圆锥曲线中的取值范围最值问题

圆锥曲线中的最值取值范围问题

90.已知12,F F 分别是双曲线2

222x y

a b

-=l （a>0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，

若 0

1290F PF ∠=,且21PF F ∆的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的

。 （I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l

的距离为

2

，求△AOB 面积的最大值．

90.解：设n PF m PF ==||,||21，不妨P 在第一象限，则由已知得

,065.22,)2(,22

2222=+-⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=-c ac a m c n c n m a n m ,0562=+-∴e e

解得15==e e 或（舍去）。设椭圆离心率为.3655,=

''e e 则 .3

6

='∴e

可设椭圆的方程为.,122

22c b y a x '='

+'半焦距为

⎪

⎩⎪⎨⎧='='='⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧'='+'='+'=''∴.2,1,3.,3,36

2222

2c b a a c b c b a c 解之得 .1322=+∴y x 椭的方程为 （Ⅱ）①当AB .3||,=⊥AB x 轴时

②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，

由已知

,231||2

=

+k m 得m kx y k m +=+=把),1(4

3

22代入椭圆方程，整理得

,0336)13(2

2

2

=-+++m kmx x k .1

3)

1(3,1362221221+-=+-=+∴k m x x k km x x

2

122

2

))(1(||x x k AB -+=∴]1

3)

1(12)13(36)[1(2

222222

+--++=k m k m k k

2

22222222)

13()

19)(1(3)13()13)(1(12+++=+-++=k k k k m k k

)0(6

191231

69123222

22

≠+++=+++=k k

k k k k .463212

3=+⨯+≤

当且仅当33,192

2

±==

k k k 即时等号成立，此时.2||=AB

③当.3||,0=

=AB k 时

综上所述：2||max =AB ，

85.已知曲线C 的方程为2

2x y =，F 为焦点。

（1）过曲线上C 一点00(,)P x y （00x ≠）的切线l 与y 轴交于A ，试探究|AF|与|PF|之间的关系；

（2）若在（1）的条件下P 点的横坐标02x =，点N 在y 轴上，且|PN|等于点P 到直线210y +=的距离，圆M 能覆盖三角形APN ，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程。 85.

74.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为2

1

，21,F F 分别为其

左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切．

(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆1C 的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹C 的方程；

(Ⅱ) 在曲线C 上有四个不同的点Q P N M ,,,，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且022=⋅MF PF ，求四边形PMQN 面积的最小值．

74.解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得312214

2222=-=⇒⎩⎨

⎧==⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程13

4:221=+y x C . (ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为)0,1(，准线方程

为1-=x ，则动圆圆心轨迹方程为x y C 4:2

=. (Ⅱ)由题设知直线PQ MN ,的斜率均存在且不为零

设直线MN 的斜率为)0(≠k k ，),(),,(2211y x N y x M ，则直线MN 的方程为：

)1(-=x k y

联立x y C 4:2

= 消去y 可得0)42(2

2

2

2

=++-k x k x k 由抛物线定义可知:

2

2221224

424211||||||k

k k x x NF MF MN +=++=+++=+= 同理可得2

44||k PQ += 又32)1

2(8)44)(44(21||||212222≥++=++=⋅=

k

k k k PQ MN S PMQN (当且仅当1±=k 时取到等号)

所以四边形PMQN 面积的最小值为32.

69.如图，已知直线l ：2y kx =-与抛物线C ：2

2(0)x py p =->交于A ，B 两点，O 为坐标原点，(4,12)OA OB +=--。 （Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程；

（Ⅱ）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积最大值． 69.解：（Ⅰ）由2

2,

2y kx x py

=-⎧⎨

=-⎩得,2

240,x pkx p +-=

设()

()1,122,,,A x y B x y

则()2

1212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--

因为()()

21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---=()4,12,--

所以2

24,2412.

pk pk -=-⎧⎨--=-⎩解得 1,2.p k =⎧⎨=⎩ 所以直线l 的方程为22,y x =-抛物线C 的方程为2

2.x y =-

（Ⅱ）方法1：设00(,),P x y 依题意，抛物线过P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大，

'y x =-，所以0022,x x -=⇒=- 2001

2,2

y x =-=-所以(2,2).P --