七级数学相交线知识点及习题

课题

5.1 相交线

教学目标

1.能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角的性质，并能依据概念及性质进行简单的计算；

2.了解垂线、点到直线的距离的定义，理解垂线和垂线段的性质；会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离；

3.理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们，培养抽象概括问题的能力.

教学内容

知识回顾

1.什么是余角？什么是补角？

新课知识

知识点1：邻补角的概念及判别

1.如图，∠1和∠2有一条公共边OC ，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补

角.

邻补角必须满足：（1）相邻，两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线；（2）互补，这两个角的和为180°.

注：（1）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角. （2）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角. 规律小结

判断两个角是否为邻补角，关键是看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外一边互为反向延长线.

例1.下列关于邻补角的说法正确的是（）

A.只是和为180°的两个角

B.有公共顶点且互补的两个角

C.有一条公共边且相等的两个角

D.有公共顶点且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角

定义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。性质

邻补角互补

几何语言

∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，

∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°，

例2.如图所示，直线a 、b 相交于点O ，若∠1

等于40°，则∠2等于（） A.50° B.60° C.140° D. 160°

知识点2：对顶角的概念及性质

2.如图，∠1和∠3有一个公共顶点，并且 ∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

掌握对顶角的概念应抓住其本质特征：（1）两个角有公共顶点；

（2）两个角的边互为反向延长线，两个角无公共边. 注：（1）只有两条直线相交才产生对顶角；

（2）对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角. 规律小结

（1）判断两个角是否是对顶角，要看两个角是否是两条直线相交所得到的；（2）对顶角是成对的，两条直线相交所构成的四个角中，共有两对对顶角.

例3．如图所示，AB ，CD ，EF 交于点O ，则图中共有对顶角对.

例4.如图所示，直线AB 、CD 相交于点Ｏ，OE 平分∠AO Ｃ，∠ＢＯＣ－∠ＢＯＤ＝20°，求∠ＢＯＥ的度数．

定义

两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 性质

对顶角相等几何语言

∠1=∠3，∠2=∠4

知识点3：垂线的概念与画法

1.当两条直线相交所成的四个角中，有一个是时，就说这两条直线互相，其中的一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做 .

画法：“一重”：把直角三角板的一条直角边与已知直线重合；

“二移”：沿着已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；

“三画”：沿着另一条直角边画经过已知点的直线.

延伸拓展

1.垂直的理解

（1）垂直是相交的一种特殊情形；

（2）垂直是一种相互关系，即a⊥b，同时b⊥a;

（3）如遇到线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线、射线与直线相互垂直，是指它们所在的直线互相垂直.

2.垂直定义的应用格式

（1）如果直线AB，CD相交于点O，∠AOC=90°，那么AB⊥CD.

这个推理过程可以写成：因为∠AOC=90°（已知）。所以AB⊥CD（垂直的定义）.

（2）如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.

这个推理过程可以写成：因为AB⊥CD（已知），所以∠AOC=90°（垂直的定义）.

例5.如图所示，三条直线相交于点O，若CO⊥AB于O，∠1=56°，则∠2等于（）

A.30°

B.34°

C.45°

D.56°

知识点4：垂线的性质

性质：①在同一平面内，过一点一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短，简单说成：垂线段最短.

规律小结、

（1）在同一平面内，画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条.

（2）直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段却有无数条.

注：垂线是直线，垂线段是线段.

例6.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（）

A.大于3cm

B.小于5cm

C.大于3cm或小于5cm

D.大于3cm且小于5cm

随堂巩固

8.已知：如图，AO BO ⊥∠=∠，12。求证：CO DO ⊥。

证明：ΘAO BO ⊥（

）

∴∠=?AOB 90（

）

∴∠+∠=?1390 Θ∠=∠12（）

∴∠+∠=?2390

∴⊥CO DO （

）

9．已知：如图，COD 是直线，∠=∠13。求证：A 、O 、B 三点在同一条直线上。证明：ΘCOD 是一条直线（

） ∴∠+∠=12___________（

）

Θ∠=∠13（

）

∴__________+∠=3__________ ∴_______________（

）

B C D

2 3 1

O A

1 2 O 3