安徽大学历年高等数学期末试卷

安徽大学《高等数学A(一)》

2011--2012学年第一学期

一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)

1. 若+∞

→x lim （12+-x x -（ax+b ）= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ . 2. 设函数y = y(x) 由方程 52arctan 2=+-=e ty y t

x t 所确定，y = y(x) 关于x 的一

阶导数为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.

3.若f(x)= ,

0,1sin x x a 00=≠x x 在x=0处右导数存在，

则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.

5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.

二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)

1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞

→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ). A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.

B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界

C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.

D. 若{n

x 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 2. 设f(x)= ∞→n lim

1

sin )1(2+-nx x n ,则( ). A.f(0)不存在. B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.

C.f(0)存在, 且x=0为无穷间断点.

D.f(x)在x=0处连续. 3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).

A. 0.

B. 1.

C. 2 D . 3.

4. 设f '(x) 存在且连续，则[⎰)(x df ]'= ( ).

A. f '(x).

B. f '(x)+

C. C. f(x).

D. f(x)+C.

5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ).

A.

dt t f x ⎰02)(. B.dt t f t f t x

⎰-+0))()((. C. dt t f x ⎰02)(. D.dt t f t f t x

⎰--0))()((

三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)

1. ∞→n lim n

n n n 22cos sin +

2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+x

x f )()x 1. 3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =2

1(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n 4. 0lim →x 21x ⎰x

t

t sin 02arctan dt . 5.⎰

+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0) 6.⎰-11

2x x dx . (x>0)

7. 设x

x sin 是f(x) 的一个原函数, 求⎰103)('dx x f x . 8. 求曲线Γ: y = dt t x

⎰0sin (x ∈[0, π]) 的长 .

四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)

1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.

2. 讨论广义积分⎰∞

++01n m x

x dx (n ≥0)的敛散性。

五、证明题(本题共2小题, 每小题5分, 共10分)

1. 设f(x) 在[a, b]上可积, 证明ξ∈[a, b], 使得

⎰b dx x f ξ)(=⎰b

dx x f ξ)( .

2. 设f(x) ,g(x) 在[a, b] 上连续, 在(a,b) 内可导, 且f(a)=f(b)=0, 证明: 存在ξ∈(a,b), 使得f '(ξ)+f(ξ)g '(ξ)=0

安徽大学2010~2011高等数学A(一)考试试卷

一、填空题(2×5=10分) 1. =--+→11

sin 1lim 20x x e x x ___0.5____.

2. 对数螺线⎩⎨⎧==θ

θθθsin cos e y e x 在点),0(2πe 处法线方程为y-e 2/ε_=θθθθcos sin cos sin +-x__ 3. =++⎰-dx x x x 1

12311cos ___2/π____ 注（先分析再算，奇偶函数对称区间上的积分） 4. 若)(x f 为偶函数, 且)0(f '存在, 则)0(f '=___0__

5. 曲线)1,0(,3223

∈=x x y 的弧长为_3

2*3223/2-____ 二、单项选择题(2×5=10分) 6. 设,00,,

0sin )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f 则下列命题正确的是( C ). 注（令f0=1即可） A.0=x 是)(x f 的连续点 B.)(Z k k x ∈=π都是)(x f 可去间断点

C.0=x 是)(x f 的可去间断点

D.)(Z k k x ∈=π都是)(x f 无穷间断点

7. 设方程013423=--+x x x ,则( D ).

A. 在(0,1)内没有实根

B. 在(-1,0)内没有实根

C. 在(-∞,0)内有两个不同实根

D. 在(0,+∞)内有两个不同实根

8. 下列命题正确的是( B ).

A ．若0)(0='x f ，则0x 必为)(x f 的极值点 B. 若0x 为极值点，则必有0)(0='x f

C.)(x f 在),(b a 的最大值必大于),(b a 内的最小值

D. 以上说法都不对

9. 设)(x f 的导函数是x sin .则)(x f 的一个原函数是( D ).

A. 1sin +x

B. x x sin -

C. 1cos +x

D. x cos 1-

10. 设⎰-=x

x f dt x t f x F 0)(,)()(连续, 则)(x F '为( C ).

A. )(x f -

B. )(x f --

C. )0(f

D. )0(f -