第6章 第1课时电荷守恒定律 库仑定律

第1课时 电荷守恒定律 库仑定律考纲解读 1.能解释静电感应现象，会利用电荷守恒定律解答有关静电问题.2.掌握库仑定律，会利用平衡条件或牛顿第二定律解答电荷平衡或运动问题．1．[对两种电荷及起电实质的理解]一带负电的金属小球放在潮湿的空气中，一段时间后，发现该小球上带的负电荷几乎不存在了．这说明( )A ．小球上原有的负电荷逐渐消失了B ．在此现象中，电荷不守恒C ．小球上负电荷减少的主要原因是潮湿的空气将电子导走了D ．该现象是由电子的转移引起的，仍然遵循电荷守恒定律 答案 CD2．[对库仑定律适用条件的理解]关于库仑定律的公式F ＝k q 1q 2r2，下列说法正确的是( )A ．当真空中的两个点电荷间的距离r →∞时，它们之间的静电力F →0B ．当真空中的两个电荷间的距离r →0时，它们之间的静电力F →∞C ．当真空中的两个电荷之间的距离r →∞时，库仑定律的公式就不适用了D ．当真空中的两个电荷之间的距离r →0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了 答案 AD解析 r →∞时，电荷可以看成点电荷，库仑定律的公式适用，由公式可知，它们之间的静电力F →0；r →0时，电荷不能看成点电荷，库仑定律的公式就不适用了． 3．[库仑定律和电荷守恒定律的应用]三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为＋q ，球2的带电荷量为＋nq ，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F .现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F ，方向不变．由此可知( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝5D ．n ＝6答案 D解析 根据库仑定律，球3未与球1、球2接触前，球1、2间的库仑力F ＝k nq 2r 2.由于三个金属小球相同，接触后电荷量均分，球3与球2接触后，球2和球3的带电荷量q 2＝q 3＝nq2，球3再与球1接触后，球1的带电荷量q 1＝q ＋nq 22＝(n ＋2)q 4，此时1、2间的作用力F ′＝k nq 2·(n ＋2)q4r 2＝k n (n ＋2)q 28r 2，由题意知F ′＝F ，即n ＝n (n ＋2)8，解得n ＝6.故D 正确．4．[感应起电的分析方法]如图1所示，A 、B 为相互接触的用绝缘支柱支撑的金属导体，起初它们不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C 是带正电的小球，下列说法正确的是()图1A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开B．把C移近导体A后，先把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开C．把C移近导体A后，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开D．把C移近导体A后，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合答案AB解析虽然A、B起初都不带电，但带正电的导体C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，从而使A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部贴有的金属箔片由于接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷．由于同种电荷相互排斥，所以金属箔片都张开，A正确．C只要一直在A、B附近，先把A、B分开，A、B将带等量异种的感应电荷，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不会变，故金属箔片仍张开，B正确．把C移近导体A后，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错．先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错．一、电荷及电荷守恒定律1．元电荷、点电荷(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同，但符号相反．(2)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷．2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同的导体，接触后再分开，两者带同种电荷时，电荷量平均分配；两者带异种电荷时，异种电荷先中和后平分．3．感应起电：感应起电的原因是电荷间的相互作用，或者说是电场对电荷的作用．(1)同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．(2)当有外加电场时，电荷向导体两端移动，出现感应电荷，当无外加电场时，导体两端的电荷发生中和． 二、库仑定律1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上． 2．表达式：F ＝k q 1q 2r 2，式中k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，叫做静电力常量．3．适用条件：真空中的点电荷．(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式． (2)当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．考点一 静电现象及电荷守恒定律 1．使物体带电的三种方法及其实质摩擦起电、感应起电和接触带电是使物体带电的三种方法，它们的实质都是电荷的转移．而电荷转移的原因是同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引． 2．验电器与静电计的结构与原理玻璃瓶内有两片金属箔，用金属丝挂在一根导体棒的下端，棒的上端通过瓶塞从瓶口伸出(如图2甲所示)．如果把金属箔换成指针，并用金属做外壳，这样的验电器又叫静电计(如图乙所示)．注意金属外壳与导体棒之间是绝缘的．不管是静电计的指针还是验电器的箔片，它们张开角度的原因都是同种电荷相互排斥．图2例1 使带电的金属球靠近不带电的验电器，验电器的箔片张开．下列各图表示验电器上感应电荷的分布情况，其中正确的是( )解析 由于静电感应，当带电的金属球靠近不带电的验电器时，验电器达到静电平衡，近端(靠近金属球端)感应出异种电荷，远端(金属箔片)感应出同种电荷，只有B 正确． 答案 B突破训练1 如图3所示，A 、B 是两个带有绝缘支架的金属球，它们原来均不带电，并彼此接触．现使带负电的橡胶棒C 靠近A (C 与A 不接触)，然后先将A 、B 分开，再将C 移走．关于A 、B 的带电情况，下列判断正确的是( )图3A ．A 带正电，B 带负电 B ．A 带负电，B 带正电C ．A 、B 均不带电D ．A 、B 均带正电答案 A解析 C 靠近A 后A 带正电，B 带负电．分开A 、B 后，A 带正电，B 带负电，所以选A.考点二 对库仑定律的理解和应用 1．电荷的分配规律(1)两个相同的导体球，一个带电，一个不带电，接触后电荷量平分． (2)两个相同导体球带同种电荷，先接触再分离，则其电荷量平分． (3)两个相同导体球带异种电荷，先接触再分离，则其电荷量先中和再平分． 2．对库仑定律的深入理解(1)F ＝k q 1q 2r 2，r 指两点电荷间的距离．对可视为点电荷的两个均匀带电球，r 为两球心间距．(2)当两个电荷间的距离r →0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大．例2 如图4所示，两个质量均为m 的完全相同的金属球壳a 与b ，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为l ，为球壳外半径r 的3倍．若使它们带上等量异种电荷，使其所带电荷量的绝对值均为Q ，那么a 、b 两球之间的万有引力F 1与库仑力F 2为( )图4A ．F 1＝G m 2l 2，F 2＝k Q 2l 2B ．F 1≠G m 2l 2，F 2≠k Q 2l 2C ．F 1≠G m 2l 2，F 2＝k Q 2l 2D ．F 1＝G m 2l 2，F 2≠k Q 2l2解析 虽然两球心间的距离l 只有球壳外半径r 的3倍，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看做质量集中于球心的质点，因此，可以应用万有引力定律求F 1；而本题中由于a 、b 两球壳所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布比较密集，又因两球心间的距离l 只有其外半径r 的3倍，不满足l 远大于r 的要求，故不能将两带电球壳看成点电荷，所以库仑定律不适用，D 正确． 答案 D突破训练2 使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q 和＋5Q 的电荷后，将它们固定在相距为a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 1.现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 2.则F 1与F 2之比为 ( )A ．2∶1B ．4∶1C ．16∶1D ．60∶1答案 D解析 两个完全相同的金属球相互接触并分开后，带电荷量均变为＋Q ，距离变为原来的两倍，根据库仑定律可知选项D 正确． 考点三 库仑力作用下的平衡问题1．处理平衡问题的常用方法：(1)合成法，(2)正交分解法． 2．三个自由点电荷的平衡问题(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．(2)规律“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上； “两同夹异”——正负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．例3 如图5所示，将两个摆长均为l 的单摆悬于O 点，摆球质量均为m ，带电荷量均为q (q >0)．将另一个带电荷量也为q (q >0)的小球从O 点正下方较远处缓慢移向O 点，当三个带电小球分别处在等边三角形abc 的三个顶点上时，两摆线的夹角恰好为120°，则此时摆线上的拉力大小等于( )图5A.3mgB ．mgC ．23·kq 2l2D.3·kq 2l2解析 如图为a 处带电小球的受力示意图，其中F 为摆线对小球的拉力，F 1和F 2分别为b 处带电小球和移动的带电小球对它的库仑力．根据题意分析可得F 1＝F 2＝k q 2(3l )2，根据共点力的平衡知识可得F cos 30°＝k q 2(3l )2＋k q 2(3l )2cos 60°，mg ＝F sin 30°＋k q 2(3l )2sin 60°，联立以上两式解得F ＝3kq 23l 2或F ＝mg ，故选项中只有B 正确．答案 B突破训练3 可以自由移动的点电荷q 1、q 2、q 3放在光滑绝缘水平面上，如图6所示，已知q 1与q 2之间的距离为l 1，q 2与q 3之间的距离为l 2，且每个电荷都处于平衡状态．图6(1)如果q 2为正电荷，则q 1为________电荷，q 3为________电荷． (2)q 1、q 2、q 3三者电荷量大小之比是________．解析 (1)q 2处于平衡状态，则q 1、q 3对它的静电力等大反向，所以q 1、q 3带同种电荷；q 1处于平衡状态，则q 2、q 3对它的静电力等大反向，所以q 2、q 3带异种电荷．因此，q 1、q 3都带负电荷．(2)对q 1列平衡方程：k q 1q 2l 21＝k q 1q 3(l 1＋l 2)2对q 3列平衡方程：k q 2q 3l 22＝kq 1q 3(l 1＋l 2)2联立解得：q 1∶q 2∶q 3＝(l 1＋l 2l 2)2∶1∶(l 1＋l 2l 1)2.答案 (1)负 负 (2)(l 1＋l 2l 2)2∶1∶(l 1＋l 2l 1)2处理库仑力作用下电荷平衡问题的方法(1)库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题相同，可以将力进行合成与分解．(2)恰当选取研究对象，用“隔离法”或“整体法”进行分析． (3)对研究对象进行受力分析，注意比力学中多了一个库仑力． (4)列平衡方程，注意电荷间的库仑力与电荷间的距离有关．28．挖掘隐含条件，解决库仑力作用下的动力学问题例4 如图7所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R ，在中心处固定一带电荷量为＋Q 的点电荷．质量为m 、带电荷量为＋q 的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？图7审题与关联解析 设小球在最高点时的速度为v 1，根据牛顿第二定律 mg －kQq R 2＝m v 21R①设当小球在最低点时的速度为v 2，管壁对小球的作用力为F ，根据牛顿第二定律有F －mg －kQq R 2＝m v 22R②小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒．则12m v 21＋mg ·2R ＝12m v 22③由①②③式得F ＝6mg由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F ′＝6mg . 答案 6mg“杆模型”问题解题关键：(1)建立杆模型，找准临界状态和临界条件． (2)特别要注意库仑力与运动方向始终垂直，不做功．突破训练4 如图8所示，点电荷＋4Q 与＋Q 分别固定在A 、B 两点，C 、D 两点将AB 连线三等分，现使一个带负电的粒子从C 点开始以某一初速度向右运动，不计粒子的重力，则该粒子在CD 之间运动的速度大小v 与时间t 的关系图象可能是图中的( )图8答案 B解析 粒子在AB 连线上的平衡位置即为场强为零的位置，设粒子与B 点的距离为x ，所以kQ x 2＝k ·4Q (L －x )2，得x ＝L 3，即在D 点，粒子在D 点左侧时所受电场力向左，粒子在D 点右侧时所受电场力向右．所以粒子的运动情况有以下三种情况：在D 点左侧时先向右减速至速度为零然后向左加速运动；粒子能越过D 点时，先在D 点左侧减速，过D 点以后加速运动；或在D 点左侧减速，运动到D 点速度减为0，以后一直静止，由于C 图象不对称，所以粒子在CD 之间的运动可以用B 图象描述，故B 正确．高考题组1．(2013·新课标Ⅱ·18)如图9，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a 、b 和c 分别位于边长为l 的正三角形的三个顶点上；a 、b 带正电，电荷量均为q ，c 带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k .若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )图9A.3kq3l 2B.3kq l 2C.3kq l 2D.23kq l2答案 B解析 因为a 、b 小球对c 的静电力的合力方向垂直于a 、b 连线向上，又因c 带负电，所以匀强电场的场强方向为垂直于a 、b 连线向上．分析a 球受力：b 对a 的排斥力F 1、c 对a 的吸引力F 2和匀强电场对a 的电场力F 3＝qE .根据受力平衡可知，a 受力情况如图所示利用正交分解法： F 2cos 60°＝F 1＝k q 2l 2F 2sin 60°＝F 3＝qE .解得E＝3kq l2.2．(2013·四川理综·8(1))在探究两电荷间相互作用力的大小与哪些因素有关的实验中，一同学猜想可能与两电荷的间距和带电量有关．他选用带正电的小球A和B，A球放在可移动的绝缘座上，B球用绝缘丝线悬挂于玻璃棒C点，如图10所示．图10实验时，先保持两球电荷量不变，使A球从远处逐渐向B球靠近，观察到两球距离越小，B球悬线的偏角越大；再保持两球距离不变，改变小球所带的电荷量，观察到电荷量越大，B球悬线的偏角越大．实验表明：两电荷之间的相互作用力，随其距离的________而增大，随其所带电荷量的________而增大．此同学在探究中应用的科学方法是________(选填“累积法”、“等效替代法”、“控制变量法”或“演绎法”)．答案减小增大控制变量法解析偏角的大小，可以反映电荷间相互作用力的大小．所以可以分析出相互作用力与间距、电荷量的关系．本题考察电荷间相互作用力与哪些因素有关，猜想有两方面，分组测量，所以本题的科学方法为控制变量法．模拟题组3．两根绝缘细线分别系住a、b两个带电小球，并悬挂在O点，当两个小球静止时，它们处在同一水平面上，两细线与竖直方向间夹角分别为α、β，α<β，如图11所示．现将两细线同时剪断，则()图11A．两球都做匀变速运动B．两球下落时间相同C．落地时两球水平位移相同D．a球落地时的速度小于b球落地时的速度答案BD解析 当两小球静止时，设两球之间的库仑力大小为F ，则有F ＝m a g tan α＝m b g tan β，因为α<β，所以有m a >m b .将两细线同时剪断后，两球在竖直方向都做自由落体运动，下落时间相同，B 正确．水平方向，库仑力逐渐变小，两球在库仑力作用下做变加速直线运动，A 错误．由a ＝Fm 可知，加速度a a <a b ，所以两球落地时水平位移x a <x b ，落地速度v a <v b ，C 错误，D 正确．4．如图12所示，足够大的光滑绝缘水平面上有三个带电质点，A 和C 围绕B 做匀速圆周运动，B 恰能保持静止，其中A 、C 和B 的距离分别是L 1和L 2.不计三质点间的万有引力，则A 和C 的比荷(电量和质量之比)之比应是( )图12A ．(L 1L 2)2B ．(L 2L 1)2C ．(L 1L 2)3D ．(L 2L 1)3答案 C解析 根据B 恰能保持静止可得：k q A q B L 21＝k q C q BL 22，且A 、C 带同种电荷，B 与A 、C 带异种电荷，A 做匀速圆周运动，k q A q B L 21－k q C q A (L 1＋L 2)2＝m A ω2L 1.C 做匀速圆周运动，k q C q B L 22－k q C q A (L 1＋L 2)2＝m C ω2L 2.联立解得A 和C 的比荷(电量与质量之比)之比q A m A ∶q C m C ＝(L 1L 2)3，C 正确．(限时：30分钟)►题组1 起电的三种方式和电荷守恒定律的应用 1．关于电现象，下列说法中正确的是( )A ．感应起电是利用静电感应，使电荷从物体的一部分转移到物体的另一部分的过程B ．带电现象的本质是电子的转移，中性物体得到多余电子就一定带负电，失去电子就一定带正电C ．摩擦起电是普遍存在的现象，相互摩擦的两个物体总是同时带等量异种电荷D ．当一种电荷出现时，必然有等量异种电荷出现，当一种电荷消失时，必然有等量异种电荷同时消失 答案 ABD解析 感应起电是电荷从物体的一部分转移到另一部分，而摩擦起电是电荷从一个物体转移到另一个物体，但相互摩擦的两个物体并不一定带等量异种电荷，故A正确，C 错误；由电荷守恒定律可知D正确；中性物体得到多余电子带负电，失去电子带正电，B正确．2．如图1所示，左边是一个原来不带电的导体，右边C是后来靠近的带正电的导体球，若用绝缘工具沿图示某条虚线将导体切开，分导体为A、B两部分，这两部分所带电荷量的数值分别为Q A、Q B，则下列结论正确的是()图1A．沿虚线d切开，A带负电，B带正电，且Q A>Q BB．只有沿虚线b切开，才会使A带正电，B带负电，且Q A＝Q BC．沿虚线a切开，A带正电，B带负电，且Q A<Q BD．沿任意一条虚线切开，都会使A带正电，B带负电，而Q A、Q B的值与所切的位置有关答案 D解析导体原来不带电，只是在C所带正电荷的作用下，导体中的自由电子向B部分移动，使B部分多了电子而带负电，A部分少了电子而带正电．根据电荷守恒定律可知，A部分转移的电子数目和B部分多出的电子数目是相同的，因此无论从哪一条虚线切开，两部分的电荷量总是相等的，不过从不同位置切开时，Q A、Q B的值是变化的，故只有D正确．►题组2库仑定律的理解和应用3．用控制变量法，可以研究影响电荷间相互作用力的因素．如图2所示，O是一个带电的物体，若把系在丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P1、P2、P3位置，可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小，这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来．若物体O的电荷量用Q表示，小球的电荷量用q表示，物体与小球间距离用d表示，物体和小球之间的作用力大小用F表示．则以下对该实验现象的判断正确的是()图2A．保持Q、q不变，增大d，则θ变大，说明F与d有关B．保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d成反比C ．保持Q 、d 不变，减小q ，则θ变小，说明F 与q 有关D ．保持q 、d 不变，减小Q ，则θ变小，说明F 与Q 成正比 答案 C解析 本题考查库仑定律．根据库仑定律和平衡条件可知F ＝k Qqd 2＝mg tan θ，保持Q 、q 不变，增大d ，F 将变小，则θ变小，说明F 与d 有关，但不能确定成反比关系，选项A 、B 错误；保持Q 、d 不变，减小q ，则θ变小，说明F 与q 有关，选项C 正确；保持q 、d 不变，减小Q ，则θ变小，说明F 随Q 的减小而减小，但不能确定成正比关系，选项D 错误．4．如图3所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q ，半径为R ，放在绝缘水平桌面上．圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A ，使A 到O 点的距离为R ，在A 点放一检验电荷＋q ，则＋q 在A 点所受的电场力为( )图3A.kQqR 2，方向向上 B.2kQq4R 2，方向向上 C.kQq4R 2，方向水平向左 D ．不能确定 答案 B解析 先把带电圆环分成若干个小部分，每一小部分可视为一个点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直方向上的电场力大小为kqQ cos 45°(2R )2＝2kQq4R 2，方向向上，故选B. ►题组3 库仑力作用下带电体的平衡问题5．如图4所示，可视为点电荷的小球A 、B 分别带负电和正电，B 球固定，其正下方的A球静止在绝缘斜面上，则A 球受力个数可能为( )图4A ．可能受到2个力作用B ．可能受到3个力作用C ．可能受到4个力作用D ．可能受到5个力作用 答案 AC解析 以A 为研究对象，根据其受力平衡可得，如果没有摩擦，则A 对斜面一定无弹力，只受重力和库仑引力两个力作用而平衡；如果受摩擦力，则一定受弹力，所以此时A 受4个力作用而平衡，A 、C 正确．6．在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A 、B 、C 位于等边三角形的三个顶点上，小球D 位于三角形的中心，如图5所示．现让小球A 、B 、C 带等量的正电荷Q ，让小球D 带负电荷q ，使四个小球均处于静止状态，则Q 与q 的比值为( )图5A.13B.33C ．3D. 3答案 D解析 设三角形边长为a ，由几何知识可知，BD ＝a ·cos 30°·23＝33a ，以B 为研究对象，由平衡条件可知，kQ 2a 2cos 30°×2＝kQq BD 2，解得：Qq＝3，D 正确．7．A 、B 两带电小球，质量分别为m A 、m B ，电荷量分别为q A 、q B ，用绝缘不可伸长的细线如图6悬挂，静止时A 、B 两球处于同一水平面．若B 对A 及A 对B 的库仑力分别为F A 、F B ，则下列判断正确的是( )图6A ．F A <F BB ．细线OC 的拉力F T C ＝(m A ＋m B )g C ．细线AC 对A 的拉力F T A ＝m A2g D ．同时烧断细线AC 、BC 后，A 、B 在竖直方向的加速度相同 答案 BD解析 A 与B 之间的库仑力是作用力与反作用力的关系，选项A 错误；以A 、B 为整体作为研究对象，竖直方向的合力为零，即细线OC 的拉力F T C ＝(m A ＋m B )g ，选项B 正确；以A 为研究对象，细线AC 对A 的拉力F T A ＝m A g cos 30°＝23m A g3，选项C 错误；同时烧断细线AC 、BC 后，A 、B 在竖直方向的加速度均为g ，选项D 正确．8．如图7所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球，带电量分别为－q 、Q 、－q 、Q .四个小球构成一个菱形，－q 、－q 的连线与－q 、Q 的连线之间的夹角为α.若此系统处于平衡状态，则正确的关系式可能是( )图7A ．cos 3α＝q8QB ．cos 3α＝q 2Q2C ．sin 3α＝Q8qD ．sin 3α＝Q 2q2答案 AC解析 设菱形边长为a ，则两个Q 之间距离为2a sin α，两个q 之间距离为2a cos α.选取其中的一个－q 作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2k Qq a 2cos α＝k q 2(2a cos α)2，解得cos 3 α＝q8Q ，选项A 正确，B 错误；选取其中的一个Q 作为研究对象，由库仑定律和平衡条件得2k Qq a 2sin α＝k Q 2(2a sin α)2，解得sin 3α＝Q 8q ，选项C 正确，D 错误． ►题组4 在库仑力作用下的动力学问题9．如图8所示，把一个带电小球A 固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B .现给B 一个沿垂直AB 方向的水平速度v 0，下列说法中正确的是( )图8A ．若A 、B 为异种电荷，B 球一定做圆周运动 B ．若A 、B 为异种电荷，B 球可能做匀变速曲线运动C ．若A 、B 为同种电荷，B 球一定做远离A 的变加速曲线运动D ．若A 、B 为同种电荷，B 球的动能一定会减小答案 C解析 如果A 、B 为异种电荷，当A 对B 的库仑引力恰好提供B 做圆周运动所需要的向心力时，B 绕A 做匀速圆周运动；当A 对B 的库仑引力大于或者小于B 做圆周运动所需要的向心力时，则B 将做近心运动或者做离心运动．由于库仑力是变力，故不可能做匀变速曲线运动，A 、B 两项均错．如果A 、B 为同种电荷，则B 受到A 的库仑斥力将做远离A 的变加速曲线运动，电场力做正功动能增大，所以C 项正确，D 项错． 10．如图9所示，正电荷q 1固定于半径为R 的半圆光滑轨道的圆心处，将另一带正电、电荷量为q 2、质量为m 的小球，从轨道的A 处无初速度释放，求：图9(1)小球运动到B 点时的速度大小； (2)小球在B 点时对轨道的压力．答案 (1)2gR (2)3mg ＋k q 1q 2R2，方向竖直向下解析 (1)带电小球q 2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR ＝12m v 2B解得v B ＝2gR .(2)小球到达B 点时，受到重力mg 、库仑力F 和支持力F N ，由圆周运动和牛顿第二定律得F N －mg －k q 1q 2R 2＝m v 2B R解得F N ＝3mg ＋k q 1q 2R2根据牛顿第三定律，小球在B 点时对轨道的压力为 F N ′＝F N ＝3mg ＋k q 1q 2R 2方向竖直向下．11．如图10所示，质量为m 的小球A 放在绝缘斜面上，斜面的倾角为α.小球A 带正电，电荷量为q .在斜面上B 点处固定一个电荷量为Q 的正电荷，将小球A 由距B 点竖直高度为H 处无初速度释放．小球A 下滑过程中电荷量不变．不计A 与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中．已知静电力常量k 和重力加速度g .图10(1)A 球刚释放时的加速度是多大？(2)当A 球的动能最大时，求此时A 球与B 点的距离． 答案 (1)g sin α－kQq sin 2 αmH 2(2)kQqmg sin α解析 (1)根据牛顿第二定律mg sin α－F ＝ma 根据库仑定律：F ＝k Qq r 2，r ＝Hsin α联立以上各式解得a ＝g sin α－kQq sin 2 αmH 2.(2)当A 球受到合力为零、加速度为零时，速度最大，动能最大．设此时A 球与B 点间的距离为R ，则mg sin α＝kQqR2，解得R ＝kQqmg sin α.。