安徽大学历年高等数学期末试卷

安徽大学《高等数学A(一)》
2011--2012学年第一学期
一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)
1. 若+∞
→x lim （12+-x x -（ax+b ）= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ . 2. 设函数y = y(x) 由方程 52arctan 2=+-=e ty y t
x t 所确定，y = y(x) 关于x 的一
阶导数为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.
3.若f(x)= ,
0,1sin x x a 00=≠x x 在x=0处右导数存在，
则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.
5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.
二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)
1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞
→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ). A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.
B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界
C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.
D. 若{n
x 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 2. 设f(x)= ∞→n lim
1
sin )1(2+-nx x n ,则( ). A.f(0)不存在. B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.
C.f(0)存在, 且x=0为无穷间断点.
D.f(x)在x=0处连续. 3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).
A. 0.
B. 1.
C. 2 D . 3.
4. 设f '(x) 存在且连续，则[⎰)(x df ]'= ( ).
A. f '(x).
B. f '(x)+
C. C. f(x).
D. f(x)+C.
5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ).
A.
dt t f x ⎰02)(. B.dt t f t f t x
⎰-+0))()((. C. dt t f x ⎰02)(. D.dt t f t f t x
⎰--0))()((
三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)
1. ∞→n lim n
n n n 22cos sin +
2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+x
x f )()x 1. 3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =2
1(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n 4. 0lim →x 21x ⎰x
t
t sin 02arctan dt . 5.⎰
+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0) 6.⎰-11
2x x dx . (x>0)
7. 设x
x sin 是f(x) 的一个原函数, 求⎰103)('dx x f x . 8. 求曲线Γ: y = dt t x
⎰0sin (x ∈[0, π]) 的长 .
四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)
1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.
2. 讨论广义积分⎰∞
++01n m x
x dx (n ≥0)的敛散性。

五、证明题(本题共2小题, 每小题5分, 共10分)
1. 设f(x) 在[a, b]上可积, 证明ξ∈[a, b], 使得
⎰b dx x f ξ)(=⎰b
dx x f ξ)( .
2. 设f(x) ,g(x) 在[a, b] 上连续, 在(a,b) 内可导, 且f(a)=f(b)=0, 证明: 存在ξ∈(a,b), 使得f '(ξ)+f(ξ)g '(ξ)=0
安徽大学2010~2011高等数学A(一)考试试卷
一、填空题(2×5=10分) 1. =--+→11
sin 1lim 20x x e x x ___0.5____.
2. 对数螺线⎩⎨⎧==θ
θθθsin cos e y e x 在点),0(2πe 处法线方程为y-e 2/ε_=θθθθcos sin cos sin +-x__ 3. =++⎰-dx x x x 1
12311cos ___2/π____ 注（先分析再算，奇偶函数对称区间上的积分） 4. 若)(x f 为偶函数, 且)0(f '存在, 则)0(f '=___0__
5. 曲线)1,0(,3223
∈=x x y 的弧长为_3
2*3223/2-____ 二、单项选择题(2×5=10分) 6. 设,00,,
0sin )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f 则下列命题正确的是( C ). 注（令f0=1即可） A.0=x 是)(x f 的连续点 B.)(Z k k x ∈=π都是)(x f 可去间断点
C.0=x 是)(x f 的可去间断点
D.)(Z k k x ∈=π都是)(x f 无穷间断点
7. 设方程013423=--+x x x ,则( D ).
A. 在(0,1)内没有实根
B. 在(-1,0)内没有实根
C. 在(-∞,0)内有两个不同实根
D. 在(0,+∞)内有两个不同实根
8. 下列命题正确的是( B ).
A ．若0)(0='x f ，则0x 必为)(x f 的极值点 B. 若0x 为极值点，则必有0)(0='x f
C.)(x f 在),(b a 的最大值必大于),(b a 内的最小值
D. 以上说法都不对
9. 设)(x f 的导函数是x sin .则)(x f 的一个原函数是( D ).
A. 1sin +x
B. x x sin -
C. 1cos +x
D. x cos 1-
10. 设⎰-=x
x f dt x t f x F 0)(,)()(连续, 则)(x F '为( C ).
A. )(x f -
B. )(x f --
C. )0(f
D. )0(f -
三、计算题(7×2+8×5=54分) 11. ))(1)2(1)1(1(lim 222n n n n n ++⋅⋅⋅⋅++++∞→ =提取n 21
可得到∞→n lim ∑+n n i
n 122111相当与x x d 22121⎰
带入求得=ln4
12. 2csc 0)(cos lim x x x →
=e 21
-
13. 已知x y e y x arctan 22=+,求22dx
y d . 注（取对数，然后再利用洛必达化简即可） 14. ⎰++222x x dx
=ln(x+1+
)1(12++x ) 注（直接化简） 15.
⎰+40
2sin 1πx dx
16. 已知0)1(,0==++
'y e x y y x ,求)(x y 17. ⎰+∞-1
1x x dx
四、综合分析题(8×2=16分)
18. 已知⎰=-+=x y dt t y t dx
dy 0,1)0(,)]([1求此方程所确定的函数)(x y . 19. 已知直线1,0,==+=x x b ax y 及y=0所围成的面积是A. 问这个图形绕x 轴旋转而成旋转体体积最小时,a,b 应为多少？(0,≥b a )
五、证明题(6+4=10分)
20. 设)(x f 在[0,1] 上连续，（0,1）内可导，且满足⎰=1
32
)(3)0(dx x f f ，
证明：（0,1）区间内0)(='x f 有根。

21. 设)(x f 在[0,1]二阶可导,),1()0(f f = 且,2)(≤''x f 证明: .1)(≤'x f。