欧拉定理

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

欧拉1707年4月15日生于瑞士，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡，他简直是个超级猛人，他的一生真的是战斗的一生。欧拉从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡学院为了整理他的著作，整整用了47年。

小奥许多知识点和欧拉有关，除了我们接下来要聊的欧拉定理和欧拉函数，还有一笔画问题也和欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题有关。对这类问题的讨论研究，引导了图论和拓扑学的发展。好，我们还是言归正传。

欧拉函数与欧拉定理

在开始欧拉定理之前我们先看一个小问题，透过这小问题来了解什么是欧拉函数。

小于n且与n互质的自然数有多少个？或者我们把n具体到100，

那么问题就是小于100且与100互质的自然数有多少个？这就是欧拉函数要解决的问题。

欧拉函数用φ表示；

φ(100) = 100 x (1-1/2) x (1-1/5)

先将100分解质因数100 = 2^2 x 5^2

所有和100互质的数一定不含约数2或5

在1~100中，每2个数中有1个是2的倍数，100 x（1-1/2）把所有2的倍数去掉。剩下的数中，每5个有一个是5的倍数，所以乘以（1-1/5）将剩下的含有约数5的数也去掉

最后有100 x (1-1/2) x (1-1/5)=40个数小于100且与100互质

欧拉函数就是这样，再来看欧拉定理：

若n, a为正整数，且n，a互质，则:

a^φ(n)≡1(mod n)

意思很明白，若n, a为正整数，且n，a互质，那么a的φ(n)次方模n恰好余1。

欧拉定理与费马小定理的关系，当n为质数p时，显然φ(p) = p-1 欧拉定理变为a^φ(p) = a^(p-1)≡1(mod p)，这就是费马小定理。所以费马小定理是欧拉定理在n为质数的特殊情况。

欧拉定理或者费马小定理揭示了一个现象，就是同余的周期性。而这个这个周期恰是欧拉函数的值（但不一定是最小周期），我们通过两个题目来进一步了解一下欧拉定理吧。

6^83 + 8^83除以49的余数是多少？

φ(49)=49 x (1-1/7) = 42

6^83 + 8^83

≡6^(2x42-1) + 8^(2x42-1)

≡-8 -6

≡35（mod 49）

6^83 + 8^83除以49的余数是35。3^2019的末两位数字是？

φ(100)=100x(1-1/2)x(1-1/5)=40 3^2019

≡3^(40x50+19)

≡3^19(mod 100)

因为φ(4)=2

3^19 ≡3^(2x9+1)

≡3 mod(4)

因为φ(25)=20

3^19 ≡3^(20-1)

≡-8

≡17 mod(25)

则3^19 ≡67(mod 100)