您的位置：360文档中心› 辽宁省锦州市数学高三文数一模试卷

辽宁省锦州市数学高三文数一模试卷

合集下载

2022年辽宁省锦州市高考数学第一次质检试卷(解析版)

2022年辽宁省锦州市高考数学第一次质检试卷(解析版)

2022年辽宁省锦州市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则集合{4}＝（）A．∁U（A∪B）B．（∁U A）∪（∁U B）C．（∁U A）∩B D．（∁U B）∩A2．已知复数，则复数z的虚部为（）A．3B．﹣3C．3i D．﹣3i3．若，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．C．D．4．若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．5．若4x＝5y＝3，z＝log x y，则x，y，z的大小关系为（）A．y＜x＜z B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．z＜y＜x6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝（）A．2B．2或4C．4D．4或67．2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔•弗兰泡沫，威尔•弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（）A．B．C．D．8．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b（modm），比如：26＝16（mod10）．已知，满足n＝p（mod 7），则p可以是（）A．23B．31C．32D．19二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（）A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件（多选）10．设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（）A．B．f（x）在（6，8）上为减函数C．点（3，0）是函数f（x）的一个对称中心D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解（多选）11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（）A．P（A2）＝30%B．P（BA3）＝70%C．P（B|A1）＝80%D．P（B）＝81%（多选）12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，点P，Q，R分别在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（）A．任意点P，都有AP∥QRB．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形C．存在点P，使得BC∥平面APQRD．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），若P （X≥90）＝0.5，且P（X≥110）＝0.2，则P（70≤X≤90）＝．14．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是．15．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2，•＝0，则椭圆C的离心率为．16．已知函数f（x）＝a sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线对称，若对任意，总存在，使得f（x1）+f（x2）＝0，则ω的最小值为，当ω取得最小值时，对x∈[m，n]恒成立，则n﹣m的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．（1）求；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．18．某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查．现从中随机抽取100人作为样本，得到如表（单位：人）：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在①b1＝1，S n＝nb n，②2S n＝3b n﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．问题：设数列{b n}的前n项和为S n，_____，数列{a n﹣b n}的前n项和为T n，是否存在正整数k，使得T k＞100？20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB＝1，，三棱锥S﹣BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点．（1）求证：直线BD⊥平面SAC；（2）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值；（3）判断直线SA与平面BDF的位置关系．如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由．21．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）在复平面内对应的点为M（x，y），且z满足|z+2|﹣|z﹣2|＝2，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：（ⅰ）点R在定直线上；（ⅱ）若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF．22．已知函数f（x）＝e x﹣a（a∈R）．（1）若f（x）是单调增函数，求a的取值范围；（2）若x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，求证：1＜x1+x2＜2lna﹣ln2．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则集合{4}＝（）A．∁U（A∪B）B．（∁U A）∪（∁U B）C．（∁U A）∩B D．（∁U B）∩A【分析】利用集合交集、补集以及并集的定义对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，A∪B＝{1，2，3，4}，则∁U（A∪B）＝{5}，故选项A错误；对于B，∁U A＝{4，5}，∁U B＝{1，2，5}，所以（∁U A）∪（∁U B）＝{1，2，4，5}，故选项B错误；对于C，∁U A＝{4，5}，所以（∁U A）∩B＝{4}，故选项C正确；对于D，∁U B＝{1，2，5}，所以（∁U B）∩A＝{1，2}，故选项D错误．故选：C．2．已知复数，则复数z的虚部为（）A．3B．﹣3C．3i D．﹣3i【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．解：∵＝＝﹣2﹣3i，∴复数z的虚部为﹣3．故选：B．3．若，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．解：因为，所以＝tanα＝，所以sin2α+cos2α＝＝＝＝．故选：B．4．若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设||＝t，则|+|＝|﹣|＝2t，进而变形可得•＝0，由此求出（）•的值，由数量积的计算公式可得cos＜，＞的值，分析可得答案．解：根据题意，设||＝t，则|+|＝|﹣|＝2t，变形可得：2+2+2•＝2+2﹣2•，则有•＝0，（）•＝2﹣•＝3t2，则cos＜，＞＝＝＝，又由0≤＜，＞≤π，则向量与的夹角为，故选：A．5．若4x＝5y＝3，z＝log x y，则x，y，z的大小关系为（）A．y＜x＜z B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．z＜y＜x【分析】指数式和对数式互化得x＝log43，y＝log53，结合对数的性质判断x，y的范围和大小，利用对数函数的单调性比较x，y，z的大小关系即可．解：∵4x＝5y＝3，z＝log x y，∴x＝log43，y＝log53，0＜log43＜log44＝1，0＜x＜1，0＜log53＜log55＝1，∴0＜y＜1，且log53＜log43，∴y＜x，∴0＜y＜x＜1，根据函数的单调性可知log x y＞log x x＝1，即z＞1，∴y＜x＜z．故选：A．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝（）A．2B．2或4C．4D．4或6【分析】设以PF为直径的圆与x轴交点为A，则|AF|＝1，|PF|＝5，连接PA，则∠PAF ＝90°，由勾股定理可得|PA|＝2，解得y P，x P，由抛物线的定义可得|PF|等于点P到准线的距离，得﹣（﹣）＝|PF|，即可解得p．解：设以PF为直径的圆与x轴交点为A，则|AF|＝1，|PF|＝5，连接PA，则∠PAF＝90°，所以|PA|＝＝＝2，所以y P＝2，把y＝2，代入y2＝2px，得x＝，所以x P＝，所以﹣（﹣）＝|PF|，即+＝5，所以p2﹣10p+24＝0解得p＝4或6，故选：D．7．2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔•弗兰泡沫，威尔•弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（）A．B．C．D．【分析】根据多面体顶点的个数，分析确定正方形的个数和正六边形的个数，再求表面积即可．解：棱长为2的正方形的面积为2×2＝4，正六边形的面积为6××2×2×＝6．又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正方形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8个．所以该多面体的表面积S＝8×6+6×4＝48+24．故选：C．8．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b（modm），比如：26＝16（mod10）．已知，满足n＝p（mod 7），则p可以是（）A．23B．31C．32D．19【分析】根据二项式定理求得n除以7的余数，再结合选项即可求得结果．解：∵＝（1+8）10＝（7+2）10，∴n＝+，∴n除以7的余数为除以7的余数2，又23除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（）A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件【分析】利用圆心到直线的距离d＝2，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用Δ判断C；利用直线与y轴的交点，判断D．解：A．若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为m2＝4k2+4，即m2﹣4k2＝4，故A正确；B．弦长，当m2﹣k2＝1时，，故B正确；C．联立方程，，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，Δ＝4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣4），当k＝m+1时，整理为Δ＝12k2+8k+12＞0恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；D．直线y＝kx+m与y轴的交点是（0，m），当﹣2＜m＜2时，（0，m）在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与y轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与y轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确．故选：ABD．（多选）10．设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（）A．B．f（x）在（6，8）上为减函数C．点（3，0）是函数f（x）的一个对称中心D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解【分析】根据f（x﹣1）和f（x+l）的奇偶性可推导得到f（x+8）＝f（x），f（x+2）＝﹣f（x﹣2），由f（）＝f（﹣）可知A错误；推导可得f（x+6）+f（﹣x）＝0，知C 正确；作出f（x）图象，结合图象知B错误；将f（x）+lgx＝0解的个数转化为f（x）与y＝﹣lgx的交点个数，结合图象可知D正确．解：因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），所以f（x）关于点（﹣1，0）对称；因为f（x+1）为偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x）关于x＝1对称，由f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），f（﹣x）＝f（x+2）得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为8的周期函数；对于A，f（）＝f（+2）＝f（﹣）＝﹣（﹣）2+1＝，A错误；对于C，因为f（x+6）＝﹣f（x+2）＝﹣f（﹣x），即f（x+6）+f（﹣x）＝0，所以f（x）关于点（3，0）成中心对称，C正确；对于BD，由周期性和对称性可得f（x）图象如下图所示：由图象可知：f（x）在（6，8）上单调递增，B错误；方程f（x）+lgx＝0的解的个数等价于f（x）与y＝﹣lgx的交点个数，因为f（12）＝f（4）＝﹣f（0）＝﹣1，﹣lg12＜﹣lg10＝﹣1，所以结合图象可知：f（x）与y＝﹣lgx共有6个交点，即f（x）+lgx＝0有6个实数解，D正确．故选：CD．（多选）11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（）A．P（A2）＝30%B．P（BA3）＝70%C．P（B|A1）＝80%D．P（B）＝81%【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断能求出结果．解：∵乙品牌市场占有率为30%，∴P（A2）＝30%，故A正确；P（BA3）＝P（A3）P（B|A3）＝20%×70%＝14%，故B错误；P（B|A1）＝80%，故C正确；P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝50%×80%+30%×90%+20%×70%＝81%，故D正确．故选：ACD．（多选）12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，点P，Q，R分别在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（）A．任意点P，都有AP∥QRB．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形C．存在点P，使得BC∥平面APQRD．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形【分析】根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确．解：对于A：由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB∥CD，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又因为平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝QR，所以AP∥QR．对于B：若四边形APQR为平行四边形，则AR∥QP，而AD与BC不平行，即平面ADD1A1与平面BCC1B1不平行，所以平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR，直线PQ与直线AR不平行，与AR∥QP矛盾，所以四边形APQR不可能是平行四边形．对于C：延长CD至M，使得DM＝CD，连接AM，MR，则四边形ABCM为矩形，所以BC∥AM，当R，Q，M三点共线时，AM⊂平面APQR，此时BC∥平面APQR，故C正确．对于D：假设存在点P，使得△APR为等腰直角三角形，令BP＝x，由AP＝＝＝AR＝＝，所以BP＝DR＝x且BP∥DR⇒四边形BPDR为平行四边BPDR，所以RP＝BD＝，过点D作DE⊥AB，则DE＝BC＝，所以AE＝1，即CD＝BE＝1，所以RP＝＝2＝AP＝＝，无解，故D错误，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），若P （X≥90）＝0.5，且P（X≥110）＝0.2，则P（70≤X≤90）＝0.3．【分析】易知μ＝90，再根据曲线的对称性，由P（70≤X≤90）＝P（90≤X＜110），即可得解．解：由P（X≥90）＝0.5，知μ＝90，因为P（X≥110）＝0.2，所以P（90≤X＜110）＝0.5﹣0.2＝0.3，由对称性知，P（70≤X≤90）＝P（90≤X＜110）＝0.3．故答案为：0.3．14．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．【分析】由题意，可得当x≥0时，f（x）＝2x﹣1+的最小值+≤0，由此求得a的范围．解：∵函数的值域为R，∴当x＜0时，f（x）∈（﹣∞，0），∴当x≥0时，f（x）＝2x﹣1+没有最大值，故它的最小值+≤0，∴a≤﹣，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]，故答案为：（﹣∞，﹣]．15．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2，•＝0，则椭圆C的离心率为．【分析】利用＝0，设|BF1|＝x，则|AF1|＝2x，|AF2|＝2a﹣2x，|BF2|＝2a﹣x，通过RT△BAF2，求出|AF1|＝，|AF2|＝2a﹣2x＝，然后通过RT△F1AF2中，通过勾股定理，求解离心率即可．解：∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝0，设|BF1|＝x，则|AF1|＝2x，|AF2|＝2a﹣2x，|BF2|＝2a﹣x，∴在RT△BAF2中，（2a﹣x）2＝（3x）2+（2a﹣2x）2，∴x＝，∴|AF1|＝，|AF2|＝2a﹣2x＝，∴RT△F1AF2中，（）2+（）2＝（2c）2，∴5a2＝9c2，∴e＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝a sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线对称，若对任意，总存在，使得f（x1）+f（x2）＝0，则ω的最小值为2，当ω取得最小值时，对x∈[m，n]恒成立，则n﹣m的最大值为．【分析】由已知可得f（x）在内至少有半个周期，才能满足f（x1）＝﹣f （x2），从而可求得T≤π，进而可得ω≥2，当ω取最小值2时，满足题意，即可得解；当ω取得最小值时求得f（x）的解析式，解不等式，即可求得n﹣m的最大值．解：因为，又因为f（x）的图象关于直线对称，所以f（x）在内至少有半个周期，才能满足f（x1）＝﹣f（x2），故，即T≤π，所以ω≥2，当ω＝2时，因为f（x）的图像关于直线对称，所以，解得，此时，满足题意，所以ω的最小值为2，由得，即，所，即．所以，所以，所，k∈Z，即，k∈Z．所以n﹣m的最大值为．故答案为：2；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．（1）求；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求AB＝2BC，进而根据正弦定理即可求解的值．（2）由＝2，利用正弦定理可得c＝2a，由余弦定理进而可求a，c的值，利用同角三角函数基本关系式求解sin B的值，从而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）S△ABM＝AB•BM•sin∠ABM，S△BCM＝BC•BM•sin∠MBC，因为S△ABM＝2S△BCM，∠ABM＝∠MBC，所以AB＝2BC，由正弦定理可得＝＝2．（2）由于＝2，可得c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，又cos B＝，b＝2，所以4＝a2+4a2﹣4a2×，所以a＝1，c＝2，又因为cos B＝，且0＜B＜π，可得sin B＝＝，所以S△ABC＝ac sin B＝＝．18．某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查．现从中随机抽取100人作为样本，得到如表（单位：人）：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由．【分析】（1）由表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．（3）结合表格中的数据，分别求出抱团游满意度和自驾游满意度的均值，结合均值的比较，即可求解．解：（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A，由表格中所给数据可得，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19，39，42，故P（A）＝．（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人取乙景点的概率为，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，故X的分布列为：X012PE（X）＝．（3）由题干所给表格中数据可知，报团游，自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分报团游，自驾游的总人数分别为31，25，得分为5分报团游，自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分报团游，自驾游的总人数分别为9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，自驾游满意度的均值为，∵，∴建议王某选择报团游．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在①b1＝1，S n＝nb n，②2S n＝3b n﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．问题：设数列{b n}的前n项和为S n，_____，数列{a n﹣b n}的前n项和为T n，是否存在正整数k，使得T k＞100？【分析】（1）在等比数列{a n}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，利用通项公式，列出方程组即可得出a n．（2）选择条件①，b1＝1，S n＝nb n，当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）b n﹣1，相减即可得出b n，进而得出T n，再利用函数的单调性即可得出结论．选择条件②，2S n＝3b n﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，当n≥2时，2S n﹣1＝3b n﹣1﹣1，相减化简整理，利用等比数列的通项公式即可得出b n，进而得出T n，再利用数列的单调性即可得出结论．解：（1）在等比数列{a n}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，则，解得或（舍）．∴．（2）选择条件①，b1＝1，S n＝nb n，当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）b n﹣1，可得b n＝S n﹣S n﹣1＝nb n﹣（n﹣1）b n﹣1，整理得b n＝b n﹣1，∴数列{b n}为常数列，又b1＝1，所以b n＝1，，，令g（x）＝2x﹣1﹣x，则g'（x）＝2x ln2﹣1＞0在[1，+∞）上恒成立，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，即在[1，+∞）上单调递增，又T6＝57＜100，T7＝120＞100，∴存在k，使得T k＞100，k的最小值为7；选择条件②，2S n＝3b n﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，当n≥2时，2S n﹣1＝3b n﹣1﹣1，可得2（S n﹣S n﹣1）＝3（b n﹣3b n﹣1），即2b n＝3b n﹣3b n﹣1，得b n＝3b n﹣1，∴数列{b n}是首项为1，公比为3的等比数列，则，，因为n≥1时，2n﹣1＜3n﹣1，所以a n﹣b n＜0，故不存在正整数k，使得T k＞100．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB＝1，，三棱锥S﹣BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点．（1）求证：直线BD⊥平面SAC；（2）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值；（3）判断直线SA与平面BDF的位置关系．如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由．【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接SO，推出BD⊥AC，BD⊥SO，然后证明BD⊥平面SAC．（2）作SH⊥平面BCD于H，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面EBF的法向量，平面DBF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E﹣BF﹣D的余弦值为．（3）直线SA与平面BDF平行．连接OF，推出OF∥SA，证明SA∥平面BDF（或者用向量法证明直线SA与平面BDF平行：推出，即可证明直线SA∥平面BDF）．设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离，求出平面DBF的一个法向量，利用空间向量的距离公式求解即可．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且BD⊥AC，因为三棱锥S﹣BCD是正三棱锥，SB＝SD，O为BD的中点，所以BD⊥SO，又SO∩AC＝O，所以BD⊥平面SAC．（2）作SH⊥平面BCD于H，则H为正三角形BCD的中点，H在线段OC上，且OC ＝，OH＝，CH＝，SH＝＝1．如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，C．，D．，，，，所以，，，设是平面EBF的法向量，则，则，设是平面DBF的法向量，则，取，所以，又因为二面角E﹣BF﹣D是锐二面角，所以二面角E﹣BF﹣D的余弦值为．（3）直线SA与平面BDF平行．连接OF，由（1）知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以OF∥SA，又因为SA⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以直线SA∥平面BDF．（或者用向量法证明直线SA与平面BDF平行：由（2）知是平面BDF的一个法向量，又，，所以，所以，所以，又因为SA⊄平面BDF，所以直线SA∥平面BDF．）．设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离，因为，是平面DBF的一个法向量，所以，所以点A与平面BDF的距离为，所以直线SA与平面BDF的距离为．21．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）在复平面内对应的点为M（x，y），且z满足|z+2|﹣|z﹣2|＝2，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：（ⅰ）点R在定直线上；（ⅱ）若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF．【分析】（1）根据|z+2|﹣|z﹣2|＝2建立方程，结合双曲线的定义可得曲线C的方程；（2）（i）设直线PQ的方程为x＝ty+2，将直线与曲线联立方程组，表示出直线AP与直线BQ的方程，联立消去y可证得结论；（ii）与（i）同理可证点S也在定直线上，设，，利用，解：（1）由题意可知：，所以点M到点F1（﹣2，0）与到点F2（2，0）的距离之差为2，且2＜|F1F2|＝4，所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，设其方程为，其中2a＝2，2c＝4，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以曲线C的方程为．（2）（i）证明：设直线PQ的方程为x＝ty+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＞0，x2＞0．联立，消去x，可得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，由题意知3t2﹣1≠0且Δ＝144t2﹣36（3t2﹣1）＝36（t2+1）＞0，所以，．直线AP：，直线BQ：①，由于点P（x1，y1）在曲线C上，可知，所以，所以直线AP：②．联立①②，消去y可得，即，所以，所以，所以，所以点R在定直线上．（ii）证明：由题意，与（i）同理可证点S也在定直线上．设，，则由于R在直线AP：上，S在直线AQ：上，所以，，所以＝，又因为，，所以，所以RF⊥SF．22．已知函数f（x）＝e x﹣a（a∈R）．（1）若f（x）是单调增函数，求a的取值范围；（2）若x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，求证：1＜x1+x2＜2lna﹣ln2．【分析】（1）对函数f（x）求导，利用导数值大于等于0，再分离参数，构造函数并求最值即可得到a的取值范围．（2）根据题意可得，，再分别作差，求和分析推理构造函数，利用导数探讨最值作答．解：（1）函数f（x）＝e x﹣a定义域为（0，+∞），∴f'（x）＝e x﹣，∵f（x）是单调增函数，∴对∀x＞0，f'（x）≥0恒成立，即对∀x＞0，a≤2e x恒成立，令φ（x）＝2e x，则φ'（x）＝2e x（+）＞0，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0，∴a≤0，即a的取值范围（﹣∞，0]．证明：（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，∴，，显然x1＞0，x2＞0，则有，，∴x1﹣x2＝﹣，不妨令x1＞x2＞0，设t＝＞1，于是得，x2＝，要证x1+x2＝＞1，只需证lnt＞，即lnt﹣＞0，令g（t）＝lnt﹣，t＞1，则g'（t）＝﹣＝＞0，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝0，于是得x1+x2＞1，又，要证x1+x2＜2lna﹣ln2，只需证ln（x1x2）＜﹣ln2，即，而x1x2＝，即证，即lnt，即＜0，令h（t）＝，t＞1，则h'（t）＝﹣﹣＝﹣＜0，∴函数h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即有x1+x2＜2lna﹣ln2，综上，1＜x1+x2＜2lna﹣ln2．。

辽宁省锦州市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析

辽宁省锦州市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析

辽宁省锦州市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为( )A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}2．复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（2，2），=（4，1），点P在x轴上，则•取最小值时P点坐标是( ) A．（﹣3，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）4．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于( )A．1 B．2 C．4 D．85．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．1127．执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A．2 B．3 C．4 D．58．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )A．B．C．D．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为( )A．0 B．3 C．﹣6 D．610．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是( )A．a100=﹣1，S100=5 B．a100=﹣3，S100=5C．a100=﹣3，S100=2 D．a100=﹣1，S100=212．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．如图所示是某公司（共有员工300人）2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有__________人．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为__________．15．已知函数，则f（x）的定义域为__________．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b﹣c，cosC）且∥．求：（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求三角函数式的取值范围．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．19．某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下 5 2 735～50岁（含35岁和50岁）17 3 2050岁以上 2 1 3（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．21．设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．四、选做题（请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=2|x﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．辽宁省锦州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为( )A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z 对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．已知向量=（2，2），=（4，1），点P在x轴上，则•取最小值时P点坐标是( ) A．（﹣3，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设出P的坐标，利用向量的数量积推出关系式，然后求解最小值，得到P点坐标．解答：解：设P（a，0），向量=（2，2），=（4，1），则•=（a﹣2，﹣2）•（a﹣4，﹣1）=a2﹣6a+10=（a﹣3）2+1≤1，当a=3时，取得最小值．所求P（3，0）．故选：D．点评：本题考查平面向量数量积的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力．4．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于( )A．1 B．2 C．4 D．8考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．解答：解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．5．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：常规题型．分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．解答：解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．点评：本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．112考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．7．执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：循环结构．专题：计算题．分析：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．解答：解：如果输入的p=0.8，由循环变量n初值为1，那么：经过第一次循环得到，n=2，满足s＜0.8，继续循环，经过第二次循环得到S==0.75＜0.8，n=3，第三次循环，S=0.75+0.125=0.875，此时不满足s＜0.8，n=4，退出循环，此时输出n=4．故选：C．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，利用循环即可．8．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．解答：解：∵，∴f′（x）=2f′（）x+cosx，∴f′（）=2f′（）×+cos，解得f′（）=，故选：A点评：本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为( )A．0 B．3 C．﹣6 D．6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设z=•，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：设z=•，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故•的最大值为6，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．10．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．解答：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴b=2a∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，b=2a∴a=1，b=2∴双曲线的方程为故选B．点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是( )A．a100=﹣1，S100=5 B．a100=﹣3，S100=5C．a100=﹣3，S100=2 D．a100=﹣1，S100=2考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，所以a100=a96+4=a4=﹣1，S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5，故选A．点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：简单复合函数的导数；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解答：解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．如图所示是某公司（共有员工300人）2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有72人．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：利用频率分布直方图先求出员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间对应矩形的面积，得出对应的频率，然后计算员工人数．解答：解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1﹣（0.02+0.08+0.08+0.10+0.10）×2=0.24．所以年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24=72人．故答案为：72．点评：本题主要考查频率直方图的应用，在频率直方图中，每个小矩形的面积代表对应的频率．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．解答：解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π故答案为：π点评：本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．15．已知函数，则f（x）的定义域为（1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法先求出函数f（x）的表达式，根据函数成立的条件进行求解即可．解答：解：设t=x2﹣3，则x2=t+3，则f（t）=lg=lg，由＞0得t＞1或t＜﹣3，∵t=x2﹣3≥﹣3，∴t＞1，即f（t）=lg的定义域为（1，+∞），故函数f（x）的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，根据条件先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b﹣c，cosC）且∥．求：（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求三角函数式的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：（I）根据向量平行的充要条件列式：2b﹣c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=，从而得到sinA的值；（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得sin（2C﹣），再根据A=算出C的范围，得到sin（2C﹣）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．解答：解：（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b﹣c），根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴2cosAsinC﹣sinC=0，即sinC（2cosA﹣1）=0∵C是三角形内角，sinC≠0∴2cosA﹣1=0，可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=，得sinA=…（II）==2cosC（sinC﹣cosC）+1=sin2C﹣cos2C，∴=sin（2C﹣），∵A=，得C∈（0，），∴2C﹣∈（﹣，），可得﹣＜sin（2C﹣）≤1，∴﹣1＜sin（2C﹣），即三角函数式的取值范围是（﹣1，]．…点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．（2）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE解答：解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下 5 2 735～50岁（含35岁和50岁）17 3 2050岁以上 2 1 3（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据概率公式计算即可（Ⅱ）从这6人中任取2人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件．记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B，则B中的结果共有15﹣3=12个，由此求得所求的事件的概率．解答：解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人．则P（A）==儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为．（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师用1，2表示，35～50岁（含35岁和50岁）具有研究生学历的教师为3，4，5，50岁以上具有研究生学历的教师为6，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种抽法，其中全是35～50岁（含35岁和50岁）的结果有3种，分别为：34，35，45，记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B，则B中的结果共有15﹣3=12个，故所求概率为P（B）==．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率找出a与b的关系式，再根据△EGF2的周长求出a与b的值，即可确定出椭圆C方程；（Ⅱ）根据题意得到直线AB斜率存在，设出直线AB方程，以及A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立直线AB解析式与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，根据不等式求出k的范围，进而确定出t的范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，∴e2===，即a2=2b2，又△EGF2的周长为4，即4a=4，∴a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，得k2＜．根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，∵+=t，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），x==，y==[k（x1+x2）﹣4k]=，∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），∵|﹣|＜，∴|x1﹣x2|＜，∴（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜，∴（1+k2）[﹣4•]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴＜k2＜．∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8﹣＜4，∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2，∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的简单性质，以及椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键．21．设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥﹣2，F（x）min≥0，即可求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae x（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2e x（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，由题意当x≥﹣2，F（x）min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k﹣2≥0，∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'（x）=2ke x（x+1）+2ke x﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x≥﹣2，由F'（x）＞0得，∴；由F'（x）＜0得∴F（x）在单调递减，在单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当，即k＞e2时，F（x）在[﹣2，+∞）单调递增，，不满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当，即k=e2时，由①知，，满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当，即1≤k＜e2时，F（x）在单调递减，在单调递增，满足F（x）min≥0．综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选做题（请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．考点：分析法和综合法．专题：计算题；证明题．分析：（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．解答：（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…点评：本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．解答：解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必的热点问题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=2|x﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）化简f（x）的解析式，结合单调性求出不等式f（x）≥4的解集．（Ⅱ）利用f（x）的单调性求出f（x）≥3，由于不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空的集合，得|m﹣2|＞3，解绝对值不等式求出实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x））=，令﹣x+4=4 或3x=4，得x=0，x=，所以，不等式f（x）≥4的解集是；（Ⅱ）f（x）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3，由于不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m﹣2|＞3，解之，m＜﹣1或m＞5，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值得意义，判断f（x）的单调性是解题的关键．。

辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(解析版)

辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(解析版)
A.任意点P，都有
B.存在点P，使得四边形APQR为平行四边形
C.存在点P，使得 平面APQR
D.存在点P，使得△APR为等腰直角三角形
【12题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.
【详解】对于A：由直四棱柱 ， ，
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
，
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以 .（或 ）
【小问3详解】
由题干所给表格中数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，
.
故选：A
6.已知抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，且 ，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则 （）
A. 2B. 2或4C. 4D. 4或6
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系，求点 的坐标，代入抛物线方程，即可求解.
【详解】设圆的圆心为 ，与 轴交于点 ，线段 的中点为 ， 轴，由条件可知 ， ， ，所以 ，
故选：A
5.若 ， ，则x，y，z的大小关系为（）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】首先指对互化得 ， ，再结合对数函数的性质判断 的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x，y，z的大小关系.
【详解】 ， ， ， ，
， ， ， ，且 ，
即 ， ，
根据函数的单调性可知， ，即
由焦半径公式可知 ，即 ，所以代入抛物线方程 ，
解得： 或 .
故选：D
7.2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（）

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷

辽宁省锦州市（新版）2024高考数学统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．第(3)题某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A．12B．18C．20D．60．第(4)题已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知，是平行四边形的两个内角，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题如图所示，，是双曲线上的三个点，点，关于原点对称，线段经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（）A．复数的虚部为B．C．D．复数的共轭复数为第(2)题下列各式中，最小值是的有（）A．B．C．D．第(3)题设函数，则（）A ．是偶函数B．在上单调递减C ．的最大值为2D．的图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则________．第(2)题已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为________．第(3)题十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为______.（参考数据：）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.①，当时，；②若存在某一项，则存在，使得（且）.(1)若，写出所有数列的前四项；(2)若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；(3)在所有的数列中，求满足的的最小值.第(2)题今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.（1）若，进行操作后得到，设前项和为①求．②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．第(3)题已知等比数列的前项和为.若，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．第(4)题在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．（ⅰ）从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．（ⅱ）根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828第(5)题某城市实行生活垃圾分类，将垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，其中可回收垃圾和厨余垃圾都有利用价值．某垃圾中转站一天处理了200吨垃圾，经统计，各类垃圾的重量如下表所示：类别可回收垃圾厨余垃圾有害垃圾其他垃圾重量（吨）54110432（I）分别估计该城市的生活垃圾中有害垃圾、有利用价值的垃圾的比例；（Ⅱ）根据核算，各类垃圾的处理费用和经济效益的数据如下表所示：类别处理费用经济效益可回收垃圾160元/吨150元/吨厨余垃圾300元/吨340元/吨有害垃圾1000元/吨0其他垃圾50元/吨0已知该城市一天产生的生活垃圾约2000吨，在实行生活垃圾分类以前，所有的垃圾都按照“其他垃圾”的方式进行处理，请你估计该城市实行生活垃圾分类以后，每天垃圾处理的综合成本（处理费用-经济效益）能节省多少．。

2020届辽宁省锦州市高三4月质量检测(一模)数学(文)试题答案(解析版)

2020届辽宁省锦州市高三4月质量检测(一模)数学(文)试题答案(解析版)

【答案】C 【解析】 【分析】 先计算集合 A，然后对集合 A 和集合 B 取交集即可.
【详解】由题意可得 A x | x 0 ， B {x | 3 x 3} ，
则 A B {x | 0 x 3}
故选 C
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.若复数 z 满足 z（i-1）=2i（i 为虚数单位），则 z 为（ ）
3.已知向量
a
(2,
3),
b
(
x,
4)
，若
a
(a
b)
，则
x
（
）
A. 1 【答案】B
1
B.
2
C. 2
D. 3
【解析】
【分析】
可求出
a
b
2
x，1
，根据
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b
即可得出
a
a
b
0 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x．
【详解】
a
b
2
x，
1
；
∵
a
a
b
；
∴ a
a
b
22 x3 0 ；
【解析】
【分析】
利用排列、组合，求得基本事件的总数为10 种，再求得选中的 2 人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数 为 3 种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从只读过《飘》的 2 名同学和只读过《红楼梦》的 3 名同学中任选 2 人
基本事件的总数为 n C52 10种，
b
c.
故选：D.
【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与 0,1 比较是常用方法，是基础题 8.m，n 是两不同直线，α是平面，n⊥α，则 m∥α是 m⊥n 的（ ）

辽宁省锦州市2023届高三一模数学试题(含答案与解析)

辽宁省锦州市2023届高三一模数学试题(含答案与解析)

2023年锦州市普通高中高三质量检测数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}2220,R ,2,R M x x x x N y y x x x =->∈==-∈∣∣，则M N ⋂=（ ）A. (),0∞-B. (]0,1C. ()(),02,-∞+∞D. ()0,22. 设复数z 满足11z i z +=-，则z =（ ） A. iB. 1i +C. i -D. 1i -3. 在ABC 中，点D 在边AB 上且CD 平分ACB ∠.若CB a = ，CA b =，3a = ，4b = ，则CD =（ ）A. 4355a b +B. 3455a b +C. 4377a b +D. 3477a b +4. 如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是12、23、23，已知在系统正常工作的前提下，求只有K 和1A 正常工作的概率是（ ）A.49B.34C.14D.195. 如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α（单位：mm ）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为β（单位：mm ）.若10,5αβ==，每对轧辊的减薄率r 不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率100%,lg20.3010,lg30.4771r αβα-=⨯==）A. 14B. 15C. 16D. 176. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,,P Q 是棱1DD 的两个三等分点，则四面体PQBC 的体积为（ ） A.83B.329C.169D.1637. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若0ππ,43x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦使得()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，则ω的最小值是（ ） A.34B. 1C.32D. 28. 已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1ln zx e ze x=，若1y >，则（ ） A. x y z >> B. x z y >>C. y z x >>D. y x z >>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知我市某次考试高三数学成绩()80,36X N ~，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为Y ，则（ ） A. ()1802P X ≥= B.8036X -服从标准正态分布 C. ()3D Y =D. 11(3)32P Y >=10. 如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（ ）A. 若10k =，则110b =B. 若10k =，则{}n b 所有项的和为590C. 当13k =时，{}n b 所有项的和最大D. {}n b 所有项的和可能为011. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x ≥时，()()f x f x '>'-，若()()()g x f x f x =+-且对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12g ax g x +≤-成立，则实数a 的取值可以是（ ） A. -1B. 0C. 1D. 212. 已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于,A B 两点（其中A 在B 的上方），O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线,,OA OB l 于点,,P Q N .则（ ）A. 若2AF FB =，则直线AB的斜率为 B. PM NQ =C. 若,P Q 是线段MN 三等分点，则直线AB的斜率为 D. 若,P Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ OQ >三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 写出过点()2,4P 且与圆22:(1)(2)1C x y -+-=相切的一条直线的方程___________. 14. ()5(2)0ax a +≠的展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，则=a ___________.15. 椭圆22:12x y C a +=，12,F F 分别为C 的左､右焦点，若A ，B 是C 上x 轴上方的两点且11290BF A F AF ∠∠==︒，则21AF BF =___________. 16. 在OAB 中，4,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足12PAB OAB S S =△△，则OP 的最小值为___________；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步㩧.17. 已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且的的n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 18. 今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为316. （1）请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关； 预定旅游 不预定旅游 合计 青年非青年 合计（2）按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.附：①()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ab c d =+++.②()2P K k ≥ 0.050 0010 0001k3.841 6.635 10.828..19. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为(),,,5sin 12sin a b c a c B c A +=. （1）若a c =，求cos A 的值；（2）是否存在以B 为直角顶点的Rt ABC △？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 20. 如图一， ABC 是等边三角形，CO 为AB 边上的高线，,D E 分别是,CA CB 边上的点，123AD BE AC ===；如图二，将CDE 沿DE 翻折，使点C 到点P 的位置，3PO =.（1）求证：OP ⊥平面ABED ； （2）求二面角B PE F --的正弦值.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左､右焦点分别为12,F F ，点P 坐标为()3,1，且126PF PF ⋅=.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的动直线l 与C 的左､右两支分别交于两点,A B ，若点M 在线段AB 上，满足AP BP AMBM=，证明：M 在定直线上.22 已知函数()[)()()1sin ,0,,e 1,R,ecos x ax g x x x x h x kx x f x x -=-∈+∞=--∈=⋅，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）证明：()0g x ≥；（2）若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围； （3）设0a >，证明：函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()10e af x ->.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..1. 若集合{}{}2220,R ,2,R M x x x x N y y x x x =->∈==-∈∣∣，则M N ⋂=（ ）A. (),0∞-B. (]0,1C. ()(),02,-∞+∞D. ()0,2【答案】B 【解析】【分析】确定{}02M x x =<<，{}1N y y =≤，再计算交集得到答案.【详解】{}{}220,R 02M xx x x x x =->∈=<<∣， ()221121y x x x =--+=-≤，故{}{}22,R 1N yy x x x y y ==-∈=≤∣， 故(]0,1M N = . 故选：B 2. 设复数z 满足11z i z +=-，则z =（ ） A. i B. 1i +C. i -D. 1i -【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算进行化简即可. 【详解】因为11z i z +=-，所以1(1)z i z +=-，所以11iz i --=-，所以()()()()11121112i i i iz i i i i --+---====---+， 故选：C3. 在ABC 中，点D 在边AB 上且CD 平分ACB ∠.若CB a = ，CA b =，3a = ，4b = ，则CD =（ ）A. 4355a b +B. 3455a b +C. 4377a b +D. 3477a b +【答案】C 【解析】【分析】根据角平分线的性质得到AD ACBD BC=，即可得到47AD AB = ，再根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为CD 平分ACB ∠，所以AD AC BD BC =，又CB a = ，CA b =，3a = ，4b = ， 所以43AD BD =，即47AD AB =，所以47AD AB = ， 所以()443434777777CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB b a =+=+=+-=+=+.故选：C4. 如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是12、23、23，已知在系统正常工作的前提下，求只有K 和1A 正常工作的概率是（ ）A.49B.34C.14D.19【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有K 和1A 正常工作的概率，在利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件A 为系统正常工作，事件B 为只有K 和1A 正常工作， 因为并联元件1A 、2A 能正常工作的概率为228111339⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以184()299P A =⨯=， 又因为1221()()12339P AB P B ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以()1(|)()4P AB P B A P A ==，故选：C5. 如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α（单位：mm ）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为β（单位：mm ）.若10,5αβ==，每对轧辊的减薄率r 不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率100%,lg20.3010,lg30.4771r αβα-=⨯==）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为()1014n-%，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为5β=， 则()10145n-%≤()1142n⇒-%≤，()1142n-%>0>0 ， ()()lg lg lg l 11g 41422nn -%≤⇒-%≤-∴()()lg2lg l 4g 114n --%<∴≥-% 0，()5lg2lg2lg2lg0.96lg3560lg220lg 320.0.31016.8150.477150.300211n ----⇒+-⨯≥===≈+-⨯⨯故选：D.6. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,,P Q 是棱1DD 的两个三等分点，则四面体PQBC 的体积为（ ） A.83B.329C.169D.163【答案】B 【解析】【分析】连接BD ，P QBC Q DBC P DBC V V V ---=-，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接BD ， 则1181143244443233239P QBC Q DBC P DBC V V V ---=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选：B7. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若0ππ,43x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦使得()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，则ω的最小值是（ ） A.34B. 1C.32D. 2【答案】A 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值. 【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,43x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦使得()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行， 所以函数()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最值，即函数()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在对称轴， 令πππ,42x k k ω+=+∈Z ，得ππ,4k x k ωω=+∈Z ， 因为ππ43x -≤≤，所以ππππ443k ωω-≤+≤， 即111443k ωω-≤+≤，则33,441k k k ωω⎧≥+⎪∈⎨⎪≥--⎩Z ，又0ω>，故0k =时，ω取最小值为34， 故选：A8. 已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1lnzx e ze x=，若1y >，则（ ） A. x y z >> B. x z y >>C. y z x >>D. y x z >>【答案】D 【解析】【分析】首先根据题中的条件得到0y z e e y z +=，从而得到0z <；再根据1x >时ln x x >得到y xe e y x>，结合函数()()1xe g x x x =>的单调性得到y x >，从而得到y x z >>.【详解】由ln yxe x ye =得ln y xe e y x=，————① 由1ln z xe ze x=得1ln z xe e xz =，————②两式相加得0y z e e y z +=，因为1y >，0ye >，所以0ze z <，又因为0z e > ，所以0z <； 因为ln y x e e y x =，1y >，所以0ln xe x >，即ln 0x >，所以1x >； 令()lnf x x x =-()1x >，则11()1x f x x x'-=-=，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()ln f x x x =-在()1,+∞内单调递增，即ln x x >，所以ln y x x e e e y x x =>，即y xe e y x>， 又令()()1x e g x x x =>，则()()221()1xx x xe x x ee g x x x--'==>， 当1x >时，()0g x '>，所以()xe g x x =在()1,+∞内单调递增，所以由y xe e y x>，得到y x >. 所以y x z >>. 故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知我市某次考试高三数学成绩()80,36X N ~，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为Y ，则（ ） A. ()1802P X ≥= B.8036X -服从标准正态分布 C. ()3D Y = D. 11(3)32P Y >=【答案】AD 【解析】【分析】确定80μ=，236σ=，6σ=，根据对称性得到A 正确，68X -服从标准正态分布，B 错误，16,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，计算得到C 错误，D 正确，得到答案.【详解】()80,36X N ~，故80μ=，236σ=，6σ=， 对选项A ：根据正态分布的对称性得到()1802P X ≥=，正确； 对选项B ：68X -服从标准正态分布，错误； 对选项C ：()1802P X ≤=，则16,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()11361222D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，错误；对选项D ：42564566661111111(3)C 1C 1C 2222232P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=⨯-+⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确. 故选：AD10. 如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（ ）A. 若10k =，则110b =B. 若10k =，则{}n b 所有项的和为590C. 当13k =时，{}n b 所有项的和最大D. {}n b 所有项的和可能为0 【答案】BC 【解析】【分析】确定{}n b 的和221410450k S k k -=-+-，代入数据计算得到BC 正确，D 错误，计算11916b b ==，A 错误，得到答案.【详解】{}n b 的和()()222115042504104504136262k k k S k k k k --⎛⎫=-⨯⨯-=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 对选项A ：10k =，则119504914b b ==-⨯=，错误； 对选项B ：10k =，则所有项的和为109501042505902⨯⎛⎫⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，正确； 对选项C ：{}n b 的和()221413626k S k -=--+，当13k =时，和最大，正确. 对选项D ：2214104500k S k k -=-+-=，方程无正整数解，错误. 故选：BC11. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x ≥时，()()f x f x '>'-，若()()()g x f x f x =+-且对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12g ax g x +≤-成立，则实数a 的取值可以是（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】AB 【解析】【分析】由题意可得()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()12g ax g x +≤-等价于12ax x +≤-，由1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解不等式即可.【详解】函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()()()g x f x f x =+-，则()g x 定义域为R ，()()()()g x f x f x g x -=-+=，()g x 为偶函数，当0x ≥时，()()()0g x f x f x '''=->-，则()g x 在[)0,∞+上单调递增， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g ax g x +≤-，则有122ax x x +≤-=-， 即212x ax x -≤+≤-，所以3111a x x-≤≤-， 由1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得20a -≤≤，根据选项可知，实数a 的取值可以是-1和0. 故选：AB.12. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于,A B 两点（其中A 在B 的上方），O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线,,OA OB l 于点,,P Q N .则（ ）A. 若2AF FB =，则直线AB的斜率为 B. PM NQ =C. 若,P Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB的斜率为 D. 若,P Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ OQ > 【答案】ABC 【解析】【分析】设直线方程为(1)y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得1212,x x x x +，从而可以表示出M 点坐标，然后求出,,P Q N 坐标，然后依次判断各项即可.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，设直线AB 方程为()1y k x =-，0k >，()()1122,,,A x y B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=， 由韦达定理可知，212224k x x k ++=，121=x x ， 因为2AF FB =，则可得2AF FB =,且()111,AF x y =--u u u r，()221,FB x y =- ，所以12122x x -=-，即21230x x +-=， 且121=x x ，12x x >解得12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得1225422x x k+==+，所以k =±0k >所以k =A 正确, 又因为122212M x x x k +==+，()21M M y k x k=-=， 故直线MN 方程为2y x=， 又因为,,O P A 共线，所以11P P x y x y =，21111111222P P x y x y y x y ky ky k====， 同理可得22Q y x k=， 12222M P Q y y y x x k k k ++===，222211M N P Q x x x x k k+=+-==+， 所以，M P Q N x x x x -=-,即PM NQ =，故B 正确. 若,P Q 是线段MN 的三等分点，则13PQ MN =, 12221212112233y y k k k -⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212413k y y k+-=，又1242M y y y k+==，， ()()()22121212121114y y k x x k x x x x =--=--+=-，12y y ∴-==，()2413k k+=，解得k =()0k >，故C 正确. 由()2222240k x k x k -++=，得1,2x =，即2x =，所以()221y k x =-=，22Q y x k ==2Q My y k ==，所以OQ ==，122y y PQ k -==所以22OQ PQ -==，当k >时，OQ PQ >,故D 错误. 故选:ABC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 写出过点()2,4P 且与圆22:(1)(2)1C x y -+-=相切的一条直线的方程___________. 【答案】2x =或34100x y -+= 【解析】【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径解得答案. 【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=，圆心()1,2C ，半径1r =， 当直线斜率不存在时，验证知2x =满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为()24y k x =-+，即240kx y k --+=，1，解得34k =，故直线方程为334042x y --+=， 即34100x y -+=.综上所述：直线方程为2x =或34100x y -+=. 故答案为：2x =或34100x y -+= 14. ()5(2)0ax a +≠的展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，则=a ___________.【答案】1 【解析】【分析】求得展开式的通项为5152C rr rr r T a x -+=⋅，分别令1r =和2r =，根据含x 的项与含2x 的项系数相等，得到2a a =，即可求解.【详解】由5(2)ax +的展开式的通项为55155C 2()2C rrr r r rr r T ax a x --+=⋅⋅=⋅，令1r =，可得411252C 80T a x ax =⋅⋅=； 令2r =，可得322222252C 80T a x a x =⋅⋅=，因为展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，可得2a a =， 又因为0a ≠，所以1a =. 故答案为：1.15. 椭圆22:12x y C a +=，12,F F分别为C 的左､右焦点，若A ，B 是C 上x 轴上方的两点且11290BF A F AF ∠∠==︒，则21AF BF =___________. 【答案】3 【解析】【分析】根据离心率得到椭圆方程，根据椭圆的性质和勾股定理得到122AF AF ==，再利用余弦定理得到123BF =，得到答案.详解】e ===，解得4a =，故椭圆22:142x y C +=，c =， 连接2BF ，如图所示：则124AF AF +=，(222128AF AF +==，解得122AF AF ==，则12ππ3π244BF F ∠=+=，124BF BF +=，故222113π82cos4BF BF BF =+-⨯，即()22111484BF BF BF -=++， 解得123BF =，故213AF BF =. 故答案为：316. 在OAB 中，4,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足12PAB OAB S S =△△，则OP 的最小值为___________；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是___________.【【答案】 ①.②.【解析】【分析】以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，求平面OAB 的法向量， 利用线面角结合换元法可得1sin 2θ≤，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则θ的最大值为π6，由此即可求出答案. 【详解】过点O 作OD AB ⊥与点D ，过点P 作PC AB ⊥与点C ， 设4OA AB ==，则OD = 又1=2PAB OAB S S，则PC则点P 在以AB的圆柱上，当点P 与点O D 、三点共线时，OP最小；且最小值为=如图所示：以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，则平面OAB 的法向量为：(0,1,0)n =，O ，设,)P h αα，则,6)OP h αα=--，OP == 当6h =，且cos 1α=时，OP 最小，即当点P 与点O D 、三点共线时，OP记直线OP 与平面OAB 所成角为θ,则sin OP nOP n θ⋅==⋅因为2(6)0h -≥，所以sin θ令54cos ,19tt α=-≤≤，则5cos 4tα-=， 则sin θ≤=19t ≤≤， 又9y t t=+，在[1,3]上单调递减。

辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(1)

辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.已知全集，集合，，则为（ ）A．B．C．D．2.函数的图象可能为（ ）A． B．C． D．3. 已知，则（ ）A ．1B ．3C．D．4. 命题“，”的否定是（ ）A．，B ．，C ．，D ．，5. 已知平面向量，，，，且.若为平面单位向量，的最大值为（ ）A．B ．6C．D ．76. 已知向量，，，若，则（ ）A ．3B ．-1C ．2D ．47. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）A．B．C．D．8.已知直线与函数，的图象分别相交于，两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的最大值为（ ）A．B ．1C ．D．9. 2021年4月30日，国家统计局发布了《2020年农民工监测调查报告》.如图，为2016年至2020年的农民工规模及增速图，则以下说法正确的是（ ）辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(1)辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．2019年农民工规模达到最大B ．这5年农民工规模的中位数为28836万人C ．2020年农民工规模比2019年减少517万人，下降%D ．5年以来，农民工规模增速逐年递减10. 设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（ ）A．B ．（为的二阶导数）C．D ．是函数的极大值点11.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）A ．是它的一条对称轴B．它的离心率为C ．点是它的一个焦点D．12. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A ．π是函数的一个周期B．是函数的图象的一条对称轴C ．函数在上单调递减D ．，恒成立13. 已知函数定义域为，值域为，则______．14. 据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过______天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，）15.已知数列满足，，则______.16. 李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求P 的值；（2）设表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量的分布列和数学期望．17.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，点E 在棱BF上，且.(1)求三棱锥的体积；(2)判断直线AE与平面DCF是否相交，如果相交，在图中画出交点H（不需要说明理由），并求出线段AH的长；如果不相交，求直线AE到平面DCF的距离.18. 已知函数，其中实数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.19. 棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.（1）证明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.20. 已知全集，集合，集合（1）求；（2）求.21. 已知函数．(1)若，证明：当时，恒成立；(2)若是函数的极大值点，求实数a的取值范围．。

辽宁省锦州市2020届高三数学4月质量检测(一模)试题文(扫描版)

辽宁省锦州市2020届高三数学4月质量检测(一模)试题文(扫描版)

辽宁省锦州市2020届高三数学4月质量检测（一模）试题文（扫描版）2020年高三质量检测数学（文科）试题参考答案答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.1.～12. CBADC ADABC CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．60 14．2 15. 16. 28916π 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分 12 分）解: （Ⅰ）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin 则ca b a b a c +=-- …………………………………………2分 ∴ab c b a =-+222 …………………………………………………………3分 所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ………………………………………………………5分 而),0(π∈C 故3π=C ……………………………………………………………6分（Ⅱ）由ab c b a =-+222 且3=c ∴ab ab b a =--+92)(2 (7)分 ∴22)2(339)(b a ab b a +≤=-+……………………………………………………………8分∴2()36a b +≤ 所以6a b +≤……………………………9分当且仅当=a b 时等号成立，此时A=B 则sin sin A B =，不符合题意∴6a b +<……………10分又3=>+c b a ……………………………………………………………11分 所以b a +的取值范围是(3,6) …………………………………………………12分18.（本题满分 12 分）解：（Ⅰ）设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,m n因为前2组的频率之和为0.40.5<，因为前3组的频率之和为0.70.5>，所以8590m <<，……..2分由0.40.06(85)0.5m +⨯-=，得86.67m =． ………..3分77.550.0182.550.0787.550.0692.550.0497.550.0287.25n =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，……..5分所以，这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67，87.25 (6)分（Ⅱ）因为样本中90分及以上的频率为0.04+0.025=0.3⨯（）， ………………..8分所以该校高一年级1000名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 “优秀”等次的人数为0.31000=300⨯人． (12)分19．（本题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，∴1BB AB ⊥．………………1分 ∵AB BC ⊥，1BB BC B =I ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ， …………………………………2分 ∴AB ⊥平面11B BCC ． ……………………………………………………………………3分 ∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．…………………………………………………4分（Ⅱ）取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．∵F 是BC 的中点，∴FG AC ∥，12FG AC =． ∵E 是11A C 的中点，∴1FG EC ∥，1FG EC =，…………………………………………………5分 ∴四边形1FGEC 是平行四边形，∴1C F EG ∥…………………………………………………6分 ∵1C F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，∴1C F ∥平面ABE ．………………………………8分（Ⅲ）∵12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，…………………………………………………10分 ∴3AB =11113(31)23323E ABC ABC V S AA -=⋅=⨯=△．……………………………12分 20．（本题满分 12 分）解： （Ⅰ）由题知⎪⎩⎪⎨⎧=+=1211122b a c …………………………………………………………2分 解得22=a ，12=b ， …………………………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为1222=+y x…………………………………………………………4分（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1+=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 得012)2(22=-++my y m ………………………………………5分 则22221+-=+m m y y ，21221+-=⋅m y y ， ………………………………………6分 因为以AP 为直径的圆与直线2=x 的另一个交点为Q ,所以PQ AQ ⊥，则),2(1y Q …7分 则2212--=x y y k BQ ，故BQ 的方程为：)2(22121---=-x x y y y y…………………8分令0=y ，则22)1(2)2(1212112211221+-+-=+---=+---=y y y y my y y my y y y x y x …………………9分 而22221+-=+m m y y ，21221+-=⋅m y y ，22121y y y my +-=- …………………10分 所以232212212121=+-=+-++-=y y y y y x …………………11分 故直线BQ 恒过定点，且定点为)0,23(……………………………………12分21.（本题满分 12 分）解：（Ⅰ）若43a =，242(21)(23)()(24)(0)33x x f x x x x x--'=+-=>，……………………2分 令()0f x '>，得32x >或102x <<，则()f x 的单调递增区间为1(0,)2，(3,)2+∞，……………3分令()0f x '<，得1322x <<，则()f x 的单调递减区间为13(,)22． ……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）设()ln (1)g x x x =--， ……………………5分则1()(0)x g x x x-'=>，令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >，…………………6分 故max ()(1)0g x g ==，从而()ln (1)0g x x x =--≤，即ln 1x x ≤-．……………………7分 （ⅱ）若(,0)a ∈-∞，则32323>-=-aa a ，…………………………………………………8分 所以，当32(,)a x a-∈+∞时，由（ⅰ）知，ln 1x x <-，则2()2(1)(43)f x x a x x <-+-+， ……………………9分 又2322(1)(43)(1)(23)(1)()a x a x x x ax a a x x a--+-+=-+-=--， ……………………10分 所以，当(,0)a ∈-∞，32(,)a x a -∈+∞时，32(1)()0a a x x a---<，……………………11分 故对任意(,0)a ∈-∞，()0f x <对32(,)a x a -∈+∞恒成立．——————————12分 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分 10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为22((2)4x y +-=，即22430x y y +--+= ……………………2分 又=cos ,sin x y ρθρθ=，代入上式 ……………………3分得1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=． ……………………5分（Ⅱ）设1(,)P ρθ，2(,)Q ρθ， ……………………6分将π6θ=代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=， ……………………7分 得2530ρρ-+=， ……………………8分所以123ρρ=， ……………………9分所以||||3OP OQ ⋅=． ……………………10分23．（本题满分 10 分）【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1m =时，1|1||22|131x x x x ≤-⎧--+≥⇔⎨+≥⎩ ……………………2分或11311x x -<<⎧⎨--≥⎩或131x x ≥⎧⎨--≥⎩， ……………………3分 解得223x -≤≤-，所以原不等式的解集为2[2,]3--． ……………………5分 （Ⅱ）()|1||1|()|1||1|f x t t f x t t +-<+⇔<+--对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩， ……………………6分根据分段函数的单调性可知：x m =-时，()f x 取得最大值()2f m m -=，……………………7分 ∵||1||1|||(1)(1)|2t t t t +--≤+--=， ……………………8分 ∴2|1||1|2t t -≤+--≤，即|1||1|t t +--的最大值为2， ……………………9分所以问题转化为22m <，解得01m <<． ……………………10分。

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(自测卷)完整试卷

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(自测卷)完整试卷

辽宁省锦州市（新版）2024高考数学统编版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n ，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为，当最大时，红球个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第(2)题《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知圆亭的高为，上底面半径为1，母线与底面成角，则此圆亭的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题设，则“”是的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件第(4)题已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题已知集合，，若，则实数的值为（ ）A ．B ．0C ．D ．2第(6)题已知角，终边上有一点，则（ ）A．2B ．C ．D ．第(7)题一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）A．1B ．C ．D ．第(8)题已知函数，若的图象关于直线对称，则的可能取值为（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线，则（ ）A ．双曲线的焦点在轴上B ．双曲线的焦距等于C ．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于D ．双曲线的离心率的取值范围为第(2)题某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（）A．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米B．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米C．方案二中整个工程造价最低为万元D．两个方案中整个工程造价最高为万元第(3)题下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．已知，，，，，，若，则，，D．已知，，若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_______辆.第(2)题若存在x使，则正数a的取值范围为___________.第(3)题如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：①当为的中点时，平面；②存在点，使得；③直线与所成角的余弦值的最小值为；④三棱锥的外接球的表面积为.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的短轴顶点分别为,且短轴长为为椭圆上异于的任意-一点,直线的斜率之积为(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,圆的切线与椭圆C相交于两点,求面积的最大值.第(2)题（1）已知，,求函数的单调区间和极值；（2）已知，不等式（其中为自然对数的底数）对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.第(3)题如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，,（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；（3）求二面角的余弦值.第(4)题选修4-1：几何证明选讲如图，是的切线，是的割线，，连接，分别与交于点，点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．第(5)题已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.(1)求的值；(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.条件①：；条件②：的图象可由的图象平移得到；条件③：在区间内无极值点，且.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.。

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷

辽宁省锦州市（新版）2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若集合，，则（ ）A．B ．C ．D ．第(2)题若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）A．B ．C．D ．第(3)题已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题有10种不同的零食，每可食部分包含的能量（单位：）如下：这10个数据组成总体，则总体平均数和总体标准差分别是（ ）A ．B．130，16C ．130，17D ．第(5)题我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列说法不正确的是（ ）A ．1964年至1982年间人口增长数最多B ．1982年后，全国总人口增长率逐步放缓C ．具有大学文化的人数逐步增大D ．男性人数与女性人数的差值逐步减小第(6)题正方形的边长为2，E 是的中点，F 是的中点，则（ ）A ．4B ．3C ．D ．第(7)题二项式的展开式中含项的系数为（ ）A．B ．5C ．D ．第(8)题已知为虚数单位，则复数（ ）A．B ．C．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设函数，则下列选项正确的是（ ）A ．为奇函数B．的图象关于点对称C．的最小值为D．若有两个不等实根，则，且第(2)题已知函数，则下列说法正确的有（）A．函数的最大值为2B ．函数在区间上单调递增C．函数图像的一个对称中心为D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像第(3)题如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题不正确的有（）A．侧面上不存在点，使得B．点到面的距离与点到面的距离之比为C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人．第(2)题已知数列的前项和为，且数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为________．第(3)题已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，.(1)证明：；(2)若且的面积为.求与平面所成角的正弦值.第(2)题已知正项数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)求满足不等式的正整数的最小值．第(3)题已知为等差数列的前n 项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，的前n 项和为，证明：．第(4)题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知．(1)证明：．(2)若D 为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．第(5)题数学来源于生活，当然也服务于生活．某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究．经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”与“当天的气温（单位：）”线性相关．根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情况与当天的气温，对应关系如下表：气温x（）171923293335销量（杯）788796110134149(1)经过计算，得到当天的气温x 与销量y 满足回归方程．若今天的气温为31，则该超市可以配备多少杯冷饮？(2)为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记为销量不低于110杯的天数，求的分布列和数学期望．。

辽宁省锦州市数学高考文数一诊试卷

辽宁省锦州市数学高考文数一诊试卷

辽宁省锦州市数学高考文数一诊试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2018·淮南模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分）复数（）A .B .C .D .3. （1分）已知，则向量与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°4. （1分） (2015高一上·雅安期末) sin（π﹣α）cos（﹣α）=（）A .B .C . sin2αD . cos2α5. （1分） (2019高二上·哈尔滨月考) 双曲线的焦距是（）A .B .C .D .6. （1分）(2018·潍坊模拟) 如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A .B .C .D .7. （1分）设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m⊥，，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④8. （1分）函数（a＞0，a≠1）的图象必经过定点（）A . （0，1）B . （2，1）C . （2，2）D . （2，3）9. （1分） (2015高三上·承德期末) 将函数f（x）=sin（2x+φ）+ cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣， ]上的最小值是（）A . ﹣B . ﹣C .D .10. （1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A .B . 2C .D . 311. （1分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A . -B . -C . 2D . -212. （1分）函数f（x））满足（x+2）= ，若f（1）=2，则f（99）=（）A . 1B . 3C .D .二、填空题 (共2题；共2分)13. （1分） (2018高一下·蚌埠期末) 在中，，边上的高等于，则________．14. （1分） (2018·南宁模拟) 若实数，满足条件，则的最大值为________.三、解答题 (共7题；共16分)15. （2分） (2018高一下·彭水期中) 已知等差数列中，，，求通项公式和前项和 .16. （3分） (2018高二下·抚顺期末) 某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者。

辽宁省锦州市高考数学一模试卷(文科).docx

辽宁省锦州市高考数学一模试卷(文科).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{0，2，4}C．{﹣1，0，2，4}D．{﹣1，0，1，2，4}2．若=1+mi（i是虚数单位，m∈R），则m=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．74．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log3165．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．56．已知函数y=f（﹣|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y+2）2=9 B．（x+1）2+（y﹣2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=9 D．（x﹣1）2+（y+2）2=98．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在平行四边ABCD中，∠ABD=90°，2AB2+BD2=4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π10．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=，其中a，b∈R，若f（）=f（），则a+3b=（）A．2 B．﹣2 C．10 D．﹣1011．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．12．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为（）A．（1，5）B．（﹣，5）C．（﹣∞，5]D．[5，+∞）二、填空题13．已知=（2，k），=（k﹣1，k（k+1）），且∥，则实数k的值为．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．15．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则a k＞1的概率为．16．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），满足•=sin2C．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．18．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学方法，为了提高教学效果，某数学教师在甲乙两个平行班进行教学实验，甲班采用传统教学方式，乙班采用“高效课堂”教学方式．为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）分别计算甲乙两班20个样本中，数学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关．甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：Χ2=独立性检验临界值表：P（Χ2≤k）0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆C的右焦点到直线x=的距离为，椭圆C的下顶点为D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过D点作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M．求证：直线PM经过一定点．21．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心为极坐标：C（，），半径r=．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若过点P（0，1）且倾斜角α=的直线l交圆C于A，B两点，求|PA|2+|PB|2的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜﹣|x+|；（2）已知m+n=（m＞0，n＞0），若|x+a|﹣f（x）+2≥m•n（a＞0）恒成立，求实数a 的取值范围．2016年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{0，2，4}C．{﹣1，0，2，4}D．{﹣1，0，1，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的交集运算进行求解．【解答】解：集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B={0，2}，故选：A2．若=1+mi（i是虚数单位，m∈R），则m=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵1+mi===﹣2i+1，∴m=﹣2．故选：B3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=5+（n﹣1）30=30n﹣25，由751≤30n﹣25≤981求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：∵960÷32=30，∴由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=5+（n﹣1）30=30n﹣25．落人区间[751，960]的人做问卷C，由751≤30n﹣25≤960，即776≤30n≤985解得25≤n≤32．再由n为正整数可得26≤n≤32，∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7，故选：D．4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log316【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．6．已知函数y=f（﹣|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据绝对值的几何意义，可知函数y=f（﹣|x|），当x＜0时，就是函数y=f（x），由此可得结论．【解答】解：函数y=f（﹣|x|）=，当x＜0时，y=f（﹣|x|）=f（x），∴函数y=f（|x|）的图象在y轴左边的部分，就是函数y=f（x）的图象，故可得函数y=f（x）的图象不可能是：C．故选：C．7．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y+2）2=9 B．（x+1）2+（y﹣2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=9 D．（x﹣1）2+（y+2）2=9【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】化已知圆为标准方程，得圆心为C（﹣3，0），半径r=3，结合题意得所求圆的半径也等于3，圆心C'满足C'与C关于直线l1：y=2x+1对称，由轴对称的性质建立关于m、n 的方程组解出C'（1，﹣2），即可得到所求圆的方程．【解答】解：化圆x2+y2+6x=0为标准方程，得（x+3）2+y2=9∴已知圆的圆心为C（﹣3，0），半径r=3．∵所求的圆与圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称，∴所求圆的半径也等于3，圆心为C'（m，n）满足C'与C关于直线y=2x+1对称由，解出m=1，n=﹣2，得C'（1，﹣2）∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9．故选：D．8．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．9．如图，在平行四边ABCD中，∠ABD=90°，2AB2+BD2=4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】确定三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，根据2AB2+BD2﹣4=0，确定三棱锥A﹣BDC 的外接球的半径，即可求得棱锥A﹣BDC的外接球的表面积．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，且AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4，∴三棱锥A﹣BDC的外接球的半径为1，∴三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积是4π故选：A．10．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）=，其中a ，b ∈R ，若f （）=f （），则a +3b=（ ）A ．2B ．﹣2C ．10D ．﹣10【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，得f （）=f （﹣）=1﹣a=f （）=①；再由f （﹣1）=f （1）得2a +b=0②，解关于a ，b 的方程组可得a ，b 的值，从而得到答案．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，且f （x ）=；∴f （）=f （﹣）=1﹣a ，f （）=；又∵f （）=f （），∴1﹣a=；① 又f （﹣1）=f （1），∴2a +b=0；②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a +3b=﹣10．故选：D ．11．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F 1A ﹣F 2A=F 1A ﹣AB=F 1B=2a ，BF 2﹣BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ，再在△F 1BF 2中应用余弦定理得，a ，c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF 2为等边三角形，不妨设AB=BF 2=AF 2=m ，A 为双曲线上一点，F 1A ﹣F 2A=F 1A ﹣AB=F 1B=2a ，B 为双曲线上一点，则BF 2﹣BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ，由，则，在△F 1BF 2中应用余弦定理得：4c 2=4a 2+16a 2﹣2•2a •4a •cos120°，得c 2=7a 2，则．故选：B ．12．已知向量=（x 2，x +1），=（1﹣x ，t ），若函数f （x ）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t 的取值范围为（ ）A ．（1，5）B ．（﹣，5）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行向量数量积的坐标运算即可求出，从而得出f （x ）=﹣x 3+x 2+tx +t ，求导数f ′（x ）=﹣3x 2+2x +t ，根据题意可知f ′（x ）≥0在x ∈（﹣1，1）上恒成立，从而有，解不等式组即可得出t 的取值范围．【解答】解：=﹣x 3+x 2+tx +t ；∴f （x ）=﹣x 3+x 2+tx +t ； ∴f ′（x ）=﹣3x 2+2x +t ；∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；∴f ′（x ）≥0在x ∈（﹣1，1）上恒成立；∴；∴t ≥5；∴t 的取值范围为[5，+∞）． 故选：D ．二、填空题13．已知=（2，k ），=（k ﹣1，k （k +1）），且∥，则实数k 的值为 ﹣3或0 ． 【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解： =（2，k ），=（k ﹣1，k （k +1）），且∥， 可得：2k （k +1）=k •k ﹣k ，解得k=﹣3或0． 故答案为：﹣3或0．14．已知x ，y 满足则z=2x +y 的最大值为 7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：715．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则a k＞1的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法结婚指数函数的单调性进行求解即可．【解答】解：分别从集合A，B各取一个数，共有3×3=9组实数对，若a=，则由a k＞1得k＜0，此时k=﹣1，有1个，若a=，则由a k＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，若a=2，则由a k＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，共有5个，则对应的概率P=，故答案为：．16．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=86．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可得a1，a2，a6成等比数列，由此得到首项和公差的关系，然后利用等比数列和等差数列的通项公式分别求出，然后列等式求得k5 ．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可得，在等差数列{a n}中，有a1，a2，a6成等比数列，则，即d=3a1，∴等比数列{a kn}的首项为a1，公比为，则，又，∴a1+（k5﹣1）d=256a1，解得：k5=86．故答案为：86．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），满足•=sin2C．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．【考点】数列与向量的综合；平面向量的综合题．【分析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的正弦函数公式化简，得到sin2C等于sinC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，根据等差数列的性质得到2sinC等于sinA+sinB，根据正弦定理得到2c=a+b，再根据向量的减法法则化简已知的，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，a+b=2c及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：（1）对于△ABC，A+B=π﹣C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC∴又∵，∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=，又C∈（0，π）∴；（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB由正弦定理得2c=a+b，∵，∴，得abcosC=18，即ab=36，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，即c2=36，∴c=6．18．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学方法，为了提高教学效果，某数学教师在甲乙两个平行班进行教学实验，甲班采用传统教学方式，乙班采用“高效课堂”教学方式．为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）分别计算甲乙两班20个样本中，数学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关．甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：Χ2=独立性检验临界值表：P（Χ2≤k）0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验．【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；（2）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．【解答】解：（1）甲班数学成绩前10名学生的平均分为=×（96+80+81+85+89+72+74+74+79+79）=80.9，乙班数学成绩前10名学生的平均分为=×（93+96+97+99+99+80+81+85+86+78）=89.4；由此判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳；（2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下；甲班乙班（B方式）总计成绩优良10 16 26成绩不优良10 4 14总计20 20 40计算K2=≈3.956＞3.841，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良”与数学方式有关．19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆C的右焦点到直线x=的距离为，椭圆C的下顶点为D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过D 点作两条相互垂直的直线分别与椭圆C 相交于点P ，M ．求证：直线PM 经过一定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得：e==，﹣c=，a 2=b 2+c 2．联立解出即可得出．（2）设DP 的方程为：y=kx ﹣1，（k ≠0），则DM 的方程为：y=﹣x ﹣1．分别与椭圆方程联立可得点P ，M ，利用点斜式可得直线PM 的方程，令x=0，解得y ，即可得出直线PM 经过一定点．【解答】解：（1）由题意可得：e==，﹣c=，a 2=b 2+c 2．联立解得：a=3，c=2，b=1．∴椭圆C 的标准方程是+y 2=1．证明：（2）D （0，﹣1），设DP 的方程为：y=kx ﹣1，（k ≠0），则DM 的方程为：y=﹣x ﹣1．联立，化为（1+9k 2）x 2﹣18kx=0，解得x=0或．则x P =，可得y P =kx P ﹣1=．∴P ．同理可得：M ，k PM ==.∴直线PM 的方程为：y ﹣=，令x=0，则y=﹣×=．∴直线PM 经过一定点．21．设函数f （x ）=mlnx +（m ﹣1）x ．（1）若f （x ）存在最大值M ，且M ＞0，求m 的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf （x ）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断． 【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M ＞0，所以有mln﹣m ＞0，解之得m ＞．即可求m 的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣，证明h（x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=．当m ≤0时，由x ＞0知f ′（x ）＜0恒成立，此时f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减． 当m ≥1时，由x ＞0知f ′（x ）＞0恒成立，此时f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m ＜1时，由f'（x ）＞0，得x ＜，由f'（x ）＜0，得x ＞，此时f （x ）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m ＜1时函数f （x ）有最大值，最大值M=f （）=mln ﹣m ．因为M ＞0，所以有mln ﹣m ＞0，解之得m ＞．所以m 的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h （x ）=xlnx ，则h ′（x ）=1+lnx ，∴x ∈（0，），h ′（x ）＜0，x ∈（，+∞），h ′（x ）＞0，∴h （x ）min =h （）=﹣，设g （x ）=﹣．g ′（x ）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，∴方程xf（x）﹣=﹣没有实数根．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G 两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心为极坐标：C（，），半径r=．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若过点P（0，1）且倾斜角α=的直线l交圆C于A，B两点，求|PA|2+|PB|2的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先求出点C直角坐标，从而求出圆C的直角坐标方程，由能求出得圆C的极坐标方程．（2）求出直线l的参数方程，代入圆C，得=0，由此能求出|PA|2+|PB|2的值．【解答】解：（1）∵圆C的圆心为极坐标：C（，），∴=1，y==1，∴点C直角坐标C（1，1），∵半径r=，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，…由，得圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．…（2）∵过点P（0，1）且倾斜角α=的直线l交圆C于A，B两点，∴直线l的参数方程为，…把直线l的参数方程代入圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（）2+（）2=3，整理，得=0，，t1t2=﹣2，∴|PA|2+|PB|2=+|t2|2=（t1+t2）2﹣2t1•t2=7．…【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜﹣|x+|；（2）已知m+n=（m＞0，n＞0），若|x+a|﹣f（x）+2≥m•n（a＞0）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出mn的最大值，问题转化为|x+a|+≥|x﹣1|，通过讨论x的范围得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）＜﹣|x+|，∴|x﹣1|＜﹣|x+|，∴或或，解得：﹣＜x≤1；（2）∵m+n=（m＞0，n＞0），∴mn≤，当且仅当m=n=时“=”成立，若|x+a|﹣f（x）+2≥m•n（a＞0）恒成立，则|x+a|+≥|x﹣1|，∵a＞0，∴﹣a＜1，∴或或，解得：x≥﹣﹣a或x≤﹣a，∴﹣a＞﹣﹣a，解得：a＜，故a的范围是（0，）．2016年10月16日。

辽宁省锦州市高考数学一模试卷 文(含解析)

辽宁省锦州市高考数学一模试卷 文(含解析)

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．2606．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1349．已知，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到y=g（x）的图象，则（）A．g（x）为奇函数B．g（x）为偶函数C．g（x）在上单调递增D．g（x）的一个对称中心为10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B． C． D．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= ．14．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V= ．15．已知数列 {a n}满足 a1=1，a n﹣a n+1=，则 a n= ．16．函数f（x）=lnx﹣2ax（a∈R）有两个不同的零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（2）已知第1组市民中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性群众的概率．19．如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=，AB=2．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求此六面体的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M【考点】15：集合的表示法．【分析】利用子集的定义判断两个集合间的包含关系，从而确定集合间的关系．【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知中等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，我们易求出a3=0，结合a1+a13=a3+a11即可得到S13的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．6．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O 为AD 的中点∴∵∴∴故选D7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．﹣2B ．C ．﹣1D ．2【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，可知该程序是计算并输出A 的值，总结规律即可得出结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i ＞2017，否； i=2，A=1﹣2=﹣1，i ＞2017，否； i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i ＞2017，否；i=4，A=1﹣=，…；i=2017=3×672+1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2018=3×672+2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A=﹣1．故选：C．8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【考点】CF：几何概型．【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．已知，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到y=g（x）的图象，则（）A．g（x）为奇函数B．g（x）为偶函数C．g（x）在上单调递增D．g（x）的一个对称中心为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将f（x）化简，根据平移变换的规律，求出g（x），结合三角函数的性质判断各选项即可．【解答】解：由=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）．把f（x）的图象向右平移个单位，可得sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．再向上平移个单位，可得：sin（2x﹣）=g（x）．∵g（﹣x）=sin（﹣2x﹣）=﹣sin（2x+）≠﹣g（x）．∴A不对．∵g（﹣x）=sin（﹣2x﹣）=﹣sin（2x+）≠g（x）．∴B不对．令2x﹣可得：，∴g（x）在上单调递增，∴C对．当x=时，可得f（）=sin（﹣π﹣）=．∴不是对称中心．∴D 不对．故选：C．10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B． C． D．【考点】7F：基本不等式．【分析】=（）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不等式即可求出【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的渐近线方程，设P点坐标，根据直线的斜率公式，求得直线PF1的斜率及直线PF2的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=﹣x，则设P点坐标（x， x），则直线PF1的斜率k==，直线PF2的斜率k==，由l2⊥PF1，则×（﹣）=﹣1， =1，①l2∥PF2，则=﹣，解得：x=，②由①②整理得： =3，由双曲线的离心率e===2，∴双曲线的离心率2，故选A．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；66：简单复合函数的导数．【分析】利用构造法g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m ﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= 7 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标和准线方程，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，利用抛物线的定义得到|AM|+|BN|=2|PR|，求得结果．【解答】解：抛物线 x2=2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y=﹣0，5，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3﹣（﹣0.5）|=7，故答案为：714．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V= ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．15．已知数列 {a n}满足 a1=1，a n﹣a n+1=，则 a n= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】把已知的数列递推式变形，得到即，然后利用累加法求得数列通项公式．【解答】解：由a n﹣a n+1=，得，即，∴（n≥2）===（n≥2）．∴（n≥2）．当n=1时，上式成立．∴．故答案为：．16．函数f（x）=lnx﹣2ax（a∈R）有两个不同的零点，则a的取值范围是．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣2ax（a∈R）有两个不同的零点，即a=有两个不同的根，令g（x）=，利用导数的方法，研究其单调性及最大值，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：y=f（x）有两个零点，即f（x）=lnx﹣2ax=0有两个根，即a=有两个根，令 g（x）=，g′（x）=，解g′（x）=0，得x=e．当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，当x=e时，g（x）的最大值为g（e）=，又当x→0+时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0，由于函数f（x）=lnx﹣2ax有两个零点，∴a的取值范围是（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（2）已知第1组市民中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性群众的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出被采访人恰好在第1组或第4组的频率，由此能估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率．（2）第1组[20，30）的人数为6，从而第1组中共有6名市民，其中女性市民共3名，记第1组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，利用列举法能求出从第1组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率．【解答】解：（1）设第1组[20，30）的频率为f1，则由题意可知：f1=1﹣（0.010+0.035+0.030+0.020）×10=0.05，被采访人恰好在第1组或第4组的频率为（0.05+0.020）×10=0.25，∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25．（2）第1组[20，30）的人数为0.05×120=6，∴第1组中共有6名市民，其中女性市民共3名，记第1组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB，AC，Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，至少有1名女性Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz共12个基本事件，∴从第1组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率为p==．19．如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=，AB=2．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求此六面体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）作DF⊥AB，交AB于F，连结CF，推导出四边形DECF为平行四边形，从而DE ∥CF，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）推导出F是AB中点，CF⊥AB，DF⊥CF，从而CF⊥平面ABD，由六面体ABCED的体积=四面体ABDE的体积+四面体ABCE的体积，能求出六面体的体积．【解答】证明：（Ⅰ）作DF⊥AB，交AB于F，连结CF．因为平面ABC⊥平面ABD，所以DF⊥平面ABC，又因为EC⊥平面ABC，从而DF∥EC．…3 分因为△ABD是边长为2的等边三角形，所以，因此DF=EC，于是四边形DECF为平行四边形，所以DE∥CF，因为DE⊄平面ABC，CF⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC …6 分解：（Ⅱ）因为△ABD是等边三角形，所以F是AB中点，而△ABC是等边三角形，因此CF⊥AB，由DF⊥平面ABC，知DF⊥CF，从而CF⊥平面ABD，又因为DF∥EC，所以DE⊥平面ABD，因此四面体ABDE的体积为，…9 分四面体ABCE的体积为，而六面体ABCED的体积=四面体ABDE的体积+四面体ABCE的体积故所求六面体的体积为2．…12 分20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）m=1时，化简函数f（x）=e x﹣lnx﹣2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f′（）＜0，f′（1）＞0，利用零点判定定理证明即可；（2）求出函数f（x）的导函数，再求出导函数的导数，判断f′（x）在（0，+∞）上为增函数，结合（1）可求f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2，进一步得到f（x0）=．设h（t）=，利用导数求其在（）上的值域（lnm，lnm+）．由f（x）＞0恒成立可得lnm+＞0成立，从而得到．【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣2，f′（x）=e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）=0；（2）f′（x）=me mx﹣，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）=m（），由（1）得，存在唯一实数mx0=t∈（），使得f（x0）=0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t=﹣lnt，∴f（x0）=．设h（t）=，当t∈（）时，h′（t）=＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）=h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．（2）联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），由此能求出|AB|．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．。

辽宁省锦州市2024年数学(高考)统编版摸底(自测卷)模拟试卷

辽宁省锦州市2024年数学(高考)统编版摸底(自测卷)模拟试卷

辽宁省锦州市2024年数学（高考）统编版摸底(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(2)题已知tan=4,cot=,则tan（+）=A．B．C．D．第(3)题已知，且，则向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题若复数满足（i是虚数单位），则（）A．B．C．D．第(5)题若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A．-1B．1C．D．2第(6)题设集合，则（）A．B．C．D．第(7)题若过点可作直线与的图象相切，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（）A．CN与QM共面B．三棱锥的体积跟的取值有关C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为D．时，第(2)题盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（）A．极差为5B．上四分位数为5C．平均数为3.5D．方差为4.25第(3)题已知实数满足，则（）A．B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知，向右平移个单位后为奇函数，则________，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是________．第(2)题已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围是__________．第(3)题某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为_______．四、解答题（本题包含5小题，共77分。

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷

辽宁省锦州市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（）A．B．C．D．第(2)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（）A．B．0C．1D．2第(4)题已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．4第(5)题如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（）A．1B．C．D．第(6)题已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（）A．B．C．D．第(7)题已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为P，过点F的直线l′与C交于M，N两点，若，且，则（）A．B．C．D．第(8)题如图是一组实验数据构成的散点图，以下函数中适合作为与的回归方程的类型是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A．事件A与事件B对立B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件C相互独立D．第(2)题已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．第(3)题已知函数，下列结论中正确的有（）A ．函数的图象关于点对称B．若，则C ．函数在上单调递增D ．函数在上的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中项的系数是_________．（用数字作答）第(2)题“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.第(3)题在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，当取最大值时，求外接圆的半径．第(2)题如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，是正三角形.已知，，.(1)证明：平面平面ABCD；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.第(3)题如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．第(4)题如图，D为圆锥DO的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为直径，C为底面圆周上一点，四边形OAED为正方形，．(1)若点F在BC上，且//面ACE，请确定点F的位置并说明理由；(2)求二面角的余弦值．第(5)题一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.(1)若，①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列；②求次试验中事件发生的次数的期望；(2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？。

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(培优卷)完整试卷

辽宁省锦州市(新版)2024高考数学统编版摸底(培优卷)完整试卷

辽宁省锦州市（新版）2024高考数学统编版摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题对任意,的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题下列函数为偶函数的是A．B．C．D．第(3)题某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线，以右顶点为圆心，为半径的圆上一点（不在轴上）处的切线与交于、两点，且为中点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E为BC上一点，则三棱锥B1—AC1E的体积为（）A．B．C．D．第(6)题在复平面内，已知点所对应的复数为z，则为（）A．1B．C．2D．0第(7)题已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则（）A．B．1C．3D．第(8)题三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且的最大值为s，最小值为t，则（）A．2B．C．D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（）A．取最大值时，B．当取最小值时，C．当取最大值时，D．的最大值为第(2)题中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），则b的值可以是（）.A．2019B．2023C．2029D．2033第(3)题已知a＝log23，b＝log0.20.3，则以下结论正确的是（）A．a＞1B．b＞1C．a＞b D．a+b＞2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，该圆锥的顶点和底面圆周均在球上.若圆锥的高为3，则球的半径为______；球的体积的最小值是______.第(2)题已知函数，则函数f(x)的最小值为___________.若，，则的值为___________.第(3)题甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）讨论的单调性；（2）曲线在点处的切线斜率为.（i）求；（ii）若，求整数的最大值.第(2)题已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）若对，总有成立，求实数的取值范围.第(3)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的极坐标方程；(2)若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围．第(4)题如图，已知圆O∶，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.（1）当|AB|=时，求直线l的方程；（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值.第(5)题设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数a和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．(1)设函数，其中b为实数．（i）求证：函数具有性质；（ii）求函数的单调区间．(2)已知函数具有性质.给定，，设m为实数，，，且，，若，求m的取值范围．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

辽宁省锦州市数学高三文数一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·石家庄模拟) 设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁UB=（）
A . {1，2}
B . {﹣1，0，1，2}
C . {﹣3，﹣2，﹣1，0}
D . {2}
2. （2分）(2013·陕西理) 设z1 ， z2是复数，则下列命题中的假命题是（）
A . 若|z1﹣z2|=0，则 =
B . 若z1= ，则 =z2
C . 若|z1|=|z2|，则z1• =z2•
D . 若|z1|=|z2|，则z12=z22
3. （2分） (2019高二上·张家口月考) 从集合和集合中各取一个数，那么这两个数之和能被整除的概率是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）
A . 30
B . 12
C . 24
D . 4
5. （2分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是（）
A . ，且甲比乙成绩稳定
B . ，且乙比甲成绩稳定
C . ，且甲比乙成绩稳定
D . ，且乙比甲成绩稳定
6. （2分）若＋，对任意实数都有且，则实数的值等于（）
A . -1
B . -7或-1
C . 7或1
D . 7或-7
7. （2分）若等比数列的前项之和为，则a等于（）
A . 3
B . 1
C . 0
D . -1
8. （2分） (2016高一下·大连期中) 设向量和的夹角为θ，且 =（2，2），2 ﹣ =（﹣4，4），则cosθ的值为（）
A .
B . ﹣
C .
D . 0
9. （2分）(2017·河北模拟) 已知符号函数sgn（x）= ，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·桂林模拟) 已知双曲线的标准方程为，直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，若C、D两点在以点A（0，﹣1）为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（）
A .
B . {m|m＞4}
C . {m|0＜m＜4}
D .
11. （2分）三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是（）
A . 2π
B . 4π
C . π
D . 8π
12. （2分）已知函数f(x)=3ax+1-3a，在区间(-1,1)内存在使，则a的取值范围是（）
A .
B .
C . 或a<-1
D . a<-1
二、填空题 (共4题；共12分)
13. （5分）(2020·淮南模拟) 若实数x，y满足则的最大值为________．
14. （5分） (2016高一上·乾安期中) 偶函数f（x）（x∈R）满足：f（﹣4）=f（2）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减，递增，则不等式x•f（x）＜0的解集为________
15. （1分）(2018·南充模拟) 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点， .若，则的面积的最大值是________．
16. （1分） (2018高一下·雅安期中) 在中，三个角所对的边分别为．若角
成等差数列，且边成等比数列，则的形状为________．
三、解答题 (共7题；共75分)
17. （15分）(2019·湖北模拟) 设数列的前n项和为 .满足，且，设
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有 .
18. （10分）(2017·太原模拟) 随着雾霾日益严重，很多地区都实行了“限行”政策，现从某地区居民中，随机抽取了300名居民了解他们对这一政策的态度，绘成如图所示的2×2列联表：
反对支持合计
男性7060
女性50120
合计
（1）试问有没有99%的把握认为对“限行”政策的态度与性别有关？
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的居民（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中反对的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．
K2= ，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：
P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001
k 2.706 3.841 6.63510.828
19. （10分） (2017高一下·鹤岗期末) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且 .
（1）证明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.
20. （10分）(2018·上海) 设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线
：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。

（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。

21. （10分） (2017高二下·徐州期中) 已知函数f（x）=alnx﹣x+ ，g（x）=x2+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）= ，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
（3）求证：1+ + +…+ ＞lnn+ （n≥2且n∈N*）．
22. （10分） (2019高三上·珠海月考) 已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为。

（1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值．
23. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共12分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
20-2、
20-3、21-1、
21-2、
21-3、
22-1、22-2、
23-1、
23-2、。

相关文档
最新文档