研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)

研究生《数值分析》课程作业（二）

姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。

20012222()()()()()()()

(1)(2)(0)(2)(-0)(1)59

3143

(01)(02)(10)(12(20)(21)22

L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=⨯

+⨯+⨯=-+------解： 二次 l agr ange插值

）

Newton 插值多项式：

200100120122()()[,](-)[,,](-)(-)

5559

32(0)(0)(1)32()3

2222

N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-⨯-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值

*()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。 解：1

()()y f x x f y -==解：

对的反函数进行二次插值

1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0)

(0)()

()()

()()()()()()

(0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25)

2 3.54(

3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25)

y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=⨯

+⨯+⨯

----+-+- 2.945

≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],()

()()()()

(1)!

,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项

这里（）且依赖于。

0110101(0,1,,)()()0()()()()()()()()[,]()()()()()()()

(),,,(k n n k n n n n n n x k n R x R x R x K x x x x x x x K x x K x x x a b t f t L t K x t x t x t x t x x x x t ωφφφ+===---==----- 证由条件知节点是的零点，即。于是其中是与有关的待定函数。

现把看成上的固定点，作函数

根据插值条件和余项定义，知在点及处均为零。故明：1111)[,]2()[,]1()()[,]()(,)(,),()()(1)!()0

()()(,),(1)!

n n n n a b n t a b n t t a b n t a b a b f n K x f K x a b x

n φφφφξφξξξξ++++'+'''+∈=-+==∈+（）

（）

（）（）在上有个零点，根据罗尔定理，在内至少有个零点。对再应用罗尔定理，可知在内至少

有个零点。依次类推，在上至少有一个零点，记为

使

于是

，

且依赖于于是得到插值余项。 证毕。

44、试用数据表建立不超过次的埃尔米特插值多项式。

解：（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）

22322

2222232432432

()(0)[0,0](0)[0,0,1](0)[0,0,1,1](0)(1)

[0,0,1,1,2](0)(1)19

00(0)1(0)(1)(0)(1)(0)(1)4

19192127(2)4424H x f f x f x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x

=+-+-+--+--=+⨯-+⨯-+-⨯--+

--=-++-+=-+