，v 0 ，t t
21
引入下列7个无量纲量：
U u u
v V
u
Xx l
Yy l
t t
tw tw
Re uL
Pr v a
可以得到边界层内流动和换热的无量纲化微分方程组，即
U U 1 2U
xc
Num 0.664 Re1c 2 0.037(Re4 5 Rec4 5 ) Pr1 3
如果取 Rec 5 105，则上式变为：
Num 0.037 Re4 5 871 Pr1 3
24
当 Pr 1时，需要进行修正，于是有 契尔顿－柯尔本比拟（修正雷诺比拟）：
cf 2
St Pr2 / 3
j
(0.6 Pr 60)
式中， St 称为斯坦顿（Stanton）数，其定义为
St
t y
a
2t y2
边界层对流换热微分方程组：
u v 0
x y
u
u x
v
u y
1
dp dx
2u y 2
t t 2t
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
u x v y a y2
实例：
对于主流场均速 u 、均温 t，并给定恒定壁温的情况下的流体 纵掠平板换热，即边界条件为
（2）热边界层的定义和特点
（3）量级分析的基本思想
（4）将边界层微分方程组应用于外掠等温平板层流对流换
热过程获得的准则方程：
1
1
（5）和t的关系：
hx x
0.332
u x
2
3
a
Nux 0.332 Re1x 2 Pr1 3
3
速度边界层特点： ——边界层理论的基本思想
注意：特征 尺度为当地
普朗特数
坐标x
10
平均努塞尔数Nu：
Nul
l
Nu
dx
0.664 Re1 2 Pr1 3
0
x
计算时注意适用条件：
1）Nux，Nul，hx，hl的区别 2）Pr≥1
3）x 和 l 的选取
4）Re5×105
5）定性温度t 取 t t f tw 2
11
六、流动边界层和热边界层比较
13
5-4 流体外掠平板传热的层流分析解及比拟理论
一、流体外掠等温平板传热的层流分析解
假定平板表面温度为常数，边界层动量方程中dp/dx=0，可以求解 得到层流截面上速度场和温度场的分析解。
离开前缘x处的边界层厚度为
局部切应力与
5.0
x
Re x
流动动压头之 比
范宁局部摩擦系数（Fanning friction coefficient）
（1）流场分为主流区和边界层区。只有在边界层区才考虑粘性 的影响，需用粘性流体的微分方程描述。在主流区，流体视为理 想流体，用贝努利程描述； （2）边界层内厚度δ<<壁面尺寸l， δ= δ (x) ； （3）在边界层内，流动状态分为层流、过渡流和紊流；紊流边 界层内紧贴壁面处仍有极薄层保持层流状态，称为层流底层。
(a)
x y
1
1
动量方程：
（ u
u x
v
u y
)
p x
(
2u x2
2u y 2
)
(b)
1（1 1 1
1）
1 （2 1
12
1）
2
（ u
v x
v
v y
)
p y
(
2v x2
2v y2
)
(c)
1（1
1
）
(3) 分别得到
U Y
Y 0 c f
Rex 2
Y
Y 0
Nux
(4) 通过实验确定cf , 从而获得Nux
11
x xc时，层流，Nux 0.332 Re 2 Pr 3
41
x xc时，湍流，Nux 0.0296Re 5 Pr 3
则平均对流换热系数 hm 为:
hm
0.332
u
1
2
l
xc
1
x2
dx
0.0296
u
4
5
0
l 1 1 x 5 dx Pr 3
c. 层流和湍流的判断 d. 如果既有层流，也有湍流，则需要采取分段计算热
流密度或上述的平均对流换热系数 e. 如果采用Num时，注意特征长度为换热面全长
27
比拟理论求解湍流对流换热方法小结：
(1) 利用边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，得到 边界层内动量（流动）和能量（换热）的微分方程组
(2) 分析无量纲湍流边界层动量和能量方程以及边界条件
Nu
Re Pr
j 称为 j 因子，无量纲表面传热系数，在制冷、低温工业的换热器 设计中应用较广。
此时的准则方程为：
Nux
cf 2
Rex
1
Pr 3
c f 0.0592Rex1 5
41
Nux
0.0296
Re
5 x
Pr 3
25
当平板长度 l 大于临界长度 xc 时，平板上的边界层由层流段和 湍流段组成。其Nu分别为：
——边界层概念的基本思想
五、边界层对流换热微分方程组
根据流动边界层和热边界层的特点，运用数量级分析的方法，将 对流换热微分方程组进行简化，即
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
数量级分析法：通过比较方程式中各项数量级的相对大小，把量 级大的保留，量级小的舍弃，实现方程式的简化。
第六章 单相对流传热 的实验关联式
主要内容：
6-1 比拟理论、相似原理及量纲分析 6-2 相似原理的应用 6-3 内部流动强制对流换热实验关联式 6-4 外部流动强制对流换热实验关联式 6-5 自然对流换热及其实验关联式
Quick Review：
5-3 对流换热的边界层微分方程组
（1）速度边界层的定义、产生、特性和结构
（2
12
） 2
p dp x dx
p ~ 0( )
y
p ~ 0(1) x
（u
u x
v
u y
)
dp dx
2u y2
能量方程：
u
t x
v
t y
a(
2t x 2
2t y 2
)
(d)
1
1 1
1
（2
1 12
1）
2
u
t x
v
2 4.64 x
0.332
x
Re
x
1 2
Pr
1 3
Nux
hx
1
0.332 Re x 2
1
Pr 3
整个平板表面换热系数：
h 1 l
l
0 hxdx 2hl
1
0.664Re 2
1
Pr 3
1
1
Nu 0.664Re 2 Pr 3
15
计算过程注意事项：
a. Pr 1 ；
b. Nu 与 Nu ，hx 与 h 两对变量的差别；
3
Nu x
0.332
Re
1 x
2
Pr1
3
特征数方程 (准则方程)
9
Nu x
0.332
Re
1 x
2
Pr
1
3
特征数方程 或准则方程
注意上面准则方程的适用条件：
外掠等温平板、层流、无内热源
式中：
Nux
hx x
Re x
u x
Pr
a
努塞尔(Nusselt)数
雷诺(Reynolds)数
解：空气的物性参数按板表面温度和空气温度的平均值 30 ℃确定。30℃时空气的=16×10-6m2/s, Pr=0.701 对长为400mm的平板而言：
Re
ul v
10 0.4 16106
2.5 105
这一Re数位于层流到湍流的过渡范围内。但由图5-9可见，按层流处 理仍是允许的，其流动边界层的厚度按式5-19计算为：
5.0 vx 5.0 16106 m2 / s x
u
10m / s
6.36
103
m
1 2
1
x 0.0636cm 2
x
18
热边界层的厚度可按式5-21计算
t
3 Pr
3
0.701
1.13
及t 计算结果示于图5-11
19
二、比拟理论
基本思想：假设流动的阻力特性与换热特性有一 定的关系，依据这种关系就可以在已知阻力系数 的情况下推算出与之对应的换热系数。
y 0，u 0 ，v 0 ，t 0
y ，u u，v 0 ，t t
21
引入下列7个无量纲量：
U u u
v V
u
Xx l
Yy l
t t
tw tw
Re uL
Pr v a
可以得到边界层内流动和换热的无量纲化微分方程组，即
U U 1 2U
xc
Num 0.664 Re1c 2 0.037(Re4 5 Rec4 5 ) Pr1 3
如果取 Rec 5 105，则上式变为：
Num 0.037 Re4 5 871 Pr1 3