第五章 流动损失与管路计算

p* p gz cos 这里
根据前面假设，左右分别是r和z的函数， 因此，只能都是常数。
这样，可以积分上式：
p* r C1 rz z 2 r
这就是切应力方程，这里的C1是积分常数。 ●速度方程
按照牛顿剪切定律 rz u r ，代入上式， 积分得到速度分布方程：
积分，得
w 即V 两边同除以
Vx w y C
Vx V * yV * C
●圆管湍流的速度分布曲线分析。 把对数律中的y用半径R代入，即可求得 圆管湍流中的最大流速(因为粘性底层和过渡 区很薄，所以此处忽略它)。也可以积分得到 平均流速。
●有时也采用所谓的指数规律来计算圆管内的 湍流流动速度。此时湍流流速为
[2] 层流与湍流的起因 ◎湍流产生的物理学 湍流的产生来自于层流流动的稳定性被 各种可能的扰动破坏。这种扰动包括速度、 压力的脉动；壁面粗糙度等。 当流动的Re数大时，流体质点所受的惯 性力远远大于粘性力，这样用于维持分子间 的作用力不足以克服惯性力，因此扰动增长。 这种扰动增长越来越大时，层流稳定性破坏， 流动状态发生转变。
第五章 流动损失 与管路计算
§5.1 流动状态和流动损失分类 [1] Reynolds实验、层流与湍流 ◎Reynolds实验
◎流动状态：层流、过渡与湍流区
◎临界Reynolds数，流动状态的判断：
上临界Reynolds数Rec1：层流→湍流 下临界Reynolds数Rec2：湍流→层流 Rec1< Rec2 ，且不稳定；而下临界Re数基本 稳定在2300左右。 →取下临界Reynolds数作为临界Re数， 即流动状态转变的临界Re数为2300。
湍流模型的研究是现代流体力学核心问 题之一。
[4]圆管湍流的结构——即湍流流动区域的划分 在层流流动中我们已经知道，圆管中层 流流动的速度呈抛物型分布，速度梯度在管 道中心处很小而在壁面处最大。 对湍流流动来说，由于流体微团的横向 脉动基本上以管中心线为准(此处流速最大)， 占据了管道的绝大部分区域，这部分区域称 为湍流核心区。在核心区，由于微团的横向 脉动，致使管道中心处的流速分布更加平坦， 这样层流粘性应力更加小，此时层流粘性应 力远远小于微团脉动所产生的附加应力，因 此，可以忽略层流粘性应力。
u z 0
◎假设：定常流动 ◎v=0，切应力沿r方向不同，压力沿z方向不同。
在流向上，使用动量定理。在管内围绕轴 线取一个厚度为dr、长度为dz的微元中空柱体 作为控制体。 因为两端面处的流速相等，所以进口控制 体的动量通量相等，这样动量定理成为力平 衡方程。
微元体上沿流向的所有力之和为 rz rz 2rdz rz dr 2 r drdz
u u dAx v dAy w dAz Fx u 2 u v u w
后面的项就是附加应力。
雷诺应力(或称：附加应力)一般记为
ij,t uiuj
对不可压缩流 ij,t uiuj
◐思考题：湍流流动的主要特征是什么？
r p p 2rdr p dz 2rdr g cos 2rdrdz z
●切应力方程
根据力平衡原理，上式应当为零。化简得
* 1 r rz p p g cos r r z z
◎Boussineq涡粘性假设 工程湍流的核心问题是关于如何封闭这 个附加应力。为了不增加问题的复杂性，不 引进额外的变量，Boussineq提出了著名的涡 粘性假设：
ui u j 2 uk uiv j t ij x xi 3 xk j
v h 2g
ξ称为局部损失系数，它也是无量纲量。其 值取决于流动Re数、几何形状。
2
局部损失的例子
§5.2 圆管中充分发展的层流流动 充分发展的流动； 发展流动(进口流动)
→圆管内充展的层流流动分析 ◎假设：管长>>管径，所以当作充展流，流动 参数除压强外，不随流向z位置而变化，即；
2 2
wr R w 1 y / R
l Ky 1 y R
因此
dVx dy 1 y w V y
积分，得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 Vx V ln y C K
*
◎粘性底层 粘性底层内，可近似认为切应力为常数， 就等于壁面切应力，故
w dVx dy
在核心区和粘性底层之间，有一个也很 薄的过渡区，在这层中，层流粘性应力和湍 流附加应力的量级是相当的，两者均不可省 略。
[5]光滑圆管内湍流的流动分析 即充分发展的圆管湍流。所谓完全发展 的湍流，是指管内湍流的平均速度呈现出充 分发展的层流特点。所谓光滑管，简单说即 没有考虑粗糙度的影响。
圆管内湍流的速度分布：
这里的 t 称为涡粘性系数。
涡粘性系数是一个假想的系数，取决 于流动状态。跟粘性系数相比，它不是一 个物性常数，不同的流动场合它是变化的， 而且在同一个流动中，其变化也很显著。
[3]Prandtl混合长理论 基于下列假设，Prandtl提出了混合长理论： (1)流体微团在脉动过程中，在两次碰撞之间 走过一段平均的距离。此距离称为混合长。 在y-l层的微团脉动到y层时，其速度差即为 脉动速度。
●沿程损失系数(Darcy系数)：
64 Re
这里，Re数的定义是：Re u D
[证明]由伯努利方程，对于等截面圆管，其摩 擦损失为： h f p1 z1 p2 z2 p*
p R 2 8L u 32L u 按照 u L 8 ,即p R 2 D 2
由于脉动，当各流层中具有不同速度的流 体质点因横向脉动进入其相邻的流体层时，就 在各流体层之间引起了动量交换，从而在流体 层之间产生了湍流附加应力，称为雷诺应力。 湍流中的总应力为层流应力加附加应力。
取一个截面dA，则其动量通量为
uudA vdAy wdAz Fx x
取其时均值，得到
p r 2 C1 u z 4 ln r C2
这里C2也是积分常数。
●边界条件
du 0, u r R 0 dr r 0
根据此边界条件，另外，常常把压力梯度 用沿程的压降表示，即：
p z p L
2 p R 2 r 速度分布： u L 4 1 R
u u y


(线性律)
●过渡区中，层流粘性应力和雷诺应力均不可 忽略，因此无法求解。根据Nikurads的实验， 过渡区中的速度分布也距离线性律和对数律不 太远，因此，使用两者的扩展来掩盖过渡区。 但这时候的线性律和对数律的分界线应取为：
y 11.6

【推导过程】
◎核心区
dVx 1 l dVx dy dy l 对于管内，切应力及混合长(除管轴附近)为：
2
后一等式是为了反映雷诺应力的方向性。因 此，涡粘性系数为 du 2 t l dy 这个修正的长度( l )叫混合长度。以后 总是忽略撇号。
不同流动下的混合长度，是根据经验或 实验得出的。Prandtl认为：
l ◇圆管或壁面的附近： y (κ近似为0.41)
说明 (1)混合长度是最简单的湍流模型。 (2)它是有缺陷的。首先精确程度不高；其次在 某些地方，甚至是错误的。 (3)存在其他更复杂的湍流模型，分为 ◇代数模型。包括混合长模型、Baldwin-Lomax 模型； ◇一方程模型。 ◇两方程模型。这里有著名的k-ε 两方程模型。 ◇代数应力模型和雷诺应力模型。
●核心区：
核心区中，可以忽略层流切应力。故 根据Prandtl的混合长理论，可得 u 1 ln y B (对数律) u 其中 u w , y yu 称为摩擦速度和无 量纲离壁距离。
●粘性底层中，可以忽略雷诺应力。因此 y w u C 根据：y=0:u=0的边界条件，C=0。因此有
◎湍流强度
v2 v
湍流强度通常用来反映湍流脉动的强烈程度。
[2] Reynolds应力与Boussineq涡粘性假设 ◎Reynolds应力 粘性流体的层流流动中，各层流体间的 内摩擦引起了粘性应力，其大小可由牛顿切 应力公式计算。 在湍流流动中，除了流层的内摩擦引起 的层流应力外，还有附加应力。


p* r 切应力分布： rz L 2
p R 2 ●最大速度：umax L 4
●平均速度：
u 0.5umax
p R 4 ●体积流量： Q L 8 这是著名的哈根-泊肃叶(Hagen-Poiseuille) 方程。它表明了管道层流流动中的体积流量与 导致流动的压差成正比，与管道半径的四次方 成正比。
u v max y R
n
这里的指数随雷诺数变化，但为简单起见， 常取1/7。此时平均流速为
u vmax
n 1 / 7 2 0.817 n 1n 2
与层流时u=0.5vmax相比，湍流的速度型 面更平坦。
[6]粗糙管内的流动与阻力系数 (1)粗糙度——管壁表面粗糙峰的平均高度称 为管壁的绝对粗糙度。把绝对粗糙度除以管 直径，称为管壁的相对粗糙度。 (2)根据粘性底层的厚度和管壁的绝对粗糙度 的相对大小，把管道分为(水力)光滑管和(水 力)粗糙管。 (3)由于粘性底层的厚度取决于雷诺数，因此， 从根本上来说，管道属于光滑管还是粗糙管， 取决于雷诺数和粗糙度。
u u y u y l
这里的没有加撇 号的速度是指时 均速度。下面也 相仿。
(2)流体微团在x方向上的脉动速度和y方向上 的脉动速度的量级是相同的。即 v ~ u
按照上面假设，首先把假设(1)按照Taylor展 开，得到：
u u y u y l l du dy
L u2 所以，由Darcy公式 h f D 2g
得
64 Re
§5.3 管内湍流 [1]湍流的研究方法 ◎湍流的瞬时速度、时均速度、脉动速度；
湍流的脉动现象；时间平均 瞬时值、时均值、脉动值
u u u

◎湍流在时均量下定义的概念：湍流场的流线； 定常湍流等。
而且由假设(2) du v cu cl dy 这里c是比例常数， 根据连续方程，u方 向的脉动与v方向的 脉动的符号是相反的。
这样，附加切应力为
du du du uv cl 2 l 2 dy dy dy
◎非圆截面管的临界Re数 当量直径
d D 4 面积A 湿周P
此处，湿周是指过流截面上被流体占 据的面积部分所对的周长。 非圆截面管的临界Re数 对于非圆截面，流动更容易转变为湍 流，因此其临界Re数更低。 管道的粗糙度越大，流动也更易转变 为湍流。
[3] 流动损失的分类 ◎沿程损失 Darcy公式： L v2 hf D 2g 这里的λ称为沿程损失系数，它与流体的 粘度、流速、流态、管径等等因素有关，它 是一个无量纲数。 ◎局部损失
在管壁处一个很薄的区域内，由于速度 梯度很大，因此层流粘性应力很大，相反， 由于固体壁面的限制，紧靠壁面处流体微团 的脉动受到约束，因此湍流附加应力很小。 结果在这里湍流附加应力可以忽略。这里的 薄层称为粘性底层。 粘性底层的厚度为
32.8d Re
这里λ 是沿程损失系数。因此可见， 粘性底层通常很薄，大约只有几分之一毫 米。但是它对湍流流动的影响却是很大。 ——在沿程损失计算时更明显。