【衡水金卷先享题调研卷】2019高考模拟试题文科数学(二)(含答案)
河北省衡水金卷2019届高三第二次押题考试数学(文)试卷
河北省衡水金卷2019届高三第二次押题考试数学试题（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解集合B，然后由集合的交集运算求解.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】本题考查了对数不等式的解法、集合交集运算，属于基础题，题目意在考查对集合运算掌握的熟练程度.2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若6a3＋2a4－3a2＝15，则S7＝( )A. 7B. 14C. 21D. 28【答案】C【解析】【分析】由已知式子可得的值，由等差数列的求和公式和性质可得，代值计算即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，化简得，即，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，及等差数列的性质的应用，其中解答中根据题设条件化简得到的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)，可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三视图可知，该几何体为三棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，如图：由俯视图知底面等腰三角形的高为2，底边长为2，∴S底面2×2＝2，∴由正视图知棱锥的高2．∴三棱锥的体积为V2×2．故选：B．【点睛】本题考查三视图及其应用，棱锥的体积计算，关键是利用三视图判断几何体的形状与相关数据，属于中等题.4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，令，则，平移直线到可行域，根据的几何意义确定出最优解，然后可得的最大值．【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．令，则，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值．由，得，∴点A的坐标为，∴．故选C．【点睛】（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；②平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．（2）用线性规划解题时要注意的几何意义，分清与直线在y轴上的截距成正比例还是反比例．5.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象可得，可解得；再由“五点作图法”解得,从而可得 .【详解】由函数的图象可知，，故，解得，由“五点作图法”得，解得,，故选B.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点)时；“第二点”(即图象的“峰点”)时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点)时；“第四点”(即图象的“谷点”)时；“第五点”时.6.已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【详解】取，则不成立；由指数函数的单调性可知成立；取，则不成立；对于任意的，都有成立；由于底数成立，故五个命题中有三个是正确的，应选答案C。
2019衡水文数高三二模答案
又 BD2 4BC2 24 8 5 cos ，且 BD cos 2BC cos 2 5 sin ，
所以 AD2 25 8 5 cos 4 5 sin 25 20sin( ) ，
其中 cos 5 , sin 2 5 ，所以当 sin( ) 1，即 sin 5 , cos 2 5 时， AD2 取
p a 2
1, 0，
2
解得
a
p
1, 2.
………………3
分
所以 的标准方程为 x2 4 y ． ................................................ 4 分
因为 E 与 x 轴相切，故半径 r a 1，所以 E 的标准方程为 x 22 y 12 1． . 5 分
又因为 2x 2 2x 1 2x 2 (2x 1) 3 ………………………3 分 所以 t 3 ………………………5 分 （2）由（1）可知， a 3,则 方法一： 1 2 1 ( 1 4 )[(m p) (2n 2 p)]
m p n p 3 m p 2n 2 p
，把
y
1 t cos t sin
代入
x
y3
0 整理得 t3
cos
4 sin
…9
分
所以 |
PM
||
PN
||
t1
t2 2
||
t3
|
2|
cos
sin
||
cos
4 sin
|
8 …………………10
分
高三数学第9页(共10页)
衡水金卷2019届高三模拟高考密卷文数试题(解析版)
高三年级模拟高考密卷文数试卷第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求A∩B得解.【详解】由题得A=(-1,2),B=(,所以A∩B=.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，则根据复数的运算，得.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 先根据已知求出的值，再化简得解.【详解】因为，所以两边平方得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角和诱导公式，考查三角求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知直线是双曲线的一条渐近线，若的最大值为1，则该双曲线离心率的最大值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 由题得|k|≤1，即，化简不等式即得解.【详解】由题得|k|≤1，即， 所以所以.所以双曲线的离心率的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A. 变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B. 天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C. 北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D. 厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大【答案】D【解析】【分析】根据数据统计表逐一分析得解.【详解】对于选项A,变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳,因为它们的涨幅的绝对值最小，所以该选项是正确的；对于选项B, 天津的变化幅度最大,接近10%，北京的平均价格最高，接近3000元，所以该选项是正确的；对于选项C, 因为北京的涨幅大于0，所以北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的涨幅小于0，所以深圳的平均价格同去年相比有所下降，所以该选项是正确的；对于选项D, 西安的平均价格最低，不是厦门，厦门相比去年同期降解最大，所以该选项是错误的.故选：D【点睛】本题主要考查数据统计表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.同时满足与的函数的解析式可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入逐一验证即可.【详解】,所以B.,所以C.,D.,所以选D.【点睛】本题考查函数周期性与对称性判断，考查基本应用求解能力.属基本题. 7.设实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. -1B.C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】先作出不等式组的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】不等式组对应的可行域如图所示，由题得，当直线经过点A时，直线的纵截距最小时，z最小.联立直线方程得A(1,-1),所以的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】 【分析】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3，求出高为4，母线长为5，再计算几何体的表面积得解.【详解】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3， 设圆锥的高为h,则所以母线为.所以几何体的表面积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体的体积和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.在三棱柱中，平面，，，是的重心，若平面平面，则（ ）A. 直线与直线所成的角为B. C. 直线与直线所成的角为D.【答案】C 【解析】 【分析】如图，先找到的位置DE,再逐一判断每一个选项得解.【详解】如图所示，设AB=BC=1,则,因为AB||平面,平面平面,AB平面ABP,所以AB||,所以,过点P作DE||,交于D,交于E, DE所在直线就是.所以直线与直线所成的角为，所以选项A，B错误；直线与直线所成的角为或其补角,由于,所以，所以选项C正确，选项D错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，考查异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称，若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根据已知求出函数f(x)的解析式，再求出函数g(x)的解析式，再求函数g（x）的图像的对称中心得解.【详解】由题得，因为函数f(x)的最小正周期为，所以因为函数f(x)的图象关于直线对称，所以.所以，所以，令，令k=-1得函数图像的对称中心为.故选：A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知一个圆柱内接于球（圆柱的底面圆周在球面上），若球的体积为，圆柱的高为，则圆柱的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出球的半径和圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的体积得解. 【详解】设球的半径为R,由题得.设圆柱底面圆的半径为r,由题得所以圆柱的体积为.【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查球的内接旋转体问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数在定义域内有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令f(x)=0,得，，求出函数g(x)的最大值，结合函数的图像得解.【详解】令f(x)=0,得，，所以，所以当0＜x＜e时，，所以函数g(x)在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，所以.当x趋近+∞时，g(x)趋近-∞,因为函数在定义域内有零点，所以直线x=a和函数g(x)的图像有交点，所以故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知向量，，，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积以及向量的模列条件，解方程组得值，即得结果.【详解】因为，，所以，因为，所以，因此，，从而.【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本应用求解能力.属基本题.14.曲线在点处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】先利用导数求出切线的斜率，再求切点的坐标，再写出切线方程得解.【详解】由题意可知，，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线上一点的切线方程,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.若圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则________.【答案】【解析】【分析】先求出圆心的坐标为（-2,0）,半径为 2.再分析已知得到圆心到直线的距离为1，解方程得解.【详解】由题得圆的方程为，所以圆心的坐标为（-2,0）,半径为2. 因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，所以圆心到直线的距离为1，即，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在如图所示的平面四边形中，，，，，若四边形的面积为，则的长为________.【答案】5 【解析】 【分析】 连接，求出，再利用余弦定理求出，求出，再利用面积公式求出BC的值得解.【详解】如图所示，连接.由题可知，，又因为，所以.在中，由余弦定理，得，所以，再由余弦定理，得，所以，所以，又，所以=5.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在递增的正项等比数列中，与的等差中项为，与的等比中项为16.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知得到关于公比和首项的方程组，解方程组即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用分组求和、裂项相消求前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为.由题得，，即，则，即，因为，所以.又，且，则，所以，所以.（2）由（1）可知，，所以.【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查分组求和与裂项相消，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图1，在菱形中，延长点，使得，且所得是等边三角形.将图1中的沿折起到图2中的位置，且使平面平面，点为的中点，点是线段上的一动点.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在点，使四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍？若存在，求出此时的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）取的中点，连接，，证明平面.过点作交于点，再化简，即得的值.【详解】（1）在图1中，四边形菱形，且，是等边三角形，∴.连接，则是等边三角形.∵是的中点，∴，又，，∴平面.又，∴平面.∵平面∴平面平面.（2）存在点，使四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍. 理由如下：取的中点，连接，，则.∵平面平面，平面平面，∴平面.过点作交于点，则平面.∴.令，得，∴，∴当时，四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，考查立体几何的探究性问题的处理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.2019年3月5日至3月15日在北京召开了“两会”，代表们都递交了很多关于国计民生问题的提案，某媒体为了解民众对“两会”关注程度，随机抽取了年龄在18-75岁之间的100人进行调查，经统计“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数之比为，并绘制如下列联表：（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“两会”和年龄段有关？（2）现从关注“两会”的民众中采用分层抽样的办法选取6人对“两会”有关内容问卷调查，再在这6人中选3人进行面对面提问，求至少有一个45岁以上的人参加面对面提问的概率；（3）小张从“两会”中关注到中国的政策红利，看好中国经济的发展，在2019年3月某日将股市里的10万元分成4万元，3万元，3万元分别购买了三支股票，，，其中涨幅，涨幅，涨幅，求小张当天从股市中享受到的红利（元）.附：，其中.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）；（3）3300元.【解析】【分析】（1）先完成2×2列联表，再利用独立性检验判断能否有的把握认为关注“两会”和年龄段有关；（2）利用古典概型的概率公式求至少有一个45岁以上的人参加面对面提问的概率；（3）直接求的值得解.【详解】（1）因为“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数之比为，所以“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数分别为60人与40人，则列联表如下：所以 6.635，所以没有99%的把握认为关注“两会”和年龄段有关.（2）若从关注“两会”的民众中采用分层抽样的方法选取6人，则选出45岁（含）以下有4人，分别记为，，，，45岁以上有2人，分别记为1，2，所以从中选取3人的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种；其中至少有一个45岁以上的人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种.设至少有一个45岁以上的人参加面对面提问为事件，则.（3）由题可知，（万元），所以小张当天从股市中享受到的红利为3300元.【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过点的直线交椭圆于，两点，的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是直线上的不同两点，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）由题得，即，再利用基本不等式求的最小值.【详解】（1）由题意得，，所以，，.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，的坐标分别为，，设直线上不同两点，的坐标分别为，，则，，由，得，故，不妨设，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查平面向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）若曲线在点）处与轴相切，求函数的零点个数；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）零点个数为0；（2）a＜0【解析】【分析】（1）先求出，，再求出函数的单调性，得到的最大值小于零，所以函数的零点个数为0.（2）等价于当时，有解.【详解】（1）由题知，函数的定义域为.因为，所以，即，又，则，所以.令，则，当时，；当时，.故的极大值为，即的最大值小于零，所以函数的零点个数为0.（2）因为，，所以有解.即当时，有解.设所以，所以函数h(x)在（1，+∞）上单调递减，所以，所以a＜0.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）以曲线上的动点为圆心、为半径的圆恰与直线相切，求的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用极直互化的公式求直线的直角坐标方程，利用三角恒等式消参求曲线的普通方程；（2）设点的坐标为，再利用三角函数的图像和性质求的最小值.【详解】（1）由，得，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为.由曲线的参数方程（为参数），得曲线的普通方程为.（2）设点的坐标为，则点到直线的距离为（其中当时，圆与直线相切，故当时，取最小值，且的最小值为.【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分类讨论法解不等式；（2）可转化为，即对恒成立，即，再求两个最值即得解.【详解】（1）由题得，则等价于或或解得或或.所以原不等式的解集为.（2）当时，，所以可转化为，即，也就是对恒成立，即，易知，，所以，则，所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2019届河北省衡水市高三下学期二模考试数学(文)试卷及解析
2019届河北省衡水市高三下学期二模考试数学（文）试卷一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ）A. []02，B. ()13，C. [)13，D. [)2-+∞，【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出集合A 和集合B ，再求A ∪B【详解】由|x ﹣1|≤3得到﹣2≤x ≤4，即A ＝[﹣2，4]，由2x +1≥4＝22得到x ≥1，即B ＝[1，+∞），则A ∪B ＝[﹣2，+∞），故选：D ．2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12zz 的虚部为（ ）A. 1-B. 1C. iD. i-【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可. 【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1，故选A.3.已知p q ，是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A. 既不充分也不要必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解【详解】因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：C．4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】。
2019届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(文科)试题含答案
2019届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则=（）A．B．C．D．2．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．命题“，使得”的否定是：“均有”D．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题3．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限4．函数的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A ． 0B ． 0或C ．或D ． 0或8．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向右平移512π个长度单位9．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知角的终边经过，则________．14．给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；函数的图象关于点对称；若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.15．已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是__________．16．已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.三、解答题17．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.18．函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.19．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.20．已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.21．已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.22．已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.2019届河北省衡水中学高三上学期二调考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】因为，或，所以，故选.2．D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。
【衡水金卷先享题-文数(二)】2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数(二)
河北衡水中学2019年高考押题试卷文数（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|23,}A x x x Z =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合A B 为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{1,0,1,2}- C ．{1,0,1,2,3}- D ．{2,1,0,1,2,3}--2.若复数(,)z x yi x y R =+∈满足()13z i i +=-，则x y +的值为（ ） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6-3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A ．718 D ．34.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（ ） A ．19 B ．13 C ．49 D ．595.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C ．[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A．3)2π++ B．3)22π C7.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数()()1312,222,2,02x x x f x a x a R a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩，若()()()635f f f =-，则a 为（ ）A ．1 B． D9.执行如图的程序框图，若输入的x ，y ，n 的值分别为0，1，1，则输出的p 的值为（ ）A ．81B ．812 C ．814 D ．81810.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系31212312n n n a a a a b b b b +++⋅⋅⋅+=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（ ）A ．454-B ．450-C ．446-D ．442- 11.若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．(]0,8C ．(][),08,-∞+∞D ．()(),08,-∞+∞12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x R πωϕ>><∈的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x的最大值为C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量(,)a m n = ，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b = ，则mn 的值为 ．14.已知点()1,0A -，()1,0B ，若圆2286250x y x y m +--+-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为 ．15.设x ，y 满足约束条件2402010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则32x y +的最大值为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠= ，90B ∠= ，120C ∠= ，90E ∠=，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且222cos cos sin sin B C A A B -=-. （1）求角C ； （2）若6A π∠=，ABC ∆的面积为M 为AB 的中点，求CM 的长.18.如图所示的几何体P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，AB a =，PB =，PB AB ⊥，平面ABCD ⊥平面PAB ，AC BD O = ，E 为PD 的中点，G 为平面PAB 内任一点.（1）在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使//OE l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过A ，C ，E 三点的平面将几何体P ABCD -截去三棱锥D AEC -，求剩余几何体AECBP 的体积. 19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，212()x x x <，证明122x x a +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.文数（二）试卷答案一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AADCB 11、12：AC二、填空题13. 8- 14. 16 15.22316.三、解答题17.解：（1）由222cos cos sin sin B C A A B -=，得222sin sin sin sin C B A A B -=.由正弦定理，得222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 222a b c C ab ab +-===. 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故221sin 2ABC S a B ∆===4a =. 在MBC ∆中，由余弦定理，得2222cos CM MB BC MB BC B =+-⋅1416224282=++⨯⨯⨯=.解得CM =18.解：（1）过G 点存在直线l 使//OE l ，理由如下： 由题可知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点， 所以在PBD ∆中，有//OE PB .若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求作直线l ， 所以有//OE l ；若点G 不在直线PB 上，在平面PAB 内，过点G 作直线l ，使//l PB ， 又//OE PB ，所以//OE l ， 即过G 点存在直线l 使//OE l .（2）连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分： 三棱锥D AEC -与几何体AECBP （如图所示）.因为平面ABCD ⊥平面PAB ，且交线为AB ， 又PB AB ⊥，所以PB ⊥平面ABCD . 故PB 为几何体P ABCD -的高.又四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，AB a =，PB =，所以22242ABCD S a a =⨯=四边形，所以13P ABCD ABCD V S PB -=⋅四边形2311322a a =⨯=. 又1//2OE PB ，所以OE ⊥平面ACD ， 所以D AEC E ACD V V --=三棱锥三棱锥3111348ACD P ABCD S EO V a ∆-=⋅==，所以几何体AECBP 的体积P ABCD D EAC V V V --=-三棱锥333113288a a a =-=.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=（分）， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽取1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 20.解：（1）由题意可知2c a =， 所以222222()a c a b ==-，整理，得222a b =，①又点(22P 在椭圆上，所以有2223144a b +=，②由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）2232m k -为定值，理由如下：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，化简得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>， 得2212k m +>， 由根与系数的关系，得122412kmx x k+=-+，21222212m x x k -=+，③ 由12120x x y y +=，y kx m =+， 得1212()()0x x kx m kx m +++=，整理，得221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k-+-⋅+=++. 化简整理，得222322012m k k--=+，即22322m k -=. 21.解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()2'2a g x f x x a x ==-+-， 因为()22'20a g x x=+>，所以()()'g x f x =为单调递增函数. 所以只需证()12''02x x f f a +⎛⎫>=⎪⎝⎭，即证2121220a x x a x x -++->+， 只需证()12212210x x a x x a-++->+. (*)又22111ln a x x ax m -+-=，22222ln a x x ax m -+-=， 所以两式相减，并整理，得()1212212ln ln 10x x x x a x x a--++-=-.把()1212212ln ln 1x x x x a a x x -+-=-代入(*)式， 得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+.令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln (01)1t t t t t ϕ-=-+<<+， 则()()()()222141'011t t t t t tϕ-=-+=>++， 所以()t ϕ在其定义域上为增函数， 所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立. 22.解：（1）曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=.故曲线2C ：4sin ρθ=化为平面直角坐标系中的普通方程为22(2)4x y +-=.当两曲线有公共点时a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩，即22(3)(2)9x y -+-=，联立方程()()()222232924x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，消去y ，得两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =.曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以AB ==. 23.解：（1）因为()211f x x x =-++3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以作出函数()f x 的图象如图所示.从图中可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而 2222142[(1)(1)]117a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++218[577=+=. 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.站”第一时间更新初高中所有大型考试的试题和答案,免费提供下载。
2019年5月河北省衡水市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前河北省衡水市2019届高三年级第二次高考模拟考试数学（文）试题（解析版）2019年5月一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ） A. []02，B. ()13，C. [)13，D.[)2-+∞，【答案】D【解析】【分析】 根据题意先求出集合A 和集合B ，再求A ∪B【详解】由|x ﹣1|≤3得到﹣2≤x ≤4，即A ＝[﹣2，4]，由2x +1≥4＝22得到x ≥1，即B ＝[1，+∞），则A ∪B ＝[﹣2，+∞），故选：D ．【点睛】本题考查集合的运算，解题时要认真审题,仔细解答2.复数121z i z i =+=，,其中i 为虚数单位,则12z z 的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. iD. i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ,再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1, 故选A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有：点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.3.已知p q ，是两个命题,那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A. 既不充分也不要必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p ∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条件,得解【详解】因为“p ∧q 是真命题”则命题p ,q 均为真命题,所以￢p 是假命题,由“￢p 是假命题”,可得p 为真命题,但不能推出“p ∧q 是真命题”,即“p ∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条件,故选：C ．【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假,属简单题．4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图：。
2019年衡水高三二模文科数学答案
5 26 = ⨯ ⎪ 1 1 2 22018—2019 学年度第二学期二模考试高三年级数学试卷（文科答案）1．D 2．A 3． C 4. D 5．B 6．A 7. B8. D9.B10. A11．D12.D10.【答案】A解法一：设点 N 出发后的运动的时间为t 分钟，圆O 的半径为 1，由三角函数的定义，得BD 2 + BC 2 = CD 2 ， 所以 BC ⊥ BD ， 故 O 为△BCD 的外心， 因为 AC = AD = 2 ， 所以 AO ⊥ CD ，且 AO = 2 ，故 AO ⊥ OB ，又 BO CD = O ，所以 AO ⊥ 平面 BCD ，所以O 1 在直线 AO 上，连结O 1D ，设O 1D = R ，则 AO 1 = R ， OO 1 = 2 - R ，因为OO 1 ⊥ DO ， 所以 DO 2+ OO 2= O D 2，即16 + (2 - R )2= R 2，解得 R = 5 ，球O 的直径最大时，球O 与平面 BCD 相切且与球O 1 相切， A , O , O 1, O 2 四点共线，此时球O 2 的直径为 R + OO 1 = 8 ．y = sin ⎛π π ⎫ = -π ，因为 M , N 间隔 3 分钟，所以∠ π π，解法二：将Rt △BCD 补形成正方形 ECBD ，如图，易知四棱锥 A - BCED 为正四棱锥，正方形N - + t ⎪ ⎝ ⎭cos t 6 MON = ⨯ 3 =6 2BDEC 的中心为O ， BO ⊥ CD ．连结 AO , BO ，则O 为△BCD 的外心，因为所以 y = sin ⎛ π π + π⎫ = π ，所以 AC = AD = 2 ，所以 AO ⊥ CD ，且 AO = 2 ，又因为OD = 4, BO = 4 ，所以M - 2 + 6 t sin t 2 6 ⎝ ⎭ π π ⎛π π⎫AO 2 + BO 2 = AB 2 ，故 AO ⊥ OB ，又 BO CD = O ，所以 AO ⊥ 平面CBDE ，y M - y N = sin 6 t + cos 6 t = 2 sin 6 t + 4 ⎪ ，设 O D = R ， 则 AO = R ， OO = 2 - R ， 因为 OO ⊥ DO ， 所以 DO 2 + OO 2 = O D 2， 即⎝ ⎭111111π π π3 16 + (2 - R )2 = R 2 ，解得 R = 5 ，球 O 的直径最大时，球 O 与平面 BCD 相切且与球O 相切，当 t + = 2k π+ 6 4 2 , k ∈ Z ，即t = 12k + , k ∈ Z 时， 2221A , O , O 1, O 2 四点共线，此时球O 2 的直径为 R + OO 1 = 8 ．y M - y N 取得最大值，故当 k = 3 时， y M - y N 第 4 次取得最大值，此时t = 37.5 ，故选 A ．解法二：因为 M , N 间隔 3 分钟，所以∠MON π3 =π当 y M - y N 62π取得最大值时，MN ⊥ x 轴，且∠PON = ，4π 当 y M - y N 第一次取得最大值时， N 运动的时间为 4π6= 1.5 分钟；13. 314． 615．4 16． 3又质点 N 运动一周的时间为2π= 12 分钟，π64 15．【答案】3x 2 y 2当 y M - y N 第 4 次取得最大值时， N 运动的时间为1.5 +12 ⨯ 3 = 37.5 分钟． 解法一：因为双曲线 - a 2 b 2 = 1 关于 x 轴对称，所以△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形，又12.【答案】D△APQ 的一个内角为60︒ ，故△APQ 为等边三角形，且∠PAF = 30︒ ，又解法一：取CD 的中点O ，连结 AO , BO ，如图，因为 BC = BD = 4 ， CD = 8 ，所以FA = FP = a + c ，所以∠AFP = 120︒，设双曲线的左焦点为 F '，连结 F 'P ，则2 555 - = 4 a a - PF ' - PF = 2a ，故 PF ' = 3a + c ，在△PFF ' 中，由余弦定理得， BCsin ∠BAC AC ，即 sin ∠ABCPF ' 2= FF ' 2+ PF 2- 2 FF ' ⋅ FP cos120︒ ，BC = ，所以 BC cos α=5 sin θ， 即(3a + c )2= (2c )2+ (a + c )2- 2 ⨯ 2c ⨯(a + c ) ⨯cos120︒ ，sin θ sin ⎛α+ π⎫ 2 ⎪ 整理得：4a 2+ ac - 3c 2= 0 ，两边同时除以 -a 2，得3e 2- e - 4 = 0 ，解得e = 4或e = -1（舍去）．3⎝ ⎭在△ABD 中，由余弦定理可得， AD 2= AB 2+ BD 2- 2AB ⋅ BD cos α，x 2 解法二：因为双曲线 a 2 y 2b 2 1 关于 x 轴对称，所以△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形，又又 BD 2= 4BC 2= 24 - 8 5 cos θ，且 BD cos α= 2BC cos α= 2 5 sin θ，AD 2 = 25 - 8 5 cos θ- 4 5 sin θ= 25 - 20 sin(θ+ϕ)△APQ 的一个内角为60︒ ，故△APQ 为等边三角形，且∠PAF = 30︒ ，又所以其中cos ϕ=，5, sin ϕ=2 5 ，所以当sin(θ+ϕ) = 1 ，即sin θ=5, cos θ=2 5时， AD 2取FA = FP = a + c ，所以∠AFP = 120︒ ，故∠PFx = 60︒， PF = a + c ，所以5555⎛ a + 3c ⎫2⎛ 3 (a + c ) ⎫ 最小值 5，故 AD min = ．⎛ a + 3c 3 ⎫ 2 ⎪ 2⎪ 17.解：（1）设数列{a } 为公差为 d 的等差数列，P , (a + c ) ⎪ ，因为点 P 在双曲线上，所以⎝ ⎭ ⎝⎭ = 1 ，n⎝ 2 2 ⎭a b a - a = 10 ，即5d = 10 ，即 d = 2 ，……2 分(a + 3c )2 3(a + c )2(1+ 3e )2 3e + 3 272a ， a ， a 依次成等比数列，可得 a 2 = a a，即(a + 10)2 = a (a + 40) ，解得 a = 5 ……4 分即4a 2- = 1 ，整理得 4(c 2 - a 2 ) - = 1，即3e 4 4(e -1) - e - 4 = 0 ， 162161 2111 11解得 e = 或e = -1 （舍去）．故所求双曲线的离心率为 4．则 a n = 5 + 2(n - 1) = 2n + 3 ；……6 分111 1 133（2） b n = n n +1= = (2n + 3)(2n + 5) ( 2 2n - + 3 2n + 5) ，即有前 n 项和为 S = 1 (1 - 1 + 1 - 1 + ⋯+1 - 1 ) = 1 (1 - 1 ) = n， ……9 分 n2 5 7 7 9 2n +3 2n + 5 2 5 2n + 5 5(2n + 5)由 S n =2 ，可得5n = 4n + 10 ，解得 n = 10 ． ……12 分2516．【答案】 解：设∠BAC = θ, ∠ABD = α，则∠ABC = α+ π，2在△ABC 中，由余弦定理可得 BC 2= AB 2+ AC 2- 2AB ⋅ AC cos ∠BAC ， 故 BC 2= 6 - 2 5 cos θ，由正弦定理可得2 2 5=21- d 2CD 2AB 22⎨ p ⎪ ⎩ ⎩= > 2 ⎧ 2a + 0 = -1, ⎪ 2 ⎧a = -1, 因为 E , F 关于 M (-1, 0) 对称，所以⎪+ a 2 = 0， 解得⎨ p = 2. ………………3 分 ⎪ ⎩所以Γ 的标准方程为 x 2= 4 y ． ................................................ 4 分因为 E 与 x 轴相切，故半径 r = a = 1，所以 E 的标准方程为( x + 2)2 + ( y +1)2= 1． .... 5 分（2）设l 的斜率为 k ，那么其方程为 y = k ( x +1) ， .............................. 6 分则 E (-2, -1) 到l 的距离 d =，所以 AB = 2 = 2． ............. 7 分⎧⎪x 2 = 4 y , 由 ⎨⎪ y = k ( x + 1) 消去 y 并整理得： x 2 - 4kx - 4k = 0 ．设C ( x 1 , y 1 ), D ( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 4k , x 1 x 2 = -4k ，那么 CD = - x = k 2 + 1 ⋅= 4 k 2+1 ⋅ ........ 9 分所以 = 1 216(k 2+1)(k 2+ k )2(k 2+ 1)2 (k 2+ k )2k=2 ．...................... 11 分 8k k k k 2+ 12⎛ p ⎫ 所以 CD 2 > 2 AB 2，即 CD >AB ． ........................................ 12 分19. 解：（1）设Γ 的标准方程为 x = 2 py ，则F 0, ⎪ ． ⎝ ⎭20. 解：（Ⅰ）商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为：已知 E 在直线 y = 1x 上，故可设 E (2a , a ) ． .................................... 1 分2…….6 分…….12 分k -1k 2 +12kk 2 +1k 2 + 1 ( x + x - 4x x 1 2 )21 2k 2 + k 2m + p 4 2n + 2 p ⎩⎩ 23.解：（1）因为 2x + 2 - 2x -1 - t ≥ 0 所以 2x + 2 - 2x -1 ≥ t又因为 2x + 2 - 2x -1 ≤ 2x + 2 - (2x -1) = 3 ................................ 3 分所以t ≤ 3 ............................... 5 分 （2）由（1）可知， a = 3,则12 1 1 方法一：+ = ( + 4 )[(m + p ) + (2n + 2 p )] m + p n + p 3 m + p 2n + 2 p= 1 [1+ 4 + 2n + 2 p + 4(m + p )] ≥ 1 (1+ 4 + 2 2n + 2 p ⋅ 4(m + p ) ) = 33 m + p 2n + 2 p 3 m + p 2n + 2 p∴ 1 +2 ≥3 ................................10 分 m + p n + p1 方法二：利用柯西不等式+ 2 = 1 ( 1 +4 )[(m + p ) + (2n + 2 p )] m + p n + p 3 m + p 2n + 2 p≥ 1 ( 3 ⋅ + ⋅ 2n + 2 p )2 = 322.（Ⅰ）曲线C : ρ2= 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 的直角坐标方程为： x 2+ y 2= 2x - 4y + 4 ；即(x -1)2 + ( y + 2)2 = 9l 1 : ρ(cos θ-sin θ) = 3 的直角坐标方程为： x - y - 3 = 0 ........................ 4 分∴ 1 + 2≥ 3 ........................ 10 分 m + p n + p（Ⅱ）直线l 的参数方程⎧x = -1+ t cos αt 2⎨ y = t sin α （ 为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得t 2 - 4(cos α- sin α)t -1 = 0 ， 设 A , B 两点的参数分别为t 1, t 2 ，则t 1 + t 2 = 4(cos α- sin α) ................................................................................... 7 分因为 M 为 AB 的中点，故点 M 的参数为 t 1 + t 2= 2(cos α- sin α) ， ..................... 8 分2 设 N 点的参数分别为t ，把⎧x = -1+ t cos αx - y - 3 = 0 整理得t = 4 …9 分3⎨y = t sin α代入3cos α- sin α所以| PM | ⋅ | PN |=| t 1 + t 2| ⋅ | t 2 3|= 2 | cos α- sin α| ⋅ | 4 cos α- sin α|= 8 ........................ 10 分 1 m + p。