高考反函数问题常见类型解析

高考反函数问题常见类型解析

反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

一. 条件存在型

例1.函数f x x ax ()=--2

23在区间[

]

12，上存在反函数的充要条件是（ ）

A. (]a ∈-∞，1

B. [)a ∈+∞2，

C. (][)a ∈-∞+∞，，12

D. []

a ∈12，

解析：因为二次函数f x x ax ()=--2

23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的

子区间(

]-∞，a 或[

)a ，+∞上是单调函数。而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函

数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。故选（C ）

点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。

二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤23

10()的反函数是（ ）

A. y x x =+≥-()()113

B. y x x =-+≥-()()113

C. y x x =

+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103

解析：由x ≤0可得x 23

0≥，故y ≥-1，从y x =-23

1解得x y =±+()13

因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113

故选（B ）。 点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。

三.求定义域值域型 例3.若f

x -1

()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1

101()，可求得f －1（x ）的值域为

()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1（x ）的值域

为()-+∞1，。

点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。

四.性质判断型

例4. 函数y e e x x

=--2

的反函数是（ ）

A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；

B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数

C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；

D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 解析：因为e x 在（0，+∞）上是增函数，e x -在（0，+∞）上是减函数，所以

y e e x x =--2

在（0，+∞）上是增函数易知y e e x x =--2为奇函数

利用函数y f x =()与f －

1（x ）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条

性质，立即选（C ）。

五. 反函数求值型

例5. 设3

5

2)(-+=

=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线y=x 对

称，则 g(3)= 。

解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a ，b ）在原函数上，则（b ，a ）一定在反函数上，反之也成立。于是可设（4，a ）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a ，4）为)1(1

+=-x f

y 图象上的一点，（a+1，4）为)(1

x f

y -=图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有123

45

421=⇒-+⨯=+a a 。

点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f a =-1

()。得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。

六.方程关联型

例6.已知函数f x x ()log =+⎛⎝

⎫

⎭

⎪342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。 解析：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f

a =-1

()。所以只需求出f ()

4的值即为f －

1（x ）=4中的x 的值。易知f ()41=，所以x =1即为所求的值。

点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f －

1（x ）的解

析式，再解方程f －

1（x ）=4，也可得x =1。

七.不等式关联型

例7.设f －1

（x ）是函数f x a a a x x

()()=

->-2

1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的取值范围是（ ）

A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，

B. -∞-⎛⎝ ⎫

⎭⎪，a a 212 C. a a a 212-⎛⎝ ⎫⎭

⎪， D. ()a ，+∞

解析：由a >1，知函数f （x ）在R 上为增函数，所以f －

1（x ）在R 上也为增函数。

故由f －1

（x ）>1，有x f >()1而f a a a a

()1121122

=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=

-，可得x a a >-2

12，故选（A ）。 点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。 八.图象挖掘型

例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f

x =-1

()，则y f x =--11()的图象是（ ）

解析：由题意知f

x x

-=1

2()，则f x x x x ------===⎛⎝ ⎫⎭

⎪1111

12212()()

所以

y f x =--1

1()的图象可由y x

=⎛⎝ ⎫

⎭

⎪12的图象向右平移1个单位而得到。故选（C ）。

点评：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线y x =对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函数称为自反函数。

九.问题综合型

例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441

2

=-+-·。

（1）试求f （x ）的反函数f －

1（x ）的解析式及f －

1（x ）的定义域； （2）设g x x k ()log =+21，若x ∈⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥1223，时，f x g x -≤1()()恒成立，求实数k 的取值范围。

解析：（1）因为f （x ）是奇函数，且x R ∈，所以f a a

()001

02=-

=，即，得a =1 所以f x x x ()=-+2121，可求得f x ()()∈-11，，令y x x =-+21

21

，反解出

211112x y y x y y =+-=+-，log ，从而f x x x

x -=+-∈-1

2

1111()log ()，，