离散时间信号z变换共39页
离散时间信号与系统的复频域分析——z变换ppt
其他特 VIP专享精彩活动
权
VIP专属身份标识
开通VIP后可以享受不定期的VIP随时随地彰显尊贵身份。
专属客服
VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服Q全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名
6.6.1 数字滤波器的概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说，把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备，这种设备称为数字信号处理机； 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
档消耗一个共享文档下载特权。
年VIP
月VIP
连续包月VIP
享受100次共享文档下载特权，一次 发放，全年内有效
赠每的送次VI的发P类共放型的享决特文定权档。有下效载期特为权1自个V月IP，生发效放起数每量月由发您放购一买次，赠 V不 我I送 清 的P生每 零 设效月 。 置起1自 随5每动 时次月续 取共发费 消享放， 。文一前档次往下，我载持的特续账权有号，效-自
第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 z 变 换 的 定 义 6.2 常 用 序 列 的 z 变 换 6.3 z 变 换 的 性 质 6.4 逆 z 变 换 6.5 离散系统的z域分析 6.6 数 字 滤 波 器 6.7 用MATLAB进行z域分析
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
离散z变换公式大全
离散z变换公式大全1.基本形式：离散Z变换的基本形式可以表示为：X(z)=Z{x[n]}=Σ(x[n]*z^(-n)),n=-∞到+∞其中，Z表示Z变换，x[n]表示离散时间域的输入序列，X(z)表示离散Z域的输出序列，z表示复平面上的变量。
2.单位冲激函数：Z变换可以将单位冲激函数（δ函数）的离散时间域表示转换为复平面的频率域表示。
单位冲激函数的Z变换是一个常数：Z{δ[n]}=13.延时性质：离散Z变换具有延时性质，即在离散时间域上的序列向右或向左移动k个单位，对应于复平面上的Z域序列乘以z^(-k)。
Z{x[n-k]}=Z{x[n]}*z^(-k)4.线性性质：离散Z变换具有线性性质，即输入序列的线性组合的Z变换等于各个输入序列Z变换的线性组合。
Z{a*x[n]+b*y[n]}=a*X(z)+b*Y(z)其中，a和b为常数。
5.对时域微分：离散Z变换可以对时域上的序列进行微积分运算。
对于序列x[n]的微分，可以通过在Z域中将其对应的Z变换X(z)乘以z的导数1-z^(-1)来表示。
Z{dx[n]/dn} = (1-z^(-1)) * X(z)6.对时域积分：离散Z变换可以对时域上的序列进行积分运算。
对于序列x[n]的积分，可以通过在Z域中将其对应的Z变换X(z)除以z来表示。
Z{∫x[n]dn} = (1/z) * X(z)7.Z变换的时移性质：将离散时间序列x[n]向右移动k个单位，相当于Z域中的序列乘以z^(-k)。
Z{x[n-k]}=Z{x[n]}*z^(-k)8.Z变换的褶积性质：在离散Z域中，两个序列的卷积等于它们各自Z变换的乘积。
Z{x[n]*y[n]}=X(z)*Y(z)其中，*表示卷积运算。
9.初始值定理：序列x[n]在n=0时的值与其Z变换X(z)在z=1时的值是相等的。
x[0]=X(1)10.终值定理：序列x[n]在n趋近于无穷大时的值与其Z变换X(z)在z=1处的极限值是相等的。
离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
中国民航大学 CAUC
8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
中国民航大学 CAUC
离散信号的z变换
的部分分式
（5）写出原序列
例1.5 已知
收敛域为
，求其z反变换。
解：因为
展开为部分分式得
乘以z得
求z反变换得
信号与系统
其z变换存在的所有z值的集合。
z变换收敛的充分必要条件
例1.1 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。
解：信号的z变换为
若该级数收敛，只有使 z变换的收敛域为 且此时 收敛半径
例1.2 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。 解：由z变换的定义可得
前一个级数的收敛条件为
即
因此，z变换的收敛域为
信号与系统
离散信号的z变换
1.1 z变换的定义
z变换
为原序列 简写作
z为复变量
为像函数
单边 z变换 仅考虑 时的序列 的值，则有
抽样信号的拉氏变换
连续信号 抽样信号
两边同时取双边拉普拉斯变换，得
令
可得
当令
时，序列 的z变换就等于抽
样信号 的拉氏变换，即
1.2 z变换的收敛域
z变换的收敛域 对于任意给定的序列 ，使
解：由于收敛域为
故 为因果序列
根据多项式除法，得
即
于是得
时，
部分分式法
常常是较为复杂的有理分式，即
可将
展开成若干简单的部分分式之和，然后
分别求出各部分分式的z反变换，从而求得 对应的
原序列
基本步骤: （1）将 除以z，得到
（2）将
展开为部分分式
（3）将展开的部分分式乘以z，得到 （4）将各部分分式进行z反变换
1.4 z反变换
定义：由z变换 和其收敛域求原序列
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
第3章离散时间序列及其Z变换
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
离散信号及Z变换
【例1】绘制冲激序列波形图。
function y=impDT(n)y=(n==0);n=-3:3;x=impDT(n);stem(n,x,'.');xlabel('n'),grid on;title('单位冲激序列');axis([-3 3 -0.1 1.1]);【例2】绘制单位阶跃序列波形图。
function y=uDT(n)y=n>=0;n=-3:5;x=uDT(n);stem(n,x,'fill');xlabel('n'),grid on;title('单位阶跃序列');axis([-3.1 5.1 -0.1 1.1]);【例3】画出矩形序列的波形图。
function y=uDT(n)y=n>=0;n=-3:8;x=uDT(n)-uDT(n-5);stem(n,x,'fill');xlabel('n'),grid on;title('矩形序列');axis([-3.1 8.1 -0.1 1.1]);() 1.2()nx n u n =()( 1.2)()nx n u n =-()0.8()nx n u n =()(0.8)nx n u=-【例4】求单边指数序列波形图。
function y=uDT(n) y=n>=0;n=0:10;a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8;x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n; subplot(221); stem(n,x1,'fill'); xlabel('n'),grid on; title('x(n)=1.2^{n}'); subplot(222); stem(n,x2,'fill'); xlabel('n'),grid on; title('x(n)=(-1.2)^{n}');subplot(223); stem(n,x3,'fill'); xlabel('n'),grid on; title('x(n)=0.8^{n}'); subplot(224); stem(n,x4,'fill'); xlabel('n'),grid on;title('x(n)=(-0.8)^{n}');6n x n π=()106()2j n x n eπ-+=【例5】绘制波形图function y=uDT(n) y=n>=0;n=0:39;x=sin(n*pi/6); stem(n,x,'fill'); xlabel('n'),grid on; title('正弦序列'); axis([0 40 -1.2 1.2]);【例6】绘制复指数序列曲线function y=uDT(n) y=n>=0;n=0:30;A=2;a=-1/10;b=pi/6; x=A*exp((a+j*b)*n); subplot(221);stem(n,real(x),'.'),grid on; xlabel('n'),title('实部'); axis([0 31 -2.1 2.1]); subplot(222);stem(n,imag(x),'.'),grid on; xlabel('n'),title('虚部'); axis([0 31 -2.1 2.1]);subplot(223);stem(n,abs(x),'.'),grid on; xlabel('n'),title('模'); axis([0 31 -0.1 2.1]); subplot(224);stem(n,angle(x),'.'),grid on; xlabel('n'),title('相角'); axis([0 31 -4 4]);n x n an u nπ=(2)()[2n x n -=-819(1)()56z X z z z -=-+【例1】求Z 变换。
信号处理及其应用：第3章 离散时间序列及其z变换
1 , 0 ,
n0 n0
Z[ (n)] (n)zn zn 1 z1 z2
2）右边序列 n<n1时，x（n）=0，是有始无终序列
17
x(n) {x(n) 0
n1 n n n1
X (z) x(n)zn
nn1
收敛域为以Rn为半径的圆外域
若n1≥0，即Rn<|z|≤∞;当n1=0，因果序列 若n1<0, 收敛域不包括z=∞，即Rn<|z|<∞。
18
3）左边序列
n>n2时，x（n）=0，是无始有终序列
n
11
X (z) Z [x(n)] x(n)z n
n
若换考，虑xa（Xt(）z) 是 Z因[x果(n)信] 号 ，x(n采)z用n 单边拉氏变
2）直接定义
n0
双边z变换 X (z) Z [x(n)] x(n)zn
单边z变换
n
X (z) Z [x(n)] x(n)zn
n0
z变换完成了离散信号由时域到z域的映射，z
|a|>1，序列发散；|a|<1，序列收敛。 a>0，序列值均为正；a<0，序列值正负 摆动。
4
5
5）斜变序列
r(n) n (n)
斜变序列与单位阶跃序列
n
r(n) (m 1) m0
(m 1) r(m) r(m 1)
6
6）正弦（余弦）序列
xn sin nw0
xn cos nw0
-π≤ω0≤π 或0≤ω0≤2π 3.1.3 序列的运算 1）相加及累加
z(n) x(n) y(n)
8
n
y(n) x(m) m
2）相乘与数乘
z(n) x(n) y(n)
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
离散z变换公式表
离散z变换公式表
离散z变换是数字信号处理中十分重要的一种工具，它用于将离散时间域上的信号转换为复平面上的函数，从而方便我们进行更深入的信号分析。
其中，离散z变换公式是我们进行离散z变换时必须了解的内容。
离散z变换的公式为：
$$
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}
$$
其中，$x(n)$ 为原始离散时间域上的信号，$z$ 为复平面上的变量。
当我们假设 $z = e^{jw}$ 时，就可以得到离散信号在 $z$ 平面上的频谱。
因此，离散z变换公式不仅描述了原始信号的内容，还提供了我们分析其中频域行为的方法。
在应用中，离散z变换公式也有很多变种和衍生形式。
例如，我们可以将离散z变换公式进行一些简单的代数变换，得到诸如逆z变换和双线性z变换等形式。
这些变形的形式、性质和应用范围也各不相同，需要根据具体的应用情况进行选择。
在实际应用中，离散z变换公式常常用于数字滤波器设计、信号预测、语音压缩等方面。
尤其是在数字滤波器设计中，离散z变换公式可以描述数字滤波器在复平面上的特性，从而使得设计师可以更加深入地理解数字信号处理中滤波器的本质。
总之，离散z变换公式是数字信号处理中一个重要的工具。
通过了解这一公式的性质和应用，我们可以更好地理解数字信号处理中的一些基本概念和原理。
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
第二章_Z变换
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域