【解析】北京市第四十四中学2021届高三上学期期中考试数学试题

北京市第四十四中学2020-2021学年度第一学期期中考试

高三数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1. 函数()cos 24f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的最小正周期是（ ）

A.

2

π

B. π

C. 2π

D. 4π

【答案】B 【分析】

利用余弦函数的周期性求解． 【详解】()f x 的最小正周期是22

T π

π==． 故选：B ．

【点睛】本题考查函数的周期性，掌握余弦函数的周期性是解题关键．

2. 为了得到函数y=sin

3

x π

+（）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点

A. 向左平行移动

3π

个单位长度 B. 向右平行移动3π

个单位长度

C. 向上平行移动3π

个单位长度

D. 向下平行移动3

π

个单位长度

【答案】A

试题分析：为得到函数π

sin()3

y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动

π

3

个单位长度，故选A. 【考点】三角函数图象的平移

【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位长度得

()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位长度得()y f x a =+的图

象．左、右平移涉及的是x 的变化，上、下平移涉及的是函数值()f x 的变化． 3. 焦点在x 轴上且渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）

A.

2

B. 1

C.

D. 2

【答案】C 【

分析】 由渐近线方程

0x y ±=可得

1b

a

=，即可求出离心率. 【详解】因为焦点在x 轴上且渐近线方程为0x y ±=，

所以

1b

a

=，即a b =， 所以222c a =，

即2

2

22c e a

==，

所以e =

故选：C

4. 1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. 12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒

B. 12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥

C. 123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面

D. 1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面

【答案】B

【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．

选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.

5. 设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A. a b ⊥ B. a b = C. //a b D. a b >

【答案】A 【分析】

化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴2

2

a b a b +=-.

∴2

2

2

2

22a a b b a a b b +⋅+=-⋅+. ∴0a b ⋅=.∴a b ⊥. 故选:A.

解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，

从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.

6. 过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. (0,]6

π

B. (0,

]3

π

C. [0,

]6

π

D. [0,

]3

π

【答案】D 【分析】

先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.

【详解】由题意得直线l 斜率存在，设为k ，则直线l ：1(3)310y k x kx y k +=+∴-+-=，

由直线l 与圆2

2

1x y +=有公共点得

22|31|12230031

k k k k k -≤∴-≤∴≤≤+，

从而倾斜角取值范围是0,3π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，选D.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

【答案】B

1

3V Sh =，

11

63332

=⨯⨯⨯⨯， 9=．

选B.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．