离散数学图论部分自学安排
离散数学 教案 第八章 图论
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
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Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
西南科技大学
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Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
离散数学学习计划3篇pdf
离散数学学习计划3篇pdf第一篇：离散数学的基本概念与逻辑一、引言离散数学是一门对离散对象进行研究的数学学科，它主要包括集合论、逻辑、图论、代数结构等内容。
在计算机科学、信息技术、工程技术等领域中，离散数学都有着非常重要的地位。
因此，我们有必要系统地学习离散数学的基本概念与逻辑知识，以便更好地应用到实际工作中。
二、学习目标1. 理解集合论的基本概念和基本运算。
2. 掌握命题逻辑与谓词逻辑的推理规则和应用方法。
3. 熟悉离散数学中的数学归纳法和证明方法。
4. 理解图论中的图的定义、性质和应用。
三、学习内容1. 集合论集合的概念、表示法、基本运算、代数运算律等内容。
应用：概率论、组合数学等。
2. 逻辑命题逻辑的基本概念、真值表、合取、析取、蕴含、等值演算等内容。
谓词逻辑的基本概念、量词、全称量词、存在量词、推理规则等内容。
应用：计算机程序设计、人工智能等。
3. 数学归纳法数学归纳法的基本原理、推理规则、应用方法等内容。
应用：算法设计、数学证明等。
4. 图论图的基本概念、性质、表示法、路径、回路、树、连通性等内容。
应用：网络设计、路由算法、优化问题等。
四、学习方法1. 阅读相关教材，了解离散数学的基本概念与逻辑知识。
2. 完成相关练习，检验自己的掌握程度。
3. 参加课堂讨论，与老师和同学们一起交流学习经验和思路。
4. 动手实践，将学到的知识应用到具体问题中，提升自己的解决问题能力。
五、学习评价1. 定期进行小测验，检验学生对离散数学基本概念与逻辑知识的掌握程度。
2. 提供作业和课堂表现评价，综合考察学生对离散数学的学习情况。
3. 对于学习困难的学生，提供个性化辅导和指导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
第二篇：离散数学的计算机应用一、引言离散数学在计算机科学领域中有着非常广泛的应用，它可以用来研究算法、数据结构、计算理论等问题。
因此，我们有必要深入学习离散数学在计算机领域中的应用，以便更好地掌握计算机科学的基本理论和方法。
自学考试：离散数学复习(一)
自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。
与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。
在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。
本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。
一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。
它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。
二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。
它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。
2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。
3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。
4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。
5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。
三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。
2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。
3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。
4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。
四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。
2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。
3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。
4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。
总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。
对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。
希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。
学习离散数学的目标计划
学习离散数学的目标计划随着信息技术的发展和应用范围的扩大，离散数学逐渐成为计算机科学和信息技术专业的重要课程。
离散数学是一门研究有限结构以及逻辑与证明的数学学科，其包括许多分支如集合论、图论、逻辑、算法、组合数学等。
学习离散数学可以帮助我们理解计算机科学和信息技术中的概念和原理，提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在学习离散数学之前，我首先需要制定一个明确的学习目标和计划。
我的学习目标是全面掌握离散数学的基本概念和原理，包括集合论、图论、逻辑、算法和组合数学等内容，能够运用离散数学的知识解决相关问题，提高逻辑推理和问题解决能力。
为了达到这个目标，我将按照以下内容制定学习计划：1.深入了解离散数学的基本概念和原理学习离散数学的第一步是深入了解其基本概念和原理。
我打算通过阅读相关的教材和参考书籍，了解离散数学的基本概念，包括集合论、图论、逻辑和算法等内容，建立起一个扎实的知识基础。
2.学习离散数学的各个分支离散数学包含许多分支，如集合论、图论、逻辑、算法和组合数学等。
我打算按照不同的分支，系统地学习每个分支的基本原理和应用，深入理解其内在逻辑和规律。
3.做大量的练习和实践学习离散数学需要大量的练习和实践。
我打算通过做大量的习题和案例分析，加深对离散数学知识的理解，提高解决问题的能力。
4.参与相关的学术研究和讨论离散数学是一个不断发展和演变的学科，我打算参与到相关的学术研究和讨论中，通过和同行的交流和讨论，深入理解离散数学的最新进展，不断提高自己的学习水平。
5.应用离散数学的知识解决实际问题最终的学习目标是能够运用离散数学的知识解决实际的问题。
我打算结合自己的专业领域和兴趣，运用离散数学的知识解决相关的问题，提高自己的应用能力和实践能力。
根据以上的学习计划，我预计需要花费一年左右的时间来全面掌握离散数学的基本概念和原理，提高自己的逻辑推理和问题解决能力。
在学习的过程中，我会认真对待每一个环节，不断完善自己的学习计划，努力提高自己的学习水平和能力。
离散数学课程教学大纲(本科)
离散数学课程教学大纲一、教学方案1、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
2、课程的教学目标通过这门课程的教学，不仅为学生的专业课学习及将来所从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也能培养他们的抽象思维能力和逻辑思维能力，提高他们分析问题解决问题的能力。
3、课程的基本要求本课程包括四部分：数理逻辑、集合论、代数结构与图论。
数理逻辑部分要了解命题逻辑的基本概念；熟练掌握析取范式与合取范式的求法；掌握自然推理系统的推理理论；掌握一阶逻辑的推理理论。
集合论部分要了解集合的基本概念及运算；掌握二元关系的运算、关系的性质、关系的闭包；掌握等价关系和划分及偏序关系。
代数结构部分掌握二元运算及性质；掌握代数系统的概念；掌握群及子群；陪集与拉格朗日定理；正规子群和商群；同态基本概念；循环群和置换群；掌握格的定义；掌握布尔代数。
图论部分图的基本概念，通路与回路，图的连通性，图的矩阵表示；掌握树、生成树、根树的定义及其性质。
4、课程的学时分配课堂教学总学时：48章节内容学时第一章命题逻辑基本概念 2第二章命题逻辑等值演算 4第三章命题逻辑推理理论 3第四章一阶逻辑基本概念 2第五章一阶逻辑等值演算与推理 3第六章集合代数 2第七章二元关系 8第八章函数 2第十章代数系统 2第十一章半群与群 7第十三章格与布尔代数 4第十四章图的基本概念 3第十六章树 3机动 25、教材与参考书(1) 推荐教材：《离散数学》(修订版)，耿素云等，高等教育出版社，2004年1月(2) 参考书：[1] 《离散数学》(第二版)，耿素云等，清华大学出版社，1992年2月[2]《离散数学基础》第二版，洪帆主编，华中理工大学出版社。
离散数学中图论部分教学方法在思政教育中的应用
离散数学中图论部分教学方法在思政教育中的应用以“离散数学中图论部分教学方法在思政教育中的应用”为标题，写一篇3000字的中文文章近年来，随着社会的进步和发展，思政教育在中国逐渐受到越来越多的重视和关注。
它不仅是营造一个和谐、文明的社会环境所重要的一环，还是深入推进社会主义核心价值观实施的重要基础。
培养学生的思想政治素质，是学校教育任务的重要组成部分，思政教育在这一过程中发挥着重要的作用。
离散数学是大学数学学科的重要学科，其中图论部分内容是该课程的重要内容。
它被广泛应用于各种学科中，可以用来描述现实问题的结构和关系，表现出对数的统一性和精确性。
这种解释问题的方式和思维模式，具有跨学科性和创新性，可以有效地提高学生的学习水平和思维能力。
为了落实中央关于思想政治教育的要求，教育部发布了《中小学思政课纲》，将把思想政治教育作为核心课程，把培养学生思想政治素质作为重中之重。
离散数学中的图论部分教学方法可以有效地帮助学生学习思政课程，激发学生的学习兴趣，培养其理解能力和运用能力。
首先，图论教学方法可以有效地提高学生实施思政教育的理解能力。
图论能够描述不同概念之间的结构、联系和关系，可以帮助学生把握思政课程的内容，从而增强学生的理解能力。
此外，图论能够有效地帮助学生分析和理解复杂的问题，进而探究教材的基本原理，以便更好地认识、把握思政教育的理论内涵。
其次，图论教学法能够激发学生的学习兴趣。
图论是一种具有跨学科性的学科，可以帮助学生从图形的视角，把握不同学科之间的联系和关系，引起学生求知欲，激发学生学习思政课程的兴趣。
此外，图论教学方法可以更直观地呈现教材内容，从而提高学生的学习效率。
同时，还可以借助图形的视角，让学生对思政教育的内容有更清晰的认识和更深入的理解。
最后，图论教学法可以帮助学生锻炼运用能力。
图论教学方法能够帮助学生更准确、更全面地表达思想政治课程的内容，从而提高学生思政课程的运用能力。
此外，图论教学方法还可以激发学生做推理实验，强化学生自主学习能力，同时也能锻炼学生的创新能力。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
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第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学课程设计
离散数学课程设计一、教学目标本章的教学目标是让学生掌握离散数学的基本概念、原理和方法，提高他们的问题解决能力，培养他们的逻辑思维和抽象思维能力。
具体来说，知识目标包括：理解离散数学的基本概念，如集合、图论、组合数学等；掌握离散数学的基本原理，如逻辑推理、证明方法等；熟悉离散数学的基本方法，如算法设计、程序实现等。
技能目标包括：能够运用离散数学的知识解决实际问题；能够进行逻辑推理和证明；能够设计和实现简单的算法。
情感态度价值观目标包括：培养学生的团队合作精神，提高他们的创新意识和实践能力。
二、教学内容本章的教学内容主要包括集合、图论、组合数学三个部分。
首先，介绍集合的基本概念和运算，如集合的定义、表示、交集、并集、补集等。
然后，引入图论的基本概念，如图的定义、表示、连通性、路径和圈等。
接着，讲解组合数学的基本原理，如排列组合、计数原理、鸽巢原理等。
最后，结合实例介绍如何运用离散数学的知识解决实际问题。
三、教学方法为了达到本章的教学目标，将采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、案例分析法、实验法等。
首先，通过讲授法向学生传授离散数学的基本概念和原理。
然后，通过讨论法引导学生进行思考和交流，提高他们的逻辑推理和证明能力。
接着，通过案例分析法让学生了解离散数学在实际问题中的应用。
最后，通过实验法让学生动手设计和实现简单的算法，培养他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本章的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备适当的教学资源。
教材方面，选择一本权威的离散数学教材，如《离散数学及其应用》等。
参考书方面，推荐学生阅读一些经典的离散数学著作，如《离散数学基础》等。
多媒体资料方面，制作精美的PPT课件，提供相关的视频讲座和在线习题等。
实验设备方面，确保学生能够 access to a computer实验室，以便进行算法设计和实验操作。
五、教学评估本章的教学评估将采用多种方式，以全面、客观地评估学生的学习成果。
平时表现方面，将通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况等来评估他们的学习态度和理解程度。
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
离散数学教学大纲精选全文
精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是：1．学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法，包括：集合论的主要内容：集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等；图论的主要内容：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等；2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法，熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型；3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法，并用于离散结构的性质分析。
4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。
5. 能够理论联系实际，用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。
6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练，进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。
二、教学内容1．集合（教材第一章）●引言●预备知识（命题逻辑）●预备知识（一阶谓词逻辑）●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2．二元关系（教材第二章）●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3．函数（教材第三章）●函数的基本概念、性质、合成、反函数4．自然数（教材第四章）●自然数的定义●自然数的性质5．基数（教材第五章）●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6．图（教材第七章）●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7．欧拉图与哈密顿图（教材第八章）●欧拉图●哈密顿图8．树（教材第九章）●树9．图的矩阵表示（教材第十章）●图的矩阵表示10．平面图（教材第十一章）●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11．图的着色（教材第十二章）●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12．支配集、覆盖集、独立集与匹配（教材第十三章）●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13．带权图及其应用（教材第十四章）●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统（教材第十五章）●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点（教材第十六章）●半群与独异点16 . 群（教材第十七章）●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域（教材第十八章）●环与域18. 格与布尔代数（教材第十九章）●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理（教材第二十章）●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式（教材第二十一章）●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法（教材第二十二章）●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理（教材第二十三章）●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑（教材第二十六章）●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑（教材第二十七章）●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主，辅以作业和练习，并配备助教对作业进行批改。
《离散数学》教学大纲
第一部分大纲说明一、课程的性质、目的与任务离散数学是中央广播电视大学电子信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程。
本课程是一门理论性较强的课程，通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。
二、与相关课程的衔接、配合、分工后续课程：数据结构、数据库应用技术、操作系统等课程。
三、课程的基本教学要求本课程是计算机科学与技术专业的基础核心课程，主要内容包括集合论、图论与数理逻辑等三个方面的内容。
具体要求为：1．了解离散数学的主要组成部分，各个部分所涉及的基本内容，及其在计算机科学与技术领域中的应用；2．理解离散数学的的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围；3．掌握离散数学的的基本推理与证明过程、基本算法及应用方法。
四、课程的教学方法和教学形式建议1．根据课程特点，建议采用多种教学媒体讲解、应用事例介绍等教学手段相结合的教学模式进行教学。
2．保证提供一定的教学辅导手段与途径，及时解答学生的疑问，同时注意培养学生独立思考问题和解决问题的能力。
3．充分利用网络教学技术进行授课、答疑和讨论。
五、教学要求的层次课程的教学要求分为了解、理解和掌握三个层次。
了解：要求学生能正确判别有关概念、结论和方法。
理解：要求学生能正确理解有关概念、结论、算法和方法的含义，并且能进行一定的逻辑推理与数学证明。
掌握：要求学生在理解的基础上能够应用所学知识解决实际问题。
第二部分教学媒体与教学过程建议一、学分与学时分配课程教学的课内时数为72学时，4学分，第二学期开设。
下表给出该课程的主要教学内容，视频课程和辅导课程的学时分配。
序号教学内容课内学时电视课学时流媒体课件学时辅导学时1 绪论 12 集合论 5 2 133 图论 6 3 174 数理逻辑 6 3 165 复习 2 2 2合计20 10 48二、多种媒体教材的总体说明本课程的教学媒体包括文字教材、视频教材、CAI课件、网络课程和网上教学等多种媒体。
离散数学第八章一些特殊的图知识点总结
得证 m=k+1 时结论也成立. 证毕.
欧拉公式的推广
设 G 是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则
nm+r=p+1
证 设第 i 个连通分支有 ni 个顶点, mi 条边和 ri 个面.
对各连通分支用欧拉公式,
ni mi + ri = 2, 求和并注意 r = r1+…+rp+ p1, 即得
极大平面图: 定义 若 G 是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称 G 为极大平面图. 性质
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4 都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于 3 的极大平面图中不可能有割点和桥.
8.2 欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路.
欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
图论教学大纲
《图论》教学大纲一、课程名称：《图论》二、课程的性质:数学与应用数学专业限选课三、课程教学目的图论是研究离散对象二元关系系统的一个数学分支。
作为大学数学系的选修课之一,本课程的目的是让学生掌握图论的基本理论和方法，了解一些基本的图论算法及其实现。
要求学生能将图论理论应用于一些简单的离散数学问题。
四、课程教学原则与教学方法以课堂讲授为主要形式，采用讨论式、研究式的教学方法，充分调动学生学习的主动性和积极性。
教学内容重点突出基本知识与基本技能，既传授知识，又教书育人，注重培养学生的能力与素质。
五、课程总学时本课程学期教学时数为每周4学时，计划教学周数16.5周，总学时为66学时；本课程学分为4学分。
教学基本要求要求学生初步掌握图的基本概念和图论的基本理论，图论中一些重要的结论。
教学内容及要求（标注“*”的为教学重点和难点）第一章图的基本概念（1）理解图、简单图、自图以及图的同构的定义（A）；（2）掌握路、圈和树的概念和基本性质（A）；（3）理解图的连通性概念，掌握相关结论（A）；（4）了解最短路问题及相关的算法。
(C)第二章树(1)树的特性(A)(2)掌握割边与割点(A)(3)理解生成树的定义(B)第三章欧拉图和哈密顿图(1) 欧拉图与哈密顿图的定义:要求达到”领会”的层次(A)(2)欧拉图与哈密顿图的判别准则:要求达到”熟悉”,”领会”的层次(A)第四章割集(1)割集与断集.关联集.要求达到”识记”的层次(A)第五章图的矩阵表示(1)关联矩阵,圈矩阵,割集矩阵的表示:要求达到”领会”的层次(A)(2)矩阵间的关系及图的邻接矩阵的运算性质:要求达到”应用”的层次(B)第六章连通性(1)连通度和边连通度,连通图:要求达到”领会”的层次(B)第七章匹配(1)理解Euler图的定义，掌握有关充要条件（A）；(2)理解Hamilton图的概念，掌握有关的必要条件和各种不同的充分条件（A）(3)掌握匹配（最大匹配、完美匹配）的定义及相关结论.(B)第八章色数(1)理解图的边着色、顶点着色的概念，掌握相关的结论（A）；(2)掌握图的独立数、覆盖数的概念及相关结论；(B)(3)理解色多项式(B)第九章平面图(1)理解平面图、平图的概念.(B)(2)掌握Euler公式、Kratowski定理，了解5色定理和4色问题（A）；七、教材及学生参考书1、阿勇嘎，斯钦，图论基础，1992年2、邦迪，图论及其应用，中文版，19763、《Graph Theory and Applicatoins》Bondy原文网络版.八、课程考试与评估期末考试，占百分之六十，平时成绩（考勤、作业、测验）占百分之四十1、考试标准(命题原则)：以检验考生掌握《图论》的基本概念，基本理论，基本方法和基本技巧的熟练程度为目的，兼顾考察考生的数学基础。
离散数学教案
离散数学教案主要是针对离散数学课程的教学内容和教学方法进行设计和安排。
以下是一个简单的离散数学教案示例：一、教学目标1. 理解离散数学的基本概念和基本原理，如集合、图论、数理逻辑等。
2. 掌握离散数学的基本运算和方法，如集合运算、图论分析、逻辑推理等。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 集合的基本概念和运算- 集合的定义和性质- 集合的运算：并、交、差、对称差等- 集合的运算规律和定理2. 图论的基本概念和分析方法- 图的定义和性质- 图的表示方法- 图的连通性、路径和距离等概念- 图的染色问题、最短路径算法等分析方法3. 数理逻辑的基本概念和推理方法- 命题和命题联结词- 推理和证明的基本方法- 谓词和量化词- 命题逻辑和谓词逻辑的基本定理和推论三、教学方法1. 讲授式教学：教师通过讲解、示范和示例等方式，向学生传授离散数学的基本概念和原理。
2. 案例教学：通过引入实际问题，引导学生运用离散数学的知识和方法进行分析和解决。
3. 练习和讨论：布置适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，并组织课堂讨论，促进学生之间的交流和合作。
四、教学评价1. 课堂参与度：通过观察学生在课堂上的参与程度，了解他们对离散数学的兴趣和学习的积极性。
2. 练习题完成情况：通过批改学生的练习题，评估他们对离散数学知识的掌握程度。
3. 期末考试：组织期末考试，测试学生对离散数学知识的综合运用能力和解决问题的能力。
以上是一个简单的离散数学教案示例，具体的教学内容和教学方法可以根据实际情况进行调整和改进。
离散数学中的图论入门
离散数学中的图论入门图论是离散数学的一个重要分支，研究的对象是图。
图是由一些点和连接这些点的边组成的数学模型，可以用来描述现实世界中的各种关系和问题。
本文将介绍图论的基本概念和常见应用，帮助读者初步了解图论的入门知识。
一、图的定义与基本术语图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合是图中的点的集合，用V表示；边集合是图中连接顶点的边的集合，用E表示。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系；无向图中的边是无方向的，表示两个顶点之间的关系。
图还可以分为简单图和多重图。
简单图中不存在重复的边和自环（起点和终点相同的边）；多重图中可以存在重复的边和自环。
图中的边可以带权重，表示顶点之间的距离、代价或其他属性。
带权图可以用来解决最短路径、最小生成树等问题。
图的度是指与顶点相关联的边的数量。
对于无向图，顶点的度等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边的数量和从该顶点指出的边的数量。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于稠密图，但对于稀疏图来说，会浪费较多的存储空间。
邻接表是由若干个链表构成的数组，数组的每个元素对应一个顶点，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
邻接表适用于稀疏图，可以有效地节省存储空间。
三、常见的图论算法与应用1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，通过递归的方式依次访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
DFS可以用来解决连通性、可达性等问题。
2. 广度优先搜索（BFS）：BFS也是一种用于遍历图的算法，通过队列的方式按层次遍历图中的顶点。
BFS可以用来求解最短路径、网络分析等问题。
3. 最小生成树（MST）：最小生成树是指在连通图中选择一棵生成树，使得树中所有边的权重之和最小。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
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英才1901《离散数学》图论部分自主学习安排
一、分组
第一组施恒阳蒋鹏程孙铭阳黄熙宁
第二组尹书瀚唐义飚蒋浩枫
第三组徐佶楠孙长智张煜来
第四组梁孙俊杰胡翔宇王家宝
第五组邵禹哲罗兰张翠宇
第六组贾泽宇李秋霖叶乔宇
二、内容安排
6.1 图的基本概念（自学基本内容，教师补充应用。
第二组汇报定理6.2,6.3）；
6.2 连通性（只要求无向图的连通性，第三组汇报定理6.4的证明）；
6.3 图的矩阵表示（自学、第四组汇报无向图的邻接矩阵及其应用）；
6.4 最短路径问题（第五组汇报）；
6.5欧拉图与哈密尔顿图（自学，第一组安排2人，定理6.10，定理6.15汇报）；
6.6平面图（以教师讲为主，先自学）；
6.7图的着色（了解，自学内容）；
7.1 树（第六组汇报定理7.1）
7.2-7.5（自学，教师引导，补充应用）。