最新高等代数复习资料

高等代数选讲复习资料

一、选择题

1.设4阶方阵A 的行列式为3，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为( )．

3A . B . 6

27C .

9D . ．

2. 设,A B 都是n 阶方阵，且AB O =，则下列情况绝对不可能出现的是（ ）.

A . 0,0A

B == B . 0,0A B =≠

C . A 和B 的秩都等于n

D . A 的伴随矩阵*

A 非零．

3.设n 元齐次线性方程组A =X 0的系数矩阵A 的秩为r ，则A =X 0有非零解的充分必要条件是( )．

A r n =.

B r n <.

C r n ≥.

D r n >. ． 4. 设A 为n 阶矩阵，满足2A A =，且A

E ≠，则（ ）.

A.A 为不可逆矩阵

B.A 为零矩阵

C.A 为可逆矩阵

D.A 为对称矩阵．

5.设有向量组()11,1,0,0=-α，()21,2,1,1=--α，()30,1,1,1=-α，()41,3,2,1=-α，

()52,6,4,1=-α，则该向量组的最大线性无关组是( )．

123,,A . ααα

124,,B . ααα

1235,,,C . αααα

1245,,,D . αααα．

6.设4阶方阵A 的行列式为2，则A 的伴随矩阵*

A 的行列式为( )．

2A . B . 4

8C .

1D . ．

7.向量组12,,,n L ααα线性无关的充要条件是（ ）.

A . 12,,,n L ααα均不为零向量

B . 12,,,n L ααα中任意两个向量的对应分量不成比例

C . 12,,,n L ααα中有一个部分向量线性无关

D . 12,,,n L ααα中任意一个向量都不能由其余1n -个向量线性表示．

8.设n 元齐次线性方程组A =X 0的系数矩阵A 的秩为r ，则A =X 0有非零解的充分必要条件是( )．

A r n =.

B r n <.

C r n ≥.

D r n >. ． 9.设,A B 为同阶可逆方阵，则O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭

的逆为( )．

A .11A O O

B --⎛⎫

⎪⎝⎭ B .11O A B O --⎛⎫

⎪⎝⎭ C . 11O B A O --⎛⎫

⎪⎝⎭ D . 11B O O A --⎛⎫

⎪⎝⎭

． 10.设有向量组()11,1,0,0=-α，()21,2,1,1=--α，()30,1,1,1=-α，()41,3,2,1=-α，

()52,6,4,1=-α，则该向量组的最大线性无关组是( )．

123,,A . ααα

124,,B . ααα

1235,,,C . αααα

1245,,,D . αααα．

二、填空题

1.设100120213A ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，*

A 是A 的伴随矩阵，则()1*A -=__________．

2.设A 是n 阶方阵，且a A =，则-A =

____________．

3.向量组()11,2,3,4=α，()22,3,4,5=α，()33,4,5,6=α，()44,5,6,7=α，则向量组的秩为___．

4.已知2

3100A A E --=，则1

A -=

________．

5. 方程组AX b =有解的充要条件是

三、计算题

1.设301110014A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，且2AX A X =+求矩阵X ．

2.已知向量组()11,2,3=α，()23,1,2=-α，()32,3,c =α，

试求：（1）c 为何值时，123,,ααα线性无关．（2）c 为何值时，123,,ααα线性相关，并把3α表示为12,αα的线性组合． 3.已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2

293A A E O ++=，证明4A E +可逆，并求其逆矩阵．

4.已知线性方程组12412341

234 32

246327x x x x x x x x x x x a

++=-⎧⎪

+-+=-⎨⎪+-+=⎩，问a 为何值时，方程组有解、无解．

5.设5

4

3

()268f x x x x x =-+-+，4

3

2

()246g x x x x x =-++-，求((),())f x g x ．

复习资料参考答案 一、选择题

1. C ；

2. C ；

3. B ；

4. A ；

5. B ．

6. C ；

7. D ；

8. B ；

9. C ； 10. B ． 二、填空题

1. 10011206213⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪

⎝⎭

； 2. (1)n

a -； 3. 2；

4.

1

(3)10

A E -；5. ()(,)b A =A 秩秩或 ()()r A r A = 三、计算题

1．解：因为2AX A X =+(2)A E X A ∴-=，于是()

1

2X A E A -=- …

而 ()12112221111A E ---⎛⎫ ⎪

-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，

则 ()12X A E A -=-522432223--⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪-⎝⎭

2．解：（1）由于12312312

331201

123005A c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

==-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

ααα 123,,ααα线性无关⇔()3R A =⇔5c ≠

（2）当5c =时，123,,ααα线性相关。显然，12,αα线性无关，设31122k k =+ααα 解得12111,77k k ==，于是，312111

77

=+ααα。

3. 解：因()()229324A A E A E A E E O ++=++-=，

有 ()()24A E A E E ++= 分

即 4A E +可逆，其逆矩阵为2A E +