图像处理-维纳滤波复原【PPT】
5-图像恢复.
（H为一线性算子） H f , x , y dd (H是空间移不变) f , H x , y dd f , hx , y dd
线性位移不变的图像退化模型则表示为：
g(x, y) f (x, y) h(x, y) n(x, y)
f (x,y) H
g (x,y)
n (x,y)
重要结论：一个线性系统完全可以由它的点扩散函数 h(x,, y, )
来表征。若系统的PSF已知，则系统在（x，y）点的输出响应可看
如果我们对退化的类型、机制和过程都十分清楚，那么就可以利用 其反过程来复原图像。
用巴特沃思带阻滤波器复原受正弦噪声干扰的图像 a) 被正弦噪声干扰的图像 b) 滤维纳滤波器恢复出来的图像
图像恢复：将降质了的图像恢复成原来的图像，针对引起图像退
其中*表示卷积运算。如果H(·)是一个h可分离系统，即
h(x,; y, ) h1(x, )h2 ( y, )
则二维运算可以分解为列和行两次一维运算来代替。
在加性噪声情况下，图像退化模型可以表示为
g(x, y) f (x, y) h(x, y) n(x, y)
其中n(x, y)为噪声图像
g(x, y) f , hx , y dd nx, y n(x,y)
f(x,y)
H
讨论的前提是假设H线性，下面一些恢复方法都是对上述模型 的近似估计。
两边进行付氏变换： G(u, v) H (u, v)F(u, v) N(u, v)
第五讲 图像复原
图像退化及复原
什么是图像退化?
图像的质量变坏叫做退化。退化的形式有图像模糊、图像有干扰等
维纳滤波(Wiener Filtering)ppt课件
求得H后，这时的均方误差为最小：记最佳的H为
H Hopt (n)
.
E
e 2 (n ) min
E
(
s(
n
)
hopt (m ) x(n
m0
m
)
)
2
E[s2(n) 2s(n) h(m)x(n m) m0
hopt (m ) x(n m )hopt (r ) x(n r )]
h(n) x(n)s(n)w(n)
y(n) sˆ(n)
.
解：已知信号的自相关和噪声的自相关为：
Rss(m)0.6m Rww(m)(m)
1
Rss(j) hopt(m)[Rss(jm)Rww(jm)] m0
j 0 12h(0)0.6h(1) j 1 0.60.6h(0)2h(1) 解得： h (0 ) 0 .4 5 1h ( 1 ) 0 .1 6 5
.
设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是 h ( n ) ， 当输入一个观测到的随机信号 x ( n ) ，简称观测值，
且该信号包含噪声 和w (有n )用信号 ，s ( n简) 称信
号，也即
x(n)s(n)w (n) (1)
则输出为
y(n)x(n)h(n)h(m )x(nm ) (2) m
.
求得最小均方误差：
1
E [e 2 (n )]m in R s s(0 )h (m )R s s(m ) 1 h (0 ) 0 .6 h (1 ) 0 .4 5 m 0
.
2 维纳滤波器的应用
要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号 之间的相关函数，即先验知识。如果我们不知道 它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特 性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设 计出的滤波器被称为“后验维纳滤波器”。
维纳滤波
维纳滤波7.2 维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是:如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。
设接收到(或观测到)的信号为随机信号(7-1)其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。
要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)，输入为x(t)，输出为，即(7-2)令为估计误差。
冲击响应h(t, τ)按最小均方误差准则确定，即h(t, τ)必须满足使(7-3)达到最小。
根据最小均方误差估计的正交条件，有以下关系成立(7-4)令(7-5)(7-6)则有(7-7)上述方程通常称为非平稳随机过程条件下的维纳-霍甫(Wiener-Kolmogorov)积分方程。
特别当x(t)，s(t)均为广义(或宽)平稳随机信号，而滤波器是线性时不变系统的情况下，x(t)与s(t)必为联合平稳，式(7-7)可写为(7-8)令，，则有(7-9)此处，“*”号表示卷积，对上式两边取Fourier变换，可得(7-10)(7-11)对于因果线性系统，有(7-12)采用完全相同的分析方法，推得因果平稳维纳-霍甫积分方程如下(7-13)(7-14)其中，表示的零、极点位于，表示的零、极点位于。
数字图像处理图像滤波ppt课件
47
噪声图像
中值滤波3x3
48
平均滤波与中值滤波比较
噪声图像
均值滤波
中值滤波
均值滤波和中值滤波都采用的是2x2 的模板
49
均值，中值和最频值
均值是模板内像素点灰度的平均值，中值是数值排列 后处于中间的值，最频值是出现次数最多的灰度值；
8
常用像素距离公式
欧几里德距离
DE
(
p,
q)
x
s 2
y
t
2
范数距离
D( p, q) x s y t
棋盘距离
D( p, q) max x s , y t
9
像素间的基本运算
算术运算：
加法： p + q
减法： p - q
乘法： p * q
这三者都与直方图有着密切的关系； 直方图的一个峰对应一个区域，如果这个峰是对称的，
那么均值等于中值，等于最频值。
50
中值滤波的代码实现 Matlab中函数medfilt1和medfilt2，第一个是一维
的中值滤波，第二个是二维的中值滤波。 使用help查看函数功能
51
示例
52
代码讲解
0.25
0.10 0.05
0.125 01 2
34
56
7
P r 关系目标曲线 r
原始图像中的Ｐ－r点位置 对应变换后的P-r点位置
24
算法描述 设像素共分为L级(r = 0,1,2,…L1)，变换后对应的
《图像复原》ppt课件
5.2 图像退化模型 2. 离散退化模型
也即
f (x) 0 x A1
fe(x) 0
A x M 1
h(x) 0 x B 1 he(x) 0 B x M 1
fe(x)、 he(x)均是长度为M的周期性离散函数，其卷积为
因此呵斥图像模糊。 通常把成象系统思索成为 线性位移不变系统，即
g ( x ,y ) f(,) h ( x ,y ) d d f( x ,y ) * h ( x ,y )
(3)退化的另一种景象,噪声污染,假定噪声是加性的, 那么退化模型为
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d n (x ,y )
a. 运用先验知识: ★ 大气湍流、 ★ 光学系统散焦 、 ★ 照相机与景物相对运动。
根据导致模糊的物理过程〔先验知识〕来确定h(x,y)或H(u,v)。
a).长时间曝光下大气湍流呵斥的转移函数
H (u ,v ) e x cu 2 p v 2[ 5 /6 ]
c是与湍流性质有关的常数。
H ( u ,v ) e x c u 2 p v 2 [ 5 /6 ]
图像退化缘由：
① 摄影胶片冲洗过程，引起非线性退化。摄影胶片的光敏 特性是根据胶片上留下的银密度为曝光量的对数函数来 表示的，光敏特性除中段根本线性外，两端都是曲线。
② 模糊呵斥退化。对许多适用的光学成像系统来说，由于 孔径衍射产生的退化可用这种模型表示。
③ 目的运动呵斥的模糊退化。 ④ 随机噪声的迭加，可看作是一种具有随机性的退化。
5.3 图像复原的频率域方法
逆滤波恢复法
对于线性移不变系统而言
维纳滤波器图像处理
维纳滤波器及其在图像处理中的应用摘要图像由于受到如模糊、失真、噪声等的影响，会造成图像质量的下降，形成退化的数字图像。
退化的数字图像会造成图像中的目标很难识别或者图像中的特征无法提取，必须对其进行恢复。
所谓图像复原就是指从所退化图像中复原出原始清晰图像的过程。
维纳波是一种常见的图像复原方法，该方法的思想是使复原的图像与原图像的均方误差最小原则恢复原图像。
本文进行了对退化图像进行图像复原的仿真实验，分别对加入了噪声的退化图像、运动模糊图像进行了维纳滤波复原，并给出了仿真实验效果以及结果分析。
实验表明退化图像在有噪声时必须考虑图像的信噪比进行图像恢复，才能取得较好的复原效果。
关键词：维纳滤波；图像复原；运动模糊；退化图像AbstractDue to factors such as blurring distorting and noising, image quality deteriorated and led to degenerated digital images which is getting harder to discern the target image or extract the image features. Wiener Filter is often used to recover the degraded image. The principle of the method expects to minimize the mean square error between the recovered image and original image. This paper carried out a restoration simulation experiments on degraded image,restoration of motion blurred images, and the result shows, SNR noise of the autocorrelation function for image restoration must be taken into consideration when restoring degraded images in a noise. Key words:Wiener Filter; motion blurred;degraded image;image restoration概述图像在形成、传输和记录的过程中都会受到诸多因素的影响,所获得的图像一般会有所下降，这种现象称为图像“退化”。
第9章维纳滤波PPT课件
t
R x s(t) h (t)R x x ()d, t
21.12.2023
.
23
做变量替换，t-=,t-=,得到：
R x s() 0 h ()R x x( )d ,0
或：
R x s() 0 h ()R x x( )d ,0
此时：
L M S R s s(0 ) 0h ()R x s()d
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.
31
H(ej)
0 1
Sss()
Sss()Snn()
Sss() 0,Snn() 0 Sss() 0,Snn() 0
Sss() 0,Snn() 0
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.
32
H(ej) 1
Sss(ej) Snn(ej)
0
非因果维纳滤波器的幅频特性
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.
33
例9.4 设信号的自相关函数是： R ss(m ) 0 .8 m m 0 , 1 , 2 , 噪声是白色的
E [d(t)d ˆ(t)]2m in
• 又限定估计 dˆ ( t ) 是由观察x(t)经线性滤波
器h(t)得出的：
d ˆ(t)x(t)*h(t)tf x()h(t)d t0
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.
11
最优线性均方估计的选取原则是使估计
误差 e(t)d(t)dˆ(t) 与所有的观察值
x(), ∊[t0，tf]正交，也就是说，如果 对每一个 ∊[t0，tf]都有：
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.
17
由于Rss‘(t)是奇函数，所以Rss‘(0)=0 把上式化简得到：
R ss (a ) a R ss (0 ) 0 R s's ( a ) b R s's'( 0 ) 0 故得到：
维纳维纳滤波实现模糊图像恢复知识讲解
维纳维纳滤波实现模糊图像恢复维纳滤波实现模糊图像恢复摘要维纳滤波器是最小均方差准则下的最佳线性滤波器，它在图像处理中有着重要的应用。
本文主要通过介绍维纳滤波的结构原理，以及应用此方法通过MATLAB函数来完成图像的复原。
关键词：维纳函数、图像复原一、引言在人们的日常生活中，常常会接触很多的图像画面，而在景物成像的过程中有可能出现模糊，失真，混入噪声等现象，最终导致图像的质量下降，我们现在把它还原成本来的面目，这就叫做图像还原。
引起图像的模糊的原因有很多，举例来说有运动引起的，高斯噪声引起的，斑点噪声引起的，椒盐噪声引起的等等，而图像的复原也有很多，常见的例如逆滤波复原法，维纳滤波复原法，约束最小二乘滤波复原法等等。
它们算法的基本原理是，在一定的准则下，采用数学最优化的方法从退化的图像去推测图像的估计问题。
因此在不同的准则下及不同的数学最优方法下便形成了各种各样的算法。
而我接下来要介绍的算法是一种很典型的算法，维纳滤波复原法。
它假定输入信号为有用信号与噪声信号的合成，并且它们都是广义平稳过程和它们的二阶统计特性都已知。
维纳根据最小均方准则，求得了最佳线性滤波器的的参数，这种滤波器被称为维纳滤波。
二、维纳滤波器的结构维纳滤波自身为一个FIR或IIR滤波器，对于一个线性系统，如果其冲击响应为()n h，则当输入某个随机信号)(nx时，Y(n)=∑-n )()(mnxmh式（1）这里的输入)()()(n v n s n x += 式（2）式中s(n)代表信号，v(n)代表噪声。
我们希望这种线性系统的输出是尽可能地逼近s(n)的某种估计，并用s^(n)表示，即)(ˆ)(y n sn = 式（3） 因而该系统实际上也就是s(n)的一种估计器。
这种估计器的主要功能是利用当前的观测值x(n)以及一系列过去的观测值x(n-1),x(n-2),……来完成对当前信号值的某种估计。
维纳滤波属于一种最佳线性滤波或线性最优估计，是一最小均方误差作为计算准则的一种滤波。
维纳滤波复原原理维纳
维纳滤波法
运动模糊图像恢复程序
I=imread('abc.png'); figure(1);imshow(I,[]); title('原图像'); PSF=fspecial('motion',40,75); MF=imfilter(I,PSF,'circular'); noise=imnoise(zeros(size(I)),'gaussian',0,0.001); MFN=imadd(MF,im2uint8(noise)); figure(2);imshow(MFN,[]); title('运动模糊图像'); figure(3); imshow(deconvwnr(MFN,PSF),[]); title('维纳滤波复原')
(1)
对复原图象影响最小。因为图象和噪声的相关矩阵都是把图象当 作随机过程来研究，从而描述其统计特性的量，在这里最小二乘 方的最佳已经演变成均方误差最小准则下的最佳。 同样根据式(1)可求得频域维纳滤波公式如下 2 H ( u , v ) ˆ (u, v) 1 G F (u, v) H (u,v) H (u,v) 2 S n(u,v) S g (u,v)
课件名称：运动模糊图像复原 指导老师：刘红霞
设计人：张彦龙 陈廷川
运动模糊图像复原技术目的
图像复原技术也常被称为图像 恢复技术图像复原技术能够去除或 减轻在获取数字图像过程中发生的 图像质量下降（退化）问题，从而 使图像尽可能地接近于真实场景。
图像复原技术的应用
一方面，对地面上的成像系统来说，由于受到射线及 大气的影响，会造成图像的退化;另一方面，在太空 中的成像系统，由于宇宙飞船的速度远远快于相机 快门的速度，从而造成了运动模糊; 航空成像领域： 无人机、预警机、侦察机的成像侦察；巡航导弹地 形识别，侧视雷达的地形侦察等； 交通智能监控领域：电子眼（车速超过60km/小时）； 公安领域： 指纹自动识别，手迹、人像、印章的鉴定识别，过 期档案文字的识别等，都与图像复原技术密不可分; 医学领域：图像复原技术也有着极其重要的作用， 如X光、CT等。
用逆滤波和维纳滤波进行图像复原
用逆滤波和维纳滤波进行图像复原在图像的获取、传输以及记录保存过程中，由于各种因素，如成像设备与目标物体的相对运动，大气的湍流效应，光学系统的相差，成像系统的非线性畸变，环境的随机噪声等原因都会使图像产生一定程度的退化，图像退化的典型表现是图像出现模糊、失真，出现附加噪声等。
由于图像的退化，使得最终获取的图像不再是原始图像，图像效果明显变差。
为此，要较好地显示原始图像，必须对退化后的图像进行处理，恢复出真实的原始图像，这一过程就称为图像复原。
图像复原技术是图像处理领域一类非常重要的处理技术，主要目的就是消除或减轻在图像获取及传输过程中造成的图像质量下降即退化现象，恢复图像的本来面目。
图像复原的过程是首先利用退化现象的某种先验知识，建立退化现象的数学模型，然后再根据退化模型进行反向的推演运算，以恢复原来的景物图像。
一、实验目的1了解图像复原模型2了解逆滤波复原和维纳滤波复原3掌握维纳滤波复原、逆滤波的Matlab实现二、实验原理1、逆滤波复原gxy,fxy,如果退化图像为，原始图像为，在不考虑噪声的情况下，其，，，，退化模型可用下式表示，,，, gxyfxydd,,,,,,,,,,,,,，，，，，，,,,,,,(12-25)由傅立叶变换的卷积定理可知有下式成立GuvHuvFuv,,,, ，，，，，，(12-26)Guv,Huv,Fuv,gxy,式中，、、分别是退化图像、点扩散函数，，，，，，，，hxy,fxy,、原始图像的傅立叶变换。
所以，，，，，，Guv,，，,,11fxyFFuvF,,,,，，，，，，,,，，Huv,，，，，(12-27)由此可见，如果已知退化图像的傅立叶变换和系统冲激响应函数(“滤被”传递函数)，则可以求得原图像的傅立叶变换，经傅立叶反变换就可以求得原始fxy,Guv,Huv,图像，其中除以起到了反向滤波的作用。
这就是逆滤波复，，，，，，原的基本原理。
在有噪声的情况下，逆滤波原理可写成如下形式GuvNuv,,，，，， Fuv,,,，，HuvHuv,,，，，，(12-28)式中，Nuv,是噪声nxy,的傅立叶变换。
图像复原培训课件.ppt
精品
•为了估计 f(x):
f(x-mc) = f(x) – f^(x).
对每个 kc x < (k+1)c计算，并将 k = 0, 1, …, K-1 的结果加起来 ，得到
Kf(x) = Sk=0K-1f(x+kc) – Sk=0K-1f^(x+kc), 0 x < c f(x) A – (1/K) Sk=0K-1f^(x+kc), 0 x < c 其中 (1/K) Sk=0K-1f(x+kc) 是未知的，但是当 K很大时，其接近平 均值，将其设为常数A。
精品
简单的通用退化模型
n(x,y)
f(x,y)
H{.}
g(x,y)
+
精品
H多具有的性质
• 线性：
2幅图像
常数
H{k1f1 + k2f2} = k1H{f1} + k2H{f2} 相加性：令 k1 = k2 = 1，则
H{f1 + f2} = H{f1} + H{f2} 一致性：令 f2 = 0，则
非线性失真 s(x,y)=k1+k2x+k3y+k4x2+k5xy+k6y2 t(x,y)=k7+k8x+k9y+k10x2+k11xy+k12y2
||n||2 = ||g – Hf^||2 J(f^)
精品
或 nTn = (g – Hf^)T(g – Hf^) 实际上是求J(f^)的极小值问题，除了要求J(f^)为最小 外，不受任何其它条件约束，因此称为无约束复原
数字图像处理图像复原.
复
式中N(u,v)是噪声n(x,y)的傅立叶变换。
原
这种方法要求噪声的类型及表达式为可知，因为噪声是
简 一个随机函数，它的傅立叶变换未知。所以即使知道退化函
介 数，也不能准确地复原未退化的图像（F(u,v)的傅立叶反变
换）。
由上式，如果H(u,v)在u,v平面上取零或很小，就会带来 计算上的困难。另一方面，噪声还会带来更严重的问题， N(u,v)/H(u,v)会使恢复结果与预期的结果有很大差距。
(2)
像
假设h(x,y)为已知的，现在观察到了g(x,y)。在没有噪声
复 的情况下，因以上两式成立，则为了复原出没有退化的图
原 像f(x,y)，只需用
简 介
Fˆ (u, v) G(u, v) H (u, v)
(3)
来计算原始图像的傅立叶变换的估计，并进行傅立叶逆变
换即可。
fˆ ( x, y) 1[F (u, v)] 此方法称为逆滤波方法。
复 原
关于原点对称的形式出现
简 √ 如果陷波滤波器位于原点处，则以它本身形式
介 出现
5.5.3 陷波滤波器
第 五 章 图 像 复 原 简 介
5.5.3 陷波滤波器
第
五 1. 理想陷波带阻滤波器
章 图 像 复 原 简 介
5.5.3 陷波滤波器
第
五 2. 巴特沃思陷波带阻滤波器
章
图
像
复
原
简 介
3. 高斯陷波带阻滤波器
像
复
原 简
√ 周期噪声可以通过频率域滤波显著减少
介
5.4 空间域滤波复原（唯一退化是 噪声）
第 五 章
图 像 复 原 简 介
5.4 空间域滤波复原（唯一退化是
《维纳滤波》PPT课件
（Wiener Filtering）
1
2
3
•维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的 家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获 得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著 名的“控制论”而闻名于世。 •1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发 现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和 信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应 该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮， 导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了 证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简 单的能运行的计算机。 •维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾 提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由 电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不 是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮 数据。这些原则是十分正确的。
Rxx (m) E[(s(n) w(n))(s(n m) w(n m))] Rss (m) Rww (m)
19
N 1
Rxs ( j) hopt (m)Rxx ( j m) m0
j 0,1,2,, N 1
N 1
Rss ( j) hopt (m)[Rss ( j m) Rww ( j m)] m0
• 我们从时域入手求最小均方误差下的h(n) 用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里只 讨论因果可实现滤波器的设计。
11
５.１.１ 因果的维纳滤波器
设 h(n) 是物理可实现的，也即是因果序 列：
h(n) 0,当n 0
因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：
图像复原PPT课件
几种带阻滤波器的透视图
高斯 带阻 滤波器
理想带阻滤波器 一阶巴特沃思带阻滤波器 高斯带阻滤波器
例九、用带阻滤波器消除周期噪声
加性周 近似二维 期噪声 正弦函数
噪声成分 对称亮点
被正弦噪声污染的图像 4阶
被正弦噪声污染图像的傅里叶频谱
巴特沃思带阻滤波器（白色为1） 巴特沃思带阻滤波器滤波效果
2、带通滤波器。 带通滤波器的传递函数是根据相应的带阻滤波器
mn
d
gr (s,t)
(s,t )Sxy
例四、中值滤波器对“椒盐”噪声的作用
效果好 一些噪声
用概率Pa=Pb=0.1椒盐噪声污染的图像 用3x3中值滤波器滤波的图像
微少噪声
完全滤除
用3x3进行二次中值滤波器 滤波的图像
用3x3进行三次中值滤波器 滤波的图像
多次使用中值滤波器会带来图像的模糊化
例五、最大值和最小值滤波器对“椒盐”噪声的作用
若：
H[a f1(x, y) b f2 (x, y)] a H[ f1(x, y)] b H[ f2 (x, y)]
则 H 具有加性和均匀性。
若： H[ f (x , y )] g(x , y )
则称 H 是线性、位置不变的系统函数。 相应系统的冲激相应为：
h( x,, y, ) H[ (x , y )]
本讲中图像均是基于此退化模型而言的！
二、噪声模型
噪声来源：图像的获取和传输过程中。如传感器的 工作环境和自身的质量：如CCD摄像机的光照和传感器 的温度；传输过程中受到的干扰等。
几种典型噪声：
高斯噪声： p(z)
1
e( z )2 / 2 2
2
瑞利噪声：
p(z)
914762-数字图像处理-第四章 图像复原-第4讲有约束复原-维纳滤波和约束最小平方滤波
M 1 N 1
(s) r 2 rTr
r2 (x, y)
x0 y0
在给定精度因子a的情况下，若调整s使得下式成立 ，
则认为恢复达到了要求
n 2 a≤ r 2 ≤ n 2 a
14
4.3 图像复原
噪声的特性：
若对噪声图像具有先验知识，则可求其均值和方差
1 M 1 N 1
mn
MN
x0
n(x, y)
y0
2 n
1 MN
M 1 N 1
[n(x,
x0 y0
y)
mn ]2
？ 实际上只要知道其均值和方差即可
n
2
MN (mn2
2 n
)
15
4.3 图像复原
约束最小平方滤波法恢复图像的 步骤：
(1) 根据先验知识，计算||n||2; 给s赋一初值；
(2)
R(u,v)
s | P(u, v) |2
G(u, v)
(7) 若 n 2 a ≤ r 2 ≤ n 2 a 成立，则停止迭代，并计算 Fˆ (u,v)
fˆ (x, y)
16
4.3 图像复原
例4.5采用约束最小平方滤波器法，对例4.4中相同的退化
图像进行恢复。
解答：模拟离焦模糊的高斯模板参数：方差为5 pixel，模
板是7x7 pixel的方模板。高斯噪声的均值为零，方差为 0.001。图 (a)为原始图像，图(b)是含噪声的离焦模糊图像。 根据公式计算，噪声的功率是409.6 . 图 (d)是用偏小的噪声功率值和的值(||n||2=205，σ =3)，图 (e) 是用偏大的噪声功率值和的值(||n||2=650，σ =7)分别恢复 的情况；s的初值取0.001，其迭代时的步长取0.01，精度因 子a=0.1||n||2。 图 (f)是采用真实的点扩散函数，和噪声功率(||n||2=409.6，σ =5) 时 迭 代 求 解 的 结 果 ， 精 度 因 子 a=0.1||n||2 ， s 的 初 值 取 0.001，其迭代时的步长取0.01，迭代终止时s= 0.1201。
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则有
ˆ (u, v) F
H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
ˆ (u, v) F
H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
或：
2 1 | H ( u , v ) | ˆ (u, v) F G (u, v) 2 H (u, v) | H (u, v) | S n (u , v) / S f (u , v )
HW 1 (u , v) 如果没有噪声，就成为逆滤波 H (u , v )
ˆ (u, v) 0 （3）当理想图像功率谱Sf (u,v)＝0)时 F ,表明我们不可 能从全是噪声的图像中恢复出任何有意义的信号。
（4）往往未退化图像的功率谱Sf (u,v)难以知道，用下式近似 表示： 2 H ( u , v ) 1 ˆ F (u, v) [ ]G(u, v) 2 H (u, v) H (u, v) K
N.Wiener, “The extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series”, New York: Wiely, 1949.
ˆ 目标：使得复原后图像 f x, y 与原始图像 f ( x, y )
的均方
f ( x, y ) hw ( x, y ) * g ( x, y ) F (u, v ) HW (u, v )G (u, v )
由Andrews和Hunt推导满足这一要求的传递函数为：
H *(u, v) H w (u, v) Sn (u, v) 2 H (u, v) S f (u, v)
逆滤波和维纳比逆滤波要好
全逆滤波 的结果
半径受限的 逆滤波结果
维纳滤波的结 果 (交互选择K)
逆滤波和维纳滤波的比较
(a)运动模糊及均值 为0方差为650的加性 高斯噪声污染的图像 (b) 逆滤波的结果 (c) 维纳滤波的结果 (d)-(f) 噪声幅度的方 差比(a)小1个数量级 (g)-(i) 噪声幅度的方 差比(a)小5个数量级
H *(u, v) S (u, v) 2 H (u, v) n S f (u, v)
ˆ (u, v) H (u, v)G(u, v) F W
维纳滤波复原特点
ˆ (u, v) F H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
（1）当H （u,v） →0或幅值很小时，分母不为零，不会造成 严重的运算误差。 （2）在信噪比高的图像中，即Sn(u,v)<<Sf(u,v)
误差最小：
2
2 ˆ min: e E f x, y f x, y
f x, y 称为对 在均方误差值最小的准则下得到的 ˆ f(x,y)的最小二乘方估计。
按照该准则得到的滤波器叫维纳滤波器。 因此维纳滤波器又称为最小均方差滤波器。
•线性滤波：寻找点扩散函数hw(x,y)，使得
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
维纳滤波是最常用的图像恢复方法 基于维纳滤波的图像恢复方法是1967年提出的
C.W. Helstrom, “Image restoration by the method of lest sqaures,” Journal of the Optical Scoiety of America, vol.57, no.3, pp.297-303, 1967. C.W.Helstrom, This week’s citation classic, 1982 1967-1982年SCI引用超过125次.
这里， H *(u, v) 是成像系统传递函数H(u,v)的复共轭；
Sn(u,v) 是噪声功率谱： Sn (u, v)＝ N (u, v) Sf (u,v)是输入图像的功率谱：
2
2
S f (u , v)＝ F (u, v)
维纳滤波复原过程
① 计算退化图像g(x,y)的二维Fourier变换G(u,v) ② 计算点扩展函数h(x,y)的二维Fourier变换H(u,v) ③ 计算退化 图像和噪声的功率谱Sf(u,v),Sn(u,v) ④ 计算滤波器HW(u,v) H w (u, v) ⑤ 计算理想图像的频谱估计 ⑥ 求反Fourier变换
不足之处，请批评指正。
谢 谢 ！
维纳滤波复原
学习汇报
维纳滤波
逆滤波处理比较简单，但没有清楚地 说明如何处理噪声，而维纳滤波综合了退化 函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。
逆滤波方法不能完全恢复原始信号f(x,y)，而只能 f x, y 。 求出f(x,y)的一个估计值 ˆ 希望找到一种方法，在有噪声条件下，从退化图像 g(x,y)复原出f(x,y)的估计值，该估计值符合一定的准 则。