济南大学线代试卷

济南大学2013～2014学年第二学期课程考试试卷（A 卷）

课 程 线 性 代 数 考试时间 2014 年 6 月30日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

一、选择题（每小题3分，共15分）

1、若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式12311223|,,,|,|,,,|,m n αααβααβα==则4阶行列式

12312|,,,+|αααββ=[ ].

(A ) m+n ； (B ) –(m+n )； (C ) m –n ； (D ) n –m .

2、n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是[ ].

(A ) 12,,,s ααα 中的任意部分组都线性无关；

(B ) 齐次线性方程组Ax =0仅有零解，其中系数矩阵12(,,,)s ααα= A ；

(C ) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得11222,;s k k k ααα+++≠ 0

(D ) 12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示.

3、若A 是m ×n 矩阵，则下列结论正确的是[ ].

（A ）若Ax =0仅有零解，则=Ax b 有唯一解； （B ）若Ax =0有非零解，则=Ax b 有无穷解；

（C ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0仅有零解； （D ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0有非零解.

4、若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，且AB =E ，则下列结论正确的是[ ].

（A ）矩阵A 可逆； （B ）R (A )=m ； （C ）R (A )=n ； （D ）R (A )≤min(m , n ).

5、已知4阶实对称矩阵A 的秩为3，且满足A 2+3A=O ，则A 的全部特征值为[ ]

(A ) -3,-3,-3,0； (B ) -3,-3,0,0； (C ) 3,3,3,0； (D ) 3,3,0,0.

二、填空题（每小题3分，共21分）

1、方程2

124

13901x x =的全部根为 .

2、10101131024⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .

3、已知100301101101101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

X ，则X = . 4、设5421,,3234⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

B C 且BAC =E ，则A -1= . 5、向量(0,1,2)T β=在基123(1,2,1),(0,1,1),(1,1,1)T T T ααα===下的坐标为 .

6、已知矩阵A =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---53342111a 的特征值为6, 2, λ,则a , λ的值分别是 . 7、设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且其秩为n -1，x 是n 维列向量，则齐次线性方程组Ax =0的通解

为 .

三、计算题（每小题10分，共30分）

1、计算行列式1111

11111111

1111x x x x

++++. 2、已知向量组1234(1,3,0,1),(1,2,1,2),(1,1,2,),(1,3,2,)T T T T a a b αααα====-的秩为2，求a , b 的值，并求

该向量组的一个最大无关组.

3、已知矩阵126032022⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

A ，计算*1*2()[()]-+-A E A E A . 四、（满分10分）设1234,,,,ααααβ为4维列向量，123,,ααα线性无关. 4123ααα=-,1234βαααα=+++

令()1234αααα=Α，求非齐次线性方程组β=Ax 的通解.

五、（满分12分）试求一正交变换，将二次型31232221321422),(x x x x x x x x f +-+=，化为标准二次型，并写出

该标准二次型.

六、证明题（每小题6分，共12分）

1、证明向量组1234=(1,0,1,2,0),(1,2,1,0,0),(5,6,3,4,1),(2,4,0,4,1)T T T T -=-=-=-αααα线性相关.

2、设4阶矩阵A 满足A 2+A =O ，且A 的秩为3，A +E 的秩为1，证明A 与对角矩阵相似，并写出其相似对角阵.