任意角三角函数学案

1．2．1 任意角的三角函数（1）

【学习目标】

1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号；

2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数；

3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.

【学习重点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号

【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、

图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空：

（1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ；

（3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？

（6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？

在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！

二、学习探究 （一）三角函数定义

思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？

那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？

请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）

的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==

>，过点P

作X 轴的垂线，设垂足为M ，构造出Rt POM ∆.那么，我们类比锐角三角函数，可得：

（1）比值

y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r

叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r α=

（3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan y

x

α=

（请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角α的函数呢？链接1）

任意角三角函数定义：对于确定的值α，在α终边上取任意一点P （除了原点）的坐

标为(),x y ，设P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，则比值y

r

、

x r 、y x 分别角α的正弦、余弦、正切，即：

sin y r α=、cos x r α=、tan y

x α=分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数.

阅读对比 请同学们仔细阅读教材，比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系？教材中取得点是一个定点，上面的定义中取的什么点？结果一样嘛？为什么？（链接2）

2.已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求α的正弦、余弦、正切值. 解：

解后反思 你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗？如：各用什么方法求解的？用到什么数学思想？在第2题中满足4

sin 5

α=-

的有多少角？这些角有何关系？ 挖掘拓展 （1）三角函数定义中的比值的大小与P 点在终边上的位置无关； （2）三角函数的定义域：sin y α=的定义域 、cos y α=的定义域 ； tan y α=的定义域 ；

（为什么？） （3）三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号可得：

①正弦sin y

r α=

，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负； ②余弦cos x

r α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；

③正切tan y

x

α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；

记忆法则： 一全正，二正弦，三切，四余弦，其余均为负.

（4）终边相同角的三角函数的关系（诱导公式一）（链接3）；

sin(2)____cos(2)____k k απαπ+=+=；；

tan(2)____k απ+=∈（其中k Z ） （5）另三个三角函数， cot x y α=

、sec r

x

α=、csc r y α=分别叫角α的的余切、正割、余割函数（类比上面（2）（3）（4），对这三个函数有怎样的结论？链接4）. 三、典例赏析

例1（教材P13的例3.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：

解后反思 你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？

变式练习 教材P15练习第6题. 解：

例2 （教材P14的例4、例5.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：

解后反思 你的解法与教材解法相同吗？有哪些区别？你的解法是最简洁的方法吗？ 求解的过程中用到了哪些数学知识与思想方法？（链接5）

变式练习 已知sin 0α<且tan 0α>，试判断tan ,sin

cos

2

2

2

α

α

α

的符号．

解：

例3.已知点P (3,-4)r r (0)r ≠在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 解：

解后反思 求解该题的关键在哪儿？易错点在哪儿？

变式练习 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4

α=， 求cos ,sin αα,αtan 的值． 解： 四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：任意角三角函数的概念理解了吗？各函数的定义域知道了吗？三角函数值在各象限的符号如何记忆？ 公式一掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？

3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？

五、学习评价 1．已知角α的终边过点（6,-8），则αtan =（ ）．