双弹簧振子问题的处理

双弹簧振子问题的处理

湖北省恩施高中 陈恩谱

如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：

① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？

② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？

本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A

A m F a =，而

B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：

于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A v B 。得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A

那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。

设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：

选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B

B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：

选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A

B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A

很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。

由a 绝对=a 相对+a 牵连，可知A 、B 对地的加速度a A 、a B 随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A 随时间的变化曲线，虚线表示a B 随时间的变化曲线。

若m A

从上述讨论中还可以知道，在t=T /4时，A 、B 的加速度相等，且都等于a ；在t=T /2时，A 、B 都运动到距O 最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。则从0~T /2这段时间内A 、B 的速度随时间的变化曲线为：

而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2

T a v ⨯

=，a B =2a 等等。

若A 、B 的质量相等，则有：

当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。

*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有

A

B B A m m r r =…………………………① OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：

A

B B A r r k k =…………………………② ① ②联立可得

B

B A A k m k m =…………………………③ 而弹簧振子的周期为k m T π

2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。

陈恩谱

2006.4.1