双弹簧振子问题的处理
弹簧双振子问题的处理
弹簧双振子问题的处理如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：1A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？2A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为AA m F a =，而B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：am m F B A )(+=选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a BB B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a AB A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法弹簧双振子简谐运动是指两个振子之间存在弹性作用力，且其运动周期相同的振动运动。
其周期的计算方法如下：假设两个振子的质量分别为m1和m2，它们的自由长分别为l1和l2，弹性常数分别为k1和k2，则它们的角动量方程分别为：I1*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0I2θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0其中I1和I2分别表示振子1和振子2的转动惯量，θ1和θ2分别表示振子1和振子2的摆角。
将这两个方程化简后得到：(I1+I2)*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将θ1''和θ2''带入上式，得到：(I1+I2)*((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)(k2θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将两式合并得到：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 -(k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2移项后的结果是：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2化简得到：(I1+I2)*(k1+k2-k2)θ1 = (I1+I2)(k2-k1-k2)*θ2即：(k1+k2-k2)*θ1 = (k2-k1-k2)*θ2化简得到：k1θ1 = k2θ2得到结论：弹簧双振子的运动周期T满足公式：T = 2πsqrt((I1+I2)/(k1m1+k2m2))其中sqrt表示平方根。
双弹簧振子问题的处理
双弹簧振子问题的处理湖北省恩施高中 陈恩谱如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为AA m F a =，而B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a BB B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a AB A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
弹簧振子的典型特征与解题应用
弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
用v—t图像破解弹簧双振子问题
用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。
下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。
一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。
A。
机械能守恒。
机械能不断增加C。
当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。
当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。
解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。
当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。
从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。
在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。
v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。
答案为C。
二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。
A。
弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。
弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。
弹簧双振子的不动点解法
弹簧双振子的不动点解法1不动点综述我们这里所谓的不动点，即双振子的质心，质心不动，即以质心为参考系.因为此类方法前人已有很多描述，这里我们仅稍作梳理. [TP6GW68.TIF，Y#]如图1所示在光滑水平面上由原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接着A、B两个小球（可看作质点），质量分别为m、2m，易知质心O与A、B距离之比为2∶1，初始时弹簧无形变.现分三类简单情况研究稳态振动.（1）将弹簧压缩后无初速释放；（2）不压缩弹簧，但给A一个初速度v0；（3）既不压缩也无初速，但对B施加一个恒力F.那么在质心参考系中看到的两个振子各自的振动情况将如图2所示.以向右为正方向.我们仅研究其中一个球的位移情况，另一个的读者可自行推导.第一种情况如图2上，最基本也核心：质心O是一个不动的点，相当于将弹簧固定在O点，切开分配，A、B两个小球分别接在原长为2L/3、L/3的固定弹簧上振动；根据劲度系数反比于弹簧长度，kA=3k/2，故A振动的圆频率为ω=kA/m=3k/2m，可以证明B亦然；且O系中二者初始时均无速度，即处于振动中的最大位移，则A的振幅是初始压缩量的2/3.（图中OA、OB为A、B在质心系中振动的平衡位置，即弹簧无形变）.有了这些参数，A振动位移为xA=AAcosωt.[TP6GW69.TIF，Y#]第二种情况如图2中：质心具有v0/3向右的平动速度，无加速度；故A、B的初始位置为平衡位置（弹簧无形变），且各自相对于质心的速度如图；但这并不影响弹簧的按质心分配，故二者振动的圆频率同上.A相对于OA的振幅可根据平衡位置的速度vAm=AAω解出，从而质心系中A的振动位移为xA=AAcos（ωt+3π/2），转到地面参考系时只需再叠加O本身的位移即可.第三种情况如图2下：质心具有a0=F/3m的平动加速度，则以其为参考系时，A、B初始位于最大位移（速度为0），但受到恒力作用：A受到惯性力ma0=F/3，B受到的是F与惯性力之差：F-2ma0=F/3.作为恒力，它们不影响振动频率，但影响平衡位置；两小球在质心系中具有的新平衡位置OA′、OB′可以这样确定：OA′在OA左方AA=（F/3）/kA=2F/9k处，再代入xA=AAcosωt即可.对于更复杂的情况，可以将第二、三两种情况结合起来，以能量等关系求解振幅、初相位等；但以质心为不动点模式下的弹簧分配不受影响，振动频率始终不变.2复杂的稳态振动模式在大学里，这类问题多是先列位移再求导之类的枯燥解法，能不能改变一下？例1如图3所示完全相同的两个单摆并排悬挂，摆长均为l，摆球质量均为m，且用原长等于悬点间距的、劲度系数为k的轻弹簧相连，试研究这周期性运动模式：初始时A球离开原位置一小段距离A，而B未动，然后由静止释放后的运动.解如图4左所示是两球的回复力情况，其中F=kA，F′=mgsinθ≈mgA/l.以向右为正，质心O的初始位移是A/2，如图4右，加速度大小a0F+F′-F2mgA2l；在质心系中，A球相对其平衡位置的初位移（即左半弹簧缩短量）为A/2，回复力大小为FA=F+F′-ma0=kA+mgA2l.二者初始均无速度，为最大位移，故质心为振幅A/2、圆频率ω0=a0/（A/2）=g/l的单摆运动，其位移x0=（A/2）cosω0t.而质心系中A的振幅亦为A/2，圆频率为ω=FA/（A/2）m=g/l+2k/m，不是简单的半根弹簧！故A的位移为x=（A/2）cosωt.回到地面系，A相对于其原平衡位置的位移为xA=x+x0=（A/2）×（cosω0t+cosωt）.例2图5对学习竞赛的同学来说应是非常熟悉，这里我们把原题复杂化一下：光滑水平面上，中央是质量为M的大球，1、2两小球质量分别为m1、m2，球均可视为质点.要想形成两小球始终反向而大球不动的振动模式，k1、k2要满足什么关系呢？结论当然是圆频率相等，即k1/m1=k2/m2.此条件下我们来分析两小球同向、大球反向动的模式.如图6所示，大球左边受到的是挤压力，右边受到的是拉伸力，如果将其竖切，总能找到一个切面，是挤压力到拉伸力的转折点，则该面上应是无作用力的；想象由此将大球分成左右两份，左边质量为λM，右边为（1-λ）M，它们在振动中将互不影响.三振子系统被分割成了两个相互独立的双振子系统，其中O1、O2分别为左、右系统的不动点（质心），剩余三条虚线为三球各自的平衡位置.根据分配特性，λM相当于接在左弹簧中长为m1L/（m1+λM）的一段（L为左弹簧原长）上，其劲度系数为kA=（m1+λM）k1/m1.同理（1-λ）M相当于接在劲度系数为.kB=[m2+（1-λ）M]k2/m2的弹簧上.欲两系统振动圆频率相同，则需kA/λM=kB/[（1-λ）M]，整理得λ=m1/（m1+m2），过程中已用到图5的结论.最后，ωkAλM=（m1+m2+M）k1/Mm1，而各球的位移就不缁述了.最后我们反观一下，果真可以这样切开吗？注意大球，它在左右两个系统中的位移是一样大的，我们假设为x；则左部的加速度aA=kAx/λM=x×kA/λM；右部加速度为aB=kBx/（1-λ）M=x×kB/[（1-λ）M]，显然我们的λ可使aA=aB，满足分离条件，因此将大球拆分符合实际规律，可以等效替代.3评价其实不动点法不见得能比求导解析快捷，但二者恰好体现了两类顺序：是先建立物理模型，再代数运算；还是先数学运算，再分析模型？二者并无优劣之分，解析法的适用范围更广.质心系的最大意义在于展现简易生动的运动情景，避免学生堕入只有公式和运算的形而上学的怪圈，进而有利于培养学生对自然科学的兴趣和感知能力.。
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧黄 菊 娣（浙江省上虞市上虞中学 312300）弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．一、弹簧振子及解题方法在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ）A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T的整数倍C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等D ．若Δt ＝2T，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2T，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2T，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．图1说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解题例2 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B的质量分别m 和M ，则A 、B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处． （A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x mM ka +-=．对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kxF -=和x mM mkma F f +-==，k mM mK +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x x →，kgm M x )(max +=μ．例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运动．当滑块运动到右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的运动过程相比……………………………………………（ ）A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大D ．新振子的振幅比原振子的振幅小解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小．例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ； ②球做简谐运动的振幅为qE /k ； ③运动过程中，小球的机械能守恒；④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0（设此时弹簧伸长x 0）时，kEqx =0此时球的速度最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝kEq x =0，②正确．由简谐运动的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x 0，又由于电场力做功，所以机械能不守恒，③错．由动能定理k k k E E E W ∆=-=12，电场弹簧W W W +=，故④正确．例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（ ）A ．振子的振幅将增大B ．振子的振幅将减小C ．振子的振幅将不变D ．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A 对．注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．三、竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特征巧妙解题，从而使复杂问题简单化例6 （2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m 的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）A ．物块在B 点时动能最大B ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于gC ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．例7 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ）A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2hB ．球在上升过程中弹性势能不断减小C ．球距地面高度为h 时，速度最大D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m 解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．例8 如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅最大为A 的多少倍？解析：平衡位置处：mg ＝kx 0（x 0为弹簧压缩量）最低点时弹力F ＝1.5mg ＝kx 1，振幅A ＝x 1－x 0＝k mg5.0，由简谐运动的对称性可知，最高点时弹簧压缩量为kmgk mg k mg A x x 5.05.002=-=-=，物体在最高点时弹簧压缩最小，故对弹簧压力最小，所以最小压力为mg kx F 5.02min ==．要使物体在振动过程中不离开弹簧，物体到最高点时对弹簧没有压力，即弹簧为原长处，故最大振幅为A kmgx A 200==-='． 例9 如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上．现使小球做上下振动，已知三角架对水平面的压力最小为零，求：（1）此时小球的瞬时加速度；（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多少？解析：（1）当小球上下振动过程中，三角架对水平面的压力最小为零，则此时上下两根弹簧对三角架的作用力大小为Mg ，方向向上，小球此时受弹簧的弹力大小为Mg ，方向向下，故小球所受合力为)g (M m +，方向向下，小球此时运动到上面最高点即位移大小等于振幅处．根据牛顿第二定律，小球的瞬时加速度的最大值为：mgm M a m )(+=，加速度方向为竖直向下．（2）小球由平衡位置上升至最高点时，上面的弹簧（相当于压缩x ）对小球会产生向下的弹力kx ，下面的弹簧（相当于伸长x ）会对小球产生向下的弹力kx ，两根弹簧对小球的作用力为2kx ，故kMgx 2=，小时平衡位置处，上面弹簧（相当于伸长x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，下面的弹kx 0簧（相当于压缩x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，2kx 0＝mg ，kmgx 20=，故振幅k g m M x x A 2)(0+=+=．在弹簧问题中，综合运用运动学、动力学和能的转化等方面的知识，学生在学习这些问题时，往往会出错，如果能运用其运动规律解题，那许多问题都会迎刃而解．。
弹簧振子模型解题赏析
OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。
基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。
小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。
因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。
若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。
最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。
2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。
高考物理弹簧类问题的几种模型及其处理方法归纳
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。
2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。
同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。
二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。
分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，，其中，、分别是弹簧k1、k2的压缩量。
重点高中物理必修一弹簧问题
精心整理高中物理弹簧模型问题一、物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。
二、模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。
三、弹簧物理问题：1．弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。
2．弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：（1） 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。
而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。
（2） 弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。
（3） 弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。
3．弹簧双振子问题：它的构造是：一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置称为“弹簧双振子”。
本模型它涉及到力和运动、动量和能量等问题。
本问题对过程分析尤为重要。
1．弹簧称水平放置、牵连物体弹簧示数确定【例1】物块1、2放在光滑水平面上用轻弹簧相连，如图1所示。
今对物块1、2分别施以相反的水平力F1、F2，且F1>F2，则：A ．弹簧秤示数不可能为F1B ．若撤去F1，则物体1的加速度一定减小C ．若撤去F2，弹簧称的示数一定增大D ．若撤去F2，弹簧称的示数一定减小即正确答案为A 、D【点评】对于轻弹簧处于加速状态时要运用整体和隔离分析，再用牛顿第二定律列方程推出表达式进行比较讨论得出答案。
若是平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等。
主要看能使弹簧发生形变的力就能分析出弹簧的弹力。
高中物理弹簧问题的解决方法2
中学物理弹簧问题的解决方法引言：物理科学作为自然科学的重要分支,不仅对人类物质文明的进步和人类对自然界认识的深化起到了重要的推动作用,同时物理已渗入到人类生活的各个领域, 在我生存的这个世界上各种物理现象及原理被我们人类所利用着，我们的日常生活中，弹簧形态各异，处处都在为我们服务。
星星色色的弹簧在不同场合下发挥着不同的功能。
弹簧也是中学物理习题的常见构件，正确理解涉及及弹簧一些基本问题，无论从知识、方法还是思维角度讲，都是非常重要的。
由于弹簧弹力是变力中学生往往不能准确的把握有关弹簧类的有关问题，这样导致解题思路不清晰、错误较多等等问题，我们把有关弹簧问题的原理和不同题型来做分析，总结所有有关中学弹簧问题的解题办法。
弹力的本质是：弹力是外力作用下弹性物体形变后所产生的一种恢复力。
弹性体内分子间存在着引力和斥力是产生弹力的原因。
弹性体在无形变的情况下,内部分子间的引力等于斥力,分子在各个方向上受力平衡。
当对弹性体施加压力时,分子间距离变小,斥力较引力增加得快,分子间相互作用表现为斥力,从而抗拒形变。
而且随着分子间距离不断缩小,斥力不断增加,直到跟外力平衡,物体不再被压缩。
反之,物体在拉力的作用下,分子间的距离增大,斥力的减小大大超过了引力的减小,分子间的相互作用表现为引力,从而抗拒形变。
随着分子间距离不断增加,相互作用的引力不断增加,直到跟外力平衡,物体不再被拉伸。
若外力撤消,分子间的斥力或引力可以使物体恢复原状。
所以弹力是保守力,弹力做功等于弹性势能的变化,弹力的特点是它在形变体上所做的功并不转化为内能,而可以转化为势能。
总之,弹力是微观上分子力的宏观表现。
【1】了解弹力的本质后，我们下面看一下几中典型例题的探求解法。
1．关于弹力变化的运动过程解析弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。
一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力的大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关。
二维各向同性谐振子解法
二维各向同性谐振子解法二维各向同性谐振子一维能量本征值问题(我们只讨论束缚态)没有简并,二维各向同性谐振子比一维问题复杂但是比氢原子问题简单,因此可以作为阐述能量定态问题的解法以及能级简并概念(以及其他重要的知识,比如合流超几何函数,简并性与对称性的关系,幺正变换等)的很好的例子.1二维各向同性谐振子二维各向同性谐振子的Hamilton量为H=?12r2+12(x2+y2)其定态问题可以在直角坐标系中分离变量从而化为已知的一维谐振子问题,结果为U n1n2(x;y)=exp ?12(x2+y2) H n1(x)H n2(y);E N=N+1(1)其中N=n1+n2;n1;n2=0;1;2;:::,H n(x)为厄米多项式,这里我们使用未归一化波函数.能级简并度为N+1,波函数的宇称为(?1)N.下面考虑在极坐标系下的解法.坐标变换x= cos ;y= sin (2)其中 >0;06 62 .Hamilton算符H=?12 1 @@ @@ +1 2@2@ 2 +12 2(3)我们寻求定态Schr?digner方程HV( ; )=E V( ; )具有分离变量形式V( ; )=R( ) ( )(4)的解,得出R0+ 2E? 2? 2 R=0; 00+ =0(5) R00+1第二个方程在周期性条件 ( +2 )= ( )下的解为p=0; 1; 2;:::(6) m( )=exp(im );m=当 1时,径向方程的渐近形式R00? 2R 0(7)其渐近解为R( ) exp( 2/2),我们令R( )=exp(? 2/2)w( ),代入到径向方程得到w00+ 1 ?2 w0+ 2E?2?j m j2 2 f=0(8)再令z = 2,替换变量后w 00+ 1z ?1 w 0+14 2E ?2z ?j m j 2z2 w =0其中的微商对新变量z 进行.z =0是指数为 j m j /2的正则奇点1.当j m j =0时,这两个指数相同,两个线性无关的解具有形式w 1(z )=X n =01c n z n;w 2(z )=w 1(z )log z +X n =11d n z n (9)其中c n 和d n 为系数,c 0=/0,w 2(z )在z =0发散,不符合物理要求.当j m j >1时,两指数的差为正整数,两个线性无关解的形式为w 1(z )=z j m j 2X n =01c n z n ;w 2(z )=aw 1(z )log z +z ?j m j 2X n =01d n z n (10)其中c n ;d n ;a 为系数,c 0=/0;d 0=/0,w 2(z )同样不符合物理要求.因此无论j m j 取何值,满足物理要求的解都具有形式w (z )=z j m j 2X n =01c n z n ;c 0=/0(11)记幂级数F (z )=P n =01c n z n ,将上式代入到原方程,可以求得系数的递推式c n +1= +n ( +n )(n +1)c n ;n >0(12)其中 =j m j +1, =(j m j +1?E )/2.如果令c 0=1,得到的幂级数F ( ; ;z )=1+ z +12! ( +1) ( +1)z 2+ (13)称为合流超几何函数2.要满足z !1的物理条件,这个级数必须退化为多项式,否则当 1时F ( ; ;z ) exp (z );R exp ( 2/2),这要求=?n ;n =0;1;2;:::(14)此时F ( ; ;z )为n 次多项式.我们得到波函数和能级V n m ( ; )= j m j exp ? 22 F (?n ;j m j +1; 2)exp (im );E N =N +1(15)其中N =2n +j m j =0;1;2;:::.当N 为偶数时,m =0; 2;:::; N ;当N 为奇数时,m = 1; 3;:::; N :这两种情况的简并度都是N +1.作宇称变换时, ! ; ! + ,因此V n m !(?1)m V n m ,但是N 与m 的奇偶性相同,故波函数的宇称为(?1)N .下面,我们看这些波函数间的关系.基态(N =0)没有简并,因此两种解法得到的波函数相同U 00=exp ?x 2+y 22 ;V 00=exp ? 22 (16)1.二阶线性常微分方程正则奇点附近解的一般结论请参考其他数学笔记.2.合流超几何函数是合流超几何方程zF 00+( ?z )F 0? F =0的一类正则解,详细情况请参考有关特殊函数的书籍.第一激发态(N=1)有二重简并,波函数分别为U10=exp ?x2+y22 2x;U01=exp ?x2+y22 2y(17)以及V01= exp ? 22 exp(i );V0?1= exp ? 22 exp(?i )(18)因为exp( i )=x iy,这两组解通过幺正变换相互联系.第二激发态(N=2)有三重简并U20=exp ?x2+y22 (4x2?2);U11=exp ?x2+y22 4xy;U02=exp ?x2+y22 (4y2?2)(19)以及V10=exp ? 22 (1? 2);V02= 2exp(2i );V0?2= 2exp(?2i )(20)显然V10可以由U20与U02组合得到,而2exp( 2i )= 2(cos i sin )2=x2?y2 i2xy(21)因此V0 2要由U20,U02以及U11组合得到.两组波函数同样以幺正变换相联系.2简并,可分离变量以及对称性我们看到,如果一个能量本征值问题可以在两种或两种以上坐标系下用分离变量法求解,那么能级(除了基态)是简并的,因为对于一个能级,在这两种坐标系下得到的本征函数一般不可能相同,它们之间用幺正变换相联系.二维中心势下,用极坐标可以分离变量,但x轴的取向还可以有不同的选择,这给出了能级对m的二重简并.但是,上面的各向同性谐振子还可以在直角坐标系下分离变量,它比一般中心势具有更大的简并性(能级只取决于2n +j m j).三维中心势在球坐标下可以分离变量,但z轴的取向可以有不同的选择,因此能级简并度为2l+1.氢原子问题则具有更大的简并度(n=n r+l+ 1),这相应于如下事实:此问题也可以在旋转抛物面坐标系下分离变量.因此,能级简并与问题的对称性相关.与坐标轴的取向相关的对称性很容易发现,但与(本质上)不同种类的坐标系相关的对称性则不是显而易见的.前者是一种几何对称性,而后者则是动力学对称性.。
高中物理谐振问题解析与解题思路
高中物理谐振问题解析与解题思路谐振是物理学中一个重要的概念，涉及到许多实际应用，如弹簧振子、摆钟等。
在高中物理中，谐振问题也是一个常见的考点。
本文将通过具体的题目举例，分析解题思路，并给出一些解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用谐振的知识。
一、弹簧振子的谐振频率计算题目：已知一根弹簧的劲度系数为k，质量为m，求它的谐振频率。
解析：首先，我们需要知道弹簧振子的谐振频率公式为f=1/(2π)×√(k/m)。
根据这个公式，我们可以很容易地计算出谐振频率。
例题：一根劲度系数为200 N/m的弹簧上挂着一个质量为0.1 kg的物体，求它的谐振频率。
解题思路：根据谐振频率公式，代入k=200 N/m，m=0.1 kg，计算得到f=1/(2π)×√(200/0.1)≈7.98 Hz。
解题技巧：在解题过程中，我们需要注意单位的转换。
在计算谐振频率时，劲度系数的单位是N/m，质量的单位是kg，结果的单位是Hz。
二、谐振系统中的能量转换题目：一个弹簧振子的总能量为E，当它通过最大位移时，动能和势能各为多少？解析：在弹簧振子中，能量的转换是一个重要的概念。
当振子通过最大位移时，动能和势能的值可以通过总能量的一半来计算。
例题：一个弹簧振子的总能量为10 J，当它通过最大位移时，动能和势能各为多少？解题思路：根据能量转换的原理，动能和势能的值分别为总能量的一半。
所以，动能为5 J，势能也为5 J。
解题技巧：在解题过程中，我们需要注意能量的守恒定律。
在谐振系统中，总能量保持不变，而动能和势能之间存在着转换关系。
三、谐振系统的共振现象题目：当一个弹簧振子和一个外力的频率相等时，会出现什么现象？解析：谐振系统在外力频率和振子的固有频率相等时，会出现共振现象。
共振现象会导致振子的振幅大幅增加，甚至可能引发破坏。
例题：一个弹簧振子的固有频率为10 Hz，当外力的频率为10 Hz时，会出现什么现象？解题思路：根据共振现象的定义，当外力频率和振子的固有频率相等时，会出现共振现象。
探析弹簧双振子的运动规律
难点挑战Җ㊀湖南㊀胡连冬㊀㊀弹簧振子的运动问题涉及运动和力的关系㊁动量能量观念．尤其是 弹簧双振子 运动问题,其运动情况较为复杂,物理情境难以想象,因此 弹簧双振子运动问题往往成为历年中学物理竞赛的题型之一．１㊀弹簧振子的定义如图１所示,把轻弹簧的一端固定,另一端连接小球(或滑块),当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近做往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球(或滑块)组成的系统称为弹簧振子．如图２所示,在轻弹簧的两端各连接一个小球,当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心做简谐振动,这样的系统称为 弹簧双振子模型 ,弹簧振子是一种理想化模型．图１图２２㊀弹簧振子的运动问题２ １㊀弹簧单振子运动规律在如图１所示的弹簧单振子模型中,振子在回复力作用下做简谐振动,振子相对平衡位置的位移和速度可分别表示为x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),其中A 为振子的振幅,振子的频率ω＝k m ,振子的周期T ＝２πmk ,φ０为初相,t 为振动时间,k 为弹簧劲度系数．A 和φ０由初始条件决定．２ ２㊀弹簧双振子运动规律１)弹簧双振子系统质心处于静止状态例１㊀将原长为l ０㊁劲度系数为k 的轻弹簧连接A ㊁B 两振子,A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２．将弹簧压缩为l 后锁定置于光滑水平面上,如图３所示．当弹簧突然解除锁定后,试分析振子A ㊁B 的运动情况．图３压缩的弹簧解除锁定后,系统在水平方向上不受外力,且系统的总动量为零,根据动量守恒定律可知,系统质心C 的速度为零．若弹簧锁定时质心C 到两振子的距离分别为l １和l ２．如图３所示,由系统质心位置分布规律得m １l １＝m ２l ２,l １＋l ２＝l ,则l １＝m ２l m １＋m ２,l ２＝m １lm １＋m ２．当弹簧处于原长时,质心C 到两振子的距离分别为l １０和l ２０．如图４所示,同理可得弹簧处于原长时,两振子离质心C 的距离l １０＝m ２l ０m １＋m ２,l ２０＝m １l ０m １＋m ２．图４把两振子之间的轻弹簧等效为两根原长分别为l １０和l ２０的轻弹簧在质心C 处串联,两根轻弹簧对应的劲度系数分别为k １和k ２．这两根轻弹簧的形变量为x １＝l １０－l １,x ２＝l ２０－l ２．整根弹簧的形变量x ＝x １＋x ２．由胡克定律得F ＝k １x １＝k ２x ２＝k x ,①则１k ＝１k １＋１k ２．②结合质心位置分布规律有m １x １＝m ２x ２．③由式①③得k １m １＝k ２m ２．④由式②④得k １＝m １＋m ２m ２k ,k ２＝m １＋m ２m １k ．⑤㊀㊀弹簧解除锁定后,振子A ㊁B 分别在质心C 两边２４难点挑战轻弹簧的弹力作用下相对质心C 做简谐振动,两振子振动的频率和周期均相同,即ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以水平向右为x 轴正方向,根据弹簧单振子的振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合两振子的初始条件x A ０＝m ２m １＋m ２(l ０－l ),v A ０＝０,x B ０＝－m １m １＋m ２(l ０－l ),v B ０＝０．分别求得两振子振动的位移和速度:x A ＝m ２(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v A ＝－m ２ω(l ０－l )m １＋m ２s i n ωt ,x B ＝－m １(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v B ＝m １ω(l ０－l )m １＋m ２si n ωt ．㊀㊀图５㊀㊀A ㊁B 两振子的速度 时间图象如图５所示(振幅不一定相同,由振子质量决定)．２)弹簧双振子系统质心处于匀速直线运动状态例２㊀如图６所示,振子A ㊁B 和轻弹簧连接静止在光滑水平面上,两振子A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２,C 表示系统的质心位置,现给A 一个水平向右大小为v ０的初速度,试分析A ㊁B 两物块的运动情况．图６A ㊁B 和弹簧组成的系统动量和能量守恒,即m １v ０＝(m １＋m ２)v C ．质心C 做匀速直线运动的速度v C ＝m １v ０m １＋m ２．由例１分析可知A ㊁B 两物块相对质心做简谐振动,振动的频率和周期均不变,其中ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以质心C 为坐标原点O ᶄ,v ０的方向为正方向,建立质心坐标系,如图７所示．在任意时刻t ,A 相对质心C 的速度v A 相＝v ０－v C ＝m ２v ０m １＋m ２,A 在质心坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x A 相＝０．图７由单振子振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合初始条件可以得到物块A 相对质心C 的振动方程为x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωc o s (ωt ＋３π２),v A 相＝－m ２v ０m １＋m ２s i n (ωt ＋３π２)．即x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v A 相＝m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．A 相对质心C 的位置为x ᶄA ＝m ２l ０m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．如果以t ＝０时刻B 物块所在位置为坐标原点,向右为x 正方向建立如图７所示的地面坐标系,则在任意时刻A 的坐标x A ＝x ᶄA ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x A ＝l ０＋m １v ０t m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．⑥A 相对地面坐标系的速度v A ＝m １v ０m １＋m ２＋m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑦㊀㊀在t ＝０时刻,B 物块相对质心C 振动的初始条件为v B 相＝－m １v ０m １＋m ２,x B 相＝０,则B 相对质心C 的振动方程x B 相＝－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v B 相＝－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．同理可得B 物块在任意时刻t 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置x ᶄB ＝－m １l ０m １＋m ２－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,B 相对地面参考系O x 的位置为x B ＝x ᶄB ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x B ＝m １v ０m １＋m ２t －m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,⑧B 物块相对地面参考系的速度v B ＝m １v ０m １＋m ２－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑨３４难点挑战㊀㊀由式⑦⑨可作出A ㊁B 物块在质量m １＝m ２时相对地面的v Ｇt 图象,如图所示．图８３)弹簧双振子系统质心处于匀变速直线运动状态㊀㊀图９例３㊀劲度系数为k 的轻弹簧两端各系质量为m A 和m B 的小球A ㊁B ,A 用细线悬于天花板上,系统处于静止状态．如图９所示,此时弹簧长度为l ,现将细线烧断,并以此时为计时起点,试分析任意时刻两小球的运动情况(系统距地面足够高)．㊀图１０若弹簧的自由长度为l ０,细线烧断前弹簧的伸长量Δl ＝l －l ０＝m Bg k．细线烧断后系统做自由落体运动,即质心C 做自由落体运动,小球A ㊁B 相对质心C 做简谐振动,它们的频率和周期均相同,其中ω＝m A ＋m Bm A m Bk ,T ＝２πm A m B(m A ＋m B )k ,以质心C 为坐标原点,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的质心参考坐标系O ᶄx ᶄ．以烧断细线瞬间为计时起点,在t ＝０时刻小球A 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x ０＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B ＝m ２Bg k (m A ＋m B )．A 相对平衡位置的速度v ０＝０．由弹簧单振子的振动方程可得A 球相对质心的振动方程分别为x A 相＝m ２Bgk (m A ＋m B )c o s (ωt ＋π)＝－m ２Bgk (m A ＋m B )c o s ωt ,v A 相＝－m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n (ωt ＋π)＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀在任意时刻t ,A 球在质心坐标系O ᶄx ᶄ中的位置和速度分别为x ᶄA ＝－m B l ０m A ＋m B －m ２Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄA ＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀以烧断细线时A 所在位置为坐标原点O ,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的地面参考坐标系O x ．则在任意时刻A 在O x 坐标系中的位置和速度分别为x A ＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B －m ２B gk (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２g t ２＝m ２B g k (m A ＋m B )(１－c o s ωt )＋１２g t ２,v A ＝m ２B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．㊀㊀以烧断细线时刻为计时起点,B 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离和速度分别为x ０＝m A l m A ＋m B －m A l ０m A ＋m B ＝m A m B g k (m A ＋m B )．v ０＝０．㊀㊀同理可得B 相对质心的振动方程分别为x B 相＝m A m Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v B 相＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀任意时刻B 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置和速度分别为x ᶄB ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄB ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀因此任意时刻t ,B 相对地面坐标系O x 的位置为x B ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋m B l m A ＋m B ＋１２gt ２．把l ０＝l －Δl 及Δl ＝m Bg k代入得x B ＝l －m A m B g (m A ＋m B )k ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２gt ２．B 相对地面坐标系O x 的速度为v B ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．综上所述,弹簧双振子具有相似的运动规律,双振子的运动是振子相对系统质心的简谐振动和系统质心某种运动的合运动．(作者单位:湖南长沙宁乡市第七高级中学)４４。
专题受力分析之弹簧问题
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先,由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化,加速度不断变化,从而使物体的运动状态和运动过程较复杂.其次,这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有,学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析。
一、弹簧类命题突破要点１.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向,结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态.２．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化,可以先求平均力，再用功的定义进行计算,也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点:弹力做功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式，高考不作定量要求,可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1.如图1所示,劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、ｍ2的物块拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接,下端压在桌面上(不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将ｍ1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中,ｍ2的重力势能增加了_＿__＿_,m1的重力势能增加了__＿__＿＿_。
例2．如上图２所示，A物体重２N，B物体重4Ｎ,中间用弹簧连接,弹力大小为2Ｎ，此时吊A物体的绳的拉力为Ｔ，B对地的压力为F,则Ｔ、Ｆ的数值可能是Ａ．7N，0 B.4N，2N C.1N，６N Ｄ．０,6N平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况.只要学生静力学基础知识扎实,学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。
坐标法解_弹簧双振子模型_
收稿日期:2008-06-18基金项目:贵州师范大学学生科研研究基金重点资助项目(2008.01)作者简介:陈卫国(1973-),男,湖南株洲人,硕士研究生,研究方向:物理课程与教学论。
坐标法解“弹簧双振子模型”陈卫国1,余 雷1,汤 捷2,龙家础3(1.贵州师范大学理学院,贵州贵阳550001;2.株洲县第六中学,湖南株洲412100;3.贵阳市第六中学,贵州贵阳550001) 摘 要:根据理想“弹簧双振子模型”的物理特点,运用矢量与坐标相结合的方法,对“弹簧双振子模型”进行了物理与数学上的推导,得到了确定双振子任意时刻位置的简洁普遍公式。
运用公式对“弹簧双振子模型”的各种情况进行处理,结果正确,这表明“弹簧双振子模型”的运动情况可以由所得公式表示。
关键词:弹簧双振子;物理模型;坐标;矢量中图分类号:O178 文献标识码:A 文章编号:1004-2237(2008)06-0033-06引言矢量既有大小,又有方向[3]。
如果被运算的矢量在同一条直线上,那么,我们就可以用一个带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来[2]。
为此,我们沿矢量所在的直线建立坐标,规定凡是方向跟坐标正方向相同的矢量都取正值,方向相反的矢量都取负值。
根据数值的正负号就可以知道矢量的方向,而矢量的大小等于它们的绝对值。
理想弹簧双振子模型[1]涉及速度、动量[4]、位移、位置等矢量,且这些矢量都在同一直线上。
因此,用坐标法处理弹簧双振子模型能够帮助学生对矢量的概念有初步的认识,更方便地研究和处理一些涉及到矢量运算的物理问题[5]。
图1 弹簧双振子模型图1 弹簧双振子模型分析一个双振子轻弹簧,自由长度l 0,初始时长为l ,二振子的质量分别为m A 、m B ,中间连一个弹性系数为K 的轻弹簧,静止置于光滑水平面上。
现给A 以νA 0的沿弹簧水平瞬间速度,给B 以νB 0的沿弹簧水平瞬间速度,试确定任意时刻A 、B 的位置。
初二物理弹簧类问题解题技巧
初二物理弹簧类问题解题技巧
解决弹簧类问题的关键是理解弹簧的特性和应用弹簧的力学原理。
下面是解决弹簧类问题的一些技巧：
1. 弹簧的胡克定律：了解胡克定律，即弹簧伸长或压缩的力与其伸长或压缩的长度成正比。
公式为 F = kx，其中 F 是作用在弹簧上的力，k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧伸长或压缩的长度。
2. 弹簧的劲度系数：弹簧的劲度系数是衡量其硬度和弹性的指标。
在解题时，需要根据题目给出的信息或通过实验得到的数据来确定弹簧的劲度系数。
3. 弹簧并联和串联：当多个弹簧连接在一起时，可以采用并联和串联的方法进行分析。
对于并联弹簧，它们的劲度系数相加；对于串联弹簧，它们的伸长或压缩长度相等。
4. 力的平衡：解决弹簧类问题时，通常要考虑力的平衡条件。
例如，如果一个物体挂在弹簧上，弹簧的伸长或压缩长度要平衡物体所受的重力。
5. 重力和弹簧力的平衡：在解决一些常见问题时，需要考虑重力和弹簧力的平衡条件。
例如，当一个物体挂在弹簧上并达到静止时，弹簧力和重力大小相等。
6. 弹性势能和机械能守恒：在弹簧类问题中，可以利用弹性势能和机械能守恒原理来解题。
例如，当一个物体从某一高度落下并撞击到一个弹簧时，可以利用机械能守恒来计算弹簧的伸长长度。
7. 注意单位和符号：在解决弹簧类问题时，要注意使用正确的
单位和符号。
确保力的单位与弹簧劲度系数的单位相匹配，并使用统一的正负符号规定。
以上是解决弹簧类问题的一些基本技巧，希望对你有所帮助！。
弹簧振动实验中的周期测量与误差处理
弹簧振动实验中的周期测量与误差处理引言弹簧振动实验是物理学中经典的实验之一，通过测量弹簧的振动周期，可以得到弹簧的劲度系数等有用的物理参数。
然而，在实际操作中，我们会发现周期测量并不是一件容易的事情，并且会受到多种误差的影响，因此在进行实验时需要进行适当的误差处理。
实验方法弹簧振动周期的测量通常使用计时方法，即使用计时器或秒表计算弹簧振动的周期。
首先，将弹簧垂直悬挂，并使其自由落下，然后使用计时器在弹簧经过特定位置时开始计时，直到它再次回到相同位置。
重复多次测量，并求取平均值，即可得到较准确的周期值。
误差来源与处理1. 人为误差：由于人的反应速度限制和误差累积，可能导致计时的不准确。
为了减小这种误差，应该进行多次测量，并求取平均值来减小随机误差。
2. 弹簧摆动振幅变化：由于阻尼效应和摆动强度不均匀，弹簧的振幅会随着时间的推移发生变化。
为了尽量减小这种误差，应该选择摆动强度较小的弹簧，并且可以在实验开始前先进行几次振动来消除初始摆动的影响。
3. 仪器误差：计时器或秒表的精确度会对周期测量结果产生影响。
以及，在读取测量结果时，可能存在视觉判断的误差。
为了控制仪器误差，应该选择具有较高精度的计时器，并在读数时尽量减小判断误差。
4. 温度变化：弹簧的劲度系数会随着温度的变化而变化，这会导致周期的测量误差。
为了尽量消除这种误差，应该在实验室中保持较为稳定的温度，并在进行周期测量前，至少等待10分钟使系统温度达到稳定。
误差处理方法1. 系统误差校正：每个实验室中的测量设备都可能存在一定的系统误差，这些误差应该通过校正来减小。
可以通过使用已知周期的参考物进行调整，或者通过校正系数对测量结果进行修正。
2. 统计处理：通过多次测量，并求取平均值，可以减小随机误差。
此外，还可以使用标准差等统计方法来评估测量结果的精确度和可靠性。
3. 数据分析：通过对实验数据的分析，可以发现和排除一些异常值。
可以使用统计学的离群点检测方法，如格拉布斯准则或3σ准则，来识别和处理异常值。
双弹簧振子
压缩，产生弹力，由受力分析易得弹力阻碍 mB 前进，促进 mA 前进，显然当 vA vB ，两者
之间的间距是最短的，也就是压缩量最大的时候。所以上面的 1.2、1.3 可以改为
0
0
1 2
(m0
mB )v12
1 2
k
2
1 2
(m0
mB
mA )vB2
1.6
0 0 m0v0 (m0 mB mA )vB
x
2 A
(mA
mB
)2
x
2 A
mB2 d
2
FB k cos kB xB kd
(x)2 (x)2 d 2
kB xB kd
(mA
mB
)2
x
2 B
(mA mB )2 xB2 mA2 d 2
(x)2 (x)2 d 2
值随 x 增大而增大（趋向于 1）。由上面两式子通过简单分析易知，两物体
坐标系的建立，它不是仅仅借用正方向列式子，而是利用物体对应的坐标求解，这样做的 有点在于可以依靠坐标系自动调整正负性，同时，也非常好理解。所以，在探究图 1-1 和图 2-1 中两物体是不是在做简谐振动时，可以利用坐标法，这也是本次探究最重要的出发点， 有了这个方法，解决此类问题方便了许多。
探究与证明
mA mB mA
k
3.由上面式子得，两根弹簧作简谐振动的周期分别为：
TA 2
mA 2 kA
mAmB (mA mB )k
， TB
2
mB 2 kB
mAmB (mA mB )k
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双弹簧振子问题的处理
湖北省恩施高中 陈恩谱
如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：
① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A
A m F a =，而
B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：
于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：
选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B
B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：
选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A
B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。
由a 绝对=a 相对+a 牵连，可知A 、B 对地的加速度a A 、a B 随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A 随时间的变化曲线，虚线表示a B 随时间的变化曲线。
若m A <m B ，则图八变为图九所示。
从上述讨论中还可以知道，在t=T /4时，A 、B 的加速度相等，且都等于a ；在t=T /2时，A 、B 都运动到距O 最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。
则从0~T /2这段时间内A 、B 的速度随时间的变化曲线为：
而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2
T a v ⨯
=，a B =2a 等等。
若A 、B 的质量相等，则有：
当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。
*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有
A
B B A m m r r =…………………………① OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：
A
B B A r r k k =…………………………② ① ②联立可得
B
B A A k m k m =…………………………③ 而弹簧振子的周期为k m T π
2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。
陈恩谱
2006.4.1。