存储论-随机性存储模型1
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存储论
允许缺货模型
本模型是允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。 本模型是允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。 由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后， 由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再 等一段时间然后订货。 等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付几次订货 的固定费用，少支付一些存储费用。 的固定费用，少支付一些存储费用。一般地说当顾客遇到 缺货时不受损失，或损失很小， 缺货时不受损失，或损失很小，而企业除支付少量的缺货 费外也无其他损失，这时发生缺货现象可能对企业是有利 费外也无其他损失， 的。 本模型的假设条件除允许缺货外， 本模型的假设条件除允许缺货外，其余条件皆与不允 许缺货模型一相同。 许缺货模型一相同。
允许缺货模型
设单位时间单位物品存储费用为C 每次订购费为C 设单位时间单位物品存储费用为 1，每次订购费为 3，缺货费 单位缺货损失)， 为需求速度 求最佳存储策略， 为需求速度。 为C2(单位缺货损失 ，R为需求速度。求最佳存储策略，使平均总费 单位缺货损失 用最小。 用最小。 假设最初存储量为S， 假设最初存储量为 ， 可以满足t 时间的需求， 可以满足 1 时间的需求 ， t1 时间的平均存储量为 零，平均缺货量为
存储论 存储论的基本概念 确定性存贮模型 随机性存贮模型
存储问题的提出
为了解决供应( 生产) 与需求(消费) 之间的不协调， 为了解决供应 ( 生产 ) 与需求 ( 消费 ) 之间的不协调 ， 这 种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。 期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节， 需求这两环节之间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与 需求之间的不协调，以此为研究对象， 需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去 解决最合理、最经济地储存问题。 解决最合理、最经济地储存问题。 专门研究这类有关存储问题的科学， 专门研究这类有关存储问题的科学 ， 构成运筹学的一 个分支，叫作存储论。 个分支，叫作存储论。
存储论模型
2 1 R C 2 / T 2 C1 ( R ) 0 2 P
第23页
T
2C 2 R C1 ( R ) P
2
2C 2 P C1 R ( P R )
T1
2C 2 R 1 C1 P ( P R )
2C 2 R ( P R) Q ( P R)T1 C1 P
第 5页
三、存储策略
常见的存储策略有三种类型：
1. t0 循环策略
每隔时间 t0 订货 Q 件。
第 6页
2. ( s , S ) 策略 当存储量 x > s 时，不订货；当 x ≤ s 时，订货， 订货量 Q = S – x ，即将存储量补充到 S。 3. ( t , s , S ) 策略 每经过 t 时间检查存储量，当存储量 x > s 时，不 订货；当 x ≤ s 时，订货，订货量 Q = S – x ，即 将存储量补充到 S。
第11页
（2）成本费
货物本身的价格等支出的费用。成本费与订货次
数无关，与订货数量有关。
如货物单价为 K 元，装配费用为 C2 元，生产数量 为 Q，则生产费为：C2 + K Q 。
第12页
4. 缺货费
当存储供不应求时所引起的损失。如市区销售机
会的损失、停工待料的损失、不能履行合同而缴 纳的罚款等。 在不允许缺货的情况下，在费用处理上缺货费为
第19页
C(T) = T 时间内的总费用 / T T 时间内的总费用 = T 时间内的存储费 + T 时间内的订货费
T 时间内的存储费 = 单位货物存储费(C1) ×T 时间
内的总存储量 T 时间内的订货费 = 装配费(C2)+货物单价(K) ×T 时间内的总订货量
第23页
T
2C 2 R C1 ( R ) P
2
2C 2 P C1 R ( P R )
T1
2C 2 R 1 C1 P ( P R )
2C 2 R ( P R) Q ( P R)T1 C1 P
第 5页
三、存储策略
常见的存储策略有三种类型：
1. t0 循环策略
每隔时间 t0 订货 Q 件。
第 6页
2. ( s , S ) 策略 当存储量 x > s 时，不订货；当 x ≤ s 时，订货， 订货量 Q = S – x ，即将存储量补充到 S。 3. ( t , s , S ) 策略 每经过 t 时间检查存储量，当存储量 x > s 时，不 订货；当 x ≤ s 时，订货，订货量 Q = S – x ，即 将存储量补充到 S。
第11页
（2）成本费
货物本身的价格等支出的费用。成本费与订货次
数无关，与订货数量有关。
如货物单价为 K 元，装配费用为 C2 元，生产数量 为 Q，则生产费为：C2 + K Q 。
第12页
4. 缺货费
当存储供不应求时所引起的损失。如市区销售机
会的损失、停工待料的损失、不能履行合同而缴 纳的罚款等。 在不允许缺货的情况下，在费用处理上缺货费为
第19页
C(T) = T 时间内的总费用 / T T 时间内的总费用 = T 时间内的存储费 + T 时间内的订货费
T 时间内的存储费 = 单位货物存储费(C1) ×T 时间
内的总存储量 T 时间内的订货费 = 装配费(C2)+货物单价(K) ×T 时间内的总订货量
运筹学第十三章存储论
2
Q0
2C 3 D C1
最佳批次
n0
最佳周期
t0
2C 3 C1D
另外：t0 要取整数。
13
模型2: 边生产边供应，不允许缺货的模型 假设
缺货费用无穷大； 不能得到立即补充，生产需一定时间； 需求是连续的、均匀的；
每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变 ，装配费不变）；
C3 -- 每次订购费用 P -- 生产速度
C2 -- 缺货费 R -- 需求速度
Ｑ
Ｓ
t1 0 t2 t3 t
天数
31
取 [ 0, t ] 为一个周期，设 t1时刻开始生产。 [ 0, t2 ] 时间内存储为零，B为最大缺货量。 [t1, t2 ] －满足需求及[ 0, t1 ] 内的缺货。 [t2, t3 ] －满足需求，存储量以P-R速度增加。 存储量 t3时刻达到最大。 [t3, t ] －存储量以需求速度R减少。 S
，当 C 2 时 ,
1
最佳周期 t0是模型1的最佳周期 t 的
C 1
C2 C2
倍，
又由于
(C1 C2 ) C2
1
，所以两次订货时间延长了。
Rt 0 2 RC C1
3
不允许缺货量，订货量为 最大缺货量为：
Q0 S0 2 RC C1
3
C 1
C2 C2
C 1 C 2
C ( t0 ) C 3
C1R 2C 3
1 2
C1R
2 C 1C 3 R
10
Annual cost (dollars)
Total cost = HC + OC C(t)
Q0
2C 3 D C1
最佳批次
n0
最佳周期
t0
2C 3 C1D
另外：t0 要取整数。
13
模型2: 边生产边供应，不允许缺货的模型 假设
缺货费用无穷大； 不能得到立即补充，生产需一定时间； 需求是连续的、均匀的；
每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变 ，装配费不变）；
C3 -- 每次订购费用 P -- 生产速度
C2 -- 缺货费 R -- 需求速度
Ｑ
Ｓ
t1 0 t2 t3 t
天数
31
取 [ 0, t ] 为一个周期，设 t1时刻开始生产。 [ 0, t2 ] 时间内存储为零，B为最大缺货量。 [t1, t2 ] －满足需求及[ 0, t1 ] 内的缺货。 [t2, t3 ] －满足需求，存储量以P-R速度增加。 存储量 t3时刻达到最大。 [t3, t ] －存储量以需求速度R减少。 S
，当 C 2 时 ,
1
最佳周期 t0是模型1的最佳周期 t 的
C 1
C2 C2
倍，
又由于
(C1 C2 ) C2
1
，所以两次订货时间延长了。
Rt 0 2 RC C1
3
不允许缺货量，订货量为 最大缺货量为：
Q0 S0 2 RC C1
3
C 1
C2 C2
C 1 C 2
C ( t0 ) C 3
C1R 2C 3
1 2
C1R
2 C 1C 3 R
10
Annual cost (dollars)
Total cost = HC + OC C(t)
运筹学课件k7
存储策略
策略：几天进货一次，一次订购多少 三种策略： 1.t0循环策略 2.(s,S)策略 3.(t0 ,s,S)策略
优化尺度－－费用
存储费C1：库存期间发生的费用 内涵：管理费、租金、物耗、利息 订购费C3：为订购支付的费用 内涵：差旅费、邮电费 缺货费C2 ：供不应求导致的损失 内涵：停工待料、违约金、机会损失 使得总费用最低的策略为最优策略
第7章 存储论
本章要点 存储论的基本概念 确定性存储模型的特点 不允许缺货条件下的建模 随机性存储模型的特点 需求离散与连续型下的随机性库存建模
第1节 存储论概述
存储现象：成袋买粮、成桶买油 存储目的：应对不确定性，满足不时之需 存储原因：解决供需矛盾 1、供需时间不平衡 2、供需空间不平衡 3、供需数量不平衡 讨论：你遇到的存储问题
根据不同的概率和供货提前期确定预定服务水平（如保证95%概率不缺货） 例如，假设市场每日的需求是均值D，标准差为 的正态分布。 设提前期为L，期望值= ，方差= ，服务水平为 ，订货点为R，得
则可变为
第2节 存储论的基本概念
存储模型 存储是供需之间的平衡装置，存储量因供应而增加，因需求而减少；需求是已知参数，供应是可控变量
存储状态
供应
需求
存储论研究什么？
在既定的需求约束之下，以适当的存储策略，寻求最优化的存储水平。 决策变量：订购批量、订购周期、订购批次。
存储状态
外部订购自行生产
间断、连续确定、随机
一、需求为随机离散型
例4、挂历新年期间每售出一千张可赢利700元。否则须削价处理且一定可以售完，但是此时每千张赔本400元。据经验统计数据，市场需求的概率如下 问：应该订购多少张？
需求量(千张)
策略：几天进货一次，一次订购多少 三种策略： 1.t0循环策略 2.(s,S)策略 3.(t0 ,s,S)策略
优化尺度－－费用
存储费C1：库存期间发生的费用 内涵：管理费、租金、物耗、利息 订购费C3：为订购支付的费用 内涵：差旅费、邮电费 缺货费C2 ：供不应求导致的损失 内涵：停工待料、违约金、机会损失 使得总费用最低的策略为最优策略
第7章 存储论
本章要点 存储论的基本概念 确定性存储模型的特点 不允许缺货条件下的建模 随机性存储模型的特点 需求离散与连续型下的随机性库存建模
第1节 存储论概述
存储现象：成袋买粮、成桶买油 存储目的：应对不确定性，满足不时之需 存储原因：解决供需矛盾 1、供需时间不平衡 2、供需空间不平衡 3、供需数量不平衡 讨论：你遇到的存储问题
根据不同的概率和供货提前期确定预定服务水平（如保证95%概率不缺货） 例如，假设市场每日的需求是均值D，标准差为 的正态分布。 设提前期为L，期望值= ，方差= ，服务水平为 ，订货点为R，得
则可变为
第2节 存储论的基本概念
存储模型 存储是供需之间的平衡装置，存储量因供应而增加，因需求而减少；需求是已知参数，供应是可控变量
存储状态
供应
需求
存储论研究什么？
在既定的需求约束之下，以适当的存储策略，寻求最优化的存储水平。 决策变量：订购批量、订购周期、订购批次。
存储状态
外部订购自行生产
间断、连续确定、随机
一、需求为随机离散型
例4、挂历新年期间每售出一千张可赢利700元。否则须削价处理且一定可以售完，但是此时每千张赔本400元。据经验统计数据，市场需求的概率如下 问：应该订购多少张？
需求量(千张)
随机性存储模型
r0
r0
r Q 1
经化简后得
Q
kP(Q 1) hP(r) h P(r) 0
r0
rQ2
k
1
Q
P(r)
Q
h
P(r)
0
r0
r0
Q P(r)
k
r0
kh
同理从②推导出
Q1 P(r)
k
r0
kh
用以下不等式确定Q的值， 这一公式与(13-25)式完全相同。
Q1
k
Q
P(r)
P(r)
r0
PE(r)
P(rQ)(r)dr Q
0QC1(Q-r)(r)drKQ
常量（平均因 盈缺 利货 ）失去失 销的 售期 机望 会因 值 损滞销受到值 损失常的量期望
记
E [C (Q ) ]
PQ (rQ )(r)d rC 10 Q (Q r)(r)d rKQ
• 为使赢利期望值极大化，有下列等式：
订购量为2千张时，损失的可能值：
当市场需求量为(千张) 0 1 2
3 4 5
滞销损失(元) (-400)×2=-800 (-400)×1=-400 0(元) (以上三项皆为供大于需时 滞销损失) (-700)×1=-700 (-700)×2=-1400 (-700)×3=-2100 (以上三项皆为供小于需时， 失去销售机会而少获利的损失)
•
3.2 模型六：需求是连续的随机变量
• 设 货物单位成本为K，货物单位售价为P， 单位存储费为C1，需求r是连续的随机变量， 密度函数为Φ(r)，Φ(r)dr表示随机变量在r与 r+dr之间的概率，其分布函数
a
F(a) 0 (r)dr,(a 0)
(s,S)策略随机存贮模型
(s,S)策略随机存贮模型在国民经济各个部门和生产过程的各个环节中都有大量的库存现象。
在工厂中为了使得生产过程能连续地、均衡地进行下去,并保证按时交货,必须贮备一定数量的原料、辅助材料、燃料、劳动工具等,必须储备一定数量的在制品,半成品,也必须储备一定的成品。
商业部门为了保证满足社会需要,也要贮存一定数量的商品。
在商店里若存贮商品数量不足就可能发生缺货现象,从而失去销售机会,导致利润减少;如果存贮数量过多,一时售不出去,会造成商品积压,占用流动资金过多而使流动资金周转不开,这样也会给国家造成经济损失。
银行里每天随时都可能有人来提取现款。
人们来不来提款,提多少款,虽有一定规律,但都不是确定的,因此,银行也应保持一定数量的现金。
诸如此类还有如水电站雨季到来之前,水库应蓄水多少?等等。
当前我国物资管理中存在不少问题,其中最突出的就是库存储备过大,占用资金过多,资金利用和周转率不高,根据发达国家的经验,随着市场竞争的加剧,在原材料、设备和劳动力成本压缩的空间趋于饱和后,对成本的控制将转为物流领域。
而在物流领域中,库存管理占有很重要的地位。
因此,我们有必要对库存问题进行研究。
本论文利用概率论和运筹学知识来研究需求是连续型随1/ 14机存贮问题,因为随机存贮问题在现实生活中比确定型存贮问题更为普遍。
本论文先讨论如何得到这些概率分布的统计方法,再利用所获得的概率分布来讨论随机存贮问题。
1数理统计在概率论的许多问题中,概率分布通常总是已知的,或者假设为已知,而一切计算与推理就是在这已知的基础上得出来的。
但在实际中,情况往往并非如此。
一个随机现象所服从的分布是什么概型可能不知道,或者由于现象的某些事实而知道其概型,但不知其分布函数中所含的参数。
如我们考察某工厂生产的电灯泡的质量,在正常生产的情况下,电灯泡的质量是具有统计规律性的,它可以表现为电灯泡的平均寿命是一定的,电灯泡的寿命这个用来检查产品质量的指标,由于生产过程中的种种随机因素的影响,各个电灯泡的寿命是不相同的,由于测定电灯泡是一一进行测试,而只能从整批电灯泡中取出一小部分来测试,然后根据所得到的这一部分电灯泡的寿命的数据来推断整批电灯泡的平均寿命。
存储论
大连大学
28
数学建模工作室
随机性存储模型的策略
❖ (1) 定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决
定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不 订货。这种策略可称为定期订货法。
❖ (2) 定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的 时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之 为定点订货法。
存储模型的基本介绍
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定性模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机性模型，即模型中含有随机变量。
大连大学
7 数学建模工作室
存储模型的分类
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定型模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机型模型，即模型中含有随机变量。
确定型存储模型
（4）允许缺货，补充时间极短的经济订购批量模型
基本假设：除允许缺货外，其余条件皆与模型一相同。
大连大学
23
数学建模工作室
确定型存储模型
从图上可知：
平均存储量 Q S T1 Q S 2
2T
2Q
平均缺货量 ST2 S 2 2T 2Q
因此，最优策略为：
Q* 2CD DCP CS
Q
C
1 2
1
D P
QC
P
CDD Q
因此，平均总费用为：
大连大学
21
数学建模工作室
Q确* 定CP型2C1D存DDP 储 模 型
T * Q* D
2CD P
CPDP D
A* 1 D Q* P
存储模型
时补充存贮，补充量Q＝S-x（即将存贮补充到S）。
3.（t，s，S）混合策略每隔t时间检查存贮量x，当
x＞s时不补充；当x≤s时，补充存贮量使之达到S。
（四）费用
1.订货费它包括两部分，一部分是订购一次货物
所需的订购费用（如手续费、出差费等），它是仅
与订货次数有关的一种固定费用。另一部分是货物 的成本费 kx（x 为订货数量， k 为单价），成本费随 订货数量变化而变化。 2.保管费包括货物的库存费和货物的损坏变质等
假设每隔 T 时间补充一次，则订货量必须满足 T
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费 为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT T 时间内的存贮 量（如图）为
T
1 2 (rT rt )dt rT 0 2
1 2 则T时间内的存贮费为 rT c2 2 1 2 故T时间内的总费用 c1 krT rT c2 2 为确定订货周期 T 及每次订货量 Q，考虑 T 时间内
例2
某厂每月需某产品100件，生产每件产品存贮费
为 0.4 元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
解 已 知 c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产
批量为56件。
四、模型三
支出的费用。
3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用， 如停工停产造成的损失和罚款等。
（五）目标函数
为了衡量存贮策略的好坏，必须建立一个衡
量指标，这个指标称为目标函数。通常把目标函
数取为该策略的平均费用或平均利润。
二、模型一
模型一——不允许缺货，生产时间很短 为了使模型简单，易于理解，便于计算，可作以
存储论
1.1.3 存储控制策略
在存储控制中，需求是服务的对象，补充是控制 的对象。 因此，控制并确定输入过程中订货周期和订购批 量，形成不同的控制策略。 最常见的存储策略有以下3种。
(1) t循环策略:每经过一个循环时间t就补充存储量Q，这一方法 也称为经济批量法。 (2)(s，S)策略：每隔一定的时间检查库存量y，当库存量y低于 规定的最低库存量s时就补充库存，把库存量提高到S，反之， 就不作补充。 (3)(q，Q)策略：对库存进行连续性检查，当库存量减少到订购 点q以下，就即刻订货，且每次的订货量都为Q。
该模型的存储状态变化如图1-3所示。
如图1-3所设，每一个订货周期 t内的最大缺货量 为 Q ，实际进库量为 Q ，当进货时，每批的订购 批量为 Q Q Q
2
1
1
2
在这里，我们假定采用“缺货预约”的办法： 未被满足的需求量作为缺货予以登记，进货后 立即进行补偿。 或者在实际问题中也可以如此处理：该存储系统 有一个安全库存量Q （需要支付超存储费，也即缺 货损失费），一旦缺货就动用安全库存量 Q 。当进 货时，被动用的安全库存量Q 应该得到补偿。
bu
a t
2
0
解该方程得
t
由于 t ，
2a bu
0
,
并且对t的二阶导数在 t
2 a / b u 时大于零，
因此最优订货周期
t
*
（1-1）
由Q
ut
，于是最优订购批量
Q
*
2au b
（1-2）
所以，最小平均费用
f
*
2 abu eu
（1-3）
例1-1某电器厂平均每个月需要购入某电子元件100件，
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(存储论)
第13章存储论13.1 复习笔记1．存储论的基本概念备货时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，我们把这段时间称为备货时间。
备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。
提前时间：从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，那么这段时间称之为提前时间。
存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少，即存储策略。
2．一些参数的含义K：货物单价；：最佳订货周期；R：需求速度；：最佳订货批量；：单位存储费用；：单位缺货损失；：订购费；：最佳费用；：最佳生产时间；：生产速度；：最大存贮量；：最大缺货量；：最大缺货量。
3．存储策略（1）-循环策略，每隔时间向系统内补充存储量Q。
（2）策略，当存储量时不补充；当时补充存储，补充量(即，将存储量补充到S)。
（3）混合策略，每经过t时间检查存储量，当时不补充；当时，补充存储量使之达到S。
4．确定性存储模型（1）模型一—经典的E.O.Q模型：不允许缺货，备货时间很短，且需求是连续均匀的，即需求速度是一常数；每批订货量不变，订货费用为常数；单位存储费用不变。
已知，求，，（2）模型二：不允许缺货，生产需一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，（3）模型三：允许缺货，备货时间很短，其余条件同模型一。
已知，求，，，最大缺货量（4）模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需要一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，简便的记忆方法：①永远成立②记住模型一，，③定义两个因子④与因子的关系与乘以因子，与除以因子模型二乘除，模型三乘除，模型四乘除⑤模型二的，模型三的，模型四的说明：在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是：每隔时间订货一次，订货量为，用中的一部分补足所缺货物，剩余部分进入存储。
很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。
运筹学课件——存储论
*
最大缺货量
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存贮论
三、单周期的随机性存贮模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已 知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，
特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
存贮论
三、存贮问题及其基本概念
存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的运行 系统。 存贮由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存贮论
需求: 由于需求，从存贮中取出一定数量的存货，使存贮 量减少，即存贮的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存贮费用越小 订货费用越大 存贮费用越大 订货费用越小
存贮论
研究目的： 1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存贮物资？ 使得总费用最少
存贮量 Q
存贮状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存贮论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
贮模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，
在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存贮论
基本的订货策略
按决定是否订货的条件划分： 订购点订货法、定期订货法 按订货量的决定方法划分： 定量订货法、补充订货法
最大缺货量
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存贮论
三、单周期的随机性存贮模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已 知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，
特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
存贮论
三、存贮问题及其基本概念
存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的运行 系统。 存贮由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存贮论
需求: 由于需求，从存贮中取出一定数量的存货，使存贮 量减少，即存贮的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存贮费用越小 订货费用越大 存贮费用越大 订货费用越小
存贮论
研究目的： 1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存贮物资？ 使得总费用最少
存贮量 Q
存贮状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存贮论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
贮模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，
在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存贮论
基本的订货策略
按决定是否订货的条件划分： 订购点订货法、定期订货法 按订货量的决定方法划分： 定量订货法、补充订货法
管理运筹学--存储论
1.3 存贮论的研究对象 • 何时订货——时间 • 每次订多少货——数量
1.4 存贮论的基本概念
1、需求：
即库存的输出（生产消耗、商业销售）。
需求量：单位时间的需求。
初始存 贮量
I Q I Q T时间后 的存贮量
T （1）连续式输出
T （2）间断式输出
2、补充订货：库存的输入。 控制两个主要因素：补充库存的时间。 每次补充的数量。
则有
D D D D C2 C2 C 2 C2
C1 C1 C1 C1
Q Q * Q Q*
Q
D 2C 2 C1
2 D(1 D )C 2 (1 C 2 ) C 1 (1 C 1 )
所以
Q Q * Q Q* (1 D )(1 C 2 ) 1 (1 C 1 )
B类物资品种占总物资品种数目的20%-30%,但其 年金额占全部物资年金额的20%左右.
C 类物资品种多 , 占总物资数目的 60%-70%. 但其年 金额小,只占全部物资年金额的10%-20%. 分类管理： 对A类物资：计算最经济的批量,尽可能缩减库存 量和与库存有关的费用,它的储备天数较少； 对C类物资：订货次数不能过多，可适当增大批量， 减少订购次数，其储备天数较长；
从订货费角度看，订货批量越大越好。 存贮费：一般指每存储单位物资单位时间所需花费 的费用。
存贮费率：每存储1元物资单位时间所支付的费用。
从存贮费角度看，订货批量越大越不好。
缺货损失费：一般是指由于中断供应影响生产造 成的损失赔偿费，包括生产停工待料，或者采取应急 措施而支付的额外费用，以及影响利润、信誉的损失 费等。
对B类物资：对一部分品种计算最经济的批量，对 另一部分品种实行一般性管理。
第四节随机型存储模型-PPT文档资料
0
bR
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一
批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000 元，估计可以获得80％的利润，冬季一过则只 能按进价的50％处理。根据市场需求预测，该 皮装的销售量服从参数为1／60的指数分布， 求最佳订货量。 解：已知 p0 1000，P 1800， 1 =500， k 800， h 500
e
Q 60
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
§4.2 多时期库存模型 多时期库存模型是考虑时间因素的一种随机动
态库存模型，与单时期库存模型的不同之处在 于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然 可用。最常用的是 s, S 策略。
1．需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型
模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在 一个阶段的开始时原有库存量为 Q 0 ，若供不 应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，
第四节 随机型存储模型
信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再 卖给顾客，每次订购费为400元，设期初 无库存，试确定最佳订货量及 S 值。 解：由题知 p 0 =3000， b =40， =400， R=3400， 临界值 3400 3 0 0 0 40 3 4 0 0 =0.1163
x
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
0 , Q x 。因此总费用最小的订 库存量 max
货模型只包括上述两项费用
( Q ) b ( Q x ) P ( x ) R ( x Q ) P ( x ) f （7.4.1） i i i i
Q Q x 由于取 x 离散值，所以不能用求导的办法而 x i * 采用边际分析法求极值。为此最佳订货量 Q 应满足 * * Q Q 时 ⑴ f (Q ) f (Q)，当 * ⑵ f (Q* ) f (Q ，当 ) Q Q 时
第5章存储论
为保持批量生产停止后仍有足够库存量H以满足需求，输入速率A应大于输出速率R，即A>R。
1、不允许出现物资短缺：
⑴、特点
开始时，以A的速率生产入库,同时以R的速率输出，故净输入率为A-R。在批量QA的生产时间tp 内，实际的最大库存量H=(A-R)tp<QA=Atp。批量生产停止后，继续以R速率耗用库存，经tR时间物资 耗完，应即时生产入库。为此，应提前tL时间准备生产。为了不至造成缺货，在一个周期tA时间内 必须保证符合关系Atp=RtA，即生产总量等于耗用总量。生产存贮和需求过程见下图所示：
KA
A R A
18 3 18
5 6
Q
p
2RC p Ch
2 3 50 50 30 0.004
从而经济生产批量为：Q
A
Q
p
50 30 300(件 / 次)
KA
5/6
① 最优生产(存贮)周 期
t
A
t
p
KA
2C p / Ch
KA
2 50 / 3 0.004
5 100 小时 6
2、存储环节
原料、产品、设备、工具等物资存放到仓库等设备中。
存贮环节的内容是多种多样的，但都需要“保管费用”。 3、输出环节
存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出的规律大致有以下情况: ① 需求量是确定性。 ② 需求量是随机性的。可以通过长期的统计，找到统计规律性，作出概率分布，
建立性存贮模型来进行定量分析。 由此，存储模型可划分为：确定性存储模型和随机性存储模型。
三、存储策略
什么时候应补充库存物资？每次订购(或生产)多少？最低库存量水平与提前订购期的关系？ 在计划其内需外出订购的次数多少？等等
1、不允许出现物资短缺：
⑴、特点
开始时，以A的速率生产入库,同时以R的速率输出，故净输入率为A-R。在批量QA的生产时间tp 内，实际的最大库存量H=(A-R)tp<QA=Atp。批量生产停止后，继续以R速率耗用库存，经tR时间物资 耗完，应即时生产入库。为此，应提前tL时间准备生产。为了不至造成缺货，在一个周期tA时间内 必须保证符合关系Atp=RtA，即生产总量等于耗用总量。生产存贮和需求过程见下图所示：
KA
A R A
18 3 18
5 6
Q
p
2RC p Ch
2 3 50 50 30 0.004
从而经济生产批量为：Q
A
Q
p
50 30 300(件 / 次)
KA
5/6
① 最优生产(存贮)周 期
t
A
t
p
KA
2C p / Ch
KA
2 50 / 3 0.004
5 100 小时 6
2、存储环节
原料、产品、设备、工具等物资存放到仓库等设备中。
存贮环节的内容是多种多样的，但都需要“保管费用”。 3、输出环节
存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出的规律大致有以下情况: ① 需求量是确定性。 ② 需求量是随机性的。可以通过长期的统计，找到统计规律性，作出概率分布，
建立性存贮模型来进行定量分析。 由此，存储模型可划分为：确定性存储模型和随机性存储模型。
三、存储策略
什么时候应补充库存物资？每次订购(或生产)多少？最低库存量水平与提前订购期的关系？ 在计划其内需外出订购的次数多少？等等
存储论的基本概念
1 2
C1R
0
得： t0
2C3 C1R
因
d2C(t) dt2
0
得：Q0 Rt0
2C3R C1
(13 3)
C(t)
C3 t
KR
1 2
C1Rt
C(t)
C3 t
1 2
C1Rt
将t 0代入上式得出最佳费用
C0 C(t0 ) C3
C1R 2C3
1 2 C1R
2C3 C1R
2C1C3R
不允许缺货模型
又由于 C1 C2 1
C2
所以两次订货间隔时间延长了。
在不允许缺货情况下，为满足t0时间内的需求，订货量Q0=Rt0 即:
Qo
2RC3 C1 C2
C1
C2
允许缺货模型
例 已知需求速度R=100件，C1=4元，C2=1.5元， C3=50元，求S0及C0。
S0
2RC1C2 C1(C1 C2 )
获利的 期望值
0 645 1180 1440* 1315 1025
需求是随机离散
报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报 童每售出一份报纸赚k元。如报纸未能售出，每份赔h元。 每日售出报纸份数r的概率P(r)根据以往的经验是已知的， 问报童每日最好准备多少份报纸?
这个问题是报童每日报纸的订货量Q为何值时，赚钱 的期望值最大?反言之，如何适当地选择Q值，使因不能 售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失，两者期望 值之和最小。现在用计算损失期望值最小的办法求解。
存储论
存储论的基本概念 确定性存贮模型 随机性存贮模型
存储问题的提出
为了解决供应(生产)与需求(消费)之间的不协调，这 种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与 需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去 解决最合理、最经济地储存问题。
存储论
P PR
PR P
最大存储量 S 0 最大缺货量 B0
PR P
最优费用 C0 2C1C2C3 R P R
练习
对某产品的需求量为350件/年，（一年300 个工作日），每次订货费用为50元，储存 费为13.75元/（件*年），缺货损失为25 元/ （件*年），订货提前期为5天。发货单位 每天发货量为10件。 求经济订货批量及最大缺货量。
库存管理是根据外界对库存的要求、企业订购的 特点，预测、计划和执行一种补充库存的行为， 并对这种行为进行控制，重点在于确定如何订货， 订购多少，何时订货。 面临的问题：
库存多，那么因缺货带来的损失少，但是存储费用高，
占用流动资金多； 库存少，可能造成缺货损失（工厂停工待料的损失， 商店失去销售机会的损失，不能履行合同而缴纳罚 款）。
10, K (Q) 9.8,
Q 800 Q 800
解：首先计算
2C3 R Q0 400 C1
由于400<800，又 C(400)=16040元/年 而 C(800)=15730元/年 可以看出 C(800)<C(400) 所以最佳采购批量是Q=800瓶/次。
再举一例
货物成本费用：与订货数量有关
生产费用：自身生产进行补充时的费用
装配费用（固定费用）
与生产数量有关的费用
存储（库存管理）的主要概念4
存储策略：
t0—循环策略：每隔t0时间补充储存量Q (s,S)策略：
当储存量x>s时，不补充 当储存量x<=s时，补充Q=S-x（补充到S）
分析
设单位缺货费为C2，最初存储量为S。储存 量可以满足t1时间的需求，在(t-t1)时间储存 为0。
存储论模型及应用
库存管理的主要形式
协作分包式
零部件 主企业 劳务 各级分销商
无需建立一级库 存（即零部件） 只需建立产品库 存
无ห้องสมุดไป่ตู้建立产品库 存
库存管理的主要形式
3、轮动方式（协调各个生产步骤的停滞） 、轮动方式（协调各个生产步骤的停滞） 轮动方式也称同步方式，是在对系统进行周密设计前提下，使各个环节 速率完全协调，从而根本取消甚至是工位之间暂时停滞的一种零库存、零储 备形式。这种方式是在传送带式生产基础上，进行更大规模延伸形成的一种 使生产与材料供应同步进行，通过传送系统供应从而实现零库存的形式。
库存控制方法
3、CVA（critical value analysis 关键因素分析法 ）库存管理方法 概念：由于ABC分类法有不足之处，通常表现为C类货物得不到应有的重视， C类货物往往也会导致整个装配线的停工。因此引入关键因素分析法。 CVA管理法的基本思想是把存货按照关键性分成3-4类，如下表所示：
4、EOQ（经济订货批量）库存控制模型 概念：假定每次订货的订货量相同，订货提前期固定，需求率固定不变， 他通过计算某项库存的年费用达到最小来确定相应的订货批量。 库存的年度总费用可表示如下： 库存项目的年度总费用=购买费用+订货费用+库存保管费用
TC = RP + RC / Q + QH / 2
式中：R~某库存项目的年需求量（件/年）； P~单位购买费用（元/件）； C~单位订货费用（元/次） Q~每次订货批量（件）； H~单位库存平均年库存保管费用（元/件*年）；
库存控制方法
JIT是一种生产方式，但其核心是消减库存，直至实现零库存，同时 又能使生产过程顺利进行。当然了这也是一种理想化的状况。在多品 种、小批量、多批次、短周期的消费需求的压力下，生产者、供应商 即仓储中心、零售商要调整自己的生产、供应、流通流程，按下游的 需求时间、数量、结构及其他要求组织好均衡生产、供应和流通，在 这些作业内部采用看板管理中的一系列手段来消减库存，合理规划物 流作业。 在此过程中，无论是生产者、供应商还是仓储中心或零售商，均应对 各自的下游客户的消费需求做精确的预测，否则就用不好JIT,因为JIT 的作业基础是假定下游需求是固定的，即使实际上是变化的，但通过 准确的统计预测，也能把握下游需求的变化。
存储论四个模型公式
存储论四个模型公式存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。
存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。
1 存贮模型中的基本概念所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。
存贮模型的基本形式如图 1 所示。
1．存贮问题的基本要素（1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。
（2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。
（3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。
2．存贮模型的基本费用（1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，记为。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为。
3．存贮策略所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。
下面是一些比较常见的存贮策略。
（1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充一个固定的存贮量Q 。
（2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量S 为准。
因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。
当存贮（余额）为I 时，补充数量为Q = S −I 。
（3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为I ，若I > s ，则不对存贮进行补充；若I ≤s ，则对存贮进行补充，补充数量Q = S −I 。
补充后达到最大存贮量S 。
s 称为订货点（或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。
在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。
若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮I ，然后根据I 是否超过订货点s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。
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右端=2825+850*100+45*(2+2+0)+1250*(3+2)=94255 左端：s=80时 左端=940250<94255
ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )
所以s=80, 存储策略为
(b) 每阶段期初检查存储， I>s，不订货； 否则，订货，Q=S-I
第6页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(5)
模型五: 需求是离散型随机变量
设: 需求r 的取值为 r0, r1, …, rm, ri<ri+1 对应概率为p(r0),p(r1),…,p(rm) , ∑p(ri)=1 其余与模型四相同： 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3
(1) ri从小到大排列; (2) S只从ri 中取值,记为Si; (3) 从
r Si1
C2 k p(r ) N r S p(r ) i C1 C2
确定S=Si 若本阶段订货量为Q=S-I
第9页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(8)
例1 设某公司用塑料作原料制成产品出售。已知每箱塑料 购价为800元，订购费为60元，每箱存储费为40元、缺货费 为1015元，原有存储量10箱，已知对原料需求的概率：
0 S S
C2 k F ( S ) (r )dr 0 C1 C2
S
C2 k 因为 1 C1 C2
称F(S)为临界值，记为
C2 k N C1 C2
第5页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(4)
则本阶段的存储策略为
(1) 由 N (2) Q=S-I (3) 确定s a) 若本阶段不订货，则省去C3，找s，使得
(2) p(80)+p(90) =0.3<0.309 p(80)+p(90)+p(100)=0.6>0.309
S=100
(3) 计算s
第12页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(9)
C3 kS r S C1 (S r ) p(r ) r S C2 (r S ) p(r )
Q* 0
pk (r )dr C1 p
讨论：(1) p≤k, F(Q*) ≠ 0, 此时Q*取0
(2) 若p<C2, 有
C2 k F (Q*) C1 C2
(3) 若上一阶段剩余量为I， 则
I>Q*，不订货； 否则，订货，到Q*为止
第2页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(1)
第11页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(10)
例2 已知某公司每箱原料购价850元，订购费2825 元， 每箱存储费45元、缺货费1250元，对原料需求的概率：
r 80 90 100 110 120
p (r ) 0.10 0.20 0.30 0.30 0.10
求存储策略
C2 k 解: (1) N 0.309 C1 C2
r 30 40 50 60
p (r ) 0.20 0.20 0.4
0.20
求最佳订购量
C2 k 解: (1) N 0.204 C1 C2
s=?
S=40
(2) p(30)=0.20 <0.204; p(30)+p(40)=0.4>0.204 (3) Q=S-I=30
公司应订购30箱。
第10页
随机性存储模型—报童问题(4)
模型一：需求是离散型随机变量
Q 1 r 0
k Q p(r ) r 0 p(r ) hk
模型二：需求是连续型随机变量（无存储费）
Q
0
k p(r )dr hk
第1页
随机性存储模型—一般问题(5)
模型三：需求是连续型随机变量（有存储费）
F (Q*)
C (S ) C ( I Q) C3 kQ
Q=S-I
r I Q
C1 ( I Q r ) p (r )
r I Q C2 ( r I Q ) p ( r )
第8页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(7)
则本阶段的存储策略为:
C (S ) C ( I Q) C3 kQ
S
Q=S-I
S
0
C1 (S r ) (r )dr C2 (r S ) (r )dr
S
第4页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(3)
由C`(S)=0得
k C1 (r )dr C2 (r )dr 0
模型四: 需求是连续型随机变量
设: 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3 设需求为r时，其概率密度函数为 (r ) 则 (r ) dr表示随机变量在[r, r+dr]之间的概率 分布函数 F (a) (r )dr (r )dr (a>0)
0 a a
其中s 从 r0, r1, …, rm中取值 使上式成立的最小的 ri 记为s
右端=60+800*40+40*(40-30)*0.2+1015*(10*0.4+20*0.2)
=40260
左端：s=S=40时，不等式成立
s=30,左端=800*30+0+1015*(10*0.2+20*0.4+30*0.2) =40240<40260 I>30，不订货； 所以s=30, 存储策略为 否则，订货，补到40为止
I>80，不订货； 否则，订货，补到100为止
第13页
期初存储为I
订货量为Q 问：如何确定Q，使损失期望值最小（赢利期望值最大）？
第3页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(2)
解：损失的期望值=订货费+存储费+缺货费 期初存储达到S=I+Q，则订货费+成本费=C3+kQ 存储费期望值：0 C1 (S r ) (r )dr 缺货费期望值： S C2 (r S ) (r )dr 本阶段支出费用期望
ks C1 ( s r ) (r )dr C2 (r s ) (r )dr
0 s s
(r )dr 确定S 0
S
定 期 订 货
C3 kS C1 ( S r ) (r )dr C2 (r S ) (r )dr
0 S
S
若不少于一个s，取其中最小者
期初存储为I， 订货量为Q 问：如何确定Q，使损失期望值最小（赢利期望值最大）？
第7页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(6)
解：损失的期望值C(S)=订货费+存储费+缺货费 期初存储达到S=I+Q，则订货费+成本费=C3+kQ 存储费期望值： r I Q C1 ( I Q r ) p (r ) 缺货费期望值： r I Q C2 (r I Q) p (r ) 本阶段支出费用期望
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(9)
计算s的方法。考察不等式
C3 kS r S C1 (S r ) p(r ) r S C2 (r S ) p(r ) ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )
ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )
所以s=80, 存储策略为
(b) 每阶段期初检查存储， I>s，不订货； 否则，订货，Q=S-I
第6页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(5)
模型五: 需求是离散型随机变量
设: 需求r 的取值为 r0, r1, …, rm, ri<ri+1 对应概率为p(r0),p(r1),…,p(rm) , ∑p(ri)=1 其余与模型四相同： 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3
(1) ri从小到大排列; (2) S只从ri 中取值,记为Si; (3) 从
r Si1
C2 k p(r ) N r S p(r ) i C1 C2
确定S=Si 若本阶段订货量为Q=S-I
第9页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(8)
例1 设某公司用塑料作原料制成产品出售。已知每箱塑料 购价为800元，订购费为60元，每箱存储费为40元、缺货费 为1015元，原有存储量10箱，已知对原料需求的概率：
0 S S
C2 k F ( S ) (r )dr 0 C1 C2
S
C2 k 因为 1 C1 C2
称F(S)为临界值，记为
C2 k N C1 C2
第5页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(4)
则本阶段的存储策略为
(1) 由 N (2) Q=S-I (3) 确定s a) 若本阶段不订货，则省去C3，找s，使得
(2) p(80)+p(90) =0.3<0.309 p(80)+p(90)+p(100)=0.6>0.309
S=100
(3) 计算s
第12页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(9)
C3 kS r S C1 (S r ) p(r ) r S C2 (r S ) p(r )
Q* 0
pk (r )dr C1 p
讨论：(1) p≤k, F(Q*) ≠ 0, 此时Q*取0
(2) 若p<C2, 有
C2 k F (Q*) C1 C2
(3) 若上一阶段剩余量为I， 则
I>Q*，不订货； 否则，订货，到Q*为止
第2页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(1)
第11页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(10)
例2 已知某公司每箱原料购价850元，订购费2825 元， 每箱存储费45元、缺货费1250元，对原料需求的概率：
r 80 90 100 110 120
p (r ) 0.10 0.20 0.30 0.30 0.10
求存储策略
C2 k 解: (1) N 0.309 C1 C2
r 30 40 50 60
p (r ) 0.20 0.20 0.4
0.20
求最佳订购量
C2 k 解: (1) N 0.204 C1 C2
s=?
S=40
(2) p(30)=0.20 <0.204; p(30)+p(40)=0.4>0.204 (3) Q=S-I=30
公司应订购30箱。
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随机性存储模型—报童问题(4)
模型一：需求是离散型随机变量
Q 1 r 0
k Q p(r ) r 0 p(r ) hk
模型二：需求是连续型随机变量（无存储费）
Q
0
k p(r )dr hk
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随机性存储模型—一般问题(5)
模型三：需求是连续型随机变量（有存储费）
F (Q*)
C (S ) C ( I Q) C3 kQ
Q=S-I
r I Q
C1 ( I Q r ) p (r )
r I Q C2 ( r I Q ) p ( r )
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随机性存储模型—(S,s)型存储策略(7)
则本阶段的存储策略为:
C (S ) C ( I Q) C3 kQ
S
Q=S-I
S
0
C1 (S r ) (r )dr C2 (r S ) (r )dr
S
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随机性存储模型—(S,s)型存储策略(3)
由C`(S)=0得
k C1 (r )dr C2 (r )dr 0
模型四: 需求是连续型随机变量
设: 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3 设需求为r时，其概率密度函数为 (r ) 则 (r ) dr表示随机变量在[r, r+dr]之间的概率 分布函数 F (a) (r )dr (r )dr (a>0)
0 a a
其中s 从 r0, r1, …, rm中取值 使上式成立的最小的 ri 记为s
右端=60+800*40+40*(40-30)*0.2+1015*(10*0.4+20*0.2)
=40260
左端：s=S=40时，不等式成立
s=30,左端=800*30+0+1015*(10*0.2+20*0.4+30*0.2) =40240<40260 I>30，不订货； 所以s=30, 存储策略为 否则，订货，补到40为止
I>80，不订货； 否则，订货，补到100为止
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期初存储为I
订货量为Q 问：如何确定Q，使损失期望值最小（赢利期望值最大）？
第3页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(2)
解：损失的期望值=订货费+存储费+缺货费 期初存储达到S=I+Q，则订货费+成本费=C3+kQ 存储费期望值：0 C1 (S r ) (r )dr 缺货费期望值： S C2 (r S ) (r )dr 本阶段支出费用期望
ks C1 ( s r ) (r )dr C2 (r s ) (r )dr
0 s s
(r )dr 确定S 0
S
定 期 订 货
C3 kS C1 ( S r ) (r )dr C2 (r S ) (r )dr
0 S
S
若不少于一个s，取其中最小者
期初存储为I， 订货量为Q 问：如何确定Q，使损失期望值最小（赢利期望值最大）？
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随机性存储模型—(S,s)型存储策略(6)
解：损失的期望值C(S)=订货费+存储费+缺货费 期初存储达到S=I+Q，则订货费+成本费=C3+kQ 存储费期望值： r I Q C1 ( I Q r ) p (r ) 缺货费期望值： r I Q C2 (r I Q) p (r ) 本阶段支出费用期望
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(9)
计算s的方法。考察不等式
C3 kS r S C1 (S r ) p(r ) r S C2 (r S ) p(r ) ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )