高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件

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高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理二课件北师大版必修2

•(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
【训练 1】在空间四边形 ABCD 中，如图所示，AABE＝AAHD，CCFB＝CCGD，则 EH 与 FG 的位置关系是________．
解析连接 BD，如图． ∵AAEB＝AAHD， ∴EH∥BD，又∵CCFB＝CCGD， ∴FG∥BD， ∴EH∥FG. 答案平行
• 答案 D
• 3．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
• 解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
• 答案 8
•由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形． •当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； •当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. •故EF与AB所成的角为15°或75°.
•规律方法 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点． •(2)求异面直线所成的角的一般步骤： •①作角：平移成相交直线． •②证明：用定义证明前一步的角为所求． •③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
•所以QD綊C1F. •所以四边形DQC1F为平行四边形． •所以C1Q綊FD. •又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD. •所以四边形B1EDF为平行四边形．
•规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

高中数学空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

目标导航
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2.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
��
=
��
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
��
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第2课时空间图形的公理4及等角定理ppt课件北师大版必修2

4．异面直线所成的角
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，
l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是
异面直线a，b所成的角
取值范围异面直线所成的角θ的取值范围： 0，π2
特例当θ＝ π 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 2
思考 2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
合作探究释疑难
公理 4 的应用【例 1】如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
[解] (1)证明：如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH∥BD，EH＝21BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， ∴FG∥BD，FG＝21BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
70°或 110° [若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.]
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大小为________．
45° [∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1 为直线 AA1 与 BC1 所成的角，其大小为 45°.]
1．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是
() A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[答案] D
2．已知 a，b 是平行直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( ) A．不平行 B．相交 C．平行 D．垂直 C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2ppt课件全省公开课一等奖

解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可能，故选D.
答案：D
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( ) A．0°<α<90° B．0°<α≤90° C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B. 答案：B
5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的序号为________．
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°，所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
类型三异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大小．
由(*)知MD1綊BN，所以四边形MBND1为平行四边形.
方法归纳
在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直线的平行关系．
跟踪训练
1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件北师大版必修2

OA OB OA OC 证明： ∵OA1＝OB1，OA1＝OC1，
OA OB OC ∴OA1＝OB1＝OC1. 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB， A1C1∥AC， ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1.
求异面直线所成的角在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角． [思路探究] 找作异面直线的平行线 ―→ 确定所求的角 ―→ 构造找出含该角的三角形 ―→ 解三角形求角
等角定理
空间中，如果两个角的两条边分别 _对__应___平__行___ ，那么这两个角 __相__等__或__互__补___．
[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
符号语言若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内，二要证两直线没有公共点．方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.

高中数学第一章立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评

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系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分，共20分）1．下列结论正确的是( ）①在空间中,若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析: ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．答案：B2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ）A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：由题意知,这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．答案：B3．如图，α∩β＝l，aα，bβ,且a,b为异面直线，则以下结论正确的是( )A．a,b都与l平行B．a,b中至多有一条与l平行C．a,b都与l相交D．a,b中至多有一条与l相交解析：如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾,故a，b中至多有一条与l平行．答案：B4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点,则下列判断正确的是( ) A．MN≥错误!（AC＋BD）B．MN≤错误!(AC＋BD）C．MN＝错误!(AC＋BD）D．MN＜错误!（AC＋BD）解析：如图，取BC的中点H,据题意有MH＝错误!AC，MH∥AC，HN＝错误!BD，HN∥BD。

高中数学第一章立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理第2课时空间图形的公理4及等角定

第2课时空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)[基础·初探]教材整理1 公理4阅读教材P 25“公理4”部分，完成下列问题. 1.条件：两条直线平行于同一条直线. 2.结论：这两条直线平行. 3.符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .已知a ，b 是平行直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( ) A.不平行 B.相交 C.平行D.垂直【解析】若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不与b 平行. 【答案】 C教材整理2 等角定理阅读教材P 26“等角定理”部分内容，完成下列问题. 1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行. 2.结论：这两个角相等或互补.空间中一个角A 的两边分别与另一个角B 的两边对应平行，若A ＝70°，则B ＝______. 【解析】若A 的两边与B 的两边方向均相同或均相反，则B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B ＝110°.【答案】 70°或110° 教材整理3 异面直线所成的角阅读教材P 26有关部分，完成下列问题.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与BC 1所成的角的大小为________. 【解析】 ∵BB 1∥AA 1，∴∠B 1BC 1为直线AA 1与BC 1所成的角，其大小为45°. 【答案】 45°[小组合作型]如图的边AB ，BC ，CD ，DA的中点.图1411(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .【导学号：39292020】【精彩点拨】 (1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明. (2)若四边形EFGH 是矩形，则EH ⊥GH ，从而推知AC ⊥BD . 【自主解答】 (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.[再练一题]1.已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.图1412求证：四边形MNA′C′是梯形.【证明】连接AC(图略).∵M，N为CD，AD的中点，∴MN═∥12 AC.由正方体性质可知AC═∥A′C′，∴MN═∥12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.如图1413，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图1413(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴AD═∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM═∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1═∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1═∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.[再练一题]2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.图1414【证明】取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.[探究共研型]探究1图1415【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角.探究2 a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.如图1416，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小.图1416【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD ，BC 平移到同一平面内解决.【自主解答】如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角. 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ，在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°，则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.[再练一题]3.如图1417，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E ，F 分别是BD 1和AD 的中点，则异面直线CD 1，EF 所成的角的大小为________.图1417【解析】取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵E 是BD 1的中点， ∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. 【答案】 90°1.下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A.①②③B.②④C.③④D.②③【解析】 ①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的传递性可知.【答案】 B2.如图1418所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，B 1B ，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )【导学号：39292021】图1418A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1B∥EF，BC1∥GH，所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】 B3.已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，命题正确的是________.【解析】①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.【答案】①4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30°角的异面直线有________条.【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的所有直线都与l成30°角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.【答案】无数5.如图1419，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.图1419(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？【解】(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。

2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件北师大

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线. ( ) (2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合. ( ) (3)平面α与平面β会只有一个公共点. ( ) (4)不共线的四点最多可确定4个平面. ( ) (5)两两相交的三条直线必共面. ( )
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五易错辨析
解析:因为M∈A1C,A1C⫋平面A1ACC1, 所以M∈平面A1ACC1. 因为M∈平面BDC1,且平面A1ACC1∩平面BDC1=C1O,所以 M∈C1O.故选C. 答案:C
探究一
探究二
探究三
探究五公理4的应用
探究四
探究五易错辨析
【例5】如图所示,点P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是 △PAB和△PBC的重心.求证DE∥AC,DE= 1 AC.
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⫋α,∴B∈α. 同理可证C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l3⫋α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五易错辨析
方法二:(重合法)
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⫋α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⫋β,∴A∈β.
公理
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
2 (即直线在平面内)
图形语言
符号语言 A,B,C 三点不共线⇒ 有且只有一个平面 α,使 A∈α,B∈α,C∈ α

高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2空间图形的公理(二)高一数学

就是异面直线a，b所成的角
取值范围特例
异面直线所成的角θ的取值范围：_0_°__<_θ_≤__9_0_°__ 当θ＝____9_0_°______时，a与b互相垂直，记作a⊥b
Байду номын сангаас
12/13/2021
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( × )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可
能，故选D.
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4．如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E、F 分别是 BD1 和 AD 的中点，则异面直线 CD1，EF 所成的角的大小为___9_0_°___．
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所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90°，所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.
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关于等角定理的两点说明 (1)等角定理又常称空间等角定理，是在空间中来证明两个角相等的，在平面中同样成立． (2)应用空间等角定理必须满足条件：一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，所得结论“相等或互补”可以分为以下三种情形： ①若角的两边对应方向相同，则两角相等； ②若角的两边对应方向相反，则两角相等； ③若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角互补．

高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理二课件

直线在同一平面内且两直线没有公共点.②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. (2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都的正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，
M，N分别是棱CD，AD的中点. 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. 证明因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′.
证明
反思与感悟
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条
解析
答案
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，
EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解答
命题角度2 求异面直线所成的角例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°， E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
答案相等.
梳理异面直线所成角的定义前提两条异面直线a，b 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b 我们把a′与b′所成的锐角(或直角) 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
定义
作法结论
范围特殊情况
记异面直线a与b所成的角为θ，则 0°<θ≤90° . 当θ＝ 90° 时，a与b互相垂直，记作： a⊥b .
解答
反思与感悟
判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、
平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.
跟踪训练 2 ___ 8 对.

2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_4_2_2空间图形的公理(第2课时)课件北师大版必修2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( ) (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) (3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( ) (4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) (5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )
[针对训练 1] 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角 θ 的范围是 0°＜θ≤90°.
[针对训练 3] 如图，P 是平面 ABC 外一点，PA＝4，BC＝ 2 5，D、E 分别为 PC 和 AB 的中点，且 DE＝3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小．
∴EM 綊 C1D1，
∴四边形 EMC1D1 为平行四边形，∴D1E∥C1M. 在矩形 BCC1B1 中，易得 MB 綊 C1F，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF. (2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF 与∠A1ED1 的对应边方向相同， ∴∠B1BF＝∠A1ED1.
题型三异面直线所成的角【典例 3】如图所示，在正方体 ABCD－EFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求：
(1)BE 与 CG 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角.
[思路导引] (1)由于 CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线 CG 与 BE 所成的角．

高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2

同理在 a 上任取一点作 b 的平行线，都与 a、b 共面，所以这些平行线都共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．

北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第2课时空间图形的公理4及等角定理课件

求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明：在△OAB 中，∵OOAA1＝OOBB1，∴A1B1∥AB. 同理可证 A1C1∥AC，B1C1∥BC. ∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.∴△A1B1C1 ∽△ABC.
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””

高中数学第1章立体几何初步 §4 第2课时空间图形的公理4及等角定理课件高一数学课件

养
合作
∴C1M1∥CM.
课时
探
究
由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角，
分层
释
作
疑难
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
业
·
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·
自
课
主预
法二：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
堂小
习
结
探
∴B1M1＝BM.
·
提
新
素
知
堂小结
·
探
提
新
素
知
养
合
由正方体性质可知 AC 綊 A′C′，
课
作
时
探
分
究
层
释疑难
∴MN 綊21A′C′，∴四边形 MNA′C′是梯形.
作业
·
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等角定理的应用
自主
【例 2】
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，M1 分别是
课堂
养
合作
70°或 110°
[若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B
课时
探
分
究＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.] 层
释
作
疑
业
难
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·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大提