第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)

第1讲 导数的计算与几何意义

1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1

B ．

12

C ．12ln -

D ．122ln -

【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得1211

1

k x x =

=

+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得1122

2

(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩，

联立上述式子解得2k =，11

2

x =

，212x =-．

代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．

2．已知函数31

()34

f x x ax =-+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则a 的值为( ) A ．

1

2

B ．12

-

C ．34-

D ．

14

【解析】解：设切点为(,0)m ，则31

304

m am -+=，① 31

()34

f x x ax =-+

的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得1

2

m =，14a =．

故选：D ．

3．过函数321

()3

f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )

A ．3[0,

]4π

B ．3[0,)[,)24

πππ

C ．3[

,)4π

π D ．3(,]24

ππ

【解析】解：由函数321

()3

f x x x =-，得2()2f x x x '=-，

设函数321

()3

f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，

则22()2(1)11f x x x x '=-=---，

tan 1α∴-，

02

π

α∴<

或

34

παπ<．

∴过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，3)

[

2

4

π

π

，)π． 故选：B ．

4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)e

B ．(0，]e

C ．(0,2)e

D ．(0，2]e

【解析】解：()2f x x '=，()a g x x

'=

， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n t

m s m s

-=

=

-， 又1t alns =-，21n m =-，

可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s

=

， 即有2

2m ms alns =-，即2

24a a alns s

=-，

可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >，

()84(2)484(12)h s s slns s s slns s lns '=-+=-=-，

可得0s <<()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，

可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．

5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()y ln x b =+相切，则2

2a b

-的取值范围是( )

A ．(0,)+∞

B ．(0,1)

C ．1

(0,)2

D ．[1，)+∞

【解析】解：函数()y ln x b =+的导数为1

1y x b

'==+，1x b =-，

切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，(0,1)a ∴∈，

则22

21a a b a

=-+，

令g （a ）21a a

=+，则g '（a ）2(2)

0(1)a a a +=>+，

则函数g （a ）为增函数，

∴21

(0,)22

a b ∈-． 故选：C ． 6．若曲线2

12y x e

=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．2-

B ．

12

C ．1

D ．2

【解析】解：曲线212y x e =

的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e

=． 曲线y alnx =的导数为：a

y x

'=

，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．

曲线2

12y x e

=

与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，

可得s a e s =，并且21

2t s e =，t alns =，

即212s a e s s alns

e

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12lns =，解得2s e =．

可得1a =． 故选：C ．

7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()

01

f x xf x x +'>-，

若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为3

4

-，则f （1）(= )

A ．0

B ．1

C ．38

D ．15

【解析】解：当0x >且1x ≠时，

2()()

01

f x xf x x +'>-，

可得：1x >时，2()()0f x xf x +'>；10x >>时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．

2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．

可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，