第十二章稳恒电流的磁场
恒定电流的磁场(一)答案
第八章 恒定电流的磁场（一）一. 选择题: ［ D ］1. 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D)π2∶8参考答案：1012a I B μ=)135cos 45(cos 244202︒-︒⨯⨯=a IB πμ［B ］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B的大小为(A) )(20b a I +πμ． (B) bba a I +πln 20μ． (C) bb a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．参考答案: 建立如图坐标,取任意x 处宽度为dx 的电流元dI ’=Idx/a, bba a I xb a a Idx x b a dI B a +=-+=-+=⎰⎰ln2)(2)(2'0000πμπμπμ ［ D ］3. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅LlBd 等于(A) I 0μ． (B)I 031μ．(C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．参考答案: 设优弧长L 1,电流I 1, 劣弧长L 2,电流I 2 由U bL1c =U bL2c 得 I 1ρL 1/S= I 2ρL 2/SI 1/I 2=1/2 有I 1=I/3, I 2=2I/3 故 320IL d B μ=•⎰［ B ］ 4. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是参考答案: 由环路定理 I L d B 0μ=•⎰当r<a 时, B=0,a<r<b, 222202a b a r r I B --=πμ (将B 对r 求一阶导数,看导数（即斜率）随r 的变化。
稳恒磁场(毕奥萨伐尔定律、安培环路定理等)
物理（下）作业专业班级：姓名：学号：第十二章稳恒磁场（1）一、选择题1、在真空中设置一直角坐标系oxyz ，在其坐标原点处放置一电流元l Id，电流方向沿y轴正向。
则根据毕奥—萨伐尔定律，该电流元在（0，a ，0）点处的磁感应强度的大小为(A ）、024Idla；（B ）、04Idla；（C ）、024Ia；（D ）、0。
[]2、真空中有一载流直导线，如图所示。
则在纸面内P 、M 两点的磁感应强度分别为P B和M B，它们的方向应为：(A ）、P B 垂直纸面向里，M B也垂直纸面向里；（B ）、P B 垂直纸面向里，M B 垂直纸面向外；（C ）、P B 垂直纸面向外，M B 垂直纸面向里；（D ）、P B 垂直纸面向外，M B 也垂直纸面向外。
[]二、填空题1、设在真空中有一半径为R 的圆形载流线圈，共有N 匝，其上通有电流I 。
则在其圆心处的磁感应强度的大小为____________________。
2、如图所示，一无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心Ｏ点的磁感应强度大小等于____________________；其方向为__________________。
3、一正方形线圈ABCD ，每边长度为a ，通有电流为I ，则正方形中心O 处的磁感应强度大小为__；及其方向为__________________。
三、计算题1、（2019暨南大学）两根直导线沿铜环的半径方向在A 、B 两点与铜环连接，铜环粗细均匀，半径为R 。
现向直导线中通入强度为I 的电流，流向如图所示，求铜环中心O 处的磁感应强度.MD2、如图，一根无限长的直导线，通有电流I，中部一段弯成半径为a的圆弧形，求图中P 点磁感应强度的大小。
四、简答题（2016年兰州大学）简述毕奥--萨伐尔定律。
物理（下）作业专业班级：姓名：学号：第十二章稳恒磁场（2）一、选择题1、如图所示，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L 。
《大学物理》习题册题目及答案第12单元稳恒电流的磁场
第12单元 稳恒电流的磁场 第七章 静电场和恒定磁场的性质(三)磁感应强度序号序号 学号学号 姓名姓名 专业、班级专业、班级一 选择题[ C ]1．一磁场的磁感应强度为B ai bj ck =++（T ），则通过一半径为R ，开口向z 正方向的半球壳表面的磁通量的大小是：向的半球壳表面的磁通量的大小是： (A) Wb 2a R p(B) Wb 2b R p (C) Wb 2c R p (D) Wb 2abc R p[ B ]2. ]2. 若要使半径为若要使半径为4×103-m 的裸铜线表面的磁感应强度为7.07.0××105- T T，则铜线中需，则铜线中需要通过的电流为要通过的电流为((μ0=4π×107-T ·m ·A 1-)(A) 0.14A (B) 1.4A (C) 14A (D) 28A[ B ]3. [ B ]3. 一载有电流一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(R=2r)(R=2r)，，两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足： (A) R B =2r B(B) R B =rB (C) 2R B =r B (D) R B R=4r B[ D ]4．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感应强度B 沿图中闭合路径L 的积分l B d ×ò等于等于(A)I 0m(B)I 031m (C) I041m(D)I032m[ D ]5. [ D ]5. 有一由有一由N 匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a ，通有电流I ，置于均匀外磁场外磁场 B 中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩mM(A) 2/32IB Na (B) 4/32IB Na (C) 0260sin 3IB Na (D) 0abcdI L1201I 2I 1R 2R二 填空题1.1.一无限长载流直导线，通有电流一无限长载流直导线，通有电流I ，弯成如图形状，设各线段皆在纸面内，则P 点磁感应强度强度 B B 的大小为aIp m 830。
12.4 安培环路定律
§12.4 安培环路定律
1. 安培环路定理 简单探讨：
大学物理教程
讨论
I
（1）若回路L绕向与I成反右螺旋
B dl B cosdl
L L
B
O
dl
R
0 I cosdl 0 I L 2R
L
结论：L与I成右螺时，I取正，反之为负。
§12.4 安培环路定律
x
o
§12.4 安培环路定律
y
第十二章 恒定磁场
大学物理教程
解：① 利用磁感强度叠加原理分析电场对称性； 与平面等距离 各点磁感强度
大小：相等 方向：±y
dBP
x
z
P
BP
y
BA
A
o
o
§12.4 安培环路定律
I 0 大小： B 2π R 磁场 方向：与I成右螺旋
大学物理教程
I
B
取线元 dl ，则环流为：
0 I cos0dl B dl B cosdl
L L
O
dl
R
L
L
2R
d l 0 I 2π R
l
0 I
闭合路径所 包围的电流
第十二章 恒定磁场
（ r R）
B
0 I
2πr
§12.4 安培环路定律
第十二章
恒定磁场
L
（方法二：安培环路积分法） 适用性：磁场具有对称性 步骤为：
① 利用磁感强度叠加原理分析磁场对称性； ② 根据对称性选择合适的路径，计算路径
包围的电流代数和；
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
第十二章 稳恒磁场
若电场和磁场同时存在，则电荷受力为：
6
F q E qv B
上式称为洛伦兹力。
三、磁感应线 磁感应线：磁感应线上任 一点的切线方向和该点的 磁场方向一致。磁感应线 是闭合曲线，环流方向和 电流构成右手螺旋关系。 磁场强处，磁感应线密。
普通物理教案
磁感应线 电流
7
普通物理教案
28
§12-3 磁场的高斯定律 安培环路定律
一、磁通量
普通物理教案
磁通量：通过一给定面积的总磁感应线数，用 表示： 如图dS的法线与磁感 应强度方向间的夹角 为θ，则通过dS的磁 通量为：
29
普通物理教案
d B cos dS
或 d B d S
B d S
通过有限曲面S的磁通量为：
19
普通物理教案
整个螺线管在P点产生的磁感应强度为：
B
dB
0
2
nI
2
1
sin d
0
2
nI (cos 2 cos 1 )
讨论两种特殊情况： ①L>>R，此时β1π, β20 ,于是有：
B 0nI
②长直螺线管上的两端点， β1=π/2， β20 或 β2=π/2， β10 ,则：
20
普通物理教案
B
1 2
B
0nI
μ0nI
1/2μ0nI
-l/2 o x l/2
直螺线管轴线上的磁场分布
21
普通物理教案
亥姆霍兹(Helmholtz1838-1894)线圈。
设两线圈半径R， 间距也为R，各有 N匝，电流为I ，两 线圈沿轴线上各点 的磁场方向均向右 。在圆心O1、O2处 磁感应强度相等， 大小为：
《大学物理》习题册题目及答案第12单元 稳恒电流的磁场
第12单元 稳恒电流的磁场第七章 静电场和恒定磁场的性质(三)磁感应强度序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ C ]1．一磁场的磁感应强度为B ai bj ck =++（T ），则通过一半径为R ，开口向z 正方向的半球壳表面的磁通量的大小是： (A) Wb 2a R π(B) Wb 2b R π (C) Wb 2c R π(D) Wb 2abc R π[ B ]2. 若要使半径为4×103-m 的裸铜线表面的磁感应强度为7.0×105- T ，则铜线中需要通过的电流为(μ0=4π×107-T ·m ·A1-)(A) 0.14A (B) 1.4A (C) 14A (D) 28A[ B ]3. 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(R=2r)，两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足： (A) R B =2r B(B) R B =rB (C) 2R B =r B (D) R B R=4r B[ D ]4．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感应强度B沿图中闭合路径L 的积分l B d ⋅⎰等于(A)I 0μ(B)I 031μ (C) I 041μ(D)I 032μ[ D ]5. 有一由N 匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a ，通有电流I ，置于均匀外磁场 B 中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩mM(A) 2/32IB Na (B) 4/32IB Na (C) 0260sin 3IB Na (D) 0二 填空题1.一无限长载流直导线，通有电流I ，弯成如图形状，设各线段皆在纸面内，则P 点磁感应强度 B 的大小为aIπμ830。
3.半径为0.5cm 的无限长直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着I=3A 的电流，作一个半径r=5cm 、长l=5cm 且与电流同轴的圆柱形闭合曲面S ，则该曲面上的磁感应强度 B 沿曲面的⎰=⋅Sd s B _______0_________________________。
稳恒电流的磁场(上)只是分享
稳恒磁场中用运动试探电荷在磁场中的受力研究 磁场。
2020/6/27
12
（1）对运动试验电荷的要求：
①要求此运动电荷产生的磁场应该充分小，小到 它不能影响我们所研究的原来的磁场。
②此电荷的线度应该充分小，小到某一时刻所处 的位置就是一个几何点，故应该要求它还是一个 点电荷。
2020/6/27
22
（4）毕奥－萨伐尔定律的物理意义
表明一切磁现象的根源是电流（运动电荷）产生 的磁场。反映了载流导线上任一电流元在空间任 一点处产生磁感应强度在大小和方向上的关系。 由此定律原则上可以解决任何载流导体在起周围 空间产生的磁场分布。
2020/6/27
13
（2）实验结果：
运动电荷在磁场中受到力的作用，受力大小与 下列因素有关：
①运动速度的大小
②磁场 B
③
V
和B的取向有关
Fm B
q
v
2020/6/27
14
实验发现带电粒子在磁场 中沿某一特定直线方向运 动时不受力，此直线方向 与电荷无关。
q不受力时的运动方向(或 反方向)，即为该点B的 方向，其具体指向可由q
dB4π0IRdl2 si n450
毕奥－萨伐尔定律
2020/6/27
21
（2）一段电流源 的磁感应强度
B LdB ＝ L4 u0 Id rl2rˆ
(3)库仑定律与毕奥－萨伐尔定律的异同
①两个定律在各自的领域地位相当，在形式上都是平 方反比律；
②适用对象不同，一个是电性质，一个是磁性质。
③库仑定律可以直接由试验验证，而B-S law 只能间 接验证。
2020/6/27
稳恒电流的磁场
将线圈置于磁场中，当磁场发生变化时，线圈中产生感应电流，并 受到磁场的作用力而发生旋转，实现电磁驱动。
霍尔效应实验
将导体置于磁场中，当电流通过导体时，在导体两侧产生电势差， 这种现象称为霍尔效应，可用于测量磁场强度。
电磁感应现象实验
法拉第实验
通过在导线线圈中切割磁感线，发现导线中产生 感应电流，即电磁感应现象。
稳恒电流的磁场
https://
REPORTING
• 磁场和电流的关系 • 稳恒电流产生的磁场 • 磁场对稳恒电流的作用 • 稳恒电流的磁场应用 • 实验与观察
目录
PART 01
磁场和电流的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
安培环路定律
安培环路定律是描述磁场和电流之间关系的物理定律，它指出磁场和电流之间的 关系是线性的，即磁场是由电流产生的，并且电流的存在会导致周围空间中磁场 的形成。
电流在磁场中的受力分析
02
根据左手定则，可以判断电流在磁场中受到的力的方向。
电磁感应
03
当导线在磁场中做切割磁感线运动时，导线中会产生感应电动
势，从而产生感应电流。
PART 03
磁场对稳恒电流的作用
REPORTING
WENKU DESIGN
洛伦兹力
定义
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中 所受到的力，其大小与带电粒子 的电荷量、速度和磁感应强度有
磁场对电流的作用力
磁场对电流的作用力是指电流在磁场中受到的力，这个力的 大小和方向取决于电流和磁场的相互位置和方向。
磁场对电流的作用力遵循安培定律，其数学表达式为： F=IBLsinθ，其中F表示作用力，I表示电流，B表示磁场强度，L 表示导线长度，θ表示电流和磁场方向的夹角。
第十二章 稳恒磁场
第十二章稳恒磁场本章研究磁场的产生，磁场的基本规律，磁场与介质的相互作用。
磁感应强度是描述磁场的基本物理量。
“高斯定理”和安培环路定理是反映磁场性质的基本规律。
磁场对运动电荷的作用力——洛仑兹力——和磁场对载电流导线的作用——安培力和力矩，在许多领域均得到广泛应用。
在磁场作用下，磁介质发生磁化，磁化了的磁介质又会反过来影响磁场的分布。
我们还将讨论磁场和介质的这种相互作用规律并特别介绍有很大实用价值的铁磁质的特性。
§12－1磁场磁感应强度一、基本磁现象我国是世界上最早认识磁性和应用磁性的国家，早在战国时期（公元前300年），就已发现磁石吸铁的现象。
11世纪（北宋）时，我国科学家沈括创制了航海用的指南针，并发现了地磁偏角，地球的N极在地理南极附近百极在地理北极附近。
中国古代四大发明引为现代人的骄傲。
天然磁铁和人造磁铁都称永磁铁。
永磁铁不存在单一的磁极。
磁铁的两个磁极，不可能分割成为独立存在的N极和S极。
但我们知道，有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极和电荷的基本区别。
这与磁产生的机理有关。
历史上很长一段时期，人们对磁现象和电现象的研究都是彼此独立进行的。
1820年丹麦物理学家奥斯特实验发现，放在通有电流的导线周围的磁针，会受到力的作用而发生偏转，如图图4－14－1所示，其转动方向与导线中电流的方向有关。
这就是历史上著名的奥斯特实验，它第一次指出了磁现象与电现象之间的联系。
同年法国科学家安培发现，放在磁铁附近的载流导线及载流线圈，也会受到力的作用而发生运动，如图4－2，其后实验还发现，载流导线之间或载流线圈之间也有相互作用力。
（a）（b）图4－2例如把两个线圈面对面挂在一起，当两电流的流向相同时，两线圈相互吸引，如图4－3（a），当两电流的流向相反时，两线圈相互排斥，如图4－3（b）。
（a ） （b ）图4－3电子射线束在磁场中路径发生偏转的实验，进一步说明了通过磁场区域时运动电荷要受到力的作用，如图4－4所示。
大学物理下稳恒电流的磁场
r
0
dB
I
P
*r
Idl
真空磁导率 叠加原理
0 4π 10 7 N A2
B
dB
0I
dl
r 0
4 r2
dB
0 4π
Idl
r2
r 0
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+
7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2
B
0 2
R
dr
0
0R 2
定向运动的带电体的等效电流：
I ——单位时间内通过某个截面的电量
I' q q ( 2)
T 2
T
圆心的磁感应强度：
B0
0I' 2R
0 4R
q
q、T
方向 垂直纸面向外
带电体的磁矩：
Pm
I'S
qR 2 2
1 qR 2 2
解：圆电流的磁场 dI 2rdr rdr 2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
例1 载流长直导线的磁场.
解: dB方向均沿 z 轴的负方向
y
dB
0 4
Idy sin r2
D
2
r a sec
y a tg
dy r
I y oa
0
P*
0I cosd sin cos
4a
dy a sec2
dB
12稳恒磁场1(毕萨定律、高斯定理、环路定理)
B
I
可按比例理解，也可用积分得到
积分过程：
dB
0 4
Idl R2
B 0 Idl 0 I R 0I
l 4 R2 4 R2
4R
例：右图中O点的磁感强度
I
B 0I (cos0o cos60o ) 4 3 R
2
R 60o
O
0I (cos120o cos180o ) 0I 1
4 3 R
r表 r示为电单流位元矢I量dl，指则向此场电点流P的元矢在径P点，产
生的磁感强度dB 由下式决定：
dB
0 4
Idl er
r2
0 4
Idl r
r3
Idl
其中，0 4 10 7 N A2
r
dB
叫做真空磁导率 P
3．载流导线在P点的磁感强度
B
0 Idl er 4 r 2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
解：取面元 dS如图，设面元到直导线的距离为 x
通过面元的磁通量为：
d
B
dS
B dS
0I
ldx
2x
I
矩形面积的磁通量为：
l
d2 0Il dx 0Il ln d2
d1 2x
2 d1
d1 d2
三、磁场的高斯定理
由磁感线的性质，磁感线是闭合曲线，
从一个闭合曲面的某处穿进的磁感线一定
会从另一处穿出，因此有：通过任意闭合
I S I N
I
S
N
二、磁通量S —穿过磁B场中任一曲面的磁感S线的 条n数
B
m BS
S
dS
n
B
m B • S BS cos
第十二章 磁场
第十二章 大学物理辅导 磁场～64～ 第十二章磁场一、教材的安排与教学目的 1、教材安排本章的教材安排，按讲授顺序可归纳为以下五个方面： （1）磁感应强度，磁通量、磁场的高斯定理； （2）洛仑兹力；（3）安培定律与磁场对载流线圈的作用；（4）毕奥—沙伐尔定律与平行载流导线间的作用； （5）安培环路定律。
2、教学目的本章的主要教学目的是：（1）使学生正确理解并掌握安培定律； （2）使学生正确理解并掌握毕—沙定律； （3）使学生确切理解并掌握安培环路定律。
二、教学要求1、正确理解磁感应强度 B 的概念，明确B 是描述磁场性质的基本物理量；2、要明确理解磁场的高斯定理所表达的物理意义—磁场是无源场；3、正确理解并掌握洛仑兹力公式；4、正确理解并掌握安培定律，明确它和毕—沙定律一起构成研究磁场问题的基础，明确安培力是洛仑兹力的宏观表现。
5、正确理解并掌握毕—沙定律，明确它对所有的电流（包括稳恒和非稳恒的）都成立。
6、正确理解并掌握安培环路定律，它表明磁感应线是闭合的或者说明稳恒磁场是涡旋场，它与静电场不同。
三、内容提要1、磁感应强度定义大小方向：小磁针极所指方向意义：表达了磁场力的性质，为磁场本身的属性。
为一矢量：：。
B F qv N =⎡⎣⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢max2、磁场的高斯定理公式意义：表明磁场是无源场，或磁感应闭合成环。
说明：它对稳恒和非稳恒磁场均成立：。
φm B dS =⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎰3、洛仑兹力定义运动电荷在磁场中运动所受的力公式：。
说明：洛仑兹力对运动电荷不作功，而只改变速度的方向：。
f qv B =⨯⎡⎣⎢⎢⎢第十二章 大学物理辅导 磁场～65～4、安培定律定义电流元在外磁场中所受的磁场作用力公式：。
说明：安培力是洛仑兹力的宏观表现：。
dF Idl BF Idl B =⨯=⨯⎰⎡⎣⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ 5、载流线圈在匀强磁场中受到的力矩（1）线圈的磁矩P NIS m =，S 为平面线框的面积。
12.1磁场 磁感强度§12.2毕奥-萨伐尔定律
第十二章恒定磁场§12.1 磁场磁感强度《大学物理》校级精品课程教学团队稳恒磁场: 磁感应强度不随时间变化的磁场.人类最早发现磁现象是从天然磁石（F吸引铁制物体的现象开始的.我国是发现天然磁铁最早的国家.公元前250年前韩非子“有度”篇中有“司南”的记基本磁现象1、磁铁的磁性2、电流的磁效应1820年,丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应.同年，安培发现载流线框、螺线管或载流导线的行为像一块磁铁。
3.电流、磁铁的本源一致：安培分子环流假说:物体中的每一个分子都存在回路电流，称为分子电流，如果这些分子电流做定向排列，在宏观上会显现磁性。
地磁场Ø地球是一个大磁铁，目前它的N极位于地理南极一磁场运动电荷磁场vF=v+2.带电粒子在磁场中他方向运动时v v于与特定直线所组vv qFB max=-1-1-1-1 1T1N C m s1N A m =×××=××+B第十二章恒定磁场§12.2 毕奥-萨伐尔定律《大学物理》校级精品课程教学团队一、毕奥-萨伐尔定律：电流元的磁场(类比点电荷的静电场)r1.电流元矢量Idl0B d =m r 毕奥---萨伐尔定律的矢量式：二、毕奥---萨伐尔定律的应用1. 直电流的磁场(P已知：真空中I012(cos cos )4IB am q q p =-u 无限长载流直导线的磁场讨论aI B p m 20=半无限长载流直导线有限端的磁场aI B p m 40=04πI B am =’o=P B 0'=P B u 无限长载流直导线的磁场aI B p m 20=o2. 圆电流的磁场ê建立坐标系oxy ê任取电流元lId r2322202)x R (IR B +=m 方向：右手螺旋法则大小：B(1)圆心处:RI B 20m ==x RI R I B p q m p q m 42200=×=讨论nm IS e =u u r uu r nm NIS e =u u r uu r 讨论ne uu r载流圆弧,圆心处的设在半径为R的载流圆弧上通以电流为例1:一无限长载流直导线被弯成如图所示的形状，试计算O解：点O 的磁感强度是图中的4根载流导线在该点产生的磁感强度的矢量和，即12B B B =+v v v例2：求图中圆心O点的I3. 载流直螺线管内轴线上的磁场长直螺线管长为x变量代换：Q=x R bcot0(cos nI B m b =讨论nIB 0m =nIB 021m =练习:四条皆垂直于纸面的载流细长直导线，每条中的电流强度皆为I ，这四条导线被纸面截得的断面，如图所示。
大学物理习题解答12~15章
第十二章 恒定磁场 (Steady Magnetic Field)一、选择题12.1 均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) B r 22π． (B)B r 2π．(C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］12.2 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B)π2∶ 1(C)π2∶4 (D)π2∶8 ［ D ］12.3 如题图12.1，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅LlB d 等于(A) I 0μ． (B)I 031μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． ［ D ］II a bcdL120°题图12.1I 1I 212.4 如题图12.2，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直。
大平板的电流与线框中电流方向如图所示。
则在同一侧且对着大平板看，通电线框的运动情况是：(A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动．(C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［ B ］12.5 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A 1 = 2 A 2，通有电流I 1 = 2 I 2，它们所受的最大磁力矩之比M 1 / M 2等于 (A) 1． (B) 2．(C) 4． (D) 1/4． ［ C ］12.6 如题图12.3所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 (A)RIπ20μ； (B)RI40μ； (C)RIπ20μ ；(D))11(20π-R Iμ； (E) )11(40π+R I μ。
大学物理第12章
L
0
( L围)
1
I3
L
说明： 关于电流符号的规定： 当电流流向与回路 L 的绕向 成右手螺旋法则时，I > 0 ； 否则，I < 0 。
“L 所围”指闭合的恒定电 流与 L 的相套合。
( L围)
I 2I
I1 0 , I 2 0
1
I2
定理是 Boit-Savert 定律的推论，但证明过程比较复杂。 一般可以借助无限长直线电流产生的磁场，对定理加 以说明。 积分式中的 B 在路径 L 取值，它是所有电流（无论是否 被 L 所围）共同产生的场，只是积分的结果仅与被 L 所 围电流有关。 定理只适用于真空中恒定电流产生的磁场。
第十二章
磁场和它的源
运动电荷相互作用是靠磁场传递的，这意味着两方面含义：
运动电荷激发磁场；磁场对运动电荷作用——磁力。 恒定电流是运动电荷的最典型的例子。本章主要就是讨论恒
定电流所激发的磁场——恒定磁场的规律，并进一步讨论这种
磁场的性质。 对磁场性质的研究，运用的是研究静电场的方法，即研究： 场对闭合面的通量 B dS
磁感应线的特点： 1. 无头无尾的闭合曲线。 2. 任何两条磁感应线不相交； 3. 磁感应线的环绕方向与电流方向服从右手螺旋定则。
右手螺旋定则：（1）大拇指—电流方向，四指弯曲方向—磁感应线的 环绕方向；（2）四指弯曲方向—圆环电流方向，大拇指—圆环轴线上磁感 应线的方向。
4. 磁通量
磁通量：d m B dS m B dS
第十二章 磁场和它的源
Magnetic Field
本章主要内容
§12-1 磁力与电荷的运动
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第十二章 稳恒磁场§12-1、电流的磁场【基本内容】一、毕奥—萨伐尔定律设有通电导线L ，在L 上以电流元l Id ，l Id 到场点P 的矢径为r，如图6.1，则l Id 在场点所产生的B d为：大小：dB三、常见载流体的磁场分布1、载流直导线的磁场分布θπμsin 0IB =对长为L 的圆弧：0022B B R L B θ==3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场nI B 0μ=【典型例题】利用磁场叠加原理求磁场毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。
磁场叠加原理：⎰∑==B d B B B ii ,步骤：1、取电流元l Id 并求l Id 产生的B d，2、由磁场叠原理求B ：（1） 若各B d的方向相同，则直接积分⎰=dB B ； （2） 若各B d 的方向不相同，则正交分解后积分j B i B B dB B dB B y x y y x x+=⇒==⎰⎰,【例12-1】 闭合载流导线弯成如图例6-1所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应强度。
【解】直线和圆弧线在O =CD AB B B R I B B FA DE ⋅==μ240方向：垂直纸面向外。
R I B EF ⋅⨯=πμ4sin 2420方向：垂直纸面向外。
RR IBBCO422100μ⨯=⋂方向：垂直纸面向里。
B方向：各B d方向不同。
iRI B d RI B dBcoc dB RId R I B dB dB y y x x 0020200200cos 2sin 2sin μθθπμθπμθθπμθππ-===⇒-=-=-=⇒-=⎰⎰【例12-３】 一内半径为a ，外半径为b 的均匀带电圆环，绕过环心O 且与环平面垂直的轴线以角速度ω6-3大小：dr r dI dB σωμμ00212==方向：垂直纸面向外。
环心O 处的磁感应强度)(2)(2121000b a Q a b dr B ba +=-==⎰πωμσωμσωμ 方向：垂直纸面向外。
【分类习题】【12-1】 载有相等电流I 的四长直载流线均垂直于纸面，电流方向如图6-1。
如其断面分布于边长为a 的为b ，求P 处磁场。
【12-5】 一半径为cm R 0.1=的无限长圆柱形导体薄片，沿轴向均匀流有电流A I 10=，如图6-5，求轴线上一点P 的磁场。
并讨论当载流薄片为1/2圆周，其他条件不变时，P 处的磁场为多少？【12-6】 真空中，边长为l 、电阻均匀分布的正三角形导体框架，电流由长直导线经a 点流入，由cb 边的延长线流出，如图6-6，求三角形中心O 处的磁场。
【12-8】 将相同的几根导线焊成立方体，如图6-8。
在其对顶角接上电流，求立方体框架上的电流在其中心O 处的磁场。
【12-9】 载有电流I 的圆线圈，随着半径R 的增大，（1）圆心处的磁场将 。
（2）轴线上各点的磁场将 （填增大、减少、不变）。
【12-10】 半径为R 的塑料圆盘，其中半径为r 的部分均匀带面密度为σ的负电荷，其余部分带相同面密度的正电荷，如图6-10。
当圆盘以角速度ω绕其心在纸平面内转动时，中心处的磁场为0，求R 与r 的关系。
【12-11】 一闭合回路由半径为a 和b 的同心共面半圆连接而成，如图6-11，其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路以角速度ω绕中心O 在纸平面内转动时，求O 处的磁场。
【12-12】 一载流为I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r )2(r R =的长直圆筒上，则两螺线管中的【习题答案】【12-1】0【12-2】R ih πμ20【12-3】 ),1cos 1(40-+θμtg a I 以垂直于纸面向外为正【12-4】 ,ln 20bb a a I +μ以垂直于纸面向里为正【12-5】 T T 441027.1,1080.1--⨯⨯【12-6】 )1(430-lIμ，垂直于纸面向里【12-7】RIμ40，以垂直于纸面向外为正【12-8】【12-9】减小。
,2/2R x <时，减小；2/2R x >时，增大【12-10】2/R r =【12-11】abln 2200ωλμωλμ+【12-12】【12-13】i 0μ，向右【12-14】T 31014.3-⨯§12-2、磁场定理【基本内容】一、磁场的高斯定律1、磁感应线磁感应线上每一点的切线方向表示该处磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度表示磁感应强度的大小；磁感应线是无头无尾的闭合曲线。
2、磁通量：垂直通过某一面积元dS 的磁感应线的根数。
dS B S d B d m θφcos =⋅=通过有限面积S 的磁通量则为：dS B S d B SSm ⎰⎰⎰⎰=⋅=θφcos3、磁场的高斯定理通过任意闭合曲面的磁通量为零：0=⋅⎰⎰SS d B意义：稳恒磁场是无源场，自然界中没有磁单极存在。
二、安培环路定理1、定理的内容：在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于通过该闭合环路所包围的的所有电流强度I 的代数和的μ0倍。
∑⎰=⋅内I l d B l0μ⎰⋅ll d B：磁感应强度沿任意闭合回路的积分（环流）。
∑内I：闭合回路所包围的电流的代数和。
I 的正负：由所取回路的方向按右手定则确定。
2、定理的意义稳恒磁场是一非保守场，是有旋场。
【典型例题】用安培环路定理可求解某些磁场的B，这些磁场分布有对称性，即激发磁场的电流分布，要有一定的对称性。
例如（1）无限长均匀载流圆柱体，无限长均匀载流圆柱面和无限长载流直线产生的磁场B在垂直于圆柱轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r 的圆周上各点的B的大小相等，方向沿该点的切线。
若安培环路取这样的圆周，且通过需求B 的点，则可用安培环路定理方便地求出该点的B。
（2）载流长直螺线管，除去边缘效应管内是匀强磁场，方向沿螺线管的轴线，由于磁场分布的对称性，可方便地用安培环路定理求出这种情况中的B。
（3）螺绕环，螺绕环内的磁力线是以环心为圆心的同心圆，这种情况也可用安培环路定理求出B。
步骤：（1）选取积分回路l ，（2）求B 沿l 的环流⎰⋅ll d B，（3）求l 所包围电流强度的代数和，（4）由∑⎰=⋅内I l d B l0μ 求B。
【例12-4】如例6-4图所示，在半径为R 长直圆柱形导体内，开一个半径为r 圆柱形空洞，空洞的轴线与导体的轴线平行，相距为d ，在导体中沿轴线方向通有均匀分布的电流，其电流密度为j 。
（1） 求O 、/O 处的磁感强度； （2） 证明空腔内磁场均匀。
【解】 将此导体等效地看作一个半径为R ，电流均匀分布的大圆柱体，与另一个半径为r 、电流密度（1）O B B O =10B 和20B由安培环路定理求得d I B B 2,0202010πμ==故djr B 2200μ=，方向：垂直于/OO 轴向上。
/O 轴上一点的磁感应强度为/20/10/B B B O +=/10B 和/20B 分别为大圆柱和小圆柱在/O 轴上一点产生的磁感应强度。
/10B 22202010jdd j d d I μππμπμ=⋅==0/20=B故/10/0B B =20jdμ=，方向：垂直于/OO 轴向上。
（2） 设空腔内任一点P 距O 为1r ，距/O 为2r ，明显d r r=-21。
大圆柱和小圆柱在P 点的磁场大小为1B 22102110jr r j r μππμ=⋅=，2B 22202220jrr j r μππμ=⋅=方向垂直于1r 和2r ，可得1B 102r j ⨯=μ，2B 20)(2r j⨯-=μ P 点的合磁感强度为21B B B +=102r j ⨯=μ+20)(2r j⨯-μ =⇒B d j r r j ⨯=-⨯2)(20210μμ大小=B jd 2μ，方向垂直于/OO 轴向上。
【讨论】这种设想用用反向电流填充空腔的方法称为补偿法，它使不对称的系统变成两个对称系统的组合，便于利用已知的结果。
【例12-5】 一根半径为R 的长直圆柱形导体载有电流I ，导体内电流均匀分布。
如图例6-5所示。
在设矩形平面S 的一边与轴线相距x ，则通过S 的磁通量为R R x IL x R R IL Ldr r I Ldr R Ir BdSS d B R x R Rx ++-=⋅+⋅==⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln2)(42202220020πμπμμπμ舍去）或()15(21)15(210012202122020R x R x R Rx x R x IL RILx dx d +-=-=⇒=-+⇒=+⋅+-⇒=Φμπμ 故当R x )15(21-=时，磁通量有最大值。
【讨论】根据磁场的特征，随着x 的增加，磁通量逐渐增加，当x 达到某一值时，磁通量开始减少，直至为0。
因此，本题求极大值时，不必求二阶导数。
【分类习题】【12-15】 均匀磁场B 与半径为r 的圆形平面法向n夹角为α，今以圆周为边界作一半球面S ，S 与圆形平面构成如图6-15的封闭图形，求通过S 的磁通。
【12-16】 载流为I 的长直导线，平行于高为L 、半径为R 的圆柱面的轴/OO ，如图6-16。
则通过此圆柱侧面的磁通为 。
【12-17】 有一无限长圆柱形导体和一无限长圆筒形导体，都沿轴向通有均匀分布的电流I ，它们的磁导率为0μ，半径均为R ，今取长为l 、宽为R 2的矩形平面ABCD 和////D C B A ，AD 及//D A 正好在决定的。
【12-19】 在磁场空间分别取两个闭合回路，如两回路各自包围的导线根数不同，但电流的代数和相同，则磁场沿闭合回路的线积分 ，两个回路磁场分布 （填相同、不同）。
【12-20】 两长直导线通有电流I ，图6-20三环路c b a ,,的线积分⎰⋅l d B分别为 、和 。
【12-21】 电荷均匀分布在半径为R 的球面上，如图6-21，若球面绕z 轴以匀角速0ω旋转，求磁场沿z 轴由∞-到∞+的线积分。
提示：视积分线为闭合回路。
【12-22】 在半径R 为的长直导体圆柱体内，挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体的轴平行，轴间距为a ，如图6-22。
今在此柱体上沿轴向通以电流I ，且电流在截面上均匀分布。
求空心轴线上一点/O 的【12-24】 半径为R 的导体圆柱体，沿轴向流有电流I ，截面上电流均匀分布。
求柱体内外磁场分布。
【习题答案】【12-15】 -απcos 2B r【12-16】 0【12-17】2ln 2),2/12(ln 200μμIlIl +【12-18】穿过环路电流的代数和；环路上的磁场，环路内外电流共同【12-19】 相同，不同【12-20】I 0μ,0,I 02μ【12-21】 πωμ200q 【12-22】)(2220r R Ia-πμ【12-23】dI 20μ【12-24】rIR Ir πμπμ2,2020 §12-3、磁场对运动电荷和电流的作用【基本内容】一、磁场对载流导线的作用1、安培定律B l Id F d⨯=⎰⨯=LB l Id F大小：21米，1I 02、匀强磁场中的载流线圈磁矩为m P 的线圈在均匀磁场中：（1）0=合F ，无平动加速度；（2）B P M m ⨯=，若0≠M ，则产生转动。