2光波的叠加及分析

tg＝
a1 a1
sin1＋a2 cos 1＋a2
si n 2 cos 2
与代数加法结论相同.
2.2 驻波
2.2 .1 驻波的形成
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反 的单色光波的叠加将形成驻波.
垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波.
E E1 E2 a cos(kz t) a cos(kz t )
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
例.有一束沿z轴传播的椭圆偏振光可以表示为:
E(z,t)
xo Acos(kz
t)
yo Acos(kz t
θ1
干涉条纹，试问两束平行光的
k1
夹角是多少？
解:两平行光的 干涉场的条纹间距为：
x
sin1 sin2
x
k2
θ2
z
θ1
sin
633
sin
0.53m
64
k1
f 1 1896m m1 x
若想获得频率f=20mm-1的干涉条纹，则：
f sin1 sin2 sin
f 20 633nm / mm 0.013rad 45'
例6. N个同频率同振动方向的波在某点P叠加,N个波依
次相位差为δ,振幅同为Ao,试用振幅矢量加法求P点的
合强度.
解: N个波相位差均为δ,振幅同为Ao,
则P点的合振幅:
A 2Rsin(N )
2
Ao
2Rsin 2
sin( N )
A Ao
2
sin
2
sin2( N )
I Io
2
sin2
2
2.3 两个频率相同、振动方向垂直的光波的叠加
合振动的大小和方向随时间变化,合振动矢量末 端运动轨迹方程为:
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos(2 1) sin2(2 1)
Ey
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
2a2
α
β
Ex
O
椭圆长轴与x轴的夹角β:
tg 2
2a1a2 a12 a22
Ey 逆时针：左旋 Ex
2.3.4 椭圆偏振光的强度
I＝(
xo E
x ＋yo E
y
)
(
xo E
源自文库
x ＋yo E
y
)
E x2
E
2y
I＝I x＋I y
椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向 相互垂直的单色光波的强度之和,它与两个叠加波的 相位差无关.
对于圆偏振光及自然光,由于Ix=Iy, I＝2I x 2I y
F(x,y)
F’(x’,y’)
Q
a
O
k1 θ2
z
k2
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin1 sin2
f
a
F(x,y)
Q
a
O
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
F’(x’,y’)
k1 θ2
z
k2
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
2.介质对光波电磁场作用的线性(入射光强较弱时成立) 注意几个概念：
1.叠加结果为光波振幅的矢量和,而不是光强的和.
2.光波传播的独立性:两个光波相遇后又分开,每个光 波仍然保持原有的特性(频率、波长、振动方向、传 播方向等).
3.叠加的合矢量仍然满足波动方程,一个实际的光场是 许多个简谐波叠加的结果. 2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
两频率相同的单色 光源s1、s2在z轴上 的任一点P相遇,两 光波的振动方程为:
s1 s2
y xP
z
z2
z1
Ex＝a1 cos(kz1 t)
E y＝a2 cos(kz2 t)
P点的合振动为:
E＝xoa1 cos(1 t )＋yoa2 cos(2 t ) 1 kz1 2 kz2
是反射时的相位差
叠加结果：E＝E1＋E2＝2a
cos(
kz＋
2
)
cos(t－
2
)
上式表示z方向上每一点的振动仍是频率为ω的 简谐振动,振动的振幅随z的不同而变化.
叠加结果：E＝E1＋E2＝2a
cos(
kz＋
2
)cos(t－
2
)
A＝2a cos(kz＋ )
2
波幅的位置: 波节的位置:
kz ＝m
2
3).若记录介质的空间分辨率为1500线/mm, 则它能精
确记录f1=1/ Δx1 ≈276线/mm的干涉条纹而不能精确记 录f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm 的条纹.
例3. 两相干平行光的方向角 θ1= π /6和θ2= π/4, 光波长 633nm，求条纹间距和空间频
x
k2
θ2
z
率.若想获得低频f=20mm-1的
2.1.1 代数加法 E1 a1 cos(k1r t) E2 a2 cos(k2r t)
令: k1r 1 k2r 2
E E1 E2 a1 cos(1 t) a2 cos(2 t)
E E1 E2 a1 cos(1 t) a2 cos(2 t)
得合振动: E Acos( t)
解:两平行光的 干涉场， 其条纹间距公式为：
xy
k1
x
sin1 sin2
θ
θ
z
k2
2 sin1
1).当θ1=5°时Δx1=632.8/2×sin5°≈3.63μm. 相应的空 间频率f1=1/ Δx1 ≈276线/mm. 2).当θ1=30°时Δx2=632.8/2×sin30°≈0.63μm. 相应的 空间频率f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm.
Ey
a2 a1
Ex
直线方程
( Ex )2 ( E y )2 1
a1
a2
标准椭圆方程,主 轴与坐标轴重合
若a1 = a2，则为圆偏振光
4. ≠0、π , ≠±π/2
( Ex )2 ( E y )2 2Ex E y cos sin2
Ax
Ay
Ax Ay
一般椭圆方程
=0
0 < <π/2
=π/2
2
,
fmax
2
例2. 如图两束相干平行光束其传播方向均平行于xz 平面,对称地斜入射于记录介质xy平面上,光波长为 632.8nm.1).当两束光之夹角为10°时，求干涉条纹的 间距Δx及相应的空间频率f. 2).当两束光之夹角为60° 时，求干涉条纹的间距及相应的空间频率. 3).若记录 介质的空间分辨率为1500线/mm,试问该介质能否精 确记录下上述两种条纹.
tg a2
a1
tg b2
b1
a12 a22 b12 b22
由 b1、 b2及β→a1、a2、δ、α、χ
2.3.2 几种特殊情况 1. =±2kπ (k=0,1,2…) 2. =±(2k+1)π (k=0,1,2…) 3. =±(2k+1)π/2 (k=0,1,2…)
E
y
a2 a1
Ex
直线方程
I E E 4A2[1 cos(kx sin )]2 16A2 cos2 kx sin 2
I E E 4A2[1 cos(kx sin )]2 16A2 cos2 kx sin 2
kxsin 2
x s in
比双光束干涉 条纹的间距大.
例5. 在一焦距为f的薄透镜的物方焦面上有O,Q两个相 干得点光源，O点在光轴上，Q点到光轴的距离为a （满足傍轴条件）. 1).试分析像方焦面上接收到的干 涉条纹的特征（形状，间距和取向）. 2).若将F’上得屏 幕向背离透镜的方向平移，其上干涉条纹有何变化？
第二章 光波的叠加与分析
2.1 两个频率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
sin1
sin2
,d
y
,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为
d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需把
fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束的 夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大.
讨论: x
sin1 sin2
x
1 2 0, dmax , fmin 0
y
dx
1
2
2
, dmin
＝(22mm 1)
I Imax m 0,1,2 I Imin
＝
m
(2m
1)
2
I Imax
I
m Imin
0,1,2
2.2.2 复数方法
E1 a1 exp[i(1 t)]
E2 a2 exp[i(2 t)]
E＝E1＋E2＝a1 exp[i(1 t)]＋a2 exp[i(2 t)]
A2 a12 a22 2a1a2 cos(1 2) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
合成的光强: I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2)
合成的光强取决于相位差=α1-α2
1
2
k1r1
k2r2
2
n(r1
r2 )
2
Δ=n(r1-r2)为光程差
2.3.5.偏振片的光强响应
1.椭圆偏振光
设正交分量投影的振幅 为Axp及Ayp,
偏振片透振方向与x 轴成θ 角,透射光强为:
2a2
Ey
P
Ayp Axp
θ
Ex
O
2a1
I Ax2p cos2 Ay2p sin2 2Axp Ayp cos sin cos
2
,I
IM
cos2
Im
sin2
2
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
例1. 设两列同频率的相干平面波k1、k2均在xz平面内,
且从xy平面法线异侧入射,入射角分别为θ1和θ2,分析
xy平面的干涉图样.
x
解:此时有
1
2
1,2
2
2 , 1
2
2
在z=0的平面,其复振幅:
k2
α2
θ1
α1 z
θ2 o
k1
E1(r) A1 exp[i(kx cos1 01)] A1 exp[i(kx sin1 01)] E2(r) A2 exp[i(kx cos2 02)] A2 exp[i(kx sin2 02)]
例4. 三束同频率的平面波在原点的初相相同,振幅比
为E1:E2:E3=1:2:1,传播方向在xz面内,求z=0平面上光
强的相对分布.
x
解: E1 Aexp(ikxsin )
k1
E2 2A
E3 Aexp(ikxsin )
θ
k2
θ
z
k3
在z=0的平面,其光强分布:
E E1 E2 E3 2A[1 cos(kx sin )]
π/2< <π
=π
π< <3π/2
=3π/2
3π/2< <2π
2.3.3 右旋与左旋
1.右旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量顺时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
2.左旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量逆时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
Ey 顺时针：右旋 Ex
,I
IM
cos2
Im
sin2
2.圆偏振光
因Ix=Iy,所以Ix=Iy =Io/2,旋转偏振片,出射光强不变.
3.自然光
入射光强为Io,透射光强I=Io/2,且旋转
偏振片其光强不变.
振动方向与透振方向成θ角,入射光强为 4.线偏振光 Io,透射光强I=Iocos2θ, 旋转偏振片其光强成
周期性变化.
xy平面的光强分布:
I(x, y) I1 I2 2 I1I2 cos[k(sin1 sin2)x 02 01]
干涉条纹的间距:
k(sin1 sin2 )x 2
y
x
sin1 sin2
x
dx
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx
s in1
sin2
,
f
y
0,
相应的空间周期为:
dx