_角平分线的性质和判定(包含答案)
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角平分线的性质和判定
(1)以的顶点为圆
心,任意长为半径画弧,分别交
、于点、;
(2)分别以点、为圆心,
大于长为半径画弧,相交
于点;
(3)连接点和并延长,则
射线就是的角平分线
若DP=EP,则点P在∠AOB的角
平分线上
一.考点:角平分线的尺规作图,角平分线的性质和判定
二.重难点:角平分线的性质和判定
三.易错点:
1.角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错.
题模一:尺规作图
例1.1.1如图,已知M、N分别是AOB
∠的边OA上任意两点.
(1)尺规作图:作AOB
∠的平分线OC;
(2)在AOB
∠的平分线OC上求作一点P,使PM PN
+的值最小.(保留作图痕迹,不写画法)
例1.1.2作图题:(简要写出作法,保留作图痕迹)
如图,已知点M,N和∠AOB,求作一点P,使P到点M,N的距离相等,且到∠AOB的两边的距离相等.
题模二:性质
例1.2.1如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,
则点P到BC的距离是()
A.8
B.6
C.4
D.2
例1.2.2如图,在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9,则BP+CQ-AR=________.
例 1.2.3 如图,已知ABC ∆的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且3OD =,求ABC ∆的面积.
题模三:判定
例1.3.1 如图,在四边形ABCD 中,AB ⊥CB 于点B ,DC ⊥BC 于点C ,DE 平分∠ADC ,且点E 为BC 的中点,连接AE .
(1)求证:AE 平分∠BAD ; (2)求∠AED 的度数.
例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆,连结CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠.
随练1.1 尺规作图(保留作图痕迹,写出结论,不写作法)
如图,两条公路EA 和FB 相交于点O ,在AOB ∠的内部有工厂C 和D ,现要修建一个货站P ,使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等,且到两工厂C 、D 的距离相等,用尺规作出货站P 的位置.
F
A
B
C
D
E
O
O
E
D
C
B
A
随练1.2如图,△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;
②分别以点E、F为圆心,大于1
2
EF长为半径画弧,两弧相交于点G;
③作射线AG交BC边于点D.
则∠ADC的度数为()
A.65°
B.60°
C.55°
D.45°
随练1.3如图,已知ABC
∆的周长是20,OB和OC分别平分ABC
∠和ACB
∠,OD BC
⊥于点D,且3
OD=,则ABC
∆的面积是()
A.20
B.25
C.30
D.35
随练 1.4如图,AB CD
∥,BP和CP分别平分ABC
∠和DCB
∠,AD过点P,且与AB垂直.若8
AD=,则点P到BC的距离是()
A.8
B.6
C.4
D.2
随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是()
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
随练1.6如图所示,在△ABC中,BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线,求证:点P在∠A的平分线上.
拓展1如图,已知△ABC中,点D在边AC上,且BC=CD
(1)用尺规作出∠ACB的平分线CP(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)中,设CP与AB相交于点E,连接DE,求证:BE=DE.
拓展2如图,直线l1,l2,l3表示三条相交叉的公路.现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地点有()
A.四处
B.三处
C.两处
D.一处
拓展3在ABC
∆中,AB AC
=,70
ABC
∠=︒
(1)用直尺和圆规作ABC
∠的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,BDC
∠=________.
P
C
B
A
拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
拓展5 如图,已知在ABC ∆中,CD 是AB 边上的高线,BE 平分ABC ∠,交CD 于点E ,6BC =,2DE =,则BCE ∆的面积等于________.
拓展6 如图,ABC ∆的三边AB ,BC ,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形,则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于( )
A.1:1:1
B.1:2:3
C.2:3:4
D.3:4:5
拓展7 如图,已知:BD 是ABC ∠的平分线,DE BC ⊥于E ,236ABC S cm ∆=;,12AB cm =,18BC cm =,则DE 的长为________cm .
拓展8 如图,ABC △中,AD 平分BAC ∠,DG BC ⊥且平分BC ,DE AB ⊥于E ,DF AC ⊥交AF 的延长线于F .
(1)说明BE CF =的理由;(2)如果AB a =,AC b =,求AE BE 、的长.