顺序统计量
顺序统计量方差
顺序统计量方差
**顺序统计量的方差**
随着互联网的迅速发展，网络数据的收集和处理也变得越来越重要。
而顺序统
计量的方差就是其中一项准确处理网络数据的重要工具。
顺序统计量的方差就是用来测量和解释该类数据的分布程度的方法，旨在让使用者有效地实现对这类数据的准确评估。
顺序统计量的方差可以从两个层面来理解，即数据间的单位差异以及值在某一
范围内的残差。
可以这样理解，每一组数据在单位差异上表现的拉动程度，即方差的可估量度，这就是顺序统计量的方差的一个基本特征。
而值在某一范围内的残差，反映的是数据间的统计特点，即对对比组所包含的差异进行统计衡量，这也是顺序统计量的另一个重要特征。
由此可见，顺序统计量的方差就是通过测量和解释数据间的分布程度，以便更
好地利用这些数据来实现对它们的分析。
顺序统计量的方差还可以有助于更好地研究和理解深层次数据。
比如，对比的组可以被测量和统计，以便了解其中哪一组表现得更优秀。
总之，顺序统计量的方差是一种用来分析网络数据的重要工具，它可以有助于
使用者更准确地测量和解释数据间的分布，从而更好地利用这些数据对它们进行分析。
1.3 顺序统计量
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
顺序统计量法
顺序统计量法
顺序统计量法是一种计算随机变量中各种统计量的方法。
需要对
原始数据进行排序操作，并以此计算出各种统计量，包括中位数、分
位数、极差等。
下面分步骤阐述一下这种方法的应用。
首先，将原始数据按照大小排序，从小到大或从大到小都可以，
只要保证数据的顺序一致即可。
排序可以手动进行，也可以使用计算
机软件进行。
接下来，计算中位数。
中位数是指原始数据中位于中间位置的数值，即将原始数据按照大小排序后，位于中间位置的数值。
如果数据
总数为奇数，则中位数为中间位置的数值；如果数据总数为偶数，则
中位数为中间两个数值的平均值。
其次，计算分位数。
分位数是将数据分为若干部分的数值，一般
用来表示数据的分布情况。
常用的分位数包括四分位数、十分位数等。
四分位数是将数据分为四部分，每部分包含相等的数据量。
第一个四
分位数（Q1）为数据中位于排序后1/4位置的数值，第二个四分位数（Q2）为数据中位于排序后1/2位置的数值，第三个四分位数（Q3）
为数据中位于排序后3/4位置的数值。
最后，计算极差。
极差是指数据中最大值与最小值之间的差距。
可以使用排序后的数据求得。
极差越大，说明数据分布越分散；极差
越小，说明数据分布越集中。
顺序统计量法是一种简单而常用的统计方法，可以用来计算各种
统计量，包括中位数、分位数、极差等。
在实际应用中，可以根据需
要选择相应的统计量并进行计算。
顺序统计量
顺序统计量
在移动互联网的发展中，顺序统计量扮演着重要的角色。
特别是近些年，各种
新的移动应用在竞争之下，顺序统计量可以提供及时准确的数据，帮助移动应用开发者能够以可控的成本快速获得用户成功转换的可行性路径。
首先，顺序统计量可以支持移动应用产品经理及其他产品设计人员更有针对性
地应用产品设计。
它可以帮助他们确定每一步准确的细节，从而使产品设计更精准，更具可行性。
此外，顺序统计量还可以帮助移动应用开发者解决流量来源的瓶颈，它可以通过精准规划圈选和投放广告流量来展现自身的优势所在，以此来提升渠道的效率。
另外，顺序统计量可以帮助移动应用实现用户忠诚度的准确统计和挖掘，从而
更有效地实现业务拓展，粉丝运营等目标。
总之，顺序统计量在移动互联网发展中发挥着不可替代的作用，可以准确定位产品设计细节，帮助开发者解决流量来源瓶颈，提升渠道效率，甚至有助于拓展用户忠诚度，从而提升整体业务绩效。
顺序统计量公式证明
顺序统计量公式证明顺序统计量是统计学中非常重要的概念之一，它描述了一组数据中第k个最小值或第k个最大值的概念。
在实际应用中，顺序统计量常常被用于数据分析、质量控制、风险管理等领域。
为了证明顺序统计量的公式，我们需要先了解几个基本的数学概念和定理。
首先，我们需要了解什么是数学期望。
数学期望定义为随机变量取值的概率加权和。
在概率论中，数学期望是一个非常重要的概念，它描述了随机变量的平均水平。
其次，我们需要了解方差的概念。
方差是随机变量取值与数学期望的离散程度，即随机变量取值分布的散布程度。
方差越大，随机变量的取值分布越分散；方差越小，随机变量的取值分布越集中。
最后，我们需要了解协方差的概念。
协方差是两个随机变量取值之间的相关程度的度量。
如果两个随机变量取值之间的协方差为正，则它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，则它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，则它们之间没有相关关系。
在了解了上述数学概念之后，我们可以开始证明顺序统计量的公式了。
首先，我们考虑证明第k个最小值的期望公式。
我们可以将一组n个数据按照从小到大的顺序排列，那么第k个最小值的期望可以表示为：E[X(k)]。
根据数学期望的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)p(x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)p(x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)p(xk) （1）根据概率的定义，上述公式（1）可以化简为：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)P(X ≤xk) （2）其中，P(X≤xi)表示随机变量X小于等于xi的概率。
根据顺序统计量的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2)+…+(xk)P(X≤xk) （3）由于随机变量X的概率分布是离散的，因此P(X≤xi)对于所有的i都是相等的，等于1/n。
§1.4 顺序统计量的分布
§1.4 顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为一、顺序统计量的定义当取值为时定义取值为由此得到的称为样本 定义(1)(2)()) (,,,)..n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
顺序统计量
−1 ! − !
−1
1−
−
()
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值
落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于
“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间
(x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，
100
•T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n
( X i )2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知，
n i 1
1 n
是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i
i 1
•是总体期望的充分统计量。
3、分位数
设(1) ≤ (1) ≤ ⋯ ≤ () 为取自总体 X 的
次序统计量，称 Mp为p分位数。
+1 ,
= ൞1
+
2
若不是整数
+1
,
若是整数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
25%
QL
25%
QM
② 不受极端值的影响
③ 计算公式
布，
X
0
1
2
设总体 X 的分布如下:
p
1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1
x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构
C ( u , v ) H ( F 1 ( u ) ,G1 ( v ) ) . 注 由 Sklar 定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应 的 Copula 函数. 利用 Copula 函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变 换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度. 定义 2[2] 设 X 和 Y 是连续型随机变量, 它们具有 Copula 函数 C ( u , v) , 则
中图分类号: O212
文献标识码: A
文章编号: 1672-5298(2 Structure Between Order Statistics
X(1)and X(n)
PENG Dingzhong
(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
画 X (1) 和 X (n) 相关结构的 Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义 1[2] 若一个二元函数 C :[ 0 , 1]2 [ 0 , 1] 满足如下条件: (1) 对任意的变量 t I [ 0, 1] , 都有 C ( t , 0 ) C ( 0, t ) 0 , C ( t , 1) C (1, t ) t ; (2) 对任意的 u1,u2, v1, v2 I [ 0 , 1] , 且 u1 ≤ u2, v1 ≤ v2 , 有
顺序统计量的概率密度函数
顺序统计量的概率密度函数
顺序统计量的概率密度函数：解读其定义及应用。
顺序统计量的概率密度函数是用来衡量度量一个可随机变量的分布模式的一种定量技术。
它是由一个随机变量的实际值来确定一个变量值未知情况下概率分布形状的。
顺序统计量的概率密度函数分析可以使研究者提取一个随机变量的理论直方图，并观察各变量值出现的概率分布。
另外，顺序统计量的概率密度函数也有助于研究者预测变量值的未来变化。
根据概率密度函数的基本定义，当变量X的取值均匀变化时，其累积概率密度函数f(x)的值也需要随之变化，从而使随机变量的概率分布呈现均衡状态。
使用顺序统计量的概率密度函数，研究者可以快速而准确地分析一个随机变量的概率分布，从而使用这种方法来检测和预测变量值的变化情况。
有利于研究者把握变量值的变化规律，同时分析变量在不同时间段内的变化情况以比较他们之间的差异。
此外，顺序统计量的概率密度函数还能够计算变量的标准偏差等其它量的值，帮助研究者理解该变量的数字属性。
此外，概率密度函数还可以帮助研究者进行单变量或多变量建模，为进行行为分析和预测提供参考数据。
关于指数分布的顺序统计量分布性质
关于指数分布的顺序统计量分布性质
指数分布是一种“右偏型”、“长尾型”分布，其应用很多。
指数分布既应用于实证
研究，又用于模型分析等许多领域。
在这里，我将介绍指数分布的顺序统计量分布性质。
指数分布的顺序统计量主要包括其中位数、四分位数、五数概括、十数概括以及极差等。
(1)指数分布的中位数：指数分布的中位数等于指数分布的峰值处的概率密度的倒数。
(3)指数分布的五数概括：指数分布的五数概括是指包含最小值、第一四分位数、中
位数、第三四分位数以及最大值的四个数字。
(5)指数分布的极差：指数分布的极差是指由最小值和最大值之间的距离。
指数分布的顺序统计量具有以下特征：
首先，指数分布的中位数和四分位数呈左偏分布，即指数分布的中位数小于其平均值，而四分位数也小于等于其平均值。
其次，指数分布的五数概括和十数概括呈右偏分布，即最小值和最大值比较大，而剩
余数字较小。
据此可见，指数分布的顺序统计量主要呈右偏分布，其中位数和四分位数稍有左偏分
布特征，这是由于指数分布右偏性决定的。
2.3顺序统计量经验分布直方图
直方图例题
【例】某电脑 公司 2002 年前 四个月各天的 销售量数据(单 位：台)。试对 数据进行分组 。
等距分组表
(上下组限间断)
分组数据的图示
(直方图的绘制)
我一眼就看出 来了，销售量 在 170 ～ 180 之间的天数最 多!
频 数
30 25
直方图下的面 积之和等于1
(天) 20 15
经验分布函数 (Empirical distribution function): Fn ( x) n ( x)
Fn ( x)
求法 样本重新排序: x1
x2 xn
n1Biblioteka F ( x)x x1 0, x(1) x(k) x(n) k Fn x , x k x x k 1 , k 1, 2, n 1 n x x n 1, 图2-1.(每个台阶一个样本点，样本点相当多）
三、直方图
设 x1, x2, …, xn 是连续型总体X的样本观测值, 构造直方图的步骤： （1）将样本观测值由小到大排列，求出样本极差 x(n) -x(1） （2）确定组数和组距 确定数a比x(1）小一点，数b比x(n) 大一点，将[a,b]分为m
个小区间
组距=(b-a)/m
(3) 计算落在每个区间的样本观测值的个数
顺序统计量 经验分布函数 直方图
一、 顺序统计量
一、定义2.3.1 设 x1, x2, …, xn 是取自总体X的样本,
x(i) 称为该样本的第i 个次序统计量，它的取值 是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个
观测值。其中x(1)=minx1, x2,…, xn称为该样本
的最小次序统计量，称 x(n)=maxx1,x2,…,xn为 该样本的最大次序统计量。
关于指数分布的顺序统计量分布性质
关于指数分布的顺序统计量分布性质指数分布（ExponentialDistribution）是一种随机变量X的概率分布，它是由概率论和数理统计用于描述随机变量X的“分布性质”的一种数学概念。
指数分布是一种参数为λ参数的概率分布，它表示X在数值λ或更大的值上发生的概率。
指数分布的特性，可以表述为：它有一个参数λ，随机变量X服从指数分布的概率密度函数：f(x)=frac{λe^{-λx}}{x},x>0该方程的形式，可以表达为，一个定值参数λ的概率，以及e（自然常数）的负λx乘积，对应着一个参数x的大小。
顺序统计量的分布性质顺序统计量的分布性质是指，当有多个实验结果以某种形式（如按时间）出现时，其分布特性与指数分布有全面的联系。
平均到每一个点发生概率都等于λ。
在离散分布和连续分布中，顺序统计量的分布性质也是指数分布。
按照时间的连续性，可以将实验结果按时间排序，得到一系列的实验结果，按期望变成某种分布模式。
当每一次实验可以独立进行时，它们的分布模式很可能遵循指数分布。
按照指数分布，可以得到每一次实验结果的分布图：首先观察分布图可以看出，在实验结果x为零时，概率为最大，表明在当前时间点上，概率最大；然后随着x的增加，概率值也减小，表示在x越大时，概率越小。
指数分布的具体功效指数分布的具体应用，可以说是十分多样的，在这里，我们可以简单地说明一下：首先，指数分布可以用来描述不同学习方法在不同时空概念中，学习过程中遇到的概率结果。
比如，学习一段时间内，遇到的难题的概率分布，当按照指数分布去描述的时候，可以得到一个类似于S型曲线的曲线，从而可以得到一个更加有意义的分析结果。
其次，指数分布也可以用来描述在社会经济中的某些特定概念的概率，比如说，在社会经济中一些领域的投资风险，以及股票市场等多个方面，都可以通过指数分布来描述。
最后，指数分布也可以应用到生物学上，比如用指数分布来模拟某些生物种群的迁移，以及病毒传播等等，都可以得到一个比较有意义的分析结果。
顺序统计量的分布
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
第二章 顺序统计量与样本极差
f ( y ) f ( z ).
证毕。
设总体 X的 分 布 函 数 为 F ( x )，X 1 , X 2 ,, X n是 容 量 推论2： 为n的 样 本 ， 则 X (1) , X ( n )的 联 合 密 度 函 数 为
n( n 1)F ( z ) F ( y )n 2 f ( y ) f ( z ) y z f 1n ( y , z ) 其它 0
定理3： 前r个次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( r )的联合密度函数为
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r )!
y1 y2 yr
r n.
特别地，当 r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
n j
考虑到 F ( x )的连续性，当 y 0，z 0时，有
f ij ( y , z ) lim P ( X ( i ) ( y , y y ], X ( j ) ( z , z z ]) y z
y 0 z 0
n! i 1 j i 1 F ( y) F ( z ) F ( y) ( i 1)!( j i 1)!( n j )! 1 F ( z )
在定理 1的假定下，次序统计量 ( X ( i ) , X ( j ) )，i j 定理2： 的联合概率密度函数为
f ij ( y, z )
n! F ( y)i 1 F ( z ) F ( y )j i 1 1 F ( z )n j f ( y) f ( z ), ( i 1)!( j i 1)!( n j )!
i 1
应用数理统计—顺序统计量的分布
x0 x
f (x)
证明：考虑“第k个次序统计量 X(k) 落入很小的区间 (x, x+x]内”这一事件的概率。记X(k) 的分布函数为 Fk(x)。则该概率为Fk(x +x)- Fk(x)。
另外，该事件等价于“容量为n的样本X1,X2,…,Xn中
有k-1个分量小于或等于x，1个分量落入(x, x+x]内，余 下的n-k个分量大于x+x。
为f(x). X1, X 2,..., X n 是取自X的样本。则最小次
序统计量 X(1) 的概率密度函数为
f1(x) n[1 F(x)]n1 f (x)
分布函数为
F1(x) 1[1 F(x)]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
例5 设X1, X2,…, Xn是取自[0, 1]上均匀分布的样本 ，求第 k 个次序统计量 X(k) 的数学期望。
解：由于
由定理知，X(k) 的概率密度为 于是有
, X2,…, Xn是取自该总体的样本。则(X(1), X(n))的联 合密度函数为
小寿命大于a的概率。(a>0, b>0)
解：由于
F(x) 1 ex , x 0
所以，最大次序统计量 X(n) 的分布函数为
于是
Fn (x) [F (x)]n [1 ex ]n , x 0
P( X(n) b) Fn (b) [1 eb ]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
北交大-统计学-第二章 数理统计的基本概念2
一、顺序统计量及其分布
定义： 设X 1 , X 2 , , X n是取自总体X的样本，X ( i )称为
该样本的第i个顺序统计量，它的取 值是将样本 观测值，由小到大排列 后得到的第i个观测值，
其中
X (1) min(X1 , X 2 ,, X n )
称为该样本的
五、样本分位数与样本中位数
设X (1) ,, X ( n)是有序样本，则样本中 位数m0.5定义为 定义3：
n为奇数 X n1 2 1 X n X n n为偶数 1 2 2 2
最小顺序统计量， X( n) max(X1 , X 2 ,, X n ) 称为该样本的最大顺序统计量。
一般情况下，X (1) , X ( 2) ,, X ( n)既不独立，分布也不相 同。
例1： 设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布
X
0
1 3
1
1 3
2
1 3
P
现从中取出3个样本，X 1 , X 2 , X 3，其一切可能取值 1 有3 27种，每一组观测值的概率相同，都为 。 27 下面，我们分别求出各顺序统计量的边缘分布， 说明上面结论的正确性。
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r n.
特别地，当r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
g( y1 ,, yn ) n! f ( y1 ) f ( yn )
X (1)与X ( 2)的联合分布列为
X ( 2) X (1)
0
7 27
0
3-次序统计量解读
F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
X ( n )称为该样本的最大次序 统计量
在一个简单随机样本中 ，X 1 ,X 2 , ,X n独立同分布， 注：
次序统计量X (1)，X (2)， ，X ( n )既不独立，分布也不相 同.
而且任何两个次序统计 量分布也不相同 .
1、单个次序统计量的分布 定理1 设X 1 ,X 2 , ,X n 是来自总体X的样本，且X的 密度函数为p( x ), 分布函数F ( x ), 则第k个次序统计 量x( k )的密度函数为 n! pk ( x ) ( F ( x )) k-1 (1 - F ( x )) n-k p( x ) ( k-1)! ( n-k )!
j2 -j1 1
[ F ( y jr ) - F ( y jr 1 )]
jr jr 1 1
1 F ( y )
jr
n jr
p( y j1 ) p( y j2 ) p( y jr ),
y j1 y j2 y jr
证明：
j1 1
1
y j1
j1 j2 1 y j1 y j1 yj
次序统计量和经验分布 函数
一、次序统计量(或称顺序统计量)及其分布 定义 设X 1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，将X 1 ,
X 2 , ,X n按从小到大的顺序排列 为 X (1) X ( 2 ) X ( n ) 则X ( i ) 称为该样本的第 i个次序统计量，
关于顺序统计量分布的一种证明
文章编号 : 1009 - 3907 (2002) 06 - 0020 - 02关于顺序统计量分布的一种证明王 伟(长春大学 应用理学院 , 吉林 长春 130022)摘 要 : 介绍了顺序统计量的概念 , 并利用多元随机变量的联合分布与边缘分布之间关系 , 求出 顺序统计量的分布 , 并通过实例加以描述 。
关键词 : 顺序统计量 ; 分布 ; 证明中图分类号 : O21211文献标识码 : A = P ( X (1) 由于X (1) ≤X (2) ≤x ( n ) ) ,≤x (1) , X (2) ≤x (2) ,, X ( n ) 1 顺序统计量定义 : 设 X 1 , X 2, X n 是来自总体 X 的容量, x n 为样本值 , 将它≤ ≤X ( n ) ,为 n 的样本 , 记 x 1 , x 2 ,对于每一点 ( x (1) , x (2) , , x ( n ) ) , x (1) < x (2) < < 们按大小递增次序排列 , 得到x ( n ) 可找到 n ! 个不同的样本点 ( x 1 , x 2 , , x n ) 与之x (1) ≤x (2) ≤ ≤x ( n ) ,对应 。
因 此 从 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 到 ( X (1) , X (2) ,,我们定 义 X ( k ) , 当 X 1 , X 2 , , X n 取 值 x 1 , X ( n ) ) 的变换不是 1 对 1 变换 , n ! 个逆象 , 因此x 2 , , x n 时 , X ( k ) 取 值 x ( k ) 由 此 得 到 的 X (1) ,而每个象点都存在, X ( n ) 就 称 为 X 1 , X 2 ,量 。
X n 的 一 组 顺 序 统 计F ( x (1) , x (2) , , x ( n ) )如果记 i 1 , i 2 , , i l 为 1 , 2 , , n 中的某= n ! P ( X 1 ≤x ( i ) , X 2 ≤x ( i ) , X n ≤x ( i ) )1 2n lC l 个数 , 可 得 到 个 不 同 的 数 组 i , i , , i 。
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1.1 定义 ：设 X1 , X2……, Xn 是取自某总体 X 的样本， 则 X (1) , X (2) ,……, X (n) 为一组统计量，它们称为顺 序统计量(Order Statistic)， X (k) 称为第 k 个顺序统计 量(即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大
分布也不相同.
2、单个次序统计量的分布
定理 1
设总体 X 的密度为 p(x), a x b, 分布函数为 F(x),
X1 , X2……, Xn 是取自总体 X 的样本，则第 k 个次序统计量
X(k) 的密度函数为
pk
(x)
(k
n! F(x)k1 1
1)!(n k)!
设总体X的分布函数为F
(
x)，X
1
,...,
X
为简单随机样本，
n
考虑（不需严格证明）
lim
n
X (n)
?
lim
n
X (1)
?
)
n-1
1
,
0 x ,
0,
others.
例 设总体 X 的密度为
p(x) 3x2,0 x 1,
现从总体抽得一个容量为5 的样本, 试计算
1
P( X (2)
) 2
?
3、两个次序统计量的联合分布
定理 2
设总体 X 的密度为 p(x), a x b, 分布函数为
F(x), X1 , X2……, Xn是取自总体 X 的样本，则次序统 计量 (X(i) , X( j)) ( i < j ) 的联合密度函数为
pij (y, z)
n!
(i
1)!(
j
i
1)!(n
F(y)i1 F(z) F(y)ji1 (1 F (z) n-j
j)!
p(y) p(z),
a y z b
0
其它
例 设总体 X 分布为 U(0,1), X1 , X2……, Xn 是取自总 体的样本， (1) 试写出 (X(1) , X(n)) 的联合密度函数.
(2) 次序统计量的函数 X(n) - X(1) 称为样本极差, 求其 密度函数.
思考题
由此可得 X(1) , X (2) , X (3) 的分布列如下:
X(1) 0
12
p 19/27 7/27 1/27
X(2) 0
12
p 7/27 13/27 7/27
X(3) 0
12
p 1/27 7/27 19/27
进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
X(2)
0
1
2
X(1)
0
7/27
( X ( n ) X ( n 1) ),
2
2
n为奇数 n为偶数
为极差； 为样本中位数。
例 设总体 X 的分布如下:
X0 1 2 p 1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 00000 110011220022 0 01001 012012112112 0 10001 021012121112 1 00001 102012211112 0 02002 201012122122 0 20002 120012212122 2 00002 210012221122 0 11011 022022111111 1 01011 202022222222
9/27
3/27
1
0
4/27
3/27
其分布 各不相同
X (1)与X (2)
并不独立
2
0
0
1/27
P( x(1)Βιβλιοθήκη 0) P( x( 2)
0)
19 27
7 27
,而P( x(1)
0,
x(2)
0)
7 27
注: 在一个样本中, X1 , X 2，……, Xn 是独立同分布的, 而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n) 则可能既不独立,
排序后的第 k 个值). 其中特别地称
x(1)
min
1in
xi
为最小顺序统计量(Minimum
order
Statistic)；
x(n)
max
1in
xi 为最大顺序统计量(Maximum
order
Statistic).
注：称
X (n) - X (1)
X~
1
2
X ( n1) , 2
F(x) nk
p(x),
0
axb 其它
例 设总体 X 分布为 U(0,θ), X1 , X2……, Xn 是取自总 体的样本，试写出 X(1) , X(n) 的密度函数.
p(1)
(
x)
n(1
x
)n-1
1
,
0 x ,
0,
others.
p(n)
(
x)
n( x