济南大学线代试卷
济大线代大作业答案
济南大学
线性代数大作业
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x 2y z 9 0 x 2y 9 0 也即 有无穷多解， 3 x By z D 0 有无穷多解， 3x By D 0 z0
又
1 0 k 3 R 1 1 0 R ( 1 , 2 , 3 ) 3 ， 0 1 1
1 0 k ∴ 1 1 0 k 1 0 0 1 1
即
k 1 。
5．解 1：过 L 的平面束方程为
( x 2 y z 9) (3x By z D) 0
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第 4 页 共 18
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4．解： AP PB
A PBP
1
0 1 0 2 0 0 6 1 1
A 2 PBP 1 PBP 1 PB 2 P 1 ， 同理 A5 PB5 P 1
又 B B ，故
有条件知行列式可被 16 整除.
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第二章 矩阵及其运算
一、是非题 二、填空题
1. √ 2. × 3. × 4. × 5. √ 4. a 0
1. 4 ； 2
3. a11a 22 a nn 0
2.
1 0 0 0
B
0 0 1 0
1 0 2. 解：D r2 r1 (1), r3 r1 (1), r4 r1 (1) 0 0 1 0 r3 r2 (2), r4 r2 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 2 3 =1 1 3 3 10 1 1 2 3 1 1 2 3 5 9 9 19
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
线性代数期末考试题-1
12. _______________________________________________ 设A ，B 均为3阶方阵,且A =-, B = 2，贝U 2B TA ，= .3. 向量组s 12线性无关，且向量组：1，- 2，' 3可由1 2线性表示，则向量组3. 设n 元齐次线性方程组Ax =0的系数矩阵的秩为r ，则方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是 [](A) r=n ；(B) r_n;(C) r n ；(D) r ：： n .4. 向量组〉1宀厂〉m ,m — 2,线性无关的充分必要条件是[ ](A)都不是零向量；(B)任意两个向量的分量不成比例；0 0 17. 设矩阵A = a 1 b 有3个线性无关的特征向量,则a,b 应满足的条件 .'1 0 0 一8. 二次型 f (x 「x 2,x 3)二 2咅2 • x ； - 3x f-6x^3•4x 2x 3的矩阵是 ____________________ .三、(本题满分10分)计算4阶行列式a 0(C) 至少有一个向量不可由其余向量线性表示;济南大学2009〜2010学年第二学期课程考试试卷( A 卷)课 程 线性代数考试时间2010 年7月5日 授课教师 考试班级 ___________________________ 学 号 ____________________________________ 姓 名 ____________________________________ 题号 ——一 二 三 四 五 六 七 总分 得分5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有(A) ACB=E ;(B) BCA =E ;(C) BAC=E ;(D) CBA =E .6. 齐次线性方程组捲• X 2• X n = 0的基础解系所含解向量的个数为(A)n_1;碣；(C)呼；(D)字.2 2 2得分阅卷人、填空题 1 1 1(每空3分，共24分)1.行列式a b cb 21•若a 11a i2a 21 a 22a i2=6，贝Ua 222a 11 2a 21-20 0的值为(A) -12; (B)12; (C) 18;(D) 0.2. A , B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵(AB )*二(A) A * B *; (B) B 」A ‘ ; (C) B * A *; (D) AB A 」B =-1，- 2，- 3 线性 __________ 关•4. 非齐次线性方程组Ax 二b 有解的充分必要条件是 _________________ . ___________5. 向量组：1 =11,0,1,1 T , ： 2 二(2,1,-3,7)T , ： 3 二(3,1,0,3)T , ：(4,1,3,-1)T 的一个最大线性无关组为 _____________ . __________6. 设 n 阶矩阵 A 满足 3A 2 2A-10E = 0，则(A- 2E )'= _________________ . _______得分阅卷人得分阅卷人a a 0 a 0 a 0 a a aa a、选择题(每小题3分，共18 分)(D)每一个向量均不可由其余向量线性表示五、（本题满分14分）四、（本题满分12分）0、广-P1 ,B= 20 ，求矩阵 —」<5-3」广0 1 设 AX + B = X ，其中 A 二-1 1 1—1 0X .六、（本题满分14分）2 0 41设矩阵A = 0 6 0，求正交矩阵P ,使P - AP 为对角阵.4 0 2一| X [ X 2 ax 3 二 - 2 试求a 为何值时,线性方程组*捲+ ax 2 +x 3= -2ax r + x 2 + x 3= a _ 3有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解七、证明 （本题满分8分）n 维向量二;1,:-2，:- n 线性无关的充分必要条件是T.Ct .11 T 2«1Ttt 1a 2T «2«2Tot . a 1 n T «2«n-0.其中打是' 的转置,1,2n.。
线代模拟试题答案2
4 0 1 0 0 1
4 1 0 9 0 1 2 1 …………10 分 1 2 1 2
四、 （满分 10 分）
1 1 1 1 解： 2 1 4 1
2 1 3 9
2 1 1 1 0 1 4 ( 1) 2 2 1 3 0 4 1 9 0
1
………………………15 分
七、 （本题满分 8 分）证：设存在实数 k1, k2, …, ks 使得 ………………………4 分 k1 1 k 2 2 k s s 0 即 k1 1+ k22+…+ ks s+t(k1+ k2+…+ks) s+1 =0 …………………5 分 因为1，2，…, s, s+1 线性无关，所以 k1=k2=…=ks=0 ………………………7 分 故向量组 1 , 2 , , s 线性无关. ………………………8 分
1 p3 1 3
………数与空间解析几何模拟试题[2]答案及评分标准
2 0 1 P= ( p1 , p 2 , p3 ) 1 0 1 0 1 3
………………………………………14 分
1 P AP 1 2
1 0 9 所以 X A 0 1 2 1 2 0
1
( x1 , x 2 , x3 ) T k (8,6,1) T ( 15,8,0) T , k R
…………………12 分
六、 （满分 15 分）
解： 由| A- E|= ( 1) 2 ( 2) 得矩阵 A 的特征值为 1, 2 1, 3 2 当=1 时，解方程组(A-E)x=0 得=1 对应的特征向量为 …………6 分
济南大学线性代数A答案
第一章 行列式一、填空题1. -2 2. 5！，+ 3. 15，3 4. 1+222c b a ++ 5.2)1(-n n 6.0 二、选择题 A B B C C D C 三、1. 解：=5D 5544332211-00011-00011-00011-0001a a a a a a a a a ----- + 11-000011-00011-00011-00014433221a a a a a a a ---- 543212143541-001-00001-00001-0000,,,a a a a a r r r r r r -----+++ +4D 4543215)1(D a a a a a +-=34321454321)1(D a a a a a a a a a +-+-==…=1121321432154321+-+-+-a a a a a a a a a a a a a a a2. 解：D)1(14),1(13),1(12-⨯+-⨯+-⨯+r r r r r r 19930952032101111=10300310032101111=13.解：1111111111114321-----+---+++xx x x x x x c c c c D4000100101001x x x x x==四、1.解：xn x xx n x x ----=----)2(0010********)1(1111211111111110])2[()1(=----=x n x x所以)2(,,2,1,0-=n x 是原方程的所有根.2. aaa a a a a D 2121212222=aa a a a a 21212301222=na n aa a )1(01340123012+=n a n nan a a a )1()1(34232+=+⋅⋅= 五、 解：42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361由条件知行列式可被16整除.第二章 矩阵及其运算一、填空题(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---24236312175; (2)31,9；(3)BA AB =；(4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-11002100005200211A （5）-1 二、选择题 CB B DCD A C B B 三、计算题1.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.2. 解：（1）易求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P, 由PB AP =, 得1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001 （2）52523A A E A +-=)(ϕ=P ϕ(B )P -1= P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-)1(000)0(000)1(ϕϕϕ P -1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4734036006.3.解：(1) 因为E BA ABA +=**2，所以E BA E A =-*)(2，两边取行列式得:12=⋅⋅-||||||*A B E A , 又1|2|=-E A , 9||||2*==A A , ∴91||=B (2) 由E BA E A =-*)2()(*E A A B21-=⇒-)(E A A A 21-=-163--=A E .而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-10003231031321A ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=--3000120216311A E B .4.解：设AY X = ,BY Z =, 所以Z AB X 1-=.又⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-021121410214101B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-0231021012111AB , 所以从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==++-=213223211232121z z x z x z z z x五、证明题1．证明： E A AA =*, *=A A T , ∴E A AA T=若0=A ,则O AA T=时，把A 按行分块，记A 的第i 行为),2,1(n i A i =,0=∴Ti i A A ,),2,1(n i =0=⇒i A ),2,1(n i =O A =⇒这与非零矩阵矛盾！ ∴0≠A , 即A 可逆.2. 证明: =2A ξξξξξξξξξξT T T T E E E +-=--2))((,T T E ξξξξ)(--=2 (ξξT -2是一个数) T T E ξξξξ)(--=2.∴A A =2T TTE E ξξξξξξ-=--⇔)(2T T T ξξξξξξ=-⇔)(2O T T =-⇔ξξξξ)(1因为ξ是n 个变量的非零列向量, O T≠ξξ, ∴01=-ξξT即 A A =2的充要条件是1=ξξT.3. (1)证明： ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆，且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明：,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =，与条件O A ≠矛盾，所以A E -3不可逆.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题 (1)E ))((k ij -;(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000100001; (3)0=a ; (4)2-=a ; (5)0;(6)t = -3 二、选择题 C A C D C B A D D D三、计算题 1.解：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==00000000007474721071371373177391111833312111151行变换b A B∴()(),42<==B A R R 有无穷多解. 同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++74747271371373432431x x x x x x故原方程组的通解：R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321,,00747131074713017273.2.解：秩为2 （详略）3.解：因为A B AB =-，B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边都右乘1-B 得：E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1，11)(---=∴B E A而1-B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2000031000120021，利用初等变换可以求得 =∴A 11000021*********-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=100210410002100210. 4．解： ∵|A |=2121122112+++λλλλλ=02010211232λλλλ--+=λλ22-， ∴ (1) 当|A |≠0，即2,0≠≠λλ时，方程组有唯一解.(2) 0=λ时，[A |b ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200001000211221101000211行变换， ∵R (A )=2≠3=R (B )，∴方程组无解.（3） 当2=λ时， [A |b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00002181102182101000041802251225105222251行变换行变换 ∵R (A )=2=R (B )，∴方程组有无穷多解,通解为:R k k x xx x ∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,181821021214321.5.四、证明题 1．证明： A A =2 O A E A O A A =-⇒=-∴)(2R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n . （1） 又 0=R [A (A -E )]≥R (A )+ R (A -E )-n ，即R (A )+ R (A -E )≤n （2） 由（1），（2）式知 R (A )+ R (A -E )= n2. 证明： 当 AB=O ，有n R R ≤+)()(B A .(1) 若A 、B 均为非零矩阵, 则0<R (A )≤n ,0<R (B )≤n ，结合 n R R ≤+)()(B A 可知： R (A )<n , R (B )<n .(2) 若A 、B 均为非零方阵,由(1)的结果即可知|A |=0，|B |=0.第四章 向量组的线性相关性一、填空题3)()1(<∴=A r b Ax 存在两个不同的解， 10,0==∴=λλ或A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==100010101011100110100100a a A ，当λ1,3)()(-=∴<=a A r A r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==100011001111111110000111a a A ，当λ1),()(≠∴≠∴λA r A r 1,0-==∴a λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→=0000101020010000101010110)2(A ，当λ)(,012100R k k X ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴通解：(1) 8- ;(2) 2≠; (3) 2;(4)T)43,21,41(--; (5) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132 二、选择题 D C A D A B C B C A三、计算题1.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000221031216254533111113121r . 所以向量组秩为2 ， 它的一个最大无关组为21,a a (不唯一).1． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+++11001101),,(),,(321133221k a a a ka a a a a a 由于321,,a a a 和133221,,ka a a a a a +++都线性无关，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001101k 可逆，即011001101≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k . 而 k k +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111001101，所以1≠k . 3．解：对方程组的系数矩阵作初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010001010010011111000011110011rA . 同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=0453521x x x x x x ； 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0152x x 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，则得基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000111ξ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=101012ξ. 4、解：因为三维向量321,,ααα不能用321,,βββ线性表示，所以321,,βββ线性相关031421311=∴a得5=a令),,,,,(321321βββααα=A 则对A 实行初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2011001024010512001所以;2105;;4232132123211αααβααβαααβ-+=+=-+=四、证明题1 证明： 因为3)()(==B R A R 所以321,,a a a 线性无关，4321,,,a a a a 线性相关，且4a 可以由321,,a a a 唯一线性表示,即3322114a a a a λλλ++=. 如果存在数4321,,,k k k k 使得54343324221411454332211)()()()(0a k a k k a k k a k k a a k a k a k a k +-+-+-=-+++=λλλ由于4)(=C R ,所以5321,,,a a a a 线性无关,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-00004433422411k k k k k k k λλλ 得唯一解04321====k k k k ,所以45321,,,a a a a a -线性无关,秩为4.第五章 相似矩阵及二次型一、填空题 (1) -2； 1，-1/2；1，-2；-2，1；4，1. (2) 2；1,1,-1(3) 0 ;(4) -1； 5 ; (5) 略； 4;(6) -1<t <1 二、选择题 ADBDC C DBAD三、计算题1．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡232323-4λx ，解得2,1=-=λx .(2) 由|A-λE |=01234=----λλ,得矩阵A 有两个不同的特征值2,1,所以A 与对角矩阵Λ相似.解方程组(A -E )x =0,得A 对应于1的特征向量为(1,1)T,又由(1)知:相似变换矩阵P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213，对角矩阵Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002.2. 解：解：由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A 得⎩⎨⎧==112trA A 解之得2,1==b a解0=-E A λ得3,2321-===λλλ解0)2(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,10221ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010,5105221p p 解0)3(=+x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=520513p令()321,,p p p P =所求正交变换为Py x =标准形为232221322y y y f -+=3. 解：因为A 有三个线性无关的特征向量, λ=2是A 的二重特征值,所以对应于λ=2的线性无关的特征向量有两个,故R (A -2 E )=1,而A -2 E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000201113332111y x x y x 行初等变换所以2,2-==y x .解A 的特征方程： |A -λE |=λλλλλλλ------=------23324201-153324211-10)6()2(2=--=λλ得A 的特征值为:6,232,1==λλ.对于λ=2,解线性方程组(A -2E )x =0,得A 对应于2的两个线性无关的特征向量为:(1,-1,0)T , (1,0,1)T.对于λ=6,解线性方程组(A -6E )x =0,得A 对应于6的特征向量为:(1,-2,3)T . 所求可逆矩阵为: P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--310201111, 则P -1 A P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600020002. 4.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0010001000102102121021100000001011100011A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100000001,011100011)2(1AP P P 则构造意得：的一个特征值。
14年线性代数与空间解析几何A考试试题试题
济南大学2014～2015学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线性代数与空间解析几何 考试时间 2015 年1月12日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共14分）1、123123123++=+x x x .2、若向量组α1=(1,1,1)T , α2=(1, n , 0)T , α3=(1,2,3)T 线性无关，那么n 应满足 .3、已知11102321⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X ,则X = . 4、设n 元非齐次线性方程组Ax =b 有解，其中A 为(n +1)×n 矩阵，则Ax =b 的增广矩阵的行列式A b = . 5、过点(0,1,-3)且与平面3x -y +4z -8=0垂直的直线方程是 . 6、方程z =4x 2+5y 2所表示的曲面为 .7、已知100021,053⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则A -1=.二、选择题（每小题2分，共14分）1、已知矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡642752321，则矩阵A 的秩R (A )= _______. （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）0.2、002001103012021-=-[ ](A ) 12； (B ) -12； (C ) 6； (D ) -6.3、设向量组A 的秩为r 1，向量组B 的秩为r 2，A 组可由B 组线性表示，则1r 与2r 的关系为[ ](A ) r 1≤r 2； (B ) r 1≥r 2； (C ) r 1=r 2； (D )不能确定. 4、设A 为4阶矩阵，且|A |=2，则 | 2A -1 |=[ ](A ) 4； (B ) 16； (C ) 1； (D ) 8.5、若3阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为-1, 2, 4，则行列式|B +2E |= [ ](A ) -24； (B ) -8； (C ) 24； (D ) 11.6、球面6222=++z y x 与旋转抛物面22y x z +=的交线在xOy 平面上的投影曲线方程为[ ] 2222222223()2;()3;();().00x y x y A x y B x y C D z z ⎧⎧+=+=+=+=⎨⎨==⎩⎩7、设12,λλ分别是3阶矩阵A 的一重和二重特征值，对角矩阵122000000λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ，则[ ] (A ) A 与对角矩阵Λ相似； (B ) A 与对角矩阵Λ不相似；(C ) 当R (A -λ2 E )=2时，A 与对角矩阵Λ相似； (D ) 当R (A -λ2 E )=1时，A 与对角矩阵Λ相似.三、计算题（每小题10分，共40分）1、已知矩阵*21100220,(())().111A A A A A E A E **-⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦是的伴随矩阵，求: 2、已知向量(1,2,1),(2,1,3)T T αβ=-=，矩阵A=αβ T =[]122131-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求f (A )=A 3-2A 2-2A . 3、a 为何值时，向量组1234(1,1,2,4),(3,0,7,14),(0,3,1,),(1,2,5,0)T T T T a a αααα=-===--- 线性相关？并在该向量组线性相关时，求其秩及一个最大线性无关组.4、求二次型222(,,)248=+-+f x y z x y z yz 的矩阵的特征值，并讨论方程222248+-+=x y z yz C (C 为任意常数)所表示的曲面类型.四、解方程组（共10分）求线性方程组12341234123412341222124436x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=-⎩的通解.五、综合题（共12分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，且行列式|A -2E |=0. 向量(1,2,1)=-T ξ是线性方程组Ax =0的解，求：(1) A 的特征值与特征向量；(2) 矩阵A .六、证明题（每小题5分，共10分）1、设方阵A 满足223--=A A E O ，证明A +2E 可逆.2、设4阶矩阵1234(,,,)αααα=A ，A *是A 的伴随矩阵. 若(1,0,1,0)T 是线性方程组Ax =0的基础解系，证明234,,ααα是A *x =0的基础解系.一、填空题(每小题2分,共14分)1． x 2(x +6) ； 2． n ≠1/2 ; 3．1101-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 4． 0 ； 5.13314x y z -+==-; 6． 椭圆抛物面 ； 7.100031052⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题(每小题2分,共14分)1.（B ）2.（B ）3.（A ） 4．(D ) 5．（C ） 6.（C ） 7．(D )三、计算题(每小题10分,共40分)1、解：21(())()()**-*-+=-A A E A E A A E ||=-A E A1001003002010220200001111113-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、解：f (A )=A 3-2A 2-2A = 9A -6A -2A =A=213426213---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、解：123413113110320111(,,,)2715000241400026a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A αααα 当a =2时，R (A )=3<4，所以1234,,,αααα线性相关. 此时该向量组的秩为3，其最大无关组为：124,,ααα4、解：二次型222(,,)248f x y z x y z yz =+-+的矩阵为：100024044A ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由100||024(1)(4)(6)0,044λλλλλλλ--=-=--+=--A E 得二次型的矩阵A 的特征值为：1,4,-6. 方程222248+-+=xy z yz C 的标准形为：22211146x y z C +-=，所以当C =0时，方程222111460x y z +-=的图形为二次锥面. 当C >0时，方程22211146x y z C +-=的图形为单叶双曲面. 当C <0时，方程22211146x y z C +-=的图形为双叶双曲面.四、解方程组(共10分)解：[]=b A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------6411341112112122111111111001030032500325⎡⎤---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦11000001030001200000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以与原方程组同解的方程组为123432x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故原方程组的通解为：R k k x x x x T T T ∈-+-=,)2,3,0,0()0,0,1,1(),,,(4321五、综合题(满分12分)解：（1）由题意得：11111312021111,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A所以123,0λλ==是矩阵A 的特征值，11122212121112011k k k k k k k k R ,,,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⋅≠∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ分别是A 对应特征值123,0λλ==的所有特征向量。
济南大学期末考试PLC试卷A
一、填空题1.PLC采用循环扫描工作方式，操作系统执行一次循环错做所需的时间称为扫描周期。
2.PLC的开关量输出单元按输出电路所用开关器件的不同可分为继电器输出、晶体管输出和双向晶闸管输出。
3.S7中有三种计数器分别是加计数器(S_CU)、减计数器（S_CD）、可逆计数器（S_CUD）.4.用STEP—7编写PLC的控制程序,可以选择三种顺序结构：线性式、分布式编程、结构式。
5.STEP-7用户程序通常由组织块(OB)、功能块(FB)或功能（FC）等三种类型的逻辑块和数据块组成。
6.同种数据类型的组合称之为数组,不同类型的数据的组合是结构。
二、简单题1。
简述可编程控制器的工作过程。
PLC采用的是循环扫描工作方式。
在PLC中，用户程序按照先后顺序存放在PLC中，工作时CPU 从第一条指令开始执行，直到遇到结束符后又返回第一条，如此周而复始，不断循环。
PLC在运行过程中，总是处在不断循环的顺序扫描过程中.PLC 上电后，就在系统程序的监控下，周而复始地按固定顺序对系统内部的各种任务进行查询、判断和执行，这个过程实质上是一个不断循环的顺序扫描过程。
一个循环扫描过程称为扫描周期。
2.什么是扫描周期？它主要受什么影响？答：扫描周期是PLC每执行一遍从输入到输出所用的时间。
扫描周期的长短与CPU的运算速度、I/O点的情况、用户应用程序的长短以及编程情况等有关3。
s7-300的编程元件有哪些？答：1. 输入映像寄存器（输入继电器）I2。
输出映像寄存器（输出继电器)Q3。
位存储器M(或称辅助继电器)4.外部输入寄存器PI5.外部输出寄存器PQ6.定时器T（共5种）7。
计数器C (共3种）8.数据块寄存器DB9。
本地数据寄存器L 4.M0.0、MB0、MW0和MD0有何区别?答：M0.0 , MB0, MW0和MD0表示位、字节、字和双字存储单元。
5。
s7-300系列PLC共有几种定时器？各种定时器的运行方式有何不同?答:S_PULSE脉冲定时器SP。
济南大学 线性代数大作业 2019.7.21
a 1
1 a
x2 x3
12
有无限多个解，
则a
___________.
5. 设 n 元非齐次线性方程组 Ax b 有解， 其中 A 为 (n 1) n 矩阵， 则| Ab | ______.
1 2 2
6.
设矩阵 A
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一、填空题
第二章 矩阵及其运算
1
1. 设 A 31 2 1 ，则 A6 ______________.
2
2. 已知 A 为 2 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，且 | A | 3 ，则 | A1 | ___ ， | AA* | ____.
PB
，其中
B
0 0
0 0
01 ，
P
2 2
1 1
0 1
.
(1) 求 A ; (2) ( A) 3E 2 A2 5A5 .
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2 1 0
3.
已知
A
1
2
0
，
矩阵 B 满足:
ABA* 2BA* E ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， E 为单位阵.
0 0 1
(1) 求| B | ; (2) B 1 .
4. 已知两个线性变换
x1 x2
y1 y1
y2 y2
y3
和
z1 z2
y1 y2 y3 2 y1 2 y2
x3 2 y1 2 y2 y3 z3 y1 y2
济南大学2012线性代数期末考试
济南大学2012线性代数期末考试第 1 页，共 1 页…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………济南大学2012～2013学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程线性代数与空间解析几何A 考试时间 2013 年 1 月 7日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题3 分，共21分）1. 已知C B A ,,均为4阶方阵，若O E AC AB =-+，则=-1A _____________.2. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的_________________条件.3. 线性方程组0321=++x x x 的基础解系含有______个解向量.4. 当t _____时,向量组),3,5(),1,3,1(),0,1,1(321t =-==ααα线性无关.5. 设3维列向量321,,ααα是标准正交向量组，令),,(321ααα=A ，则.______=A A T6. 要使3223222124x tx x x x f +++=为正定二次型，则t 的取值范围为_____________.7. 设向量T )111(，，=与T k k k )4,1,(-+=正交，则_______=k .二、选择题（每小题3 分，共18 分） 1.对任意n 阶方阵B A ,，总有( ).BA AB A =)( BA AB B =)( T T T B A AB C =))(( 222))((B A AB D =.2.n 阶方阵A 可逆的充要条件是( ).A A )(的特征值全为零；AB )(的特征值全不为零；)(C n A R <)(；0)(=AD .3.若n 阶方阵A 与B 等价，则正确的关系式为( ).B A A =)( B A B =)( )()()(B R A RC = B AP PD T =)(.4.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有n 个( ).)(A 相同的特征值；)(B 互不相同的特征值；)(C 线性无关的特征向量；)(D 两两正交的特征向量.5.设A 是n m ?型矩阵，则0=Ax 只有零解的充要条件( ).A A )(的行向量组线性无关；AB )(的行向量组线性相关；A C )(的列向量组线性相关；A D )(的列向量组线性无关.6.母线平行于y 轴且通过曲线=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是( ).1623)(22=+z x A 162)(22=+y x B 163)(22=-z y C 163)(22=+z y D . 三、计算题（每小题8 分，共24 分）1.求向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α的秩及最大无关组，其余向量用最大无关组线性表示。
线性代数期末考试试卷习题包括答案合集大一期末线性代数试卷习题
大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。
每题 2 分，共 10 分〕1311. 假设05x 0 ，那么__________ 。
122x1x2x302．假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。
x1x 2x303．矩阵A，B，C( c ij ) s n，满足AC CB ，那么 A 与 B 分别是阶矩阵。
a a11124．矩阵A a a的行向量组线性。
2122a a31325．n阶方阵A满足A 23A E0，那么A1。
二、判断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。
每题 2 分，共10 分〕1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0 。
〔〕2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
〔〕3.向量组 a1， a2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，那么向量组a1， a2，，a s线性相关。
〔〕01001000A 。
〔〕4.A，那么 A1000100105. 假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为 。
( )三、单项选择题 ( 每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每题2 分，共 10 分 )1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么AAT〔〕。
① 2n② 2n 1③ 2n 1④ 42. n 维向量组 1 ， 2，，s 〔 3 s n 〕线性无关的充要条件是〔 〕。
①1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关②1， 2， ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示共 3 页第 1 页大学生校园网—线性代数综合测试题④中不含零向量1， 2 ，， s3. 以下命题中正确的选项是 () 。
① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④任意 n 1 个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。
1415济南大学线性代数试题答案
[A|b]= 4 3 5 1 1 0 1
1
5
3
a 1 3 b 1 0 1 a 3 a b a 1 a
k11 k22 knm nm ,
设 (k1, k2, , knm )T , 则存在一个 nm 维的列向量，使得
[A|b] 0 1 1 5
3
0
1
1
5
3 ，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组：
x1 x2
2x3 4x4 2 x3 5x4 3
；
( A E | B) 1 0
1
2
0
0
1
1
1
1
1 0 2 5 3 0 1 2 6 4
且二次型 f 经正交变换化为标准形：f 2y12 2y22 3y32 ，所以矩阵 A 的特征值为： 1 2, 2 2, 3 3
aexb??1101?1???1101?1?a?eb????10120???0?1111???10?25?3??????01?26?4?????1101?????0?111?1?10?09?3??00?17??1??01?02?83??????001?7??3???93??x???82????73????1202??1202?3解
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1.（B） 2.（B） 3.（B） 4．(A) 5．（D）
三、计算题(每小题 10 分,共 40 分)
1234
1、解：
0 D
2
6
8 24.
0038
0004
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
济南大学线性代数试题及答案
济南大学线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（ ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（ ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n- 。
线性代数与空间解析几何知到章节答案智慧树2023年济南大学
线性代数与空间解析几何知到章节测试答案智慧树2023年最新济南大学第一章测试1.若阶行列式中有个以上元素为零，则该行列式的值为___参考答案:null2.若得代数余子式，则A21=___参考答案:null3.四阶行列式中包含且带正号的项是___参考答案:null4.已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为___参考答案:null5.若方程组有唯一解，则满足（）参考答案:；6.设D1，D2= ，则（）参考答案:D2 =12D1.7.已知4阶行列式中第1行元依次是 , 第3行元的余子式依次为, 则（）.参考答案:8.展开式中的最高次数是（）参考答案:1；9.元素的余子式与代数余子式符号相反（）参考答案:错10.如果阶排列的逆序数是 , 则排列的逆序数是（）参考答案:错第二章测试1.下列是方阵的是（）.参考答案:单位矩阵;上三角矩阵;下三角矩阵;对角矩阵2.对任意阶方阵A,B，总有（）.参考答案:3.若一个n阶方阵A的行列式值不为零，则对A进行若干次矩阵的初等变换后，其行列式的值（）。
参考答案:保持不为零4.若阶方阵与等价，则正确的关系式为（）。
参考答案:5.已知（）参考答案:6.设，则 =（）。
参考答案:7.已知矩阵（）参考答案:8.（）参考答案:9.设A为四阶矩阵，且矩阵A的秩R(A)=3,则R(A*)=（）。
参考答案:110.A,B为n阶方阵，且AB=O，则下式正确的为（）。
.参考答案:|A|=0或|B|=0第三章测试1.设，，是三维向量，且满足，其中，，则向量 =（）参考答案:；2.若向量组线性无关，则对任何一组不全为零的数，都有 . （）参考答案:对3. , ,线性相关. （）参考答案:对4.向量组，，的秩为，则（）参考答案:2；5.向量组的秩一定小于该向量组中向量的个数. （）参考答案:错6.设A是n阶矩阵，且，则下列结论正确的是（）参考答案:若则；7.已知向量组是向量空间R3的一个基，则（）参考答案:a -5．8.已知两向量正交，则k=（）参考答案:1；9.向量组的秩为（）参考答案:210.证明：向量组线性相关.参考答案:null第四章测试1.已知向量正交，则k为（）参考答案:-12.设=（）参考答案:3.命题（）参考答案:都错误4.已知向量则有（）参考答案:a=2，b=15.两平面和的位置关系是（）参考答案:垂直6.两平面，的位置关系是（）参考答案:相交但不垂直第五章测试1.设A为n阶方程，且，则Ax=O的通解为（）参考答案:2.设A为n阶方程，Ax=0只有零解，则只有玲姐的方程组个数是（）参考答案:3.设n阶方针A的伴随矩阵为，则对应齐次方程组Ax=0的基础解系为（）参考答案:仅含一个非零解向量4.已知非齐次线性方程组有三个线性无关姐，则方程组系数矩阵A的秩为（）参考答案:25.非齐次线性方程组：（其中a，b，c，d两两不等）解的情况是（）参考答案:无解第六章测试1.已知3阶方阵A的特征值为，1，2，则 ___参考答案:null2.已知3阶方阵的特征值为1,2,3，则的特征值为___参考答案:null3.已知三阶矩阵均为奇异阵，则 ___参考答案:null4.设A是阶实对称矩阵，且，若A的秩为，则A相似于___参考答案:null5.设为n阶( )可逆矩阵，是的一个特征值，则的伴随矩阵的伴随矩阵的特征值之一是（）.参考答案:；6.设则（）.参考答案:.7.相似矩阵具有相同的特征值和特征向量（）参考答案:错8.设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵.已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是.（）参考答案:；9.已知矩阵，证明：当a=2时，矩阵A与对角矩阵相似，并写出与A相似的对角矩阵 .参考答案:null10.设，正交矩阵P使得P T AP为对角阵，如果P的第一列为，求a，P.参考答案:null第七章测试1.阶对称矩阵正定的充分必要条件是（）。
第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学
0809 B一、填空题（每小题3分，共18 分）4、曲线z z 2X 2x y 在xOy 面上的投影曲线为绕z 轴，母线中的变量 z 不变，x 换成x 2 y 22 2 2（z a ） x y .二、选择题（每小题3分，共15分）232、在曲线x t, y t , z t 所有切线中，与平面 x 3y 3z 4平行的切线（）（A ）只有一条； （B ）只有两条；（C ）至少有3条； （D ）不存在r2 rr r 切线的方向向量与平面的法向量垂直，s （1, 2t,3t ），n （1,3,3），sgn 00910B一、填空题（每小题2分，共10分） 1、过点（3,0, 1）且与平面3x 7y 5z 120 垂直的直线方程2 3为与平面垂直的直线和该平面的法向量平行， x 3 y z 1消去乙再与z=0联立.x 2 y 2 2xz 05、曲线（Za)2 y 0绕z 轴旋转得到曲面方程为A五、解答题（每小题分10,共20分) x2、求直线x0 与平面y z 1 0的夹角.解：设夹角为,直线的方向向量 |4|sln7 F 2“2 .3「2 3-（0, 2, 2），平面的法向量n （1,1,1）arcs in .3 7 5从而其平行的单位向量（蛙； J 和（拧1）2、曲 线 2 y z 2 2x 0 在 z 3( )(A ) 2 y 2x ;z 0 (C ) 2 y 2x 9 ; 、选择题（每小题2分，共10 分）xOy 面上的投影曲线的方程是 (B) 2 y 2x 9 z 02 y 2x 9 (Dz 3在xOy 面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z , 然后联立z=0. B4、设 a, b 为两个向量，则正确的是 (A ) a b a b =0； (C ) a ?b表示以a ， (D ) f fa b a b = 0 . 利用数量积和向量积的性质 ：—fe- f ( )(B) a b a ?b =0 ； b 为邻边的平行四边形的面积; r ir r IT r ir a b 0 a b ， a b 0 a x b 表示以a , b 为邻边的平行四边形的面积 D 四、计算题（每小题10分，共40分） 3、设已知两点MJ4, 21）和M 2 （3,0,2）.计算向量M [M 2的模、 平行的单位向量. uiuiuu L （1） M ,M 2 { 1, .2,1}，向量 方向余弦及与其ULU ULLr 向量M ,M 2的方向余弦为： cos luiuiur M ,M 2的模为: 1 ，cos 2 PR 、1 2cosluiuiur 与向量M r M 2同向的单位向量：a o(cos ,cos ,cos (-uuuuLur与向量M ,M 2反向的单位向量:(cos ,cos ,cos（1 二」）2，2，20 0 ,22 xik UU uurJAC ABx 1 y 3(103121 uur L U 1SAC A-|10 x3y|2(2)设拉格朗日函数丄(10 x 3y). (Q 0 x 3,0 y 2)2 F x 2x令F yy_五、解答题(每小题分12,共24分)2z X1、试求曲线绕z 轴旋转所得曲面与平面z 1所围成的立体的体积.y 0f(x,y)d f (r cos ,r sin )rdrdDD 2解：曲线z y x 0绕z 轴旋转所得旋转抛物面zx 2 y 2，与z=1所围成的立体在xoy 面上的投影为 2 2 ▲D x,y : x y 1 .极坐标表示D , :0 1,0 2 .V (1 x 2 y 2)dD2 2(12) d ddD12(1) d.0 \2 22、已知xoy 平面上两定点A(1,3,0)、B(4,2,0)及椭圆柱面 —- 1 (x 0,y 0)9 4上一点C(x, y,0)，记 ABC 的面积为S(1)、计算S ^AC AB ； (2)、试确定C(x,y,0)点坐标使S 最大. 2UUU LUT解：AB (3, 1,0), AC (x 1,y 3,0),x 3y)i ,F(x,y,)1(10 x 3y)x 2(G3 4—八 -二，且 ABC 面积最大值一定存在，所以当一 5.. 5解方程组，得唯一驻点x1011B、填空题（每小题3分，共15 分）（2）旋转抛物面x 21在点（2,1,4）处的法线方程是解，设F x 2F x22y,F z1.曲面在点（2,1,4）处的法向量(4,2, 1).过已知点的法线方程为:⑶方程3x 22 2y 2z1所表示的曲面方程名称是双叶双曲面 ⑸求过点 M 1(1,2, 1), M 2（2,3,1）,且和平面x y z 1 0垂直的平面方程为 luuuuir MM (2 1,32,1 ( 1)) (1,1,2)， n (1, 1,1)所求平面的法向量n3i j 2k.所求平面方程为：3（x 1) (y 2) 2(z 1)3x y 2z 7 01112B、填空题（每小题2 分, 共10分）5.若a ，b 为同向的单位向量, 答案：1二、选择题（每小题2分, 则它们的数量共10分）1.设平面方程为By Cz D0，且B,C,0，则平面（ABC 面积最大3点C 坐标为（-,（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）答案：A经过y轴（D）经过x轴x V z4.两平面1, 2x 3y 4z 1的位置关系是( )2 3 4(A) 平行但不重合 (B) 重合 (C) 相交但不垂直(D) 垂直一 11 1 因为—23( 4) 1,所以两平面不垂直，23 4两平面的法向量对应的坐标不成比例，所以所以两平面不平行 答案：C四、解答题(每小题11分，共33分)1.求过点(-3，2，5)且与平面x 4z 30和2x V 5z 1 0的交线平行的直线方程解：所求直线与已知的两个平面的法向量都垂直，所以所求直线的一个方向向量r r r x 3 4i 3jk.所求直线方程为4解法2：两方程联立，求出交线方程。
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济南大学2013～2014学年第二学期课程考试试卷（A 卷）
课 程 线 性 代 数 考试时间 2014 年 6 月30日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式12311223|,,,|,|,,,|,m n αααβααβα==则4阶行列式
12312|,,,+|αααββ=[ ].
(A ) m+n ； (B ) –(m+n )； (C ) m –n ； (D ) n –m .
2、n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是[ ].
(A ) 12,,,s ααα 中的任意部分组都线性无关；
(B ) 齐次线性方程组Ax =0仅有零解，其中系数矩阵12(,,,)s ααα= A ；
(C ) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得11222,;s k k k ααα+++≠ 0
(D ) 12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示.
3、若A 是m ×n 矩阵，则下列结论正确的是[ ].
（A ）若Ax =0仅有零解，则=Ax b 有唯一解； （B ）若Ax =0有非零解，则=Ax b 有无穷解；
（C ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0仅有零解； （D ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0有非零解.
4、若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，且AB =E ，则下列结论正确的是[ ].
（A ）矩阵A 可逆； （B ）R (A )=m ； （C ）R (A )=n ； （D ）R (A )≤min(m , n ).
5、已知4阶实对称矩阵A 的秩为3，且满足A 2+3A=O ，则A 的全部特征值为[ ]
(A ) -3,-3,-3,0； (B ) -3,-3,0,0； (C ) 3,3,3,0； (D ) 3,3,0,0.
二、填空题（每小题3分，共21分）
1、方程2
124
13901x x =的全部根为 .
2、10101131024⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .
3、已知100301101101101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
X ，则X = . 4、设5421,,3234⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
B C 且BAC =E ，则A -1= . 5、向量(0,1,2)T β=在基123(1,2,1),(0,1,1),(1,1,1)T T T ααα===下的坐标为 .
6、已知矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---53342111a 的特征值为6, 2, λ,则a , λ的值分别是 . 7、设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且其秩为n -1，x 是n 维列向量，则齐次线性方程组Ax =0的通解
为 .
三、计算题（每小题10分，共30分）
1、计算行列式1111
11111111
1111x x x x
++++. 2、已知向量组1234(1,3,0,1),(1,2,1,2),(1,1,2,),(1,3,2,)T T T T a a b αααα====-的秩为2，求a , b 的值，并求
该向量组的一个最大无关组.
3、已知矩阵126032022⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
A ，计算*1*2()[()]-+-A E A E A . 四、（满分10分）设1234,,,,ααααβ为4维列向量，123,,ααα线性无关. 4123ααα=-,1234βαααα=+++
令()1234αααα=Α，求非齐次线性方程组β=Ax 的通解.
五、（满分12分）试求一正交变换，将二次型31232221321422),(x x x x x x x x f +-+=，化为标准二次型，并写出
该标准二次型.
六、证明题（每小题6分，共12分）
1、证明向量组1234=(1,0,1,2,0),(1,2,1,0,0),(5,6,3,4,1),(2,4,0,4,1)T T T T -=-=-=-αααα线性相关.
2、设4阶矩阵A 满足A 2+A =O ，且A 的秩为3，A +E 的秩为1，证明A 与对角矩阵相似，并写出其相似对角阵.。