先验概率后验概率及贝叶斯公式

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先验概率、似然函数与后验概率

先验概率、似然函数与后验概率先验概率Prior probability在贝叶斯统计中，先验概率分布，即关于某个变量 p 的概率分布，是在获得某些信息或者依据前，对 p 的不确定性进⾏猜测。

例如， p 可以是抢⽕车票开始时，抢到某⼀车次的概率。

这是对不确定性（⽽不是随机性）赋予⼀个量化的数值的表征，这个量化数值可以是⼀个参数，或者是⼀个潜在的变量。

先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，在应⽤贝叶斯理论时，通常将先验概率乘以似然函数（likelihoodfunction）再归⼀化后，得到后验概率分布，后验概率分布即在已知给定的数据后，对不确定性的条件分布。

似然函数似然函数（likelihood function），也称作似然，是⼀个关于统计模型参数的函数。

也就是这个函数中⾃变量是统计模型的参数。

对于结果 x ，在参数集合θ上的似然，就是在给定这些参数值的基础上，观察到的结果的概率 L(θ|x)=P(x|θ) 。

也就是说，似然是关于参数的函数，在参数给定的条件下，对于观察到的 x 的值的条件分布。

似然函数在统计推测中发挥重要的作⽤，因为它是关于统计参数的函数，所以可以⽤来评估⼀组统计的参数，也就是说在⼀组统计⽅案的参数中，可以⽤似然函数做筛选。

在⾮正式的语境下，“似然”会和“概率”混着⽤；但是严格区分的话，在统计上，⼆者是有不同。

不同就在于，观察值 x 与参数θ的不同的⾓⾊。

概率是⽤于描述⼀个函数，这个函数是在给定参数值的情况下的关于观察值的函数。

例如，已知⼀个硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等），那连续10次正⾯朝上的概率是多少？这是个概率。

⽽似然是⽤于在给定⼀个观察值时，关于⽤于描述参数的情况。

例如，如果⼀个硬币在10次抛落中正⾯均朝上，那硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等）概率是多少？这⾥⽤了概率这个词，但是实质上是“可能性”，也就是似然了。

后验概率Posterior probability后验概率是关于随机事件或者不确定性断⾔的条件概率，是在相关证据或者背景给定并纳⼊考虑之后的条件概率。

朴素贝叶斯分类

朴素贝叶斯分类贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。

而朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法。

一：贝叶斯原理朴素贝叶斯分类算法是一个典型的统计学习方法，主要的理论基础就是贝叶斯公式。

贝叶斯公式定义如下所示：先验概率：通过经验来判断事情发生的概率。

后验概率：后验概率就是发生结果之后，推测原因的概率。

条件概率：事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)，读作“在 B 发生的条件下 A 发生的概率”。

P（A|B）表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。

其基本求解公式为：P（AB）/P(B)。

但是在有些情况下，我们可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)则很难直接得出，但是我们更想要知道P(B|A)。

例如（通信接收机检测判决）将A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。

今将字母串AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。

）在这个例子中，我们知道了结果，但是我们想要知道输入的概率，直接计算是非常困难的，但是通过贝叶斯公式就显得十分简单了。

换句话说，就是我们知道原因，推导结果是比较容易的，但是当我们知道结果，要反过来推导原因是十分困难的。

而贝叶斯公式就为我们知道结果后推导原因提供了一个捷径。

二：朴素贝叶斯分类在说完了贝叶斯原理之后，现在就来说朴素贝叶斯分类。

朴素贝叶斯分类之所以朴素，就是因为我们做了一个简单的假设，即类中特定特征的存在与任何其他特征的存在无关，这意味着每个特征彼此独立。

因此对实际情况有所约束，如果属性之间存在关联，分类准确率会降低。

贝叶斯后验概率公式

贝叶斯后验概率公式
《贝叶斯后验概率公式》
贝叶斯后验概率是在贝叶斯统计学中比较常用的一个概念，可以用来估计在新条件下某一事物的可能性。

公式：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B)是我们要求的条件概率，表示A在B发生的情况下发生的概率；P(B|A)是先验概率，表示B在A发生的情况下发生的概率；P(A)是基本概率，表示A发生的概率；P(B)是标准化因子，表示B发生的概率。

该公式表明，要想正确地计算出某一条件下某一事物发生的概率，除了需要知道其先验概率P(B|A)和基本概率P(A)之外，还必须对标
准化因子P(B)有所了解。

贝叶斯后验概率的优势在于，可以运用先验知识来修正新信息带来的概率改变，从而更精确地估计某一事物的可能性。

- 1 -。

贝叶斯先验概率

贝叶斯先验概率贝叶斯先验概率指的是贝叶斯定理中的先验概率，指在进行后续实验或事件时先有的概率估计。

在统计学和机器学习中，贝叶斯先验概率是非常重要的一种概率估计方法。

本文将详细介绍贝叶斯先验概率的定义、性质和应用。

一、贝叶斯先验概率的定义在贝叶斯公式中，先验概率是指在进行后续实验或事件之前，我们已经有了一些关于实验或事件发生概率的估计。

这个估计可以是基于以往经验、观察结果或领域知识等来确定的。

对于后续实验或事件，我们可以通过观察结果获取到后验概率。

贝叶斯先验概率是基于先验信息来计算后验概率的重要一环。

贝叶斯先验概率的表示方式如下：P(A)：表示事件A发生的概率P(B)：表示事件B发生的概率P(A|B)：表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率P(B|A)：表示事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率在贝叶斯公式中，先验概率指的是P(A)，也就是在进行后续实验或事件之前，我们已经有了关于事件A发生的概率估计。

二、贝叶斯先验概率的性质1. 先验概率相对重要性在实际应用中，先验概率的重要性往往比后验概率更高。

因为先验概率是基于以往经验、观察结果或领域知识等得出的。

在没有其他数据时，先验概率可以帮助我们估计事件发生的概率。

2. 先验概率可更新先验概率在进行实验或事件后可以被更新和修订。

因为实验或事件得到的结果可以进一步影响我们对事件发生概率的估计，因此可以更新先验概率。

3. 先验概率影响后验概率先验概率会影响到后验概率的结果。

当先验概率越接近真实概率时，后验概率的准确性就会更高。

三、贝叶斯先验概率的应用贝叶斯先验概率广泛应用于统计学和机器学习等领域。

例如，在分类问题中，我们可以利用先验概率来估计一个新样本属于某一类的概率。

又例如，在人脸识别中，可以利用先验概率来提高识别效率和准确性等。

在实际应用中，我们需要根据实际情况来确定先验概率，以便得到更准确的后验概率。

如果先验概率过于模糊或不准确，那么即使通过实验或事件得到了高质量数据，最终得到的后验概率也会受到限制。

先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数

先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数⼀、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数在机器学习中，这些概念总会涉及到，但从来没有真正理解透彻他们之间的联系。

下⾯打算好好从头捋⼀下这些概念，备忘。

1、先验概率先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，先验概率就是没有经过实验验证的概率，根据已知进⾏的主观臆测。

如抛⼀枚硬币，在抛之前，主观推断P（正⾯朝上） = 0.5。

2、后验概率后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的。

是“执果寻因”问题中的”果”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

解释下来就是，在已知果（B）的前提下，得到重新修正的因（A）的概率P（A|B)，称为A的后验概率，也即条件概率。

后验概率可以通过贝叶斯公式求解。

3、贝叶斯公式贝叶斯公式，⽤来描述两个条件概率（后验概率）之间的关系，⽐如 P(A|B) 和 P(B|A)。

按照乘法法则：P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)如上公式也可变形为：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) P(B)为标准化常量贝叶斯法则表述如下：⼀般公式其中A1,,,,,,An为完备事件组，即举⼀个简单的例⼦：⼀⼝袋⾥有3只红球、2只⽩球，采⽤不放回⽅式摸取，求：⑴第⼀次摸到红球（记作A）的概率；⑵第⼆次摸到红球（记作B）的概率；⑶已知第⼆次摸到了红球，求第⼀次摸到的是红球的概率。

解：⑴ P(A)=3/5，这就是A的先验概率；⑵ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A逆)P(A逆)=3/5 此称为准化常量，A与A逆称为完备事件组⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是A的后验概率。

4、似然函数1）概念在数理统计学中，似然函数是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重⼤作⽤，如在最⼤似然估计和费雪信息之中的应⽤等等。

贝叶斯估计法推出概率估计公式

贝叶斯估计法推出概率估计公式
贝叶斯估计法（Bayesian estimation）是一种使用贝叶斯统计推断来进行概率估计的方法。

它结合了先验知识和现有观测数据，通过贝叶斯定理推导出后验概率估计公式。

在贝叶斯估计法中，我们假设已经观测到了一些数据X，并想要估计一个未知参数θ 的概率分布。

我们用θ̂表示对参数θ 的估计。

贝叶斯估计的基本思想是，通过联合概率分布P(θ, X) 对参数θ 进行建模，然后通过贝叶斯定理，将先验知识P(θ) 与观测数据X 的似然函数P(X|θ)结合起来，得到后验概率分布P(θ|X)。

根据贝叶斯定理，我们可以得到贝叶斯估计的公式：
P(θ|X) = (P(X|θ) * P(θ)) / P(X)
其中，P(θ|X) 是参数θ 在观测数据X 下的后验概率分布，
P(X|θ) 是观测数据 X 在给定参数θ下的似然函数，P(θ) 是参数θ 的先验概率分布，P(X) 是观测数据 X 的边缘概率。

贝叶斯估计的关键是先验概率分布P(θ) 和似然函数P(X|θ) 的选择。

先验概率分布反映了我们对参数θ 的先验知识和信念，似然函数表示了在给定参数θ 下观测数据 X 出现的可能性。

通过贝叶斯估计，我们可以得到参数θ 的后验概率分布，然后可以根据后验概率分布进行概率估计，如计算期望值、置信区间等。

需要注意的是，贝叶斯估计法的应用需要根据具体的问题
和数据进行模型的设定，并进行合理的先验概率和似然函数的选择，以得到准确和可靠的概率估计结果。

贝叶斯定理

贝叶斯定理不难想象，数据并不是总体或待建模系统的唯一可用的信息资源。

贝叶斯方法提供了一套将这些外部信息融入数据分析过程的原理方法。

这个过程先给出待分析数据集的概率分布。

因为这个分布在给出时没有考虑任何数据，所以称为先验分布(prior distribution)。

新的数据集将先验分布修正后得到后验分布(posterior distribution)。

进行这个修正的基本工具就是贝叶斯定理。

贝叶斯定理为解决归纳-推理分类问题的统计方法提供了理论背景。

下面首先解释贝叶斯定理中的基本概念，然后再运用这个定理说明朴素贝叶斯分类过程(或称为简单贝叶斯分类)。

设X是一个类标号未知的数据样本，H为某种假定：数据样本X属于某特定的类C。

要求确定P(H/X)，即给定了观测数据样本X，假定H成立的概率。

P(H/X)表示给出数据集X后，我们对假设H成立的后验概率。

相反，P(H)是任何样本的先验概率，不管样本中的数据是什么。

后验概率P(H/X)比先验概率P(H)基于更多的信息。

贝叶斯定理提供了一种由概率P(H)、P(X)和P(X/ H)计算后验概率P(H/X)的方法，其基本关系是：P(H/X) = [ P(X/ H) · P(H)] / P(X)现在假设有m个样本S = {S1, S2, …, Sm} (训练数据集)，每个样本Si都表示为一个n维向量{x1, x2, …, xn}。

xi 值分别和样本属性A1，A2,，…,An相对应。

还有k个类C1, C2, …, Ck，每个样本属于其中一个类。

另外给出一个数据样本X(它的类是未知的)，可以用最高的条件概率P(Ci/X) 来预测X的类，这里i= 1,…,k。

这是朴素贝叶斯分类的基本思想。

可以通过贝叶斯定理计算这些概率：P(Ci/X) = [ P(X / Ci) · P(Ci)] / P(X)因为对所有的类，P(X)都是常量，所以仅需要计算乘积P(X / Ci) · P(Ci)的最大值。

贝叶斯的先验概率和后验概率的计算

贝叶斯的先验概率和后验概率的计算贝叶斯定理是概率论中一个重要的定理，它描述了在已知某些先验概率的情况下，如何根据新的证据来更新我们对事件发生概率的估计。

本文将介绍贝叶斯的先验概率和后验概率的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

在贝叶斯定理中，先验概率指的是在没有任何新的证据或信息之前，我们对事件发生概率的初始估计。

这个估计通常是基于以往的经验或领域知识得出的。

后验概率则是在获得新的证据或信息后，根据先验概率和证据的关系来更新事件发生概率的估计。

贝叶斯定理的数学公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知B发生的条件下，A发生的概率；P(B|A)表示在已知A发生的条件下，B发生的概率；P(A)表示A发生的先验概率；P(B)表示B发生的先验概率。

在实际应用中，贝叶斯定理可以用来解决一些复杂的问题，例如医学诊断、垃圾邮件过滤、机器学习等。

下面我们将以医学诊断为例来说明贝叶斯定理的应用。

假设有一种罕见疾病，发病率为0.1%。

同时，有一种医疗测试可以检测出该疾病，但它也有一定的错误率。

已知在患者患有该疾病的情况下，该测试能够正确诊断出疾病的概率为99%。

而在患者没有该疾病的情况下，该测试也会错误诊断出患有疾病的概率为1%。

现在，如果一个人接受了这个测试，并且结果显示他患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？根据贝叶斯定理，我们可以通过先验概率和后验概率的计算来得出答案。

我们可以计算先验概率P(A)。

已知发病率为0.1%，因此P(A) = 0.001。

我们可以计算后验概率P(B|A)。

已知在患者患有该疾病的情况下，该测试能够正确诊断出疾病的概率为99%，因此P(B|A) = 0.99。

然后，我们可以计算先验概率的补集P(A')。

已知发病率为0.1%，因此P(A') = 1 - P(A) = 0.999。

我们可以计算后验概率P(B|A')。

全概率公式与贝叶斯公式

可求得:
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
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【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04

用贝叶斯(bayes)公式计算后验概率的excel法

用贝叶斯(bayes)公式计算后验概率的excel法介绍如下:
在Excel 中，可以通过使用BAYESIANPOSTODDS函数来计算贝叶斯公式的后验概率。

该函数的语法如下：
BAYESIANPOSTODDS(priorodds, likelihoodratio)
其中，
•priorodds：表示先验几率。

•likelihoodratio：表示似然比，即阳性率除以假阳性率。

例如，如果先验概率为0.02，似然比为19，则可以使用以下公式计算后验概率：
后验概率= 先验概率/ (1 - 先验概率) ×似然比/ ((1 - 先验概率) / 先验概率×似然比+ 1)
这个公式可以通过BAYESIANPOSTODDS函数进行计算，如下所示：
=BAYESIANPOSTODDS(0.02/(1-0.02), 19/(1-0.95))
运行该公式会返回后验概率结果，即0.27。

注意，先验概率需要除以(1-先验概率) 才能作为priorodds参数输入到函数中，而似然比需要除以(1-阳性率) 才能作
为likelihoodratio参数输入到函数中。

在使用该函数时，需要确保已经正确计算先验概率和似然比，以获得准确的后验概率。

贝叶斯误差计算

贝叶斯误差（Bayes Error Rate）是指在现有特征集上，任意可以基于特征输入进行随机输出的分类器所能达到的最小误差。

换句话说，它是分类问题中理论上可能达到的最佳性能。

要计算贝叶斯误差，我们需要知道每个类别的先验概率（即每个类别在数据集中出现的频率）以及每个类别下每个特征的条件概率。

然后，我们可以使用这些概率来计算每个样本属于每个类别的后验概率，并选择具有最高后验概率的类别作为预测类别。

贝叶斯误差的计算公式为：贝叶斯误差= 1 -最大后验概率
其中，最大后验概率是指在所有可能的类别中，具有最高后验概率的类别的概率。

举个例子，假设我们有一个二分类问题，其中类别1的先验概率为0.6，类别2的先验概率为0.4。

对于某个特定的样本，类别1的条件概率为0.8，类别2的条件概率为0.2。

那么，该样本属于类别1的后验概率为：
后验概率（类别1）= (先验概率（类别1）* 条件概率（类别1））/ (先验概率（类别1）* 条件概率（类别1）+ 先验概率（类别2）* 条件概率（类别2））
= (0.6 * 0.8) / (0.6 * 0.8 + 0.4 * 0.2)
= 0.9
因此，该样本属于类别1的最大后验概率为0.9，所以贝叶斯误差为1 - 0.9 = 0.1，即10%。

需要注意的是，贝叶斯误差是一个理论上的值，实际上很难达到，因为我们需要知道每个类别下每个特征的条件概率，这在现实世界中往往是不可行的。

但是，贝叶斯误差为我们提供了一个评估分类器性能的理论上限。

1。

概率的条件与贝叶斯公式

概率的条件与贝叶斯公式概率是数学中一项重要的概念，用于描述事件发生的可能性。

在概率论中，条件概率和贝叶斯公式是两个基础而重要的概念。

本文将介绍概率的条件以及如何使用贝叶斯公式进行计算。

一、条件概率的定义与计算方法条件概率是指事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率。

用数学符号表示为P(B|A)，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。

“|”符号表示给定条件的意思。

条件概率的计算方法是通过已知A发生的前提下，计算B发生的概率。

根据概率的定义，条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) /P(A)。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

二、贝叶斯公式的定义与应用贝叶斯公式是根据已知的条件概率和事件的先验概率，来计算事件的后验概率。

贝叶斯公式的表达式为：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)。

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A的先验概率，P(B)表示事件B的先验概率。

贝叶斯公式的应用通常涉及到根据已知信息来更新事件发生的概率。

通过已知的条件概率和先验概率，可以推导出后验概率，从而对事件的可能性进行更加准确的估计。

三、条件概率与贝叶斯公式的关系条件概率和贝叶斯公式是紧密相关的，贝叶斯公式可以通过条件概率来推导得出。

条件概率提供了在给定条件下事件发生的概率，而贝叶斯公式则可以通过已知的条件概率和先验概率来计算事件的后验概率。

贝叶斯公式在实际问题中具有广泛的应用，包括医学诊断、信息检索、机器学习等领域。

通过不断更新已知的条件概率和先验概率，可以提高对事件发生概率的估计准确性。

四、案例分析以医学诊断为例，假设某疾病在整个人群中的发生率为0.1%，而某种检测方法对患者的阳性判定率为99%，对健康人的误报率为1%。

现在有一个患者接受了该检测方法，结果显示为阳性。

贝叶斯法则

案例二
考虑一个医疗诊断问题，有两种可能的假设：（1）病人有癌症。（2）病人无癌症。样本数据来自某化验测试，它也有两种可能的结果：阳性和阴性。假设我们已经有先验知识：在所有人口中只有0.008的人患病。此外，化验测试对有病的患者有98%的可能返回阳性结果，对无病患者有97%的可能返回阴性结果。贝叶斯法则
贝叶斯法则
贝叶斯法则（Bayes'theorem/Bayes theorem/Bayesian law）贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫“贝叶斯法则”，尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。这就是说，当不能准确知悉一个事物的本质时，可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。
理论概述
贝叶斯决策理论是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。贝叶斯决策理论方法是统计模型决策中的一个基本方法，其基本思想是： 1、已知类条件概率密度参数表达式和先验概率。 2、利用贝叶斯公式转换成后验概率。 3、根据后验概率大小进行决策分类。他对统计推理的主要贡献是使用了"逆概率"这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式。贝叶斯公式是他在1763年提出来的：假定B1,B2,……是某个过程的若干可能的前提，则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为先验概率。如果这个过程得到了一个结果A，那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法。P(Bi∣A)即是对以A为前提下Bi的出现概率的重新认识，称 P(Bi∣A)为后验概率。经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。

贝叶斯算法理论及实际运用案例

贝叶斯算法理论及实际运用案例贝叶斯算法是一种基于贝叶斯定理的概率推理算法，能够对数据进行分类、预测和参数优化等多种应用。

该算法具有良好的泛化能力和计算效率，因此在数据挖掘、机器学习、人工智能等领域得到了广泛的应用。

一、贝叶斯定理及其应用贝叶斯定理是指，在已知先验概率的基础上，根据新的证据来计算更新后的后验概率。

即：P(H|E) = P(E|H) * P(H) / P(E)其中，H表示假设（例如某种疾病的发病率），E表示证据（例如某个人的检测结果），P(H)表示先验概率（例如总体发病率），P(E|H)表示在假设为H的条件下，获得证据E的概率（例如检测结果为阳性的概率），P(E)表示获得证据E的概率。

贝叶斯定理可以应用于各种问题，例如疾病诊断、信用评估、风险管理等。

在疾病诊断中，我们可以根据症状、病史等信息，计算患病的概率；在信用评估中，我们可以根据用户的行为、历史记录等信息，计算支付违约的概率；在风险管理中，我们可以根据市场变化、产品特征等信息，计算投资回报的概率等。

二、贝叶斯网络及其应用贝叶斯网络是一种图形模型，用于描述变量之间的依赖关系和联合概率分布。

它由结点和有向边组成，其中每个结点对应一个变量，每条有向边表示变量之间的因果关系。

通过贝叶斯网络，我们可以对变量进行推理和预测，并且可以解释和可视化结果。

贝叶斯网络可以应用于各种领域，例如自然语言处理、生物医学研究、自动化控制等。

在自然语言处理中，我们可以利用贝叶斯网络对文本进行分类、情感分析等；在生物医学研究中，我们可以利用贝叶斯网络对基因调控、蛋白质互作等进行建模和分析；在自动化控制中，我们可以利用贝叶斯网络对机器人行为、交通规划等进行设计和优化。

三、贝叶斯优化及其应用贝叶斯优化是一种基于多项式回归和贝叶斯采样的全局优化算法，用于求解最优化问题。

它通过利用已有的采样数据和一个先验模型，来指导下一步的采样和更新后验模型，从而逐步逼近全局最优解。

先验概率,后验概率,似然概率

先验概率,后验概率,似然概率⽼是容易把先验概率,后验概率,似然概率混淆，所以下⾯记录下来以备⽇后查阅。

区分他们最基本的⽅法就是看定义，定义取⾃维基百科和百度百科:先验概率百度百科定义：先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现的概率。

维基百科定义: 在贝叶斯统计中，某⼀不确定量p的先验概率分布是在考虑"观测数据"前，能表达p不确定性的概率分布。

可以看到⼆者定义有⼀个共同点，即先验概率是不依靠观测数据的概率分布，也就是与其他因素独⽴的分布。

所以可以⽤P(θ)表⽰。

后验概率维基百科定义: 在贝叶斯统计中，⼀个随机事件或者⼀个不确定事件的后验概率是在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率。

同样，后验概率分布是⼀个未知量（视为随机变量）基于试验和调查后得到的概率分布。

简单的理解就是这个概率需要机遇观测数据才能得到，例如我们需要对⼀个神经⽹络建模，我们需要基于给定的数据集X才能得到⽹络参数θ的分布，所以后验概率表⽰为P(θ|X)似然概率百度百科定义: 统计学中，似然函数是⼀种关于统计模型参数的函数。

给定输出x时，关于参数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率：L(θ|x)=P(X=x|θ)。

维基百科定义: 在数理统计学中，似然函数是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数中的似然性。

似然概率很好理解，就是说我们现在有⼀堆数据，现在需要构建⼀组参数对这些数据建模，以使得模型能够尽可能地拟合这些数据。

所以我们要做的就是从很多组参数中选出⼀组使得模型对数据的拟合程度最⾼，所以也常常说最⼤似然概率，即argmaxθP(X|θ)。

先验概率与后验概率的区别（老迷惑了）

先验概率与后验概率的区别（⽼迷惑了）先验（A priori；⼜译：先天）在中指“来⾃先前的东西”，或稍稍引申指“在之前”。

传统中，认为先验指⽆需经验或先于经验获得的。

它通常与知识相⽐较，后验意指“在经验之后”，需要经验。

这⼀区分来⾃于中世纪逻辑所区分的两种论证，从原因到结果的论证称为“先验的”，⽽从结果到原因的论证称为“后验的”。

先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。

后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。

先验概率和后验概率是相对的。

如果以后还有新的信息引⼊，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。

先验概率的分类：利⽤过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料⽆从取得或资料不完全时，凭⼈们的主观经验来判断⽽得到的先验概率，称为主观先验概率。

后验概率是指通过调查或其它⽅式获取新的附加信息，利⽤对先验概率进⾏修正，⽽后得到的概率。

先验概率和后验概率的区别：先验概率不是根据有关⾃然状态的全部资料测定的，⽽只是利⽤现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使⽤了有关⾃然状态更加全⾯的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；先验概率的计算⽐较简单，没有使⽤；⽽后验概率的计算，要使⽤贝叶斯公式，⽽且在利⽤资料计算逻辑概率时，还要使⽤理论概率分布，需要更多的知识。

下⾯转⾃其他博客先验概率与后验概率"概率就是⽆知, ⽽不是事务本⾝是随机的".事情有N种发⽣的可能,我们不能控制结果的发⽣,或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能⼒. 新发⼀个物种, 到底是猫,还是⼩⽼虎呢(朱道元的经典例⼦)? 是由于我们的⽆知才不能确定判断.先验概率 ( Prior probability)先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述⼀个变量; ⽽后验概率是在考虑了⼀个事实之后的条件概率. 先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. ⽐如在法国⼤选中⼥候选罗雅尔的⽀持率 p, 在进⾏民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性.后验概率 ( posterior probability)Def: Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.后验概率可以根据通过Bayes定理, ⽤先验概率和似然函数计算出来. 下⾯的公式就是⽤先验概率密度乘上似然函数,接着进⾏归⼀化, 得到不定量X在Y=y的条件下的密度,即后验概率密度:其中f X(x) 为X的先验密度,L X | Y = y(x) = f Y | X = x(y) 为似然函数..看了很多张五常的⽂章以后，思考⼀些经济学或者统计学的问题，都试着从最简单处⼊⼿。

先验概率与后验概率的区别-1

先验概率与后验概率的区别-1先验概率和后验概率
先验概率（prior probability）：指根据以往经验和分析。

在实验或采样前就可以得到的概率。

后验概率（posterior probability）：指某件事已经发生，想要计算这件事发生的原因是由某个因素引起的概率。

先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.
后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".
可以看出，先验概率就是事先可估计的概率分布，而后验概率类似贝叶斯公式“由果溯因”的思想。

下面我们通过PRML（Pattern Recognition and Machine Learning）这本书中的例子来理解一下上面的定义。

任何一个学科，最基本的就是概念，概念一定要清楚，清晰，否则概念都模棱两可的话，这之上的一切建筑都不牢固。

很多概念可能长时间不使用就会变得模糊，所以在这里记录一下，输出是最好的记忆。

先验与后验的区别主要在于有没有利用样本信息。

没用样本信息是先验。

用了样本信息是后验。

观测样本前的经验是先验，观测样本后的经验是后验。

“先”与“后”主要体现在对样本信息的利用上。

先验概率可理解为先（样本）概率，观测样本之前的概
率估计。

后验概率可理解为后（样本）概率，观测样本之后的概率估计。

贝叶斯公式的前提条件

贝叶斯公式的前提条件
贝叶斯公式的前提条件是基于贝叶斯概率论，其中包括以下几点：
1.事件的互斥性：指的是所考虑的事件必须是相互独立且不会同
时发生的。

2.事件完备性：指的是所有可能发生的事件的集合，使得它们总
和等于样本空间。

3.先验概率：指的是在考虑任何观测数据之前已经知道或估计得
到的概率，也可以理解为对事件发生概率的主观猜测或经验性的估计。

4.后验概率：指的是在考虑了新的信息或观测数据之后，对事件
发生概率进行修正或校正得到的概率。

贝叶斯公式本身是一个概率论中的统计推断公式，在统计学和机
器学习领域有着广泛的应用。

通过给定某些条件下两个事件之间的转
换关系，它可以将观测数据引入概率估计，从而更新和调整我们对事
件发生概率的判断。

应用中，我们需要根据实际情况确定先验概率，并基于新的观测
数据通过贝叶斯公式计算后验概率，从而进行推断和预测。

这使得贝
叶斯公式成为一种有效的方法来处理不确定性和统计推断问题。

同时，贝叶斯公式的应用也需要注意合理性假设等前提条件的合理性和准确性。

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先验概率、后验概率及全概率公式、贝叶斯公
式
2011-11-15 16:04:24| 分类：数理统计|举报|字号订阅
先验概率与后验概率
事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.
事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率.
一、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

二、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.
三、先验概率与后验概率通俗释义
事情有N种发生的可能，我们不能控制结果的发生，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力。

新发一个物种，到底是猫,还是小老虎呢（朱道元的经典例子）？是由于我们的无知才不能确定判断。

先验概率 ( Prior probability)
先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率。

先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计。

比如在
法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p,在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性。

后验概率 ( posterior probability)
Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.
后验概率可以根据通过贝叶斯公式，用先验概率和似然函数计算出来。

四、一道经典概率题的终极解法——后验事实与先验概率的关系
经典题目：
有三个门，里面有一个里有汽车，如果选对了就可以得到这辆车，当应试者选定一个门之后，主持人打开了另外一个门，空的。

问应试者要不要换一个选择。

假设主持人知道车所在的那个门。

经典解法：
第一次选择正确的概率是1/3，因此汽车在另外两个门里的概率是2/3。

主持人指出一个门，如果你开始选错了(2/3概率)，则剩下的那个门里100%有汽车；如果你第一次选对(1/3)了，剩下那个门里100%没汽车。

所以主持人提示之后，你不换的话正确概率是1/3*100%+2/3*0=1/3，你换的话正确概率是1/3*0+2/3*100%=2/3。

对于这个解法的诘问就在于，现在主持人已经打开一个空门了（而且主持人是有意打开这个门的），在这一“信息” 出现后，还能说当初选错的概率是2/3吗？这一后验事实不会改变我们对于先验概率的看法吗？答案是会的。

更具体地说，主持人打开一扇门后，对当初选择错误的概率估计不一定等于2/3。

从头说起。

假设我选了B门，假设主持人打开了C门，那么他在什么情况下会打开C门呢？
若A有车（先验概率P=1/3），那主持人100%打开C门（他显然不会打开B）；若B有车（先验概率P=1/3），那此时主持人有A和C两个选择，假设他以K的概率打开C（一般K=1/2，但我们暂把它设成变量）；
若C有车（先验概率P=1/3），那主持人打开C的概率为0（只要他不傻。

也就是一般情况下。

但如果主持人有偏好，比方说他就是喜欢打开右边的门（假设C 在右边），设K=3/4，那么B有车的概率就变成了 3/5，不再是1/3，后验事实改变了先验概率的估计！
但这并不改变正确的选择，我们仍然应该改选A门，解释如下：
P（A有车|C打开）= P（C打开|A有车）* p（A有车）/P（C打开）
P（C打开|A有车）* p（A有车）
= ------------------------------------------------------------
P（C打开|A有车）* p（A有车）+ P（C打开|B有车）* p（B有车）
= 1 * 1/3/1 * 1/3 + K * 1/3
=1/k+1
而K < 1（假设主持人没有极端到非C不选的程度），所以永远有 P(B有车|C 打开) < P( A有车|C打开).A有车的概率永远比B大，我们还是应该改变选择。

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