第九章 运筹学排队论2
运筹学排队论
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
《运筹学排队论》课件
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
第九章 运筹学排队论2
⑵ Lq 的计算 在单服务台情形下,当系统中有顾客时排队等 待的顾客数比系统中顾客总数减少1,因此
Lq (n 1) pn npn pn ,因为L npn npn ,
E (T ) 1
, D (T )
1
2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负 指数分布 t f v (t ) e , 是单位时间能服务完的 顾客数,
E (v) 1
, D(v)
1
2
注意 : E (v)
1
是一个顾客的平均服务 . 时间
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求： （1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f. 如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布 在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流 n 泊松分布pX n e , n 0,1,2,, 0.
运筹学17-排队论II
2 2
School of Business ECUST
P = ρ P0 1 P2 = ρ 2 P0 ... Pn = ρ n P0 ...
1(1 − ρ k ) 1− ρ
School of Business ECUST
小时， 小时， 解：根据题意，λ=200辆/小时，µ=240辆/小时， 根据题意， 辆 小时 辆 小时 ρ=λ/µ=5/6。 λµ 。
ρ L= = =5 5 1− ρ 1− 6
5 6
L q = ρL = 5 × 5 = 4.17 6 1 1 W= = = 0.025( 小时 ) = 90( 秒 ) µ − λ 240 − 200 Wq = ρW = 5 × 90 = 75( 秒 ) 6
µ
公式中， 注：在一般的little 公式中， λ 应为 λe ，称为有效到 在一般的 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中， 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中，由于系 统容量无限制， 统容量无限制，故 λe = λ
School of Business ECUST
(3) 顾客在系统中逗留时间的期望值 客在系统中逗留时间的期望值W
(4)
ρ <1,
即顾客的顾客平均到达率 小于顾客平均服务率时， 小于顾客平均服务率时， 系统才能达到统计平稳。 系统才能达到统计平稳。
School of Business ECUST
高速公路入口收费处设有一个收费通道， 例：高速公路入口收费处设有一个收费通道， 汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为 分布， 汽车到达服从 分布 100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均 辆 小时，收费时间服从负指数分布， 收费时间为15秒 收费时间为 秒／辆。求 (1)、收费处空闲的概率； (1)、收费处空闲的概率； (2)、收费处忙的概率； 、收费处忙的概率； (3)、系统中分别有 ，2，3辆车的概率。 、系统中分别有1， ， 辆车的概率 辆车的概率。
管理运筹学-排队论
§6 单服务台泊松到达、定长服务 时间的排队模型
• 记号： M / D / 1 / ∞ / ∞ • 注：是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况 = 0 • 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
*有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
泊松分布 为单位时间平均到达的顾客数 为平均服务率，即单位时间服务的顾客数。
P (x) = x e- / x! (x = 0,1,2,……)
3、服务时间分布： 服从负指数分布
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
4、排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； 先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务。 (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 5、平稳状态： 业务活动与时间无关。
单位平均服务顾客数
P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
9
• 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率
§3 多服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型
• 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
4
• 关心的项目:
运筹学 Ch9排队论
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
Page 8
2.排队规则 (1)等待制 指顾客到达系统后，所有服务台都不空，顾客加入排队行列 等待服务，一直等到服务完毕以后才离去 ； (1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）； (2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）； (3)有优先权的服务（PR，Priority） (4)随机服务（SIRO，Service in Random Order） (2)损失制 指当顾客到达系统时，所有服务台都已被占用，顾客不愿等 待而离开系统。
顾客到达 服务台 服务台 服务台
… …
…
顾客离去
图9-4 多服务台多队系统
(4)多服务台串联服务
顾客到达
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图9-5 多服务台串联系统
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
图9-2单服务台单队系统 (2)多服务台单队
服务台 顾客到达
…
服务台 服务台
…
顾客离去
图9-3 多服务台单队系统
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
Page 6
(3)多队多服务台 …
Ch9 排队论 Queuing theory
排队论 第2章PPT课件
出现次数fn
10 28 29 16 10 6 1 100
表9-4
为病人完成手术时 间v(小时)
0.0－0.2 0.2－0.4 0.4－0.6 0.6－0.8 0.8－1.0 1.0－1.2 1.2以上 合计
出现次 数fv
38 25 17 9 6 5 0 100
表9-5
26
1.参数的确定
nfn
算出每小时病人平均到达率＝ 1 0 0 ＝2.1(人/小时)
41
例 设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元， 进港船只是最简单流，参数为 ，装卸时间服从参数为
的负指数分布，服务费用为
是一个正常数．
求使整个系统总费用损失最小的服务率
解 因为平均队长
的损失费为
服务费用为
所以船在港口停留 因此总费用为
42
求 使F达到最小，先求F的导数
让
解出
因为
最优服务率是
当
它说明服务机构(手术室)有84％的时间是繁忙(被利用)，有16 ％的时间是空闲的。
27
4.依次算出各指标： 在病房中病人数(期望值)
排队等待病人数(期望值)
Ls
2.1 5.25(人) 2.52.1
L q0 .8 4 5 .2 54 .4 1 (人 )
病人在病房中逗留时间(期望值) Ws 2.51 2.12.5(小 时 )
结
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls Lq
平均服务 时间
平均在忙的服务 台数/正在接受 服务的顾客数
20
服
4. 系统的忙期与闲期
务
强
度
系统处于空闲状态的概率： P0 1
系统处于繁忙状态的概率： P (n0)1P 0
运筹学 排队论
S个服务台，一个队列的排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达 服务完成后离开
服务台2 服务台s
服务完成后离开
服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
排队系统类型：顾客到达来自服务台1服务台s
离开
多服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚 （输入）
服务机构
散 （输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。 一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
列车在系统中的平均停留时间
W=L/= 2/2=1（小时）
系统中等待编组的列车平均数
Lq=L-= 2-2/3=4/3（列） 列车在系统中的平均等待编组时间
Wq = Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3（小时）
记列车平均延误（由于站内2股道均 被占用而不能进站）时间为W0 则W0 = WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}
n：当系统处于状态n 时，整个系统的 平均服务率（单位时间内可以服务完 的平均顾客数）；
当n为常数时记为；当每个服 务台的平均服务率为常数时，记每个 服务台的服务率为，则当n s 时， 有n=s。因此，顾客相继到达的平 均时间间隔为1/ ，平均服务时间为 1/ ，令= / s，则为系统的服 务强度。
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗
留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均
排队等待时间。
排队论研究的基本问题：
通过研究主要数量指标在瞬时或平稳 状态下的概率分布及数字特征，了解 系统运行的基本特征。 统计推断问题：建立适当的排队模型 是排队论研究的第一步，建立模型过 程中，系统是否达到平稳状态的检验； 顾客相继到达时间间隔相互独立性的 检验，服务时间的分布及有关参数的 确定等。
卫生管理运筹学排队论
第八章排队论排队（queue）是社会活动中经常遇到的现象，如顾客到商店购物，学生去图书馆借书，病人上医院看病，仪器等待维修等等，当售货员、图书管理员、医生和修理员的数量满足不了顾客或病人及时服务的需要时，就出现了排队等待的现象．由于接受服务的顾客数和服务时间的随机性，排队现象是不可避免的．当然增加服务能力可以减少排队现象，但这样势必增加投资，有时因供大于求造成资源浪费．因此，在这样一个排队系统中，作为管理人员不但需要了解排队等待服务的顾客数，等待服务时间长度，系统内服务设施的空闲率等数量指标的变化规律，而且需要在满足顾客服务基本要求的条件下，研究如何提高服务质量、降低排队系统运行成本等问题．排队论就是解决这类问题的一门科学．在排队系统中要求得到某种服务的对象统称为顾客（customer），为顾客服务者统称为服务台（service facility）．根据顾客和服务台的不同情况，组成不同的排队系统．本章研究的主要内容是排队系统的状态概率、队长、等待时间、服务时间、服务台利用效率等运行指标，以及排队系统的优化问题．第一节排队系统的基本概念一、排队系统的组成一个排队系统或称服务系统（service system），有三个基本组成部分：即输入过程（arrival process）、排队规则（queue discipline）和服务规则（service discipline）．图8-1给出了排队系统的一般结构．1．输入过程：指顾客到达排队系统的规律，可用到达时间间隔或单位时间内顾客到达数的概率分布来描述；按到达的时间间隔分有确定的时间间隔和随机的时间间隔；按顾客到达的方式有单个到达和成批到达；从顾客源总体看，分有限源总体和无限源总体．2．排队规则：排队系统一般分为等待制、损失制和混合制．(1) 等待制 顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客排队等候服务．等待制服务的方式有：① 先到先服务（first come first service ，FCFS ）：按顾客到达先后给予服务，这是最常见的服务规则．② 后到先服务（last come first service ，LCFS ）：如情报收集中最后到达的信息最有价值，往往最先采用．③ 优先权服务（priority ，PR ）：如医院对危重病人给予优先治疗．④ 随机服务（service in random order ，SIRO ）：排队系统随机抽取等待服务的顾客．(2) 损失制 顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客离去，另求服务．如没有足够医生或医疗器械救治急诊患者，医院药物、卫生材料暂缺等．(3) 混合制 它是介于等待制和损失制之间的形式．方式有：① 队伍长度有限，当队伍的长度小于N 时，新到顾客就排队等待；当队伍长度为N 时，新来顾客离去．如患者住院所需要的病床数有限就属此类．② 等待时间有限，新到顾客排队等候服务，一段时间后仍未得到服务，顾客离去．例如医院血库的血浆、生物制剂等．③ 逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限，顾客在系统中的逗留时间不得超过确定的时间．例如药品的有效期．3．服务机构：指排队系统中服务台的个数、排列及服务方式．排队系统中服务台的个数可以是一个或多个．多个服务台可以是串联或并联．排列结构大体有：(1) 单服务台、单列图8-2输出(2) 多服务台、单队列（多队列）(3) 多服务台串列(4) 多服务台混合医院里的CT室就是(1)的例子，口腔科、理疗室就是(2)的例子，先挂号候诊再住院手术就是(3)或(4)的例子．服务方式上有单个服务，也有成批服务的，如医院里的上下电梯．二、排队系统的评价指标排队论研究的问题，可以分成两大类，第一类问题是在服务设施设置之前，根据顾客输入过程与服务过程的要求，结合对系统的一定数量指标与服务过程要求（如规定服务质量的必需水平），确定服务设施（如诊断室、检验科、供应中心等等）的图8-3图8-4图8-5…图8-6规模；第二类问题是对已有的服务系统施以最优控制，改进和提高排队系统工作效率．排队系统的数量指标主要有：1．单位时间内到达的顾客数的期望值，即单位时间内的平均到达率，记作λ．而λ1表示相邻两个顾客到达的平均间隔时间．2．单位时间内服务的顾客数的期望值，即单位时间内顾客的平均离去率，记作μ．同样，μ1表示每个顾客的平均服务时间．3．在时刻t时排队系统中恰有n个顾客的概率()tPn ，显然()tP为系统空闲率．4．系统内的平均顾客数称为队长（queue length），记作L．5．系统内排队等待服务的平均顾客数称为等待队长，记作qL．6．顾客从进入系统到接受完服务后离开系统的平均时间称为平均逗留时间，记作W．7．顾客在系统内排队等待服务的平均时间称为平均等待时间(waiting time)，记作qW．三、排队模型的符号表示由于排队系统的特征可以有许许多多的组合，从而形成不同的排队模型．本章采用A/B/C/m/N形式表示不同排队模型．其中：A——顾客到达间隔时间概率分布B——服务时间的概率分布C——服务台数m——顾客源总数N——系统内顾客的容量例如：M/M/ 1 / ∞/ 12排队模型的特点是：顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布（M指负指数分布，具有无记忆性，即Markov性），单服务台，顾客来源总体数无限，系统的顾客容量为12．四、排队系统的常见分布顾客到达和离开分别构成排队系统的输入与输出过程流．到达分布和离开分布确定了到达系统和离开系统的顾客数这两个随机变量的分布．求解排队系统有关数量指标问题，首先要确定顾客到达流的概率分布，即在一定的时间间隔内来n 个顾客的概率是多大．其次是要确定顾客离开流的概率分布，即在一定的时间内服务完m 个顾客的概率是多大．实际问题研究中，可根据原始资料测算顾客在单位时间平均到达流的经验分布，然后按照统计学的方法（例如，2χ检验法）确定资料适合于哪种理论分布，并估计理论分布的参数值，这是确定排队模型的前提．1．泊松分布（Poisson distribution ）在排队论中，最基本的排队模型是在给定时间内到达系统的顾客数服从泊松分布，即顾客到达流是泊松流（也称最简单流）．它具有如下性质：(1) 平稳性：在时间+t △t 内，到达n 个顾客的概率只与△t 和n 的大小有关，而与时刻起点t 无关．(2) 无后效性：在时间+t △t 内到达n 个顾客的概率与起始时刻之前到达多少个顾客无关．(3) 普通性：对于充分小的时间间隔△t ，在时间+t △t 内最多有一个顾客到达系统．即在时间+t △t 内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，有()0lim2=∆+∑∞=→∆t t P n nt可以证明，在长为t 的时间内到达n 个顾客的概率为：()(),2,1,00!)(=>=-n t e n t t P tn n λλ （8-1）当1=t 时，即单位时间内到达n 个顾客的概率为：()λλ-==e n P P nn n !1其中λ为单位时间内到达系统的顾客的期望值． 2．负指数分布(negative exponential distribution )理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数X 是服从参数为λ的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间T 服从参数为λ的负指数分布，反之亦然．即同一随机过程可从两种不同的角度用两种分布来描述．负指数分布的概率密度为：)0()(>=-t e t f tT λλ间隔时间T 的期望值。
运筹学中的排队论分析与应用
运筹学中的排队论分析与应用运筹学是一门研究如何最优化决策的学科。
在现代社会中，许多场景下都存在排队现象，例如银行、超市、机场等场所。
排队论作为运筹学的一个重要分支，专门研究如何通过合理的排队策略来优化服务效率与用户体验。
本文将介绍排队论的基本原理、应用场景以及如何利用排队论进行实际问题的分析与解决。
一、排队论的基本原理排队论是研究排队系统的理论与方法，其基本原理包括排队模型、排队规则以及排队指标。
1. 排队模型排队模型是对排队系统进行抽象和建模的过程，常用的排队模型有M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
其中，M表示顾客到达过程符合泊松分布，而服务过程符合指数分布；1表示一个服务台，c表示多个服务台；G表示总体服从一般分布。
2. 排队规则排队规则是指在排队系统中，顾客到达和离开的规则。
常用的排队规则有先到先服务（First-Come-First-Serve，简称FCFS）、最短作业优先（Shortest Job First，简称SJF）、优先级法则等。
3. 排队指标排队指标是对排队系统性能的度量，常用的排队指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙度等。
这些指标可以帮助我们评估排队系统的效率，并进行比较和优化。
二、排队论的应用场景排队论的应用场景非常广泛，几乎可以涵盖各个行业。
下面以几个典型的应用场景为例，介绍排队论在其中的分析与应用。
1. 银行排队银行是排队论的典型应用场景之一。
通过排队论的分析，银行可以确定合理的柜台数量和工作人员配置，以减少客户的等待时间和提高服务效率。
此外，银行还可以考虑引入预约系统、自助服务等方式，进一步优化排队系统。
2. 售票窗口排队售票窗口也是一个常见的排队场景，如电影院、火车站等。
利用排队论，可以根据顾客到达的速率和服务时间的分布，预测等待时间，并提前安排足够的窗口进行服务，以提高售票效率和用户体验。
3. 交通信号灯优化交通信号灯的优化也可以借助排队论的方法。
通过对道路上车辆到达和通过的流量进行统计和分析，可以调整信号灯的信号周期和配时方案，以减少交通拥堵和减少等待时间。
运筹学-排队论
2.1 基本概念 2.2 几个主要概率分布 2.3 单服务台负指数分布排队系统分析 2.4 多服务台负指数分布排队系统分析 2.5 一般服务时间M/G/1模型 2.6 经济分析—系统的最优化
2.1 基本概念
2.1.1 排队过程的一般表示 2.1.2 排队系统的组成和特征 2.1.3 排队模型的分类 2.1.4 排队系统的求解 2.1.5 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题，包括最优设计和最优运营 问题。
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布 2.2.2 普阿松分布 2.2.3 负指数分布
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布
在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料 进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分 布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
系统的各项运行指标计算如下： 平均队长：
Ls=ΣnPn=λ (μ–λ) 平均排队长：
Lq=Σ(n–1)Pn =ρλ (μ-λ) =Ls–ρ =Ls–(1-P0)
逗留时间分布函数为: F(ω)=1–e－(μ－λ)ω
平均逗留时间: Ws=1 (μ–λ)=Ls λ
平均等待时间: Wq=Ws–1 μ=Lq λ
等待时间有限，即顾客在系统中的等待时 间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动离去，并不再回来。如损坏的 电子元器件的库存问题。
逗留时间有限（等待时间和服务时间之和） 有限。例如用高射炮射击敌机。 （2）排队规则
当顾客到达时，若所有服务台都被占用且 又允许排队，则该顾客将进入排队系统。服务 台对顾客进行服务所遵循的规则它通常有：
=
kμ (kμt ) k −1
e −kμt
(k −1)!
运筹学排队论例2解题步骤
解：计算结果如下表所示：
λμρP0 Ls(人) Lq(人) Ws(分) Wq(分)
1 4 0.25 0.75 0.33 0.083 20 5
2 4 0.5 0.5 1 0.5 30 15
3 4 0.75 0.25 3 2.25 60 45
4 4 1 0 ∞∞∞∞
上述数据可做如下分析：
⑴当λ为1和2时，从病人的角度来看，基本不需要候诊（Wq为5分钟和15分钟）符合病人的利益，从医院的角度看，医生平均有50%-70%的时间空闲
⑵当λ=3时，候诊病人平均2-3人，候诊平均需要45分钟，因为是急诊，给病人带来痛苦，而医务人员的空闲时间很少。
⑶当λ=4时，λ=μ由于顾客到达是随机的，候诊队列和候诊时间都将无限延长
综上分析：作为医院管理者，当发现病人的到达率为每小时3-4人时，就要考虑增加医务人员。
运筹学课件排队论
一般分布(所有顾客的服务时间都是独 立同分布的)等等。
1.基 本 概 念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输 入过程、排队规则和服务机制的变化对 排队模型进行描述或分类，可给出很多 排队模型。为了方便对众多模型的描述， 肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种 目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall记号”，完整的表达方式通 常用到6个符号并取如下固定格式：
前言
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加 入等待队伍，待获得服务后离开系统，见 图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统 图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中， 顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长 短都是随机的，因此这样的服务系统被称为 随机服务系统。
1.基 本 概 念
一 排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
队长和排队长一般都是随机变量。 我们希望能确定它们的分布，或至少能 确定它们的平均值(即平均队长和平均 排队长)及有关的矩(如方差等)。队长 的分布是顾客和服务员都关心的，特别 是对系统设计人员来说，如果能知道队长
的分布，就能确定队长超过某个数的概率， 从而确定合理的等待空间。
1.基 本 概 念
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段
《运筹学》课后习题答案 EX15_解答_排队论2
第十五次作业解答习题6：（P221）9；（9）某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。
前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。
当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。
修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。
试求： ①画出系统状态转移图； ②求系统状态概率； ③求系统损失率；④求系统中平均的汽车数量；⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。
解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS 损失制排队系统。
2λ=辆／天，修理部的修理速度μ是一个变化的参数，具体如下：11(1/1.5)2/3μ=⨯=；22(1/2)1μ=⨯=；32(1/3)1(1/2)7/6μ=⨯+⨯=；44(1/3)4/3μ=⨯=。
150.75210c λρμ===⨯ （1）状态转移速度图：（2）系统状态概率：011103p p p p λμ=⇒=；022112100()8/326p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；133223210()(32)(7/6)72/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；244334320()(19/62)/3)108/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=。
由41kk p==∑可得，10[13672/7108/7]7/2500.028p -=++++==；120.084;0.168;p p ==340.288;0.432p p ==。
（3）系统损失率40.432p p ==损。
（4）系统中平均的汽车数量4110.08420.16830.28840.4320.0840.3360.864 1.728 3.012s n n L np ===⨯+⨯+⨯+⨯=+++=∑。
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1.3 设有单人打字室一间，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达时间间隔为 20 分钟，打字 时间服从负指数分布，平均为 15 分钟。求： （1）顾客来打字不必等待的概率； （2）打字室内顾客的平均数； （3）顾客在打字室内的平均逗留时间； （4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25 小时，则主人将考虑增加设备及打字员。 问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做？
（1）根据 / 说明增加工人的原因；
（2）增加工人后店内空闲的概率；店内至少有 2 个或更多的顾客的概率 ；
（3）求 L, Lq ,W ,Wq 。
1.13 某火车站的电话问讯处有 3 部电话，可以视为 M/M/3/3 系统。已知平均每隔 2 分钟 有一次问讯电话（包括接通和未接通的），每次通话平均时间为 3 分钟。试问打来问讯处的 电话能接通的概率为多少？
1.15 顾客以每小时 4 人的平均到达率到一个双人理发店理发，顾客到达过程为 Poisson 流。当顾客到达理发店 时发现理发店已 有顾客在理发， 则该顾客就拒绝 进入此店，并不再 来。若理发店的理发时间服从负指数分布。试问：
（1）若要保证在可能到达的顾客中至多有 40% 的顾客不进入理发店，则每个理发师 必须以怎样的服务率进行服务？
（2）进入理发店的平均顾客数是多少？ （3）顾客的平均理发时间是多少？
二、对策论题（以下试题选做一道题，20 分）
2.1 甲、乙两游泳队举行包括两个项目的对抗比赛，两队各有一名健将级运动员（甲队为
李，乙队为王），在 3 个项目上的成绩都很突出。但规则规定他们每人只许参加两项比赛，
每队的其他两名运动员可参加全部 3 项比赛。已知各运动员的平时成绩（秒）见表 2。假定 各运动员在比赛中正常发挥水平，又设比赛的第一名得 5 分，第二名得 3 分，第三名得 1 分。问教练应决定让自己队健将参加那两项比赛，可使本队得分最多？
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现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2,, 0.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
第十章 排队论(Queuing theory)
引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
客数
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.