2019届高考数学(理科)二轮专题复习限时规范训练 第一部分 专题七 概率与统计 1.7.2含答案

限时规范训练十九 概率、随机变量及其分布列限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B.如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.2．(2017·山东济南模拟)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选B.记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝n A ∩B n A ＝69＝23.3．(2017·江西七校联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78 B.34 C.12D.14解析：选B.∵函数f (x )有零点．∴Δ＝4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，设事件A 表示“函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点”．如图所示，试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD 及其内部，事件A 发生的区域是图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2，∴P (A )＝3π24π2＝34.4．(2017·河南洛阳模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625解析：选B.由题意得任取两球有C 26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为6C 26＝25，故4人中有3人中奖的概率为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625.故选B. 5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1解析：选A.由题意得X ＝0,1,2，则P (X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以E (X )＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.6．小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为34，每次操作考试通过的概率为23，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是( )A.13B.38C.23D.34解析：选B.设“小明本次电工考试中共参加3次考试”为事件A ，“小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过”为事件B ，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试通过”为事件C ，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试没通过”为事件D ，则P (A )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )，而P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝18，P (C )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝16，P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，所以P (A )＝18＋16＋112＝38，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．在区间[0,1]上随机取两个数x 、y ，则事件“y ≤x 4”发生的概率为________． 解析：在区间[0,1]上随机取两个数x 、y ，则(x ，y )组成的平面区域的面积为1.事件“y ≤x 4”发生，则(x ，y )组成的平面区域的面积为⎠⎛01x 4d x ＝15x 5⎪⎪⎪10＝15，所以所求概率为15.答案：158．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为________．解析：分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.答案：9289．(2017·湖北武汉模拟)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，设男子身高X 服从正态分布N (170,72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 5，则车门的高度(单位：cm) 至少应设计为________．解析：因为公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，所以利用P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5，男子身高X 服从正态分布N (单位：cm)，可得车门的高度(单位：cm)至少应设计为170＋2×7＝184 cm.答案：184 cm三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2017·北京丰台区二模)张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家到公司上班的路上有L 1，L 2两条路线(如图所示)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯的次数X 的数学期望；(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：(1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.故随机变量X 的分布列为E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝20.(3)设选择L 1路线遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )＜E (Y )，所以选择L 2路线上班最好．11．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A ，B ，C ，D ，E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校)，但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B ，C ，D ，E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．(1)求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率．(2)记X 为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求X 的分布列及数学期望．解：(1)由题意知：甲同学选中E 高校的概率为p 甲＝14，乙、丙两同学选中E 高校的概率为p 乙＝p 丙＝C 14C 25＝25，所以甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率为：P (1－p 甲)·p 乙·p 丙＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14·25·25＝325.(2)由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝p 甲·p 乙·p 丙＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝125，P (X ＝1)＝(1－p 甲)·p 乙·p 丙＋p 甲·(1－p 乙)·p 丙＋p 甲·p 乙·(1－p 丙)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·25·25＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·25＋14·25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝625， P (X ＝2)＝(1－p 甲)·(1－p 乙)·p 丙＋(1－p 甲)·p 乙·(1－p 丙)＋p 甲·(1－p 乙)·(1－p 丙)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝920， P (X ＝3)＝(1－p 甲)·(1－p 乙)·(1－p 丙)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14·⎝⎛⎭⎪⎫1－25·⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝27100， 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×125＋1×25＋2×20＋3×100＝20.12．(2017·广州五校联考)某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①记X 为生产一件芯片甲和一件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．解：(1)芯片甲为合格品的概率约为40＋32＋8100＝45，芯片乙为合格品的概率为40＋29＋6100＝34.(2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30，－15.P (X ＝90)＝45×34＝35；P (X ＝45)＝15×34＝320； P (X ＝30)＝45×14＝15；P (X ＝－15)＝15×14＝120.所以随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝90×5＋45×20＋30×5＋(－15)×20＝66.②设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，则次品有(5－n )件． 依题意，设50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196.所以n ＝4或n ＝5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝81128.。