§1含参量正常积分
第十九章含参量积分
∫ [∫
0
1
b a
b 1 b +∞ 1 1 sin(ln )x y dy ]dx = ∫ dy ∫ sin(ln )x y dx = ∫ dy ∫ e − ( y +1)t sin tdt (令 x = e − t ) 0 a a 0 x x
=∫
1 dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) . a 1 + (1 + y 2 )
解: 据定理 19.4 知:
Fx ( x, y ) = ∫ x f ( z )dz + y ( x − xy 2 ) f ( xy ) −
y
xy
1 x x f ( )( x − y ) y y y
= ∫ x f ( z )dz + xy (1 − y 2 ) f ( xy )
y
xy
Fxy ( x, y ) = xf ( xy ) +
b
(2) I =
∫
1 b 1 b 1 [cos(ln ) ∫ x y dy ]dx = ∫ dx ∫ x y cos(ln )dy a 0 0 x a x 1
1 ⎧ y ⎪ x cos(ln ) 0 < x ≤ 1 令 f ( x, y ) = ⎨ , 则 f ( x, y ) 在 [0,1] × [a, b] 上连续,据定理 19.5 有 x ⎪ x=0 ⎩0
1 0
+∫
1 0
⎤ 1 dy ) ⎥ 2 x +y ⎦
2
=∫
1 0
1 π dx = . x +1 4
2
类似的,
∫
1 0
dy ∫
x2 − y2 π dx = − 0 ( x 2 + y 2 )2 4
第十九章含参量积分
0 a +t
2
2
∫ 从而当 a 2 + b2 ≠ 0 时，
π
2 ln(a2 sin2
x
+ b2
cos2
x)dx
=
π
ln
a
+
b
.
0
2
∫ (2) 令 I (a) = π ln(1− 2a cos x + a2)dx 0
(Ι) 当 a < 1 时, 1 − 2a cos x + a 2 ≥ 1 − 2 a + a 2 > 0 ,因而, ln(1 − 2a cos x + a 2 )
∫ ∫ I / (b) =
π 2 0
2 b cos2 x
a2
sin
2
x
+
b2
cos2
dx x
=
2 b
π 2
1
dx = π ,
0 1+ ( a tan x)2
a+b
b
∫ 由于 I (0) =
π
2 ln(a2 sin2
x)dx
=π
ln
a
，因此
0
2
∫ I (b) = b π dt + π ln a = π ln a + b
1
∫ Ⅰ) 当 y > 1时, F ( y) = (−1)dx = −1 0
当 y < 0 时, F ( y) = 1 .
∫ ∫ ∫ 1
y
1
Ⅱ) 当 0 ≤ y ≤ 1时, F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dy + f (x, y)dy = 1− 2 y .
§1含参量正常积分
(4)
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d
| I( x x) I( x) | c | f ( x x, y) f ( x, y) | dy
d
c dx (d c).
即 I (x) 在[a, b]上连续. 同理可证: 若 f ( x, y)在矩形区域 R上连续,则含参
量 y的积分
b
J ( y) a f ( x, y)dx
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | . 所以由(3), (4)可得, 当 | x | 时,
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
x
d c
f x ( x,
y)dy
d c
f
( x x, y) x
f
( x,
y)
f x ( x,
y)
dy
(d c) .
这就证明了对一切 x [a, b] , 有
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d I( x)
dx
d
c fx ( x, y)dy .
定理19.4 ( F ( x)的可微性) 设 f ( x, y), fx ( x, y)在
第十九章 含参量积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
作业 P.178. 习题 2, 9(选做)
补充作业
1. 设 f 是可微函数, 命 F ( u )
计算F"(u). 2. 求函数 f ( x )
u 0
( x u ) f ( x )d x ,
b x ax
sin xt t
(4)
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§2 含参量反常积分
定理19.7(一致收敛的柯西准则) 含参量反常积
分(1)在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 对任
给的 0, 总存在实数 M c, 使得当A1, A2 M 时, 对一切x[a, b], 都有
A2 A1
f ( x , y )d y .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
x1 x 2 , y1 y 2 ,
就有
f
x1 ,
y1 f
x2 ,
y2 .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.3(可微性) 若函数 f (x, y)与 fx(x, y)都在矩形区 域R[a, b][c, d]上连续, 则
上. 若对任意x[a, b], 作为y的函数 f (x, y)在 [c(x), d(x)]上可积, 则称积分
第十九章 含参量正常积分
第十九章 含参量正常积分§19.1 含参量正常积分教学要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的函数⎰=dcdy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1）设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义，函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2）称()(,)dc I x f x y dy =⎰和()()()(,)d x c x F x f x y dy =⎰为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。
类似可定义含参量y 的正常积分．含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。
即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1. 连续性:定理19.1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dc dy y x f x I ),()(在],[b a 上连续．分析 设],[b a x ∈，对充分小的x ∆，有],[b a x x ∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），要证)(x I 在],[b a 上连续, 只须证)(x I 在任意],[b a x ∈上连续, 只须证0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时, ε<-∆+|)()(|x I x x I , 即 0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时,≤-∆+⎰|)],(),([|dc dy y x f y x x f ε<-∆+⎰dcdy y x f y x x f |),(),(|.要使上式成立， 只须 )(|),(),(|c d y x f y x x f -<-∆+ε. 由),(y x f 在R 上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数()x ?=?dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分?=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则??-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ?-→+11220limα; (2)?→220cos lim xdx x αα.解（1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ?-+1122在[-1,1]上连续.则--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==??→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ?+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ??+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=??,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) ()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求?+→++αααα12201limx dx. 解记?+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==?→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ?-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分?--02yt dt e ,由连续性定理可得?--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ?+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数xf ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ?=dy y x f d c),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =?)() (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=?定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=?.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ?--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间. 再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ?=求)('y F .解应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2-?+=?yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-?--=? （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =?解由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(? ?---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(? ?---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(?特别当1-=n k 时有=-xn dt t f x 0)1(,)()(?于是).()()(x f x n =?例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ?++=.解考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ?++=αα? 显然,)1(,0)0(I ==??且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件, 于是++=102'.)1)(1()(dx x x xαα?.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('α?)111(11101010222+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+?+=因此10')(αα?d ?+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102?ααπ-++= )1(2ln 82ln 8?ππ-+=)1(2ln 4π-=.另一方面=-=10'),1()0()1()(αα?d 所以.2ln 8)1(π==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ?和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ?=()?d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()?ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c,与()dy dx y x f dcb a ?,,简便记为()dyy x f dx b adc,与()dx y x f dy dcba,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c,=()dx y x f dy d cba,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba,=()()dx x g y x f dy d cba,.注意推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ?-1ln （b>a>0）. 解由xx x dy x ab bayln -=得I=dx dy x b a y10=??10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ??1=dy y ba ?+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ??+-1012222与()+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ??+-101022222=()dx dy y x y x++101022222=()()dx y x y x d y y x dy++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ??+++10101022221=dx x ?+10211=0arctan 1arctan -=4π. () +-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ??+--10122222,由()dy y xy x dx ?+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ??+-10122222=4π,所以()??+-10102222 2dx y x y x dy =–4 π.即()dy yxy x dx+-10122222≠()+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0?上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xb ln 1ln sin 10-?()0>>a b . 解令()xx x x x g ab ln 1ln sin -??? ??=,x x x dy x a b b a yln -=?.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续. 所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-??? ???=()?10x g =dx dy x x b a y ????101ln sin . 令()y x f ,= yx x ??1lnsin , 10≤<="" 0="x" p="">则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可知dx dy x x b ay101ln sin =dx x x dy yba101ln sin =()?+∞aty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++?1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=?+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明⑴? x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ?+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ?+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ?+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-?∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye∞22在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分?+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=?+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明由于+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱?+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,?+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱?A dx u x f a),(-?A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()()0u ?︱=︱+∞adxu x f ),(-? +∞adxu x f ),(0︱≤︱A dxu x f a ),(-A dxu x f a ),(0︱+︱+∞Adx u x f 0 ),(︱+︱?+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了?在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以?在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(α?dx x x x)2(arctan 3+?+∞α的连续性区间.解先看函数)(α?的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+?+∞α当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+?+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(α?的定义域是（-2,2）.我们只需证明?在任意[a,b]?（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+?在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2xxa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx x x x)2(arctan 3+?+∞α[a,b]?（-2,2）上一致收敛,故?在（-2,2）上连续.注意与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证?连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是?连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ?[,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(?+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -?+∞-. 解记J(y)= dx xxy e x 20cos -?+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxy20cos 1-?+∞-=)(y J =?y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==?.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解由于??+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞?在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理）设),(y x f 与),(y x f x 在?I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(?+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.证明设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(?+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(?+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==?∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(?+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(?+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(??+∞+∞=. 定理12 如果函数f 和u f ??都在[)[]βα,,?+∞a 上连续,积分dxuu x f a ?+∞),(在[]βα,上一致收敛,那么?+∞=adx u x f u ),()(?在[]βα,上可微,而且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明对于任意正整数a n >,令?=n an dx u x f x ),()(?.又因为若函数f 及其偏导数uf都在闭矩形[][]βα,,?=b a I 上连续,那么函数?=b a dx u x f x ),()(?在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(=?.所以n ?在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ?=),()('?. 由于.),(dx uu x f a+∞在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ?在[]βα,上一致收敛,且因{}n ?在[]βα,上收敛于?,故?在[]βα,上连续可微,且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222∞+---﹥0,b ﹥0.解把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ?+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ?+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ?+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02a I ax ?+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b][c, )∞+上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a+∞),(=dx y x f dy bac+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]?[c, )∞+上连续,若（1）?+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,?+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分??+∞+∞dy y x f dx ),(与??+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ?∞+---0（b>a>0）.解因为xy e -在[0,)∞+?[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<="" e=""p="" xy="">dx e ax ?+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ?+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ?+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ??-+∞=dx x e e bx ax ?∞+---0=dx e dy xyb a ??+∞-0=?+∞--b a xy dy e y 01=?bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ??+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ?+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-?0102=10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-= -02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ??-+∞-1303)22(=dx e x ?+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy +∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。
数学《含参量积分》讲义
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性 设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注 上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分 例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习 题 课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。
第十九章 含参量积分
第十九章含参量积分【教学目的】1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定【教学难点】一致收敛性的判定【教学时数】12学时§1含参量正常积分一、含参量积分的定义以实例和引入.定义含参量积分和.含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分.二、含参量积分的解析性质1. 含参量积分的连续性Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数在上连续 . ( 证 ) P172Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P1732. 含参量积分的可微性及其应用Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导 , 且.( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在上可微 , 且. ( 证 )P174例1 计算积分. P176.例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数的阶导数存在 , 且. P177.三、作业§2 含参量反常积分一、含参量无穷积分:1. 含参量无穷积分函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以为例介绍含参量无穷积分表示的函数.2. 含参量无穷积分的一致收敛性逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使.引出一致收敛问题 .定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对,使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛.Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛,对成立 .例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间内非一致收敛3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系:Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列,↗, 函数项级数在上一致收敛. ( 证略 )二、含参量无穷积分一致收敛判别法1. Weierstrass M 判别法设有函数, 使在上有. 若积分,则积分在一致收敛.例2 证明含参量无穷积分在内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法三、含参量无穷积分的解析性质含参量无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1. 连续性: 积分号下取极限定理.Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 )推论在Th.7的条件下 , 对, 有2. 可微性: 积分号下求导定理.Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛, 积分在一致收敛. 则函数在上可微,且.3. 可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积 , 且有.例3 计算积分P186四、含参量瑕积分简介五、作业§3 Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即和. 它们统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一、Gamma函数—— Euler第二型积分1. Gamma函数: 考虑无穷限含参量积分,当时, 点还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到时积分收敛 . (易见时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 ). 因此, 时积分收敛 .: 对R成立,.因此积分对R收敛.综上 , 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为,即=, .函数是一个很有用的特殊函数 .2. 函数的连续性和可导性在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛。
数学分析(下)19-1含参量正常积分
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
含参量正常积分
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | .
(4)
所以由(3), (4)可得,
当 | x | 时,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在 [ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
证 对于 [a, b]内任意一点x, 设
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
x x [a, b] (若 x为
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
证 设 x [ a, b], 对充分小的
x 为区间的端点, 则仅考虑
x , 有x x [a, b](若 xx) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域
R [ a, b][ c, d ]上的
二元函数.当 x取
[ a, b]上的定值时,函数
是 f (x, y)
定义在 [ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在 [ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
在矩形区域
[ a , b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分
(完整版)含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰-→+11220limα; (2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在[-1,1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ⎰⎰+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=⎰⎰,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞ 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求⎰+→++αααα12201limx dx. 解 记⎰+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==⎰→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分⎰--02yt dt e ,由连续性定理可得⎰--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ⎰+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x∂∂f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c⎰),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(⎰⎰∂∂=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则⎰⎰-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰⎰⎰.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得⎰=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o⎰-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ⎰=求)('y F .解 应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2⋅-⋅+=⎰yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-⎰--=ϕ （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =ϕ解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得⎰----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理⎰----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ特别当1-=n k 时有⎰=-xn dt t f x 0)1(,)()(ϕ于是).()()(x f x n =ϕ例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ⎰++=.解 考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ⎰++=ααϕ 显然,)1(,0)0(I ==ϕϕ且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]⨯[0,1]上满足定理3的条件,于是⎰++=102'.)1)(1()(dx x x xααϕ.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('αϕ)111(11101010222⎰⎰⎰+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+⋅+=因此⎰10')(ααϕd ⎰+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102ϕααπ-++= )1(2ln 82ln 8ϕππ-+=)1(2ln 4ϕπ-=.另一方面⎰=-=10'),1()0()1()(ϕϕϕααϕd 所以.2ln 8)1(πϕ==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ϕ和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ϕ=()⎰d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()⎰ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,与()dy dx y x f dcb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,简便记为()dyy x f dx b adc⎰⎰,与()dx y x f dy dcba⎰⎰,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c⎰⎰,=()dx y x f dy d cba⎰⎰,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba⎰,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba⎰⎰,=()()dx x g y x f dy d cba⎰⎰,.注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ⎰-1ln （b>a>0）. 解 由xx x dy x ab bayln -=⎰得I=dx dy x b a y ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎰⎰10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ⎰⎰1=dy y ba ⎰+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ⎰⎰+-10122222与()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ⎰⎰+-101022222=()dx dy y x y x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++101022222=()()dx y x y x d y y x dy ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++10101022221=dx x ⎰+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()⎰⎰+-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ⎰⎰+--10122222,由()dy y xy x dx ⎰⎰+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ⎰⎰+-10122222=4π,所以()⎰⎰+-101022222dx y x y x dy =–4π.即()dy yxy x dx⎰⎰+-10122222≠()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0⨯上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xx x ab ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ ()0>>a b . 解 令()xx x x x g ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,x x x dy x a b b a yln -=⎰.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续.所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=()⎰10x g =dx dy x x b a y ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin . 令()y x f ,= yx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛1lnsin , 10≤<x , 0 , 0=x .则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可知dx dy x x b ay ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin =dx x x dy yba ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛101ln sin =()⎰⎰+∞+-baty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++⎰1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=⎰+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy⎰+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明 ⑴∀ x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ⎰+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy⎰+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ⎰+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy⎰+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ⎰+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？ 解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→⎰⎰x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-⎰⎰∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye⎰∞+-022在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分⎰+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=⎰+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明 由于⎰+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱⎰+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,⎰+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱⎰A dx u x f a),(-⎰A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()u ϕ-()0u ϕ︱=︱⎰+∞adxu x f ),(-⎰+∞adxu x f ),(0︱≤︱⎰A dxu x f a),(-⎰A dxu x f a),(0︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了ϕ在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以ϕ在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(αϕdx x x x)2(arctan 3+⎰+∞α的连续性区间.解 先看函数)(αϕ的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α收敛.当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+⎰+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(αϕ的定义域是（-2,2）.我们只需证明ϕ在任意[a,b]⊂（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+⎰在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2<a ≤α,xxx xa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+⎰∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α在[a,b]⊂（-2,2）上一致收敛,故ϕ在（-2,2）上连续.注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证ϕ连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是ϕ连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ⨯[,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -⎰+∞-. 解 记J(y)= dx xxy e x 20cos -⎰+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0⎰+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxye x20cos 1-⎰+∞-=)(y J =⎰y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==⎰.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解 由于⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞⎰∂∂在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞⎰==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理） 设),(y x f 与),(y x f x 在⨯I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.证明 设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(⎰+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(⎰+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==⎰∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(⎰+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(⎰+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(⎰⎰+∞+∞∂∂=. 定理12 如果函数f 和u f ∂∂都在[)[]βα,,⨯+∞a 上连续,积分dx uu x f a ⎰+∞∂∂),(在[]βα,上一致收敛,那么⎰+∞=adx u x f u ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明 对于任意正整数a n >,令⎰=n an dx u x f x ),()(ϕ.又因为若函数f 及其偏导数uf∂∂都在闭矩形[][]βα,,⨯=b a I 上连续,那么函数⎰=b a dx u x f x ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(⎰∂∂=ϕ.所以n ϕ在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ⎰∂∂=),()('ϕ. 由于.),(dx uu x f a⎰+∞∂∂在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ϕ在[]βα,上一致收敛,且因{}n ϕ在[]βα,上收敛于ϕ,故ϕ在[]βα,上连续可微,且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222⎰∞+---﹥0,b ﹥0.解 把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ⎰+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ⎰+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ⎰+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02dx ea I ax ⎰+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a⎰⎰+∞),(=dx y x f dy bac⎰⎰+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分⎰⎰+∞+∞a cdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy⎰-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ⎰∞+---0（b>a>0）.解 因为xy e -在[0,)∞+⨯[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<ax xy e e --≤而dx e ax ⎰+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ⎰+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ⎰+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ⎰⎰-+∞=dx x e e bx ax ⎰∞+---0=dx e dy xyb a ⎰⎰+∞-0=⎰+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a xy dy e y 01=⎰bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-⎰0102=⎰10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-=-⎰⎰⎰02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ⎰⎰-+∞-1303)22(=dx e x ⎰+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy⎰+∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。
数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)
第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。
19含参变量的积分
最后讨论 I ( x) =
∫
d
c
f ( x, y )dy 的可积性（积分问题） 的可积性（积分问题）
通常记
记号： 若 I ( x ) 在[a, b] 可积 .
∫
b
a
I ( x)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c
b
d
称为先对y后对x的累次积分
定理19.6
（积分交换次序）
设 f (x, y) 在 [a, b]×[c, d] 连续 ，则
ln(1 + α x) I (α ) = ∫ dx, α ∈ [0,1] 2 0 1+ x
1
f ( x, α ) =
1 + x2
x 1 α+x α 则 fα ( x,α ) = = ( − ), 2 2 2 (1+ x )(1+ α x) 1+ α 1+ x 1+ α x
它们都在 [0,1]×[0,1] 上连续，根据定理19.2，有
I ( x ) 在[a, b] 可积，且
∫
即
b
a
I ( x)dx = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
a c
b
d
∫
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
证明： 令 I1 (u ) = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c u d
定义19.1
设f (x, y) 定义在[a, b] × [c, +∞ ]，且对任意x ∈ [a, b], 无穷积分 I (x)=
∫
第十九章含参变量积分
第十九章 含参变量积分§1含参变量常义积分一 定义：设 (,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，()(,)[,]baI y f x y dx y c d =∈⎰或()(,)[,]dcJ x f x y dyx a b =∈⎰二 含参变量常义积分的分析性质定理1 （连续性定理）设 (,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则函数()(,)baI y f x y dx =⎰在[,]c d 上连续，即000lim (,)lim (,)[,]bbaa y y y y f x y dx f x y dx y c d →→=∈⎰⎰例1 求1200lim1cos dxx xαα→+⎰解 由于 2(,)1cos dx f x x x αα=+在11[0,1][,]22⨯-上连续，则有 111222000001lim lim 1cos 1cos 14dx dx dx x x x x x ααπαα→→===+++⎰⎰⎰ 例2 研究函数 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。
解 令22)(),(yx x yf y x g +=，则),(y x g 在],[]1,0[d c ⨯连续，其中],[0d c ∉。
从而)(y F 在0≠y 连续。
当0=y 时，0)0(=F当0>y 时，记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x ，则⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+≥1 0 22dx y x y m y m 1arctan = 若)(lim 0y F y +→存在，则 ≥+→)(l i m 0y F y ym y 1a r c t a n l i m 0+→)0(02F m =>=π故)(y F 在0=y 不连续。
或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈∃ξ，使⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+=1 0 22)(dx y x yf ξ yf yxf 1arctan )(arctan)(1ξξ==若)(lim 0y F y +→存在，则=+→)(l i m 0y F y yf y 1a r c t a n )(l i m 0ξ+→02>≥m π故)(y F 在0=y 不连续。
第十九章含参量积分
第十九章含参量积分§1 含参量正常积分教学目的掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．教学建议(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义．(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.教学程序一、含参量正常积分的概念定义设二元函数()y x f,在矩形区域=R[][]d cba,,⨯上有定义，且对[]b a,内每一点x，函数()y x f,关于y在闭区间[]d c,上可积，则定义了x的函数()x I=()⎰dcdyyxf,，x∈[]b a,（1）设二元函数()y x f,在区域G=()()(){}bxaxdyxcyx≤≤≤≤,,上有定义，函数()x c，()x d为[]b a,上的连续函数，且对[]b a,内每一点x，函数()y x f,关于y在闭区间()()[]x dxc,上可积，则定义了x的函数()x F=()()()⎰x dxcdyyxf,，x∈[]b a,（2）称（1）和（2）为含参量x的正常积分．类似可定义含参量y的正常积分．二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一）、连续性定理19．1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()x I =()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上连续．证明 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），于是()()x I x x I -∆+=()()[]⎰-∆+dcdy y x f y x x f ,, （3）由于()y x f ,在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要δ<-21x x ,δ<-21y y就有 ()()ε<-2211,,y x f y x f （4） 所以由（3）（4）可得：当δ<∆x ，()()x I x x I -∆+≤()()⎰-∆+dcdyy x f y x x f ,,≤⎰dcdy ε=()c d -ε这就证得()x I 在[]b a ,上连续．（同理，若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()y J =()⎰badx y x f ,在[]d c ,上连续．）定理19．1的结论可写成：[]b a x ,0∈∀ ()()⎰⎰→→=dc x xd cx x dyy x f dy y x f ,lim ,lim（极限运算与积分运算交换顺序）.定理19．2(连续性) 设二元函数()y x f ,在区域G =()()(){}b x a x d y x c y x ≤≤≤≤,,上连续，其中函数()x c ，()x d 为[]b a ,上的连续函数，则函数()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,，x ∈[]b a , （6） 在[]b a ,上的连续．证明： 对积分（6）作换元，令()()()()x c x d t x c y -+=，则()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,=()()()()()()()()⎰--+1,dt x c x d c c x d t x c x f()()()()()()()()x c x d c c x d t x c x f --+,在矩形[]b a ,[]1,0⨯上连续，由定理19．1即得结论 （二）、可微性定理19．3(可微性) 若函数()y x f ,与其偏导数x ∂∂()y x f ,都在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则()x I =()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上可微，且dxd()⎰dcdyy x f ,=()⎰∂∂dc dy y x f x ,证明：设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点则考虑单侧导数），于是()()()()dy x y x f y x x f x x I x x I dc ⎰∆-∆+=∆-∆+,,.由于拉格朗日中值定理及x ∂∂()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续（从而一致连续），即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，只要δ<∆x ，就有()()()y x f x y x f y x x f x ,,,-∆-∆+=()()εθ<-∆+y x f y x x f x x ,,()10<<θ因此()≤-∆∆⎰d cx dy y x f x I,()()()dyy x f x y x f y x x f dcx ⎰-∆-∆+,,,()c d -<ε这就证得对一切[]b a x ,∈，()=x I dx d()⎰∂∂dc dy y x f x ,．定理19．4(可微性) 若函数()y x f ,与其偏导数x ∂∂()y x f ,都在区域R =[][]q p b a ,,⨯上连续，()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的可微函数，则()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,， 在[]b a ,上可微，且()x F '=()()()⎰x d xc x dy y x f ,+()()xd x f ,()x d '()()x c x f ,-()x c ' . （7）证明 把()x F 看作复合函数：()x F ＝()d c x H ,,=()⎰dcdy y x f ,,其中()()x d d x c c ==,,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有()x F dx d =dx dd d H dx dc c H x H ∂∂+∂∂+∂∂=()()()⎰x d x c x dy y x f ,+()()x d x f ,()x d '()()x c x f ,-()x c '（三）、可积性定理19．5(可积性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()x I =()⎰d cdy y x f ,和()y J =()⎰badx y x f ,分别在[]b a ,和[]d c ,上可积．证明 由()x I ,()y J 的连续性即知.定理19．6(可积性) 若二元函数()y x f ,在矩形R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则⎰b adx ()⎰d cdy y x f ,=⎰d cdy ()⎰badxy x f ,.证 记()=u I 1⎰u a dx ()⎰dcdy y x f ,，()=u I 2⎰dcdy ()⎰uadx y x f ,,其中[]b a u ,∈，现分别求()u I 1与()u I 2的导数.()dudu I ='1()()u I dx x I ua=⎰，对于()u I 2，令()y u H ,=()⎰u adx y x f ,，则有()=u I 2()⎰dcdy y u H ,，因为()y u H ,与()y u H u ,=()y u f ,都在R 上连续，由定理19．3()u I 2'=()()()()u I dy y u f dy y u H dy y u H du ddc d c u d c ⎰⎰⎰===,,,，故得()u I 1'=()u I 2'，[]b a u ,∈，又()a I 1=()02=a I ， 即()u I 1=()u I 2，[]b a u ,∈，取b u =即得所欲证． 三、 应用的例例1 求⎰+→++αααα12201limx dx.解 记()=αI ⎰+++ααα1221x dx ，由于α，α+1，2211α++x 连续，所以⎰+→++αααα12201limx dx＝4112π=+⎰x dx . 例2 计算积分I =()⎰++10211ln dx x x .解 考虑()=αI ()⎰++10211ln dx x x α，由定理19．3()()()⎰++='10211dx x x x I αα=dx x x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++1022211111αααα =()()011ln 1ln 21arctan 1122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++x x x ααα=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++x απαα1ln 2ln 214112，所以()⎰'1ααd I =()ααπααd x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++1021ln 2ln 21411=()()101arctan 2ln 21011ln 82I -++απ=()12ln 4I -π，另一方面()⎰'1ααd I =()()()101I I I =-，所以I =()=1I 2ln 8π，例3 设()x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当x 充分小时，函数()x ϕ=()()()⎰---xn dt t f t x n 01!11的各阶导数存在，且()()x n ϕ=()x f解 ()t x F ,=()()t f t x n 1--及其偏导数()t x F x ,在原点的某方邻域内连续，()x ϕ'=()()()()+---⎰-xn dt t f t x n n 021!11()()()t f x x n n 1!11--- =()()()⎰---xn dt t f t x n 02!21，所以()()x k ϕ=()()()⎰------xk n dt t f t x k n 01!11， ()()x n 1-ϕ=()⎰xdt t f 0，故()()x nϕ=()x f . 例4 求I =⎰-10ln dx x x x ab .解 ⎰b aydyx =x x x ab ln -，所以I =⎰-10ln dx x x x a b =⎰10dx ⎰ba y dy x =⎰⎰ba ydx x dy 10=⎰+ba dy y 11=ab ++11ln ，注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.思考题:1．根据本节的各定理，在一般的区间I上含参量的正常积分的分析性质有些什么样的结论？2．能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？作业教材178:1—6.§2 含参量反常积分教学目的 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求(1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分()⎰+∞cdyy x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记()x I =()⎰+∞cdy y x f ,，x ∈[]b a , . （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一、 一致收敛概念及其判别法 （一）、一致收敛的定义定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有()()ε<-⎰Mcx I dy y x f ,，即()ε<⎰+∞Mdy y x f ,，则称含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于()x I （二）、一致收敛的柯西准则定理19.7含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某个实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有()()ε<-⎰21,A A x I dy y x f .例1 证明参量的反常积分⎰+∞0sin dy y xy在[)+∞,δ上一致收敛（其中0>δ），但在()+∞,0上不一致收敛．证 令xy u =，⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du u u sin ，其中0>A ，由于⎰+∞0sin du u u 收敛，故对任给的0>ε，总存在正数M ，使当M A >'时就有ε<⎰+∞'A du u usin .取M A >δ，则当δMA >时，对一切0>≥δx ，有ε<⎰+∞Ady y xysin ，所以⎰+∞0sin dy y xy在0>≥δx 上一致收敛．再证⎰+∞0sin dy y xy在()+∞,0上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个[)+∞∈,0x ，使得sin ε≥⎰+∞Ady y xy，因⎰+∞0sin du u u收敛，故对任何正数0ε与()c M >，总相应地存在某个0>x ，使得sin sin ε<-⎰⎰+∞+∞du u udu u u Mx ，即有<-⎰+∞00sin εdu uu<⎰+∞Mxdu u usin 00sin ε+⎰+∞du u u，令210=ε⎰+∞0sin du u u>0,则可得>⎰+∞Mdy y xysin ⎰+∞Mxdu u usin 000002sin εεεε=-=->⎰+∞du u u，所以⎰+∞0sin dy y xy在()+∞,0上不一致收敛． （三）、一致收敛的充要条件定理19.8含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数()∑⎰∞=+11,n A A n ndyy x f =()∑∞=1n n x u在[]b a ,上一致收敛．证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给的正数ε，必存在c M >，使当M A A >'>''时，对一切∈x []b a ,总有()ε<⎰'''A A dy y x f ,， （8）又由+∞→n A ()∞→n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有M A A n m >>．由（8）对一切∈x []b a ,，就有()()()()ε<++=++⎰⎰++11,,m mn nA A A A m n dy y x f dy y x f x u x u ，这就证明了级数(7)在上一致收敛.[充分性]略（四）、一致收敛的M 判别法设有函数()y g ，使得()()x g y x f ≤,，b x a ≤≤，+∞<≤y c ，若()⎰+∞cdyy g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．（五）、一致收敛的狄里克莱判别法（ⅰ）对一切实数c N >，含参量的反常积分()⎰Ncdyy x f ,对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切，c N >及一切x ∈[]b a ,，都有()Mdy y x f Nc≤⎰,；（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调递减且当y +∞→时，对参量x ，()y x g ,一致地收敛于0，则含参量的反常积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．（六）、一致收敛的阿贝尔判别法（ⅰ）设()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛；（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，则含参量的反常积分，()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．例2 证明含参量的反常积分⎰+∞+021cos dy x x在()+∞∞-,上一致收敛．证 由22111cos x x x +≤+，因⎰+∞+0211dy x 收敛和一致收敛的M 判别法即可得．例3 证明含参量的反常积分⎰+∞-0sin dy x xe xy在[]d ,0上一致收敛．证` 由⎰+∞0sin dx x x收敛从而一致收敛，1≤=--xy xy e e ，()[)[]d y x ,0,0,⨯+∞∈及对每一[]d y ,0∈单调，据阿贝尔判别法即得．例4 证明：若()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，又()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上一致收敛，但在b x =处发散，则()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上不一致收敛．证 反证法．假若积分()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上一致收敛．则对于任给的0>ε，总存在c M >，当M A A >',时对一切∈x [)b a ,恒有，()ε<⎰'A Ady y x f ,，由假设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，所以()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上是x 的连续函数．在上面不等式中令b x →，得到当M A A >'>时，()ε≤⎰'A Ady y b f ,，而ε是任给的，因此()⎰+∞cdyy x f ,在b x =处收敛，这与假设矛盾．所以()⎰+∞cdyy x f ,在[)b a ,上不一致收敛． 二、含参量反常积分的性质 （一）、连续性定理19．9设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上连续．证明 由定理19．8，对任一递增且趋于∞+的数列{})(1c A A n =，函数项级数()()()∑∑⎰∞=∞=+==111,n n n A A x u dy y x f x I n n在[]b a ,上连续．又由于()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续．由函数项级数的连续性定理，函数()x I 在[]b a ,上连续．（二）、可微性定理19．10设()y x f ,和()y x f x ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上收敛，()⎰+∞cxdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可微，且()x I '=()⎰+∞cx dy y x f ,证明 对任一递增且趋于∞+的数列{})(1c A A n =，令()()⎰+=1,n nA A n dyy x f x u ，由定理19．3()()⎰+='1,n nA A x ndyy x f x u ，由()⎰+∞cx dy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，及定理19．8，可得()()∑⎰∑∞=∞=+='111,n A A xn nn ndy y x f x u 在[]b a ,上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即可得()='x I ()()∑⎰∑∞=∞=+='111,n A A xn nn ndy y x f x u =()⎰+∞cxdy y x f ,，即dxd ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰+∞cxdyy x f ,.（三）、可积性定理19.11设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可积，且⎰b adx ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰⎰+∞c badxy x f dy ,.证明 由定理19．9知()x I []b a ,上连续从而可积，又由定理19．9的证明函数项级数()()()∑∑⎰∞=∞=+==111,n n n A A x u dy y x f x I n n在[]b a ,上一致收敛，由逐项求积定理，即有⎰b adx ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰ba dx x I =()∑⎰∞=1n b andx x u =()∑⎰⎰∞=+11,n baA A n ndy y x f dx =()⎰∑⎰∞=+ban A A dxy x f dy n n,11=()⎰⎰+∞cbadxy x f dy ,.定理19.12设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若（ⅰ）()⎰+∞adxy x f ,关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，()⎰+∞cdyy x f ,于x 在任何闭区间[]b a ,上一致收敛，（ⅱ）积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞c adxy x f dy , （18）中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,=()⎰⎰+∞+∞c adxy x f dy ,.证明 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得()dyy x f dx ac⎰⎰+∞+∞,也收敛．当c d >时，d I =()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞-d caacdyy x f dx dx y x f dy ,,=()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞--d caaaddcdyy x f dx dy y x f dx dx y x f dy ,,,，根据条件（ⅰ）及定理19.11，可推得d I =()⎰⎰+∞+∞addy y x f dx ,≤()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+A dA a d dyy x f dx dy y x f dx ,,，≤()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+AdA addyy x f dx dy y x f dx ,, . （20）由条件（ⅱ），对任给的0>ε，有0>G ，使当G A >时，有()⎰⎰+∞+∞Addy y x f dx ,ε<，选定A 后，由()⎰+∞cdyy x f ,的一致收敛性，存在0>M ，使得当M d >时有()()d A dy y x f d-<⎰+∞2,ε，这两个结果应用到（20）式得到d I εεε=+<22.即0lim =+∞→d d I ，这就证明了（19）式．三、应用的例例5 计算I =⎰+∞--0sin sin dxx axbx e px（a b p >>,0）解 x ax bx sin sin -=⎰ba xydycos ，I =⎰+∞--0sin sin dx x axbx epx=⎰⎰+∞-0)cos (dx xydy e b a px =⎰⎰+∞-b a px dxxy e dy 0cos=⎰+ba dy y p p22=p a p b arctan arctan -. 例6计算⎰+∞0sin dx x ax .解 ()=p F ⎰+∞-0sin dx x axe px=p a arctan ()0>p ， 由连续性⎰+∞0sin dx x ax=()=0F +→0lim p ()=p F +→0lim p ⎰+∞-0sin dx x axe px=+→0lim p p a arctan =asgn 2π.例7 计算()r ϕ=⎰+∞-0cos 2rxdx e x .解 由22cos x x erx e--≤和⎰+∞-02dx ex 收敛，⎰+∞-0cos 2rxdx e x一致收敛，类似⎰+∞-∂∂0)cos (2dx rx e r x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x 也一致收敛，()r ϕ'=⎰+∞--0sin 2rxdx xe x =⎰+∞---∞+0cos 210sin 2122rxdx re rx e x x =⎰+∞--0cos 22rxdxe r x=()r r ϕ2-.于是 ()r ϕln =c r ln 42+-， ()r ϕ=42r ce -，由 ()0ϕ=⎰+∞-02dxe x =2π， 得()r ϕ=422r e-π.四、含参量的无界函数反常积分设()y x f ,在区域R =[][]d c b a ,,⨯上有定义，若对某些x 的值，d y =为函数()y x f ,的瑕点，则称()⎰dcdyy x f ,为参量x 的无界函数反常积分．定义2 对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切x ∈[]b a ,，都有()εη<⎰-dd dy y x f ,，则称含参量反常积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．注：从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分的求出提供了方便。
12-3(1)含参量的积分
则函数
I(x)
d
f ( x , y )d y
c
在 [ a , b ] 上可微, 且
dx c
d
d
f ( x , y )d y
d c
f x ( x , y )d y .
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证 对于 [ a , b ]内任意一点x, 设 x
I ( x x) I ( x) x
x [ a , b ] (若x为
附带说明:当 x = 0 时, ( x ) 及
( n 1 )
其各导数为
( 0 ) ( 0 )
(0) 0 .
例5 求
I
1 0
x x
b
a
dx
b
(b a 0) .
a
ln x
y
解 因为 a
b
x dy
x x ln x
I
, 所以
b y
1 0
(1 )
I(x)
d c
f ( x , y )d y , x [ a , b ]
是定义在 [ a , b ] 上的函数. 一般地, 设
f ( x , y ) 为定义在区域
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G {( x , y ) | c ( x ) y d ( x ) , a x b }
n2
f ( t )d t
(n 1) !
(x x)
n 1
f (x( n 1 )( x t )
n2
f ( t )d t .
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同理
( x )
(n 3)!
数学分析ch15-1含参变量的常义积分
算的方法。
图15.1.1
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y) 在闭矩形 D [a,b][c, d]上连 续，则函数
在[c, d ] 上连续。
b
I (y) a f (x, y)dx
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y) 在闭矩形 D [a,b][c, d]上连 续，则函数
0
0
L
b
π 2
1 b2 a2 sin2 tdt b
π 2
1 k 2 sin2 tdt ,
0
b2
0
z
L
这里 k
b2 a2
。2
1 k 2 sin2 tdt 就是含参变量 k
b
0
O
x
的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是，
被积函数 1 k2 sin2 t 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计
0 0 1 x2 cos x
解 由于函数
f (x,)
1
1 x2 cosx
在闭矩形[0,
1]
1 2
,
1 2
上连续，因此由定理
15.1.1，
lim
0
1 dx
0 1 x2 cos x
1
dx
0
lim 0 1
x2
cos x
11 0 1 x2
dx
π 4
。
定理 15.1.2（积分次序交换定理） 设 f (x, y) 在闭矩形[a,b][c, d]
为含参变量积分。
例如计算椭圆
x2 a2
y2 b2
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则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
§1 含参量正常积分
对多元函数其中的一个自变量进行积分形 成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的 非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正 常积分两种形式.
一、含参量正常积分的定义 二、含参量正常积分的连续性 三、含参量正常积分的可微性 四、含参量正常积分的可积性 五、例题
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一、含参量正常积分的定义
x
d c
f x ( x,
y)dy
d c
x
c
x
由微分学的拉格朗日中值定理及 fx ( x, y) 在有界闭
域 R上连续(从而一致连续),对 0 , 0, 只要
x 时，就有
f
(x
x, y) x
f
( x,
y)
f x ( x,
y)
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fx ( x x, y) fx ( x, y) , 其中 (0,1). 因此
I
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | . 所以由(3), (4)可得, 当 | x | 时,
(4)
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d
| I( x x) I( x) | c | f ( x x, y) f ( x, y) | dy
d
c dx (d c).
即 I (x) 在[a, b]上连续. 同理可证: 若 f ( x, y)在矩形区域 R上连续,则含参
量 y的积分
b
J ( y) a f ( x, y)dx
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a , b]上连续. 证 设 x [ a, b], 对充分小的x , 有x x [a, b](若 x 为区间的端点, 则仅考虑 x 0 或 x 0 ), 于是
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d
I( x x) I( x) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
二元函数.当 x取[ a, b]上的定值时,函数 f ( x, y) 是
定义在[ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在[ c, d ]上可积, 则其积分值
d
Hale Waihona Puke I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
中c(x), d(x)为[ a, b]上的连续函数, 则函数
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x)
(6)
在[ a, b]上连续.
证 对积分(6)用换元积分法, 令
y c( x) t(d( x) c( x)) .
当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续.
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三、含参量正常积分的可微性
定理19.3 ( I( x) 的可微性 ) 若函数 f ( x, y)与其偏导
数 fx ( x, y) 都在矩形区域 R [a, b][c, d]上连续,
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
Oa
bx
图 19 1
若对于[ a, b]上每一固定的 x 值, f ( x, y)作为 y 的函
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数在闭区间[ c( x), d( x) ]上可积, 则其积分值
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy , x [ a, b] c( x)
(2)
是定义在[ a,b ]上的函数.
用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数I( x)与F ( x)
通称为定义在 [ a, b]上的含参量 x 的(正常)积分,
或简称为含参量积分.
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二、含参量正常积分的连续性
定理19.1 ( I( x) 的连续性) 若二元函数 f ( x, y) 在矩 形区域 R [ a, b][ c, d]上连续, 则函数
(5)
在[c ,d ]上连续.
注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
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若 f ( x, y)在矩形区域 R 上连续,则对任何
x0 [a, b] , 都有
d
d
lim f ( x, y)dy lim f ( x, y)dy .
xx0 c
c xx0
这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其