人教版初三数学下册比较函数值的大小

合集下载

初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小

初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。

要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。

以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。

知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。

知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。

根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。

①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。

数学人教版九年级下册比较函数值的大小

盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬湖北省孝感市肖港初级中学邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中，我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值逐渐减小，所以当O 900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小（一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面，所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围分为五个区域，类比例7，观察每个区域，同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。

函数值大小的比较 (2)

函数值大小的比较例题、习题投影
1.判断函数值大小的步骤： 2.思想方法：
第4页共4页
教学基本信息课题授课时间设计者教学目标知识与技能 ☆会求一次函数与反比例函数的交点，明确判断一次函数值与反比例函数值大小的方法. 过程与方法 ☆通过探究，归纳比较一次函数值与反比例函数值大小的步骤. 情感态度与价值观 ☆从实际出发，努力激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性教会学生学习，教会学生思考，合作探索寻求解决途径. 教学重、难点教学重点： ☆ 判断一次函数值与反比例函数值大小的方法教学难点： ☆三线四区方法的运用教学方法：启发式、讨论式教学设备：多媒体、学案教学设计思路函数是初中数学的重点与难点之一，在对函数进行初步认识的基础上，借助一次函数及二次函数经验和方法，较为系统地研究反比例函数的模型、图象、性质及应用的.随着学习的不断深入，函数把前面所学的方程、不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”. 函数值的大小比较问题是初中函数学习中的一项重要内容，特别是将两类函数同时作比较，它与函数的图象及性质有机地结合在一起，也是近几年中考的热门试题之一，运用数形结合思想将数量关系直观化，形象化，这类问题便可迎刃而解.同时，这样的思想在后面的代综问题问题中也是屡见不鲜. 与此同时，在教学上学校一直主张深度教学，深度学习是学生主动的、有意义的、自主参与学习的过程.其特征体现在联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用等方面.从深度
3 数 y= . x
教师设计几个问题，让学生作答.
活动二：以上我们归纳了如何两个函数交点的方法，同时我们了解了交点的意义是相同自变量所对应的的函数值相等，那么函数值不等的情况又会怎么样呢？完成学案第 1 页第 2 题. 复习引入

函数中大小的比较

一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。

我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。

可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。

这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。

为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。

这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。

这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。

然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。

通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。

在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。

二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。

这几个应用程序都是有帮助系统的。

对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。

在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。

所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。

在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。

学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。

这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。

这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。

比较两函数大小的方法

比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。

在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。

下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。

1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。

1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。

大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。

我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。

Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。

我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。

Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。

我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。

1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。

常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。

如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。

2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。

空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。

原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。

如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。

比较函数式大小的三个途径

知识导航一般地，比较函数式的大小主要是比较指数函数式、对数函数式、幂函数式的大小.由于大部分的函数式中的底数、指数、真数均不相同，所以很难直接比较出它们的大小，我们需要采取一些相应的办法，如利用函数的单调性、图象，借助中间量等来比较两个函数式的大小.一、利用函数的单调性在某一定区间内，指数函数、对数函数、幂函数都具有单调性.当两函数式的底数相同时，可以建立恰当的函数模型，根据函数的单调性来比较两个函数式的大小；当两函数式的底数不相同时，可先利用换底公式以及指数函数、对数函数、幂函数的运算法则，将二者化为底数相同的函数式，再结合函数的单调性进行比较.例1.试比较以下两组数的大小.()10.332与0.335；()220.5与40.3.解析：对题中的两组数进行观察不难发现，这两组数都属于指数函数.可首先将它们的底数统一，然后根据底数与1之间的关系来判断函数的单调性.一般地，对于指数函数y=a x，当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减.最后根据函数的单调性比较两组数的大小.解：（1）由于两数的底数相同，且0<0.3<1，所以函数y=0.3x是单调递减函数，又32>35，所以0.332<0.335.()2由于4=22,所以40.3=()220.3=20.6,而函数y=2x是单调递增函数，且0.5<0.6，所以20.5<40.3.二、利用函数的图象我们知道，当a>1时，对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离x轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离y轴越近.当a>1时，指数函数y=a x()a>0，a≠1的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离y轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离x轴越近.当α>0时，幂函数函数y=xα的图象在区间（0,+∞）上是增函数；当α<0时，图象在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上单调递增.在解题时，我们可以结合函数式的特点构造出函数模型，然后结合函数的图象来比较函数式的大小.例2.比较下列两组数的大小.()131.2与21.2；()2æèöø233与æèöø3432.解析：(1)31.2与21.2是指数同为1.2的指数函数，在对其进行比较时，可以首先将y=3x、y=2x的图象画在同一坐标系中，然后将x=1.2代入，观察此时y的大小即可得出31.2>21.2.()2由于æèöø233=æèöø4932，将y=æèöø4932与y=æèöø3432的图象画在同一直角坐标系中，继而观察当x=32时y值的大小，就可以快速得出结论：æèöø233<æèöø3432.运用函数的图象来比较函数式的大小比较直接、简便.三、借助中间量有时候，要比较的两个函数式的真数、底数、指数各不相同，且它们之间没有任何联系，那么我们就需要借助中间量来比较它们的大小.常用的中间量有0、1、-1.可将函数式分别与中间量进行比较，如此便可判断出它们的大小关系.例3.比较以下函数式的大小.()11.70.3与0.93.1；()2log20.3，logπ3与log35.解析：()1中两个函数式的指数与底数均不同，且无法统一，可借助中间量来对其进行大小比较.∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1.()2中的两个函数式较为复杂，可同时将0和1作为中间量来比较三者的大小.∵log20.3<log21=0，0=logπ1<logπ3<logππ=1,∴log20.3<logπ3<log35.在比较函数式的大小时，同学们要注意分清所要比较的函数式之间的区别，建立联系，构造合适的函数模型或中间量，然后利用函数的单调性、图象、中间量来比较函数式的大小.(王林37。

初中数学精品课件：函数中的大小比较

与△ABC有交点，则k的取值范围为
.
f(1)>1 方程
有两个相等的实数根
1 k 4
拓展提升第二关
如图，线段AB两个端点的坐标分别为(0.5，1) ， (3，1)，若抛物线
y ax2 x 与线段AB有交点，则a的取值范围为
.
当抛物线开口向上时，f(0.5)≤1， f(3)≥1
0a2
当抛物线开口向下时，分两种情况：
九年级数学专题学习之
函数中的大小比较
回忆一道题
若二次函数 y x2 2x c 的值恒大于0，则c的取值范围为 c<1 .
思路一：如图所示，抛物线开口向上，只要抛物线与x轴没有交点，即可符合要求.
因此，只要令 b2 4ac 0即可得到答案.
思路二：如图所示，抛物线开口向上，有最小值，
只要最小值大于0，那么所有的值都会大于0
m<f(2) m>g(2)
1 m2 2
解决几个问题
例2.若抛物线 y x2 2x c与x轴的一个交点在 (2，0)和(3，0)之间，
（不包括端点），则c的取值范围为
.
f(2)<0 f(3)>0
3 m 0
解决几个问题
变1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为(-2，3) ， (3，3)，
若直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围为
因此，只要令 4ac b2 0 即可得到答案. 4a
也就是说，当x=1时，y>0即可.我们把当x=m时的函数值记作f(m) 那么当x=1时，y>0就可以记作f(1)>0
解决几个问题
例1.如图，直线l：y=-x+1，点B(2，m)在直线l上，则m= -1 . m=f(2)

比较函数式大小常用的几种思路

解题宝典有关抛物线的证明题比较常见.这类问题常与直线、三角形、圆等相结合，侧重于考查抛物线的定义、方程、几何性质，直线的方程、斜率公式，直线与抛物线的位置关系，以及平面几何图形的性质.下面就一道抛物线证明题，来探究一下解答此类问题的思路.题目：已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若ΔABC的三个顶点都在抛物线上，且满足 FA + FB +FC =0 ，则称该三角形为“核心三角形”.（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率是2，求直线AB 的方程；（2）已知ΔABC 是“核心三角形”，设ΔABC 的三个顶点分别为A ()x A ，y A ，B ()x B ，y B ，C ()x C ，y C .证明：ΔABC 的三个顶点的横坐标x A ,x B ,x C 都小于2.对于第一个问题，我们需根据已知条件和向量的运算法则明确A 、B 、C 三点坐标之间的关系，并结合韦达定理、直线的斜截式方程来求解，得出直线AB 的方程为y =2x -1.这里主要讨论一下第二个问题的解法.方法一：参数法参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.参数法是指先引入参数，建立有关参数的关系式，然后通过消参来求得问题的答案.在求解有关抛物线的证明题时，往往可以根据题意引入参数，并将参数设为直线的斜率、截距，抛物线的方程，动点的坐标等.然后将其代入题设中，建立关系式，再通过等量变换消去参数，从而获得问题的答案.本题中，三角形三边所在的直线方程未知，不妨引入参数，设出BC 边所在直线的方程，再代入求解.证明：设直线BC 的方程为x =my +n ，将其代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2-4my -4n =0，由Δ=16(m 2+n )>0得n >-m 2，且y B +y C =4m ，y B y C =-4n ，因为x B =my B +n ,x C =my C +n ，所以x B +x C =m (y B +y C )+2n =4m 2+2n ，又因为x A +x B +x C =3，所以x A =3-m 2-2n ，y A +y B +y C =0，所以y A =-4m .因为点A 在抛物线上，所以16m 2=4(3-m 2-2n )，可得n =32-4m 2，又因为n >-m 2，所以32-4m 2>-m 2，解得m 2<12，所以点A 的横坐标x A =4m 2<2，同理可证得x B <2,x C <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.先设出直线BC 的方程，并将其与抛物线的方程联立，即可构造出一元二次方程，利用韦达定理建立三角形顶点坐标之间的关系式，根据判别式建立不等关系式，最后通过等量代换、消元，求得问题的答案.方法二：反证法对于从正面难以入手的问题，可以重点研究问题的反面情形，利用反证法来解题.先假设命题的结论不成立，即假设问题的反面情形成立；然后将这个假设的结论作为条件进行推理论证，得出与题设条件、公式、定理等相矛盾的结论，由此断定假设的结论不正确，即可说明原结论是正确的.证明：假设x C ≥2，则y C 2=4x C ≥8.因为x A +x B +x C =3，所以y A 2+y B 2+y C 2=12，因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≤4，由y A +y B +y C =0可得y A +y B =-y C ，将其两边平方可得y C 2=y A 2+y B 2+2y A y B ≤2(y A 2+y B 2)，又因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≥4，当且仅当y A =y B 时等号成立，此时x A =x B ，即点A ,B 重合，这不符合题意，所以假设x C ≥2不成立，由此可知x C <2，同理可证x A <2,x B <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.我们首先假设问题的反面情况成立，即x C ≥2；然后将其当作已知条件，结合题目中的条件和基本不等式进行推理，得出y C 2≥8，y A 2+y B 2≥4，而这两式取等号时A 、B 两点重合，这与题目条件不相符，从而说明假设的情形不成立.解答有关抛物线的证明题，可从抛物线的方程、几何性质出发，利用参数法进行求解，也可以从解答证明题的方法入手，利用反证法进行证明.同学们在解答综合性问题时，要学会将所学的知识关联起来，从不同角度寻找解题的思路.（作者单位：管文娟，江苏省淮安市楚州中学；赵正威，江苏省淮安市淮安外国语学校）管文娟赵正威42比较函数式的大小问题常以选择题的形式出现，这类问题侧重于考查基本初等函数的单调性、基本不等式以及不等式的性质.本文中，笔者对比较函数式大小常用的几种思路进行了总结、归纳，以期对同学们解答此类问题有所帮助.一、利用函数的单调性若要比较的函数式可化为同一种类型的函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，即可将要比较的两个函数式看作自变量不同、类型相同的函数式，直接根据函数的单调性进行比较.一般地，已知定义域内x 1<x 2，若函数单调递增，则f (x 1)<f (x 2)；若函数单调递减，则f (x 1)>f (x 2).例1.已知a =(34)13,b =(25)23,c =(23)-12，则a ,b ,c 的大小关系是（）.A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解：由题意可知b =(25)23=(425)13，且1>34>425，因为幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，所以113>(34)13>(425)13，即1>a >b .因为指数函数y =(23)x 在R 上单调递减,且-12<0，所以(23)-12>(23)0=1，所以c >1.综上可知，c >a >b .故选C.我们先将b 化为指数是13的式子，将1化为指数是13、23的式子，即可将a 、b 化为同指数的函数式，将c 、1化为同底数的函数式；然后根据基本初等函数y =x 13和y =(23)x 的单调性进行比较，即可判断出a 、b 、1、c 的大小关系.例2.已知a =3ln 2π,b =2ln 3π,c =3ln π2，则下列选项正确的是（）.A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a解：由题意得a =3ln 2π=3πln 2,b =2ln 3π=2πln 3,c =3ln π2=6ln π，所以a 6π=ln 22=ln 44,b 6π=ln 33，c 6π=ln ππ，设f (x )=ln x x ()x >0，对其求导可得f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，所以函数f (x )在(0,e ]上单调递增，在[e ,+∞)上单调递减.又4>π>3>e ，可得f (4)<f (π)<f (3)，即ln 44<ln ππ<ln 33，可知a 6π<c 6πc >a .故选D.解答本题，需先将三个函数式变形，得a 6π=ln 44、b 6π=ln 33、c 6π=ln ππ；然后根据这三个式子的特征构造函数f (x )=ln xx，即可根据函数f (x )的单调性，迅速比较出三个函数式的大小.对于非基本初等函数，往往要利用函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来比较函数式的大小.例3.设x ,y ,z 为正实数，且log 2x =log 3y =log 5z >0，则x 2,y3,z 5的大小关系不可能是（）.A.x 2<y 3<z 5 B.y 3<x 2<z 5C.x 2=y 3=z 5D.z 5<y 3<x 2解：设log 2x =log 3y =log 5z =k ，则x =2k ,y =3k ,z =5k，可得x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1.王丽丽43。

人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第10讲一次函数

第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ，即AC=BD ，又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ．【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C3D3【答案】B【解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．7．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题．【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2．故选B ．8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．10．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【答案】D【解析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题（本题包括8个小题）11．化简:a ba b b a+--22＝__________.【答案】a+b【解析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

数学人教版九年级下册比较反比例函数值的大小

1y x =6y x =《比较反比例函数值的大小》教学设计学科：数学课程内容：反比例函数适用范围：学习完反比例函数的性质，加深理解阶段教学背景：在学习完反比例函数的性质后，出现比较反比例函数的函数值大小的问题，考察性质掌握的熟练程度，这类往往出现在选择和填空中，学生需得分，但是性质掌握不好或是考虑不全面，容易失分，故而将此类问题的一般解法进行小结，使学生能够根据题目中的已知条件选用恰当的解法，拿住这类问题的分数。

教学目标：1、能够对反比例函数值的大小进行比较；2、根据学生能力大小，掌握一种或多种比较反比例函数值大小的方法；3、加深对反比例函数性质的理解；4、渗透函数问题要“数”与“形”相结合的思想。

教学方法：讲练结合教学过程：一、回顾知识点对反比例函数的图象特征、性质进行复习二、例题教学例1 已知点A(2,y 1)，B(1,y 2)，C(-1,y 3)，D(-2,y 4)都在反比例函数的图象上，试比较y 1，y 2，y 3，y 4的大小关系。

详细讲解三种方法：（1）代入求值，比较大小；（2）利用函数的性质比较大小。

由于反比例函数的自变量不是连续的，特别注意在不同象限内的点如何比较函数值大小；（3）图象法。

此方法，“数形结合”容易理解，结果直观。

例2 已知反比例函数的图象上有三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，其中x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A 、y 1<y 2<y 3B 、y 2<y 3<y 1C 、y 2<y 1<y 3D 、y 3<y 2<y 1讲解三种方法：（1）特殊值法；（2）利用函数的性质比较大小；（3）图象法。

三、课堂练习设置三道难度适当的小题，用于巩固所学方法，反馈学习效果。

第四道小题稍有挑战，用于提高学生的应变能力，实践分类讨论四、小结在比较反比例函数值的大小的时候，所选择的方法并不是一成不变的，要根据题目中的已知条件选用恰当的解法。

函数值的大小比较

函数值的大小比较 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。

2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。

3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。

）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。

当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x +＜ab 2-，即x 1离对称轴距离较远.】（2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。

当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1）4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。

（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。

二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。

比较函数式大小的三种思路

一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a 0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50探索探索与与研研究究即a >c ，综上所述，c <a 1分别判断出a 、b 、c 三者的大小关系.函数与不等式之间联系紧密，在比较较为复杂的函数式的大小时，往往要灵活运用函数的性质以及与函数相关的重要不等式结论来辅助解题.二、借助中间值中间值法是比较函数式大小的一种常用方法.有时我们很难直接判断出要比较的函数式的大小，此时可采用中间值法来解题.首先将函数式分别进行化简，以确定其大概的取值范围，并判断其正负；然后选取合适的中间值，如0、1、-1等特殊值，分别比较出函数式与中间值的大小；再根据不等式的传递性来判断出几个函数式之间的大小关系.例2.已知a =0.70.7，b =0.71.5,c =1.50.7，试比较a ，b ，c 的大小.解：由于01.50=1,所以b <a <c .先利用指数函数y =0.7x的单调性比较出a 、b 之间的大小，并确定其取值范围为（0，1）；然后根据指数函数y =1.5x的单调性比较出c 与1的大小，这样便以1为中间值，根据不等式的传递性来判断出a 、b 、c 的大小关系.例3.设a =log 50.5，b =log 20.3，c =log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是().A.b <a <cB.b <c <aC.c b >c解：a =log 50.5>log 50.2=-1，b =log 20.3<log 20.5=-1，c =log 0.32>log 0.3103=-1，log 0.32=lg 2lg 0.3，log 50.5=lg 0.5lg 5=lg 2-lg 5=lg 2lg 0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，∴b <c <a ，本题选B.观察a 、b 、c 三个函数式，可发现三个函数式均为对数式，且底数和真数均不相同，因此需采用中间值法求解.首先根据对数函数的运算性质、公式对三个函数式进行化简；然后取中间值1、-1，根据对数函数y =log 0.3x 和y =lg x 的单调性分别判断出a 、b 、c 、1、-1之间的大小关系，进而比较出a 、b 、c 的大小.三、放缩函数式放缩法是比较函数式大小的重要方法之一.利用放缩法比较函数式的大小，需先对函数式进行恒等变形；再借助不等式的基本性质、函数的单调性对函数式进行合理放缩，进而比较出函数式的大小.例4.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，请判断a ，b 的大小关系.解：∵9m =10,∴m =log 910>log 99=1,而a =10m-11=9m×æèöø109m-11=10×æèöø109m-11>10×109-11=19>0，b =8m-9=9m×æèöø89m-9=10×æèöø89m-9<10×89-9=-19<0，∴a >0>b .先根据指数幂的运算性质将指数式、对数式进行互化；再利用指数函数的单调性确定参数m 的取值范围；然后利用指数函数的单调性进行放缩，即可比较出a 、b 的大小.例5.已知7m =10,a =11m -13,b =6m -7，试判断a ，b 的大小关系.解：∵7m =10,∴m =log 710>log 77=1,而a =11m-13=7m×æèöø117m-13=10×æèöø117m-13>10×117-13>0，b =6m-7=7m×æèöø67m-7=10×æèöø67m-7<10×67-7<0，∴a >0>b .三个函数式中均含有参数m 和指数式，于是先根据指数的运算性质对函数式进行化简；再根据参数m 的取值范围，利用指数函数的单调性进行放缩，最终确定两个函数式的正负，从而比较出a ，b 的大小.解答比较函数式的大小问题，需要仔细研究要比较的函数式，找出二者之间的区别和联系，灵活运用重要不等式、中间值、函数的性质和图象，来确定函数的大小和取值范围.（作者单位：安徽省砀山第二中学）51。

九年级数学函数中变量值的大小比较

九年级数学函数中变量值的大小比较(针对一次函数、反比例函数、二次函数)例已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)．(1)若这3个点都在一次函数y ＝2x ＋5的图象上，且x 1＜x 2＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 3＜y 2B. y 1＜y 2＜y 3C. y 3＜y 2＜y 1D. y 2＜y 1＜y 3(2)若这3个点都在一次函数y ＝－2x ＋5的图象上，且y 3＜y 2＜y 1，则x 1、x 2、x 3的大小关系是( )A. x 1＜x 3＜x 2B. x 1＜x 2＜x 3C. x 3＜x 2＜x 1D. x 2＜x 1＜x 3(3)若这3个点都在反比例函数y ＝2x的图象上，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列式子正确的是( ) A. y 1＜y 2＜0＜y 3 B. y 2＜y 1＜0＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3＜0D. y 1＜0＜y 3＜y 2(4)若这3个点都在反比例函数y ＝－2x的图象上，且y 1＜y 2＜0＜y 3，则下列式子正确的是( ) A. x 1＜x 2＜0＜x 3 B. x 2＜x 1＜x 3＜0C. x 3＜0＜x 1＜x 2D. x 3＜0＜x 2＜x 1(5)若这3个点都在二次函数y ＝x 2＋2x －3的图象上，且x 1＝－52，x 2＝－32，x 3＝52，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 2＜y 3B. y 3＜y 1＜y 2C. y 2＜y 1＜y 3D. y 2＜y 3＜y 1(6)若这3个点都在二次函数y ＝－ax 2＋2ax ＋3(a >0)的图象上，且x 1＝－32，x 2＝12，x 3＝32，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A. y 1＜y 2＝y 3B. y 1＝y 3<y 2C. y 3＜y 2＜y 1D. y 2＜y 3＜y 1满分技法对于一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)、反比例函数y ＝k x(k ≠0)或者二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上各点变量值大小比较问题，要熟练掌握各函数的图象与性质．①一次函数直接利用增减性判断；②反比例函数需要分象限判断：同一象限看增减性，不同象限看变量值与0的大小关系；③二次函数先确定对称轴，再分对称轴同侧和异侧，同侧直接利用增减性判断，异侧可以利用二次函数的对称性转化为同侧判断，或者根据点到对称轴的距离远近判断．温馨提示：还可以利用数形结合，把已知点画在图象上，利用草图判断更直观．参考答案函数中变量值的大小比较例(1)B(2)B(3)D(4)C(5)C(6)A。

函数值的大小比较

函数值的大小比较二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法: 1、特殊值代入法:直接根据题目要求,分别代入具体的数值,再比较大小。

2、利用函数的增减性:当各点都在对称轴的一侧时,利用函数的增减性进行比较。

3、计算各点到对称轴的距离,结合抛物线的开口方向比较大小:(本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较,尤其是异侧。

)(1)当抛物线开口向上时(即a>0时),离对称轴距离越远,函数值越大,反之越小。

当抛物线开口向上与x 轴有两个交点,两点在对称轴的两侧时,若221x x +>ab2-(x 1y 2 【推理:由x 2-(a b 2-)>a b 2--x 1得x 2+x 1>a b -得221x x +>a b 2-;即x 2离对称轴距离较远;由x 2-(a b 2-)ab2-(x 1y 2;若221x x +0时,y 随x 的增大而减小;K <0时,y 随x 的增大而减大; 2、不同象限时,用图象法,利用y 轴“上大下小”的特点进行比较。

第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值。

通常情况下,第1和第2两种方法综合运用。

3、特殊值代入法:直接根据题目要求,分别代入具体的数值,再比较大小。

三、试题:1、(若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点,则321y y y 、、大小关系正确的是()A .321y y y >>B .231y y y >>C .312y y y >>D .213y y y >>2、点A (2,Y 1)、B (3,Y 2)是二次函数Y =X 2﹣2X +1的图象上两点,则Y 1与Y 2的大小关系为Y 1Y 2(填“>”、“<”、“=”).3、已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是反比例函数y=的图象上的两点,若x 1<0y 2>y 3B 、y 2>y 1>y 3C 、y 3>y 1>y 2D 、y 3>y 2>y 15、若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)是反比例函数y=图象上的点,且x 1y1>y 2B 、y 1>y 2>y 3C 、y 2>y 1>y 3D 、y 3>y 2>y 16、反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示,若点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)是这个函数图象上的三点,且x 1>x 2>0>x 3,则y 1、y 2、y 3的大小关系()A 、y 3y 2>0B 、y 10>y 2D 、y 1<0y 2>y 3B 、y 1>y 3>y 2C 、y 2>y1>y 3D 、y 2>y 3>y 111、已知点(﹣1,y 1),(2,y 2),(3,y 3)在反比例函数y=的图象上.下列结论中正确的是()A 、y 1>y 2>y 3B 、y 1>y 3>y 2C 、y 3>y 1>y 2D 、y 2>y 3>y 112、已知:点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)是函数y=﹣图象上的三点,且x 1<0>B .312y y y >>C .321y y y >>D .312y y y >> 14、已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0y 2>y 3B .y 1y 3>y 1D .y 2x 2>1,则y 1y 2(填“>”、“<”或“=”).16、反比例函数图象上的两上点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且x 1y 2B.y 1>B .312y y y >>C .321y y y >>D .312y y y >>19、已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0y 2>y 3B .y 1y 3>y 1D .y 2y 2>y 3B .y 1>y 3>y 2C .y 2>y 1>y 3D .y 3>y 1>y 221、已知一元二次方程x 2+bx ﹣3=0的一根为﹣3,在二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象上有三点、、,y 1、y 2、y 3的大小关系是()A .y 1x 2>1,则y 1y 2(填“>”、“<”或“=”).23、点A (2,y 1)、B (3,y 2)是二次函数y=x 2﹣2x+1的图象上两点,则y 1与y 2的大小关系为y 1y 2(填“>”、“<”、“=”).24、在函数的图象上有三个点的坐标分别为(1,)、(,)、(,),函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是()2y ax bx c =++y x x y 1x 1y 2x 2y 101x <<223x <<1y 2y 1y 2y 12yy >12y y <1y 2y 1y x =1y 122y 3-3yA .y 1B .b c <C .b c =D .无法判断26、如图,一次函数y 1=x -1与反比例函数y 2=x2的图像交于点A (2,1),B (-1,-2),则使y 1>y 2的x 的取值范围是()A. x>2B. x>2或-12或x<-127、若A (1x ,1y )、B (2x ,2y )在函数12y x=的图象上,则当1x 、2x 满足______时,1y >2y .(答案不唯一,x 1C .12m <D .12m >相关文档：∙比较函数值大小∙三角函数值的大小比较∙比较函数值大小的方法∙比较函数值大小的题目∙比较二次函数值的大小∙比较函数值大小关系∙高考比较函数值大小∙如何比较两个一次函数函数值的大小∙二次函数比较函数值大小∙奇函数函数值比较大小更多相关文档请访问：https:///。

人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数

人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。

函数中大小的比较

函数中大小的比较作者：秦勤来源：《教育教学论坛》2013年第49期中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）49-0101-03学生在解数学题时，常会碰到一类比较大小的习题，这类题常会出现在幂函数，指数函数，对数函数及三角函数中。

题目拿到手后，学生可能会无从下手，但只要掌握其中的方法，问题就会迎刃而解，下面就一些常见题型及其解法作如下分析。

一、首先判断是何种函数，然后利用函数的单调性比较大小这是一类不需计算比较大小的习题。

我们由函数的单调性知：当函数为增函数时，若x11.先判断是何种函数2.根据这种函数的性质，判断它是增函数还是减函数3.再由函数的增减性比较大小。

如比较下列三组函数的大小：（1）1.01-3/4与0.99-3/4；（2）0.22/3与0.20.69；（3）log23与log25。

（1）题中函数变化的部分在函数的底，这是幂函数y=xa在比较大小。

由幂函数的性质知：当a>0时函数为增函数，当a0.99，则1.01-3/4（2）题中函数变化的部分在函数的指数，这是指数函数y=ax在比较大小。

由指数函数的性质知：当a>1时函数为增函数，当00.20.67。

（3）题中为对数函数y=logax比较大小。

由对数函数的性质知：当a>1时函数为增函数，当01，y=log2x为增函数；由函数单调性判断：3二、利用函数图像比较大小知道几种函数的图像，对解答这类不需计算而比较大小的习题有很大的帮助。

已知：指数函数图像：？摇？摇？摇？摇？摇？摇对数函数图像：正弦函数图像：？摇？摇？摇？摇？摇？摇余弦函数图像：如比较大小：（1）（1/3）-0.25与1（2）log32与log1/23由此判断log32>log1/23（3）0.32 log20.3 20.3之间的大小0.32=0.09Log20.3：由a>1对数函数图像判断：x=0.320.3：由a>1指数函数图像判断：x=0.3>0，则y>1即20.3>1所以Log20.3（4）sin2500与sin2600由上述正弦函数图像知：y=sinx在[900，2700]内为减函数，因为2500sin2600（5）cos（-23/5∏）与cos（-17/4∏）因为cos（-23/5∏）=cos23/5∏=cos3/5∏cos（-17/4∏）=cos17/4∏=cos1/4∏由上述余弦函数图像知：y=cosx在（0，∏）内为减函数，3/5∏>1/4∏，则cos3/5∏三、巧妙构设函数在函数与1或0比较大小时，除了利用函数图像比较大小，也可巧妙地根据需要将0和1转化为指数或对数函数，如a0=1，logaa=1或loga1=0。

函数大小比较

㈠与幂函数 y x 相关的大小比较⑴ 两个幂函数的指数同样 (底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单一性判断大小； ⑵ 两个幂函数的指数不一样，能化为同指数的，利用幂函数的单一性判断大小，不可以化为同指数的，利用中间数 0 来比较大小；幂函数 yx 的性质：⑴ 在 (0, ) 上，0 时是增函数，0 时是减函数：⑵ x 1时，指数大的图象在上方，0 x 1时，指数大的图象在下方；⑶0 时，图象过（ 0，0），（ 1， 1），0 时，图象过（ 1， 1）。

㈡与指数函数 y a x相关的大小比较⑴ 两个指数函数的底数同样指数不一样时，利用指数函数的单一性判断大小；⑵ 两个指数函数的底数不一样指数同样时，可依据图象与底数的关系进行比较；⑶ 两个指数函数的底数和指数都不一样时，可引进第3 个数 (如 0， 1)分别与之比较，经过常数传达比较大小。

指数函数的性质：⑴ a 1 时， ya x 是增函数， 0 a 1时， y a x 为减函数；⑵ a1时， a 越大图象上涨越快，a1时， a 越小图象降落越快；⑶ ya x 的图象过（ 0， 1）点， y(0, ), x R 。

㈢与对数函数 ylog a x 相关的大小比较⑴ 两个对数函数的底数同样真数不一样时，利用对数函数的单一性判断大小；⑵ 两个指数函数的底数不一样真数同样时，可按图象与底数的关系进行比较，或用换底变为同底函数进行比较；⑶ 两个对数函数的底数和真数都不一样时，可引进第3 个数 (如 0， 1)分别与之比较，经过常数传达比较大小。

⑷ 解与对数相关的不等式，往常借助对数函数的单一性，由外向里逐渐化简，最后变形为整式不等等式求解。

对数函数的性质：⑴a 1时， ylog a x 是增函数，0 a时， y log a x 为减函数；1⑵ a 1时， x 1 y 0,0x 1y0 ， 0 a 1时， x 1 y 0,0 x 1y 0 ；⑶ ylog a x 的图象过（ 1， 0）点， y R, x(0, ) 。

初中比较函数大小教案

初中比较函数大小教案教学目标：1. 知识与技能：使学生能理解函数的概念，掌握函数的性质，能够比较函数值的大小。

2. 过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生对函数性质的认知，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的密切联系，体会数学在解决实际问题中的作用。

教学重点：掌握函数的性质，能够比较函数值的大小。

教学难点：理解函数的单调性，掌握比较函数值大小的方法。

教学准备：教师准备PPT，内容包括函数的定义、函数的性质、函数值大小的比较方法等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的定义，让学生举例说明生活中的函数现象。

2. 提问：同学们，你们知道如何比较函数值的大小吗？二、探究函数性质（15分钟）1. 教师展示PPT，引导学生观察函数图像，让学生总结函数的性质。

2. 学生分组讨论，实验探究函数的性质，记录下实验结果。

3. 各组汇报实验结果，教师点评并总结函数的性质。

三、学习比较函数值大小的方法（15分钟）1. 教师引导学生思考：如何比较两个函数的大小？2. 学生通过观察函数图像，总结出比较函数值大小的方法。

3. 教师讲解函数的单调性，让学生理解单调性在比较函数值大小中的应用。

四、巩固练习（10分钟）1. 教师出示练习题，让学生独立完成，检验学生对函数性质的掌握程度。

2. 教师挑选部分学生回答问题，纠正学生的错误，巩固知识点。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生总结函数的性质和比较函数值大小的方法。

2. 学生分享自己的学习收获，教师给予点评和鼓励。

六、作业布置（5分钟）1. 教师布置作业，让学生运用所学知识比较函数值的大小。

2. 提醒学生做好作业，巩固所学知识点。

教学反思：本节课通过观察、实验、探究等活动，使学生掌握了函数的性质，能够比较函数值的大小。

在教学过程中，教师注重引导学生思考，培养学生的分析问题和解决问题的能力。