12.1 平方根与立方根(第1课时 平方根)

1.本节课引入了新的运算------开方运算， 1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 本节课引入了新的运算------开方运算 方和乘方互为逆运算 互为逆运算， 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 六种基本代数运算（ 乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 ），这对代数内容学习有着重要的意义 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 2. 本节主要学习了：①平方根的概念； ②平方 本节主要学习了： 平方根的概念； 根的性质：一个正数有两个平方根， 根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数， 的平方根是0 负数没有平方根； 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；③ 平方根的表示方法； 平方根的表示方法；④求一个数的平方根的运 开平方， 算—开平方，应分清平方运算与开平方运算的 开平方 区别与联系。 区别与联系。
如果一个数的平方等于 a ，这 个数叫a的平方根 的平方根。 个数叫 的平方根。 的平方根。 若 x2 = a,则 x 叫做 a 的平方根。 则
4 说出9， 25 ，16 ，
1 4
， 0.49的平方根。
0的平方根是什么？有几个？ ﹣4有没有平方根？为什么？
平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这 一个正数有两个平方根， 两个平方根互为相反数； 两个平方根互为相反数； 只有一个平方根，它就是0 ②0只有一个平方根，它就是0 本身； 本身； 负数没有平方根。 ③负数没有平方根。
(1)5
2 2
(2)(−5)
2 2
(4)(±4)
(5)(±0.3)
归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 2.求出下列各括号中的数 求出下列各括号中的数. 求出下列各括号中的数 49 2 2 (1)(_____) = (2)(_____) 64 2 15 2 (4)(_____) (3)(_____) = 1 49 2 2 2 (6)(_____) (5)(_____) = 35
具体内容： 具体内容： 1.平方根的概念：如果一个数的平方等 平方根的概念： 平方根的概念 这个数叫a的平方根 于 a ,这个数叫 的平方根。 这个数叫 的平方根。 的平方根。 若 x2 = a,则 x 叫做 a 的平方根。 则 2.平方根的性质： ①一个正数有两个平方 平方根的性质 这两个平方根互为相反数； 根，这两个平方根互为相反数； ② 0只 有一个平方根，它就是0本身； 有一个平方根，它就是0本身；③ 负数 没有平方根。 没有平方根。 3.求一个数的平方根的运算叫做开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 3.求一个数的平方根的运算叫做开平方
49
± 3的平方根是： 的平方根是： 的平方根是
请熟悉： 请熟悉：
根指数
根号
2
m
被开方数 （m≥0) 读作： 读作： 二次根号m 二次根号
简写为： 简写为：
m
读作： 读作： 根号m 根号
求平方根的写法如下： 求平方根的写法如下： 正数x的两个平方根可分别写作 正数 的两个平方根可分别写作+ x和 − x （正号一般省略），我们可以合并成为 ± 正号一般省略），我们可以合并成为 ）， 读作：正负根号 读作：正负根号x 如5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 的平方根， ，或± 5
2
( ( ( (
) ) ) ) )
5.如果 的一个平方根是 则另一个平方根是 如果a的一个平方根是 则另一个平方根是____. 如果 的一个平方根是4,则另一个平方根是 6.在四个数 在四个数0,-9,2, (−2) 中,有平方根的个数是 ( 有平方根的个数是 在四个数 A.1个 B.2个 C.3个 个 个 个 D.4个 个 7.求式子 求式子(m-2n+3)(m-2n-3)+9的平方根 的平方根. 求式子 的平方根
华东师大版八年级（上册）
第12章 数的开方 12章
12.1 平方根与立方根（第1课时） 平方根与立方根（ 课时） 课时
平方根
1.我们现已学过哪些运算？ （加、减、乘、除、乘方五种） 2.加法与减法这两种运算之间有什么关系？ 乘法与除法之间有什么关系？ （互为逆运算） 3.乘方有没有逆运算？
1.计算下列各题 计算下列各题: 计算下列各题
( ×) (× ) ( √ ) (√ ) ( √ ) (×) ( ×) (× )
判断下列各数有没有平方根： 1.判断下列各数有没有平方根： ① 64；② -4；③ 0.0001； ； ； ； ④(-5)7 ； ⑤(-2)8 ⑦ 0 ；⑧ a2.
；⑥
(-2) 2 ；
开平方的定义 求一个数的平方根的运算， 叫做开平方。
再 见 碑
x
注意：因为负数没有平方根， 注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a 中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 即式子 没有意义。 没有意义。 a
a 中的 a 是一个非负数。 是一个非负数。
求下列各数的平方根。 例 求下列各数的平方根。
7 16 ；（2） ；（3） ；（4） （1）100；（ ）1.44；（ ） ） ；（ ；（ ；（ ） 2 9 49
认清：一个数的平方根的表示方法： 认清：一个数的平方根的表示方法：
非负 数m 即 正的平方根表示为： 正的平方根表示为： 表示为 ＋ 负的平方根表示为： 负的平方根表示为： 表示为 －
2
m m m
2
±2 m
简写为± 简写为±
m的平方根表示为： ±2 的平方根表示为： 的平方根表示为
m
3
如：49 的平方根是 ± 则： ± 49 =±7 ±
(3)( பைடு நூலகம் 7 ) 2 1 2 (6)( ± ) 2
= 0.01 = 22500 =a
2
思考与探索
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？ 4 2. 一个数的平方是 25 ，这个数是多少？ 3.填空： 1 ①（ ）2 = 16 ② （ ）2 = 4 ③ ( )2=0 ④ （ ）2 = 0.49
平方根的定义
求下列各数的平方根： 25 (1)49；(2)64 ；(3) 169；(4)1600； (5) 0.81. 写出平方根是下面各数的数： 写出平方根是下面各数的数： ① ±0.1；② ± 0.12；③± 3 ；④± 9 ； ； 2 5 求下列各数的平方根： 求下列各数的平方根： ① a2 ； ② (a-b)2 .
4、开平方： 、开平方： 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平 的平方根的运算， 求一个数 的平方根的运算 开平方运算是已知指数和幂，求底数。 方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。 5、是不是所有的数都能进行开平方运算？ 、是不是所有的数都能进行开平方运算？ 不是，只有正数和0才能进行开平方运算 才能进行开平方运算。 不是，只有正数和 才能进行开平方运算。 6、 由于平方与开平方互为逆运算，因此可以 、 由于平方与开平方互为逆运算， 通过平方运算来求一个数的平方根， 通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过 平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
读作:“二次根号a 读作:“二次根号a” :“二次根号
求下列各式中的x. 求下列各式中的
(1) x = 169
2
(2)5 x − 20 = 0
2
(3) x = (−4.7)
2
2
(4)( x − 2) = 256
2
课堂检测
1. 0的平方根是 的平方根是0. 的平方根是 2. 1的平方根是 的平方根是1. 的平方根是 3. -1是1的平方根 的平方根. 是 的平方根 4. -1是-1的平方根 是 的平方根. 的平方根
1.判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由， 1.判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并 判断下面的说法是否正确 加以改正。 加以改正。
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
﹣3的平方根是 9 9的平方根是﹣3 4的平方根是±2 5是25的平方根 ﹣5是25的平方根 ﹣1的平方根是±1 (﹣10)2没有平方根 如果x2 = a,则 a 一定是正数。
1.平方根的定义: 1.平方根的定义: 平方根的定义 一般地,如果一个数的平方等于 这个数就叫做 一般地 如果一个数的平方等于a,这个数就叫做 如果一个数的平方等于 a的平方根(或二次方根). 的 或 2 如果 x = a ,那么x 就叫做 a 的平方根. 那么
填一填:
1.__与__都是 的平方根 的平方根是 与 都是 的平方根,16的平方根是 都是9的平方根 的平方根是___. 2.+1.5和-1.5都是 和 都是______的平方根 的平方根. 都是 的平方根 3.因为 的平方等于 所以 的平方根等于 因为__的平方等于 所以0的平方根等于 因为 的平方等于0,所以 的平方根等于___. 4.任何数的平方都 任何数的平方都_______0的,所以 所以____没有平 任何数的平方都 的 所以 没有平 方根. 方根
解：我们可以这样考虑
因为(±10) = 100，
2
所以100的平方根是±10. 的平方根是± 所以 的平方根是 （1）± ） 100 = ± 10 注意： 注意：不能写成
100 = ±10
请你妨照上面的例子完成其他三道小题。 请你妨照上面的例子完成其他三道小题。
求下面各数的平方根：
16 ；(3)2 1 ；(4)0.0049. (1) 81； (2) 25 4
2.平方根的性质: 2.平方根的性质: 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根 它们互为相反数. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数 一个正数 平方根 它们互为相反数 (2)0有一个平方根 它是0本身 有一个平方根,它是 本身. 平方根 它是 本身 (3)负数没有平方根 负数没有平方根. 负数没有平方根 3.开平方的定义: 3.开平方的定义: 开平方的定义 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 4.平方根的表示: 4.平方根的表示: 平方根的表示 一个正数a的正的平方根 的正的平方根,用符号 一个正数 的正的平方根 用符号 2 被开方数,2叫做根指数. 叫做 表示,a叫做 a 表示 叫做