新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何两直线的位置关系教案文

一、知识梳理

１．两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件

两直线位置关系斜率的关系

两条不重合的直线l１，l

２，斜率分别为k１，k２

平行

k１＝k２

k１与k２都不存在

垂直

k１k２＝—１

k１与k２一个为零、另一个不存在

３．三种距离

点点距点P１（x１，y１），P２（x２，y２）之间的距离

|P１P２|＝

错误!

点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距

离

d＝错误!

线线距两条平行线Ax＋By＋C１＝0与Ax＋By＋C２＝

0间的距离

d＝错误!

１．会用两个充要条件

（１）两直线平行或重合的充要条件

直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0平行或重合的充要条件是A１B２—A２B １

＝0．

（２）两直线垂直的充要条件

直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件是A１A２＋B１B２＝0．２．直线系方程

（１）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．

（２）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx—Ay＋n＝0（n∈R）．

（３）过直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与l２：A２x＋B２y＋C２＝0的交点的直线系方程为A１x＋B１y ＋C１＋λ（A２x＋B２y＋C２）＝0（λ∈R），但不包括l２.

３．六种常用对称关系

（１）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（—x，—y）．

（２）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，—y），关于y轴的对称点为（—x，y）．

（３）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝—x的对称点为（—y，—x）．（４）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（２a—x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，２b—y）．（５）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（２a—x，２b—y）．

（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k—y，k—x），关于直线x—y＝k的对称点为（k ＋y，x—k）．

二、习题改编

１．（必修２P１１0B组T１改编）两直线４x＋３y＝１0与２x—y＝１0的交点坐标为．答案：（４，—２）

２．（必修２P１１0B组T２改编）已知点（a，２）（a＞0）到直线l：x—y＋３＝0的距离为１，则a等于

答案：错误!—１

３．（必修２P１１４A组T５改编）已知直线l１：ax＋３y＋１＝0，l２：２x＋（a＋１）y＋１＝0互相平行，则实数a的值是．

解析：由直线l１与l２平行，可得错误!解得a＝—３．

答案：—３

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）当直线l１和l２的斜率都存在时，一定有k１＝k２⇒l１∥l２.（）

（２）如果两条直线l１与l２垂直，则它们的斜率之积一定等于—１．（）

（３）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（）

（４）已知直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0，l２：A２x＋B２y＋C２＝0（A１，B１，C１，A２，B２，C２为常数），若直线l１⊥l２，则A１A２＋B１B２＝0．（）

（５）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（）

答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√

二、易错纠偏

错误!（１）求平行线间距离忽视x，y的系数相同；

（２）判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．

１．两条平行直线３x＋４y—１２＝0与6x＋8y＋１１＝0之间的距离为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．7 Ｄ．错误!

解析：选Ｄ．直线３x＋４y—１２＝0可化为6x＋8y—２４＝0，所以两平行直线之间的距离为错误!＝错误!.

２．已知直线l１：ax＋y—４＝0和l２：２x＋ay＋１＝0若l１⊥l２，则a＝．

答案：0

两条直线平行与垂直（师生共研）

（一题多解）已知直线l１：ax＋２y＋6＝0和直线l２：x＋（a—１）y＋a２—１＝0．（１）当l１∥l２时，求a的值；

（２）当l１⊥l２时，求a的值．

【解】（１）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，

l２：x＝0，l１不平行于l２；

当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不平行于l２；

当a≠１且a≠0时，

两直线方程可化为l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），由l１∥l２可得错误!解得a＝—１．

综上可知，a＝—１．

法二：由l１∥l２知错误!

即错误!⇒错误!⇒a＝—１．

（２）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１与l２不垂直，故a＝１不符合；

当a≠１时，l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），

由l１⊥l２，得错误!·错误!＝—１⇒a＝错误!.

法二：因为l１⊥l２，所以A１A２＋B１B２＝0，

即a＋２（a—１）＝0，得a＝错误!.

错误!

（１）两直线平行、垂直的判断方法

若已知两直线的斜率存在．

１两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．

２两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于—１．

[提醒] 判断两条直线位置关系应注意：

〈１〉注意斜率不存在的特殊情况．

〈２〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

（２）由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略

在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．

１．已知直线４x＋my—6＝0与直线５x—２y＋n＝0垂直，垂足为（t，１），则n的值为（）Ａ．7 Ｂ．9

Ｃ．１１Ｄ．—7