集合的分划与子集族(打印)

集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）

一、集合的划分

例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得：

（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。

例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =

例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，

一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤

例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然

数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集

例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：2

2

n

M ≥

例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足

11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-

例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k

k += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。

证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集

例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合

例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅ 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数

二、C 族

例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素

例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤

例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a = 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求

1

2

111n

a a a +++

的最大值

三、求解子集族

例13、已知集合{}1,2,,10A = ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1

例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈ ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈ ，i j A A ≠∅ ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数

例15、集合{}*

1,2,,6,X k k N =∈ ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）2

6k =A

四、有关子集族的最值问题

例16、集合{}0,1,2,,9A = ，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B 至多有两个元素，求k 的最大值

例17、设{}0,1,2,,29A ⊆ 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A

例18、设{}1,2,,1997A = ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集

集合的分划与子集族

1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =- ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =

2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种

3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅ ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=

4、已知集合M 是{}1,2,,2008A = 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值

5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中

6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点

7、{}1,2,,X n = ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X = ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C