人教版初三数学下册比较函数值的大小

盘点“比较函数值大小的方法”

杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023

初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.

一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小

例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线x

y 3

=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数x

y 3

=

的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.

例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322

++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.

解析：因为抛物线322

++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.

解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小

例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线x

y 3

-=上，试比较y 1和y 2的大小.

解析：因为反比例函数x

y 3

-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，

但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0

>y ，0

因此21y y >.

解法3：运用距离比较二次函数值的大小

例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.

解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，

再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：

3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对

应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)

解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小

例5：当O

900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O

，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以

/

BA BC

BA BC >

. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O

900<<<β

α时，αcos >βcos

我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.

二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：

1、比较不同函数值大小的前提条件：

当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.

解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y

②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：

从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.

在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.

（二）运用三线六域比较不同函数值的大小

例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线x

e

y =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别

取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？

解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：

在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；

C

A / 图（2）

/

C 图（3）

)0(≠k b

)0(≠+m n

因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y

因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y

因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或02y 当-23时，1y <2y

由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：

结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；

结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，

结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.

有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.

（三）三线六域的类比应用

当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.

例8：如图，抛物线)0(2

1≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？

解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：

当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =

y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1

④

⑤