数学高二等差数列讲义
【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列
4.2.1等差数列的概念(第一课时)(课件)高二数学(人教A版选择性必修第二册)
当 ≠ 0时， 是一次函数() = + (1 − ), 当 = 时
函数值，即 = ()。
学习新知
追问1
等差数列{ }的图像与一次函数() = + (1 − )的
图像有什么关系？
()
6
5
4
3
771
1
3
（2）−12 和2435源自21215
课后
作业
2.已知等差数列{ }中， + = , = ,
求a4 。
4 = 6
数列{ }是公差不为
0的等差数列
+1 = ( + 1) = ( + 1) +
+1 − = ( + 1) + − ( + ) =
数列{ }是以( + )为首项，为公差的等差数列。
数列的通项公式 是
关于的一次函数
学习新知
追问3
可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
2
1
1 2 3 4 5 6
() = + (1 − )
学习新知
追问2
由一次函数 () = + 得到的数列 = +
一定是等差数列吗？
任给() = + ,则 = +
1 = (1) = +
= () = +
a2 a1 d
学习新知
追问3
你能写出以下数列的通项公式吗？
（1）5，9，13，17，21；
= 5 + − 1 × 4 = 4 + 1
（2）9，7，5，3，1，-1； an 9 (n 1) (2) 2n 11
高二数学第一讲等差数列
高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。
②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。
类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。
②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。
4.2.1等差数列的概念课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
估计哈雷彗星下一次出现在2062年
二.新课探究
等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表
三.例题讲授
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
(2) –401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，
解：
的项？如果是，是第几项 ？
a1 8, d 5 8 3, n 20 ,
a20 8 (20 1) (3) 49
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401, 因此， 401 5 (n 1) (4)
2.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数， 求公差d的取值范围
3．已知1，1，1成等差数列，并且 a＋c，a－c，a＋c－2b 均为正数， ab c
求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
解：1(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，
例 3 已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－an4－1(n>1)，记 bn＝an－1 2.求
证：数列{bn}是1－2＝
1 4－ 4
an
＝ an ， －2 2an－2
∴bn＋1－bn＝2aan－n 2－an－1 2＝2aann－－22＝12，为常数(n∈N*)． ∵b1＝a1－1 2＝12，
等差数列
第一课时
9 7 5
3 1
一.情景导入
哈雷彗星的故事
4.2.2等差数列的前项和公式性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
例1
已知等差数列{an }的前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝310，S 20＝1
Sn
转化为 等差数列
n
nn－1
Sn
d
(方法四)由 S n ＝na1＋
d，得 ＝a1＋(n －1) ，
n
2
2
220，求 S 30.
Sn
d
∴ n 是以 a1 为首项， 为公差的等差数列，
2
S 10 S 20 S 30
2和之比时，一般利用 公式
am 2n 1 S 2 m 1
进行转化 .
an 2m 1 T2 n 1
S偶 an1
性质四 若等差数列的项数为2n，则S2n nan an1 ，S偶 S奇 nd，
.
S奇
an
S
n
若等差数列的项数为2n 1，则S2n1 2n 1an1，S偶 S奇 an1， 偶
220，求 S 30.
特别注意：不是 S10 , S 20 , S30等差
(方法二)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20 也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即 2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
例1
220，求 S 30.
解：(方法一)设数列{an}的公差为 d，
1
10a1＋ ×10×9×d＝310，
2
由已知，得
1
20a1＋2×20×19×d＝1 220，
a1＝4，
解得
d＝6.
1
∴S30＝30×4＋ ×30×29×6＝2 730.
等差数列的概念第1课时课件上学期高二人教A版(2019)选择性必修第二册
分析:根据数列的递推关系, 利用取倒数法进行转化,
构造等差数列, 求出通项公式即可求值.
+
解: ∵an+1= +, ∴两边取倒数得 = = +1,
即
+
−
=1, 即数列
+
是公差d=1的等差数列,
∵首项为 =1, ∴ =1+(n-1)×1=n,
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数
列{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,······的第20项；
分析:（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差
数列的定义，由an+1-an = d ，即可求出公差d，
（2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利
度, 得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单
位: ⁰C)依次为
25 , 24 , 23 , 22 , 21.
(3)
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年. 如果个人
贷款月利率为r, 那么按照等额本金方式还款，他从某月开
始，每月应还本金b(=)万元，每月支付给银行的利息
(单位：元)依次为
些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项
和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受
数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比
较简单的数列入手.
4.2.1 等 差 数 列 的 概 念
请看下面几个问题中的数列.
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
等差数列的概念+课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
2
= ，
1
数列{ }是首项为，公差为 的等差数列．
2
定义法
1
−2
.
方法归纳
等差数列的证明与判定的方法
(1) 定义法：
+1 − = ( ∈ ∗ ) 或 − −1 = ( ≥ 2, ∈ ∗ ) ⇔ { }是等差数列
(2) 定义变形法：
验证是否满足 +1 − = − −1 ( ≥ 2, ∈ ∗ )
40-38=2，42-40=2，…，48-46=2.
就是每一项与它的前一项的差都等于2
如果用{ }表示数列 ①，那么有
− = ， − = ，…，
− = .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
新知讲解
38，40，42，44，46，48
25，24，23，22，21.
①
③
1，1，1，1，⋯
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
数列②~④也有这样的取值规律.
对于②， − = ， − = ，…，
②
− = .
即每一项与它的前一项的差都等于0
对于③， − = −， − = −，…， − = −.
在平面直角坐标系中画出 = + 1 − 的图象
在这条直线上描出点 1, 1 ， 2, 2 ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
新知讲解
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的
斜率为
，在y轴上的截距为
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加
等差数列的性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例分析
例 2 (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数； (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数．
解：(1)设这三个数依次为 a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝9， a－da＝6a＋d，
解得
a＝3， d＝－1.
∴这三个数为 4,3,2.
都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn }.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)b29是不是数列{an }的项? 若是, 它是{an }的第几项? 若不是, 说明理由.
解1:
解2:
由(1)知,b29 2 29 58, 令an 2 8(n 1) 58,
解得n 8
思考：其他条件不变，若 am＋an＝ap＋aq，能得到 m＋n＝p＋q 吗？
反例： 常数列
推广：(1)特别地，当 m＋n＝2k(m, n, k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
解: 设数列{bn}的公差为 d,
由题意知,b1 a1 2, b5 a2 2 8 10，
由b5 10 b1 4d 2 4d, 解得d 2
d 8 d d
31
k 1
所以bn 2 (n 1) 2 2n
所以,数列{bn}的通项公式是 bn 2n.
典例分析
例4 已知等差数列{an}的首项a1 2,公差d 8,在{an}中每相邻两项之间
A.14
B.21
C.28
D.35
3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= 6 ．
第1课时等差数列的概念与通项公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 小结：判断一
（1） 1，4，7，10； 是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .
第2节 等差数列--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节等差数列课标解读考向预测1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n 项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.必备知识——强基础1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第012项起，每一项与它的前一项的差都等于02同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母03d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝04a ＋b ．提醒：在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{a n }成等差数列⇔a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝05a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝06na 1＋n （n －1）2d ．3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋07(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，则①等间距抽取a p ，a p ＋t ，a p ＋2t ，…，a p ＋(n －1)t ，…为等差数列，公差为td ；②等长度截取S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列，公差为m 2d ；③算术平均值S 11，S 22，S 33，…为等差数列，公差为d2.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(其中p ，q 为常数)也是等差数列．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与T n ，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n 项和S n 是项数为n 的二次函数．()(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.()(4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝()A ．10B ．20C ．25D ．30答案C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.故选C.(2)(北师大版选择性必修第二册2.2练习3(2)改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a6＝2且S5＝30，则S8＝() A．31B．32 C．33D．34答案B解析解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝8×（6＋2）2＝32.故选B.解法二：设等差数列{a n}的公差为d，1＋5d＝2，a1＋5×42d＝30，1＝263，＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.故选B.(3)(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．答案2解析由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．答案820解析设第n排的座位数为a n(n∈N*)，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.(5)已知数列{a n}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．答案12解析a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.考点探究——提素养考点一等差数列基本量的运算例1(1)已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝5，S n＝64，则n＝() A．6B．7C．8D．9答案C解析公差d＝a3－a12＝5－12＝2，又S n＝64，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝()A．6B．10C．12D．20答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.(3)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝()A．13B．14C．15D．16答案C解析设等差数列{a n}的公差为d，因为S4＝24，S9＝99，所以a1＋4×32d＝24，a1＋9×82d＝99，即a1＋3d＝12，1＋4d＝11，1＝3，＝2，所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故选C.【通性通法】等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程【巩固迁移】1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{a n}中，a3＋a7＝a8＝16，则{a n}的公差d ＝()A．83B．3C ．103D ．4答案A解析因为a 3＋a 7＝a 8＝2a 5＝16，所以a 8－a 5＝3d ＝8，则d ＝83.故选A.2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 7－a 11＝4，则S 5＝()A ．15B ．20C ．25D ．30答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则2(a 1＋6d )－(a 1＋10d )＝a 1＋2d ＝4，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5×4＝20.故选B.考点二等差数列的性质及其应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质例2(1)(2024·九省联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 7＝6，a 12＝17，则S 16＝()A ．120B ．140C ．160D ．180答案C解析因为a 3＋a 7＝2a 5＝6，所以a 5＝3，所以a 5＋a 12＝3＋17＝20，所以S 16＝（a 1＋a 16）×162＝8(a 5＋a 12)＝160.故选C.(2)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9＝3(a 3＋a 5＋a m )，则m ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6答案C解析因为S 9＝9a 5，所以9a 5＝3(a 3＋a 5＋a m )，所以a 3＋a 5＋a m ＝3a 5，即a 3＋a m ＝2a 5，所以m ＝7.故选C.【通性通法】等差数列项的性质的关注点关注点一项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n＝a p ＋a q关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质关注点三项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2相结合【巩固迁移】3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n 的等差数列{a n }的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n ＝()A ．48B ．36C ．30D ．26答案B解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝10，a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝110，两式相加得6(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝20，又n （a 1＋a n ）2＝360，所以n ＝36.故选B.4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各项为定值的是()A ．a 7B ．a 8C ．S 13D ．S 15答案AC解析由题意知a 2＋a 8＋a 11＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＋a 1＋10d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7是定值，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7，是定值．故选AC.考向2等差数列前n 项和的性质例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15＝()A ．35B ．42C ．49D ．63答案B解析解法一：由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，∴S 15－21＋7＝28，∴S 15＝42.故选B.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2S 1010＝S 55＋S1515，∴S 15＝42.故选B.(2)已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A ．28B ．29C ．30D ．31答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项，则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.【通性通法】熟练掌握等差数列前n 项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．【巩固迁移】5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S20202020－S 20142014＝6，则S 2023＝________．答案8092解析，设其公差为d ，则S 20202020－S 20142014＝6d ＝6，所以d ＝1，所以S 20232023＝S 11＋2022d ＝－2018＋2022＝4，所以S 2023＝8092.6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n .若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝________；若S n T n ＝2n －13n ＋1，则a 5b 4＝________．答案11191722解析若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝11a 611b 6＝2×6－13×6＋1＝1119.若S n T n ＝2n －13n ＋1＝2n 2－n 3n 2＋n，则可设S n ＝(2n 2－n )k ，T n ＝(3n 2＋n )k ，所以a 5＝S 5－S 4＝45k －28k ＝17k ，b 4＝T 4－T 3＝52k －30k ＝22k ，所以a 5b 4＝1722.考向3等差数列前n 项和的最值问题例4在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解解法一(函数法)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，S n ＝20n ＋n （n －1）2·＝－56n 2＋1256n ＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法二(邻项变号法——利用单调性)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，a n ＝20＋(n －＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.解法三：(邻项变号法——利用性质)：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝a 13－a 113－1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.【通性通法】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法【巩固迁移】7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列说法正确的是()A ．a 1>0，d <0B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0答案ABD解析因为S 14>0，S 15<0，所以S 14＝14×（a 1＋a 14）2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0，即a 7＋a 8>0，因为S 15＝15×（a 1＋a 15）2＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．故选ABD.8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝35，a 2＋a 3＋a 4＝39，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案7解析解法一：设数列{a n }的公差为d ，a 1＋d ＝35，2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3（a 1＋2d ）＝39，解1＝19，＝－3，则S n ＝19n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋412n ＋168124.又n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 取得最大值．解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝39，∴a 3＝13，∴2a 3－S 2＝(a 3－a 2)＋(a 3－a 1)＝3d ＝－9，解得d ＝－3，则a n ＝a 3＋(n －3)d ＝22－3n ，－3n ≥0，－3（n ＋1）≤0，解得193≤n ≤223，又n ∈N *，∴n ＝7，即数列{a n }的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当S n 取得最大值时，n ＝7.考点三等差数列的判定与证明例5(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选择条件①③⇒②.已知数列{a n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.因为S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1，所以S n＝n a1(a1>0)，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)．所以数列{S n}是等差数列．选择条件①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，数列{S n}是等差数列，设数列{a n}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，因为数列{S n}是等差数列，所以S1＋S3＝2S2，即a1＋3a1＋3d＝22a1＋d，化简整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.选择条件②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{S n}的公差为d，所以S2－S1＝d，即4a1－a1＝d.所以a1＝d2，S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2.所以a n＝S n－S n－1＝2d2n－d2(n≥2)．又a1＝d2也适合该通项公式，所以a n＝2d2n－d2(n∈N*)．a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列．【通性通法】等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1通项公式法对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1【巩固迁移】9．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)设{a n}的公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列．由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．课时作业一、单项选择题1．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A ．7B ．5C ．3D ．1答案D解析∵{a n }，{b n }为等差数列，∴{2a n －3b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝2a n ＋1－3b n＋1－2a n ＋3b n ＝2(a n ＋1－a n )－3(b n ＋1－b n )＝2d 1－3d 2＝1.故选D.2．(2024·辽宁六校期初考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝20，则S 15＝()A ．150B ．120C ．75D ．60答案D解析由等差数列的性质可知a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝20，所以a 8＝4，S 15＝15（a 1＋a 15）2＝2a 8×152＝15a 8＝60.故选D.3．(2023·陕西宝鸡模拟)已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝()A ．3n －2B ．3n －1C ．3n ＋1D ．3n ＋2答案B解析由题意，n ∈N *，在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设公差为d ，前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，∴－a 1＋a 2＋…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)，即a n ＝3n －1(n ∈N *)．故选B.4．(2023·重庆一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．18B ．19C ．13D ．310答案D解析解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题设，S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，可得a 1＝52d ，所以S8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝310.故选D.解法二：由题意知S 8＝3S 4，又S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，且S 8－S 4＝2S 4，故S 12－S 8＝3S 4，故S 12＝6S 4，S 16－S 12＝4S 4，得S 16＝10S 4，所以S 8S 16＝310.故选D.5．数列{a n }和{b n }是两个等差数列，其中ak b k (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝()A ．64B ．128C ．256D ．512答案B解析由已知条件可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝a 5b 1a 1＝96×192288＝64，因此b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选B.6．(2024·漳州检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，记b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2且b n ＋1－b n ＝2，则S 31＝()A ．171B ．278C ．351D ．395答案C解析由b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝a n ＋3－a n ＝2，得a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，所以S 31＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(a 2＋a 5＋…＋a 29)＋(a 3＋a 6＋…＋a 30)＝1×11＋11×10×22＋2×10＋10×9×22＋3×10＋10×9×22＝351.故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n }()A ．有最大项和最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项和最小项答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，则d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11.令a n ＝2n －11≤0，得n ≤5.5.∴当n ≤5时，a n <0；当n ≥6时，a n ≥1>0.∵T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，∴T 1＝－9，T 2＝63，T 3＝－315，T 4＝945，T 5＝－945.当n ≥6时，a n ≥1，∴T n <0，且T n ＋1<T n <0.∴数列{T n }有最大项T 4，无最小项．故选B.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，均有S 6≤S n 成立，则a 17a 9的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．113答案D解析由题意知，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，必有a 1<0，公差d >0，当a 6＝0时，有S 5＝S 6，S 5，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，此时a 6＝a 1＋5d ＝0，即a 1＝－5d ，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝11d 3d ＝113.当a 6<0，a 7≥0，此时a 6＝a 1＋5d <0，a 7＝a 1＋6d ≥0，即－6≤a 1d <－5，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝a 1d ＋16a 1d ＋8＝1＋8a 1d ＋8，又－6≤a 1d <－5，所以2≤a1d ＋8<3，即13<1a 1d ＋8≤12，则83<8a 1d ＋8≤4，所以113<1＋8a 1d ＋8≤5，所以a 17a 9的最小值为113.故选D.二、多项选择题9．(2024·湖南长郡中学月考)已知数列{a n }的通项公式a n3n ＋b ，1≤n ≤8，2n －3，n ≥9，b ∈Z ，则下列说法正确的是()A ．当{a n }递减时，b 的最小值为3B ．当{a n }递减时，b 的最小值为4C ．当b ＝20时，{a n }的前n 项和的最大值为57D ．当b{|a n |}为递增数列答案BCD解析a 8＝－3×8＋b ＞a 9＝－2×9－3⇒b ＞3，∵b ∈Z ，∴b 的最小值为4，∴A 错误，B 正确；当b ＝20时，数列{a n }的前6项为正，第7项开始往后为负，∴前6项和最大，S 6＝6×（17＋2）2＝57，∴C 正确；当n ≥9时，a n ＜0，|a n |＝2n ＋3，数列{|a n |}递增，当1≤n ≤8时，易知数列{a n }递减，当b，a 1＞0，a 2＜0，且数列{|a n |}1|<|a 2|，8|<|a 9|，∴数列{|a n |}递增，∴D 正确．故选BCD.10．(2023·河北邯郸模拟)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则下列说法正确的是()A ．若a 1＝a 5，则a 1＝a 2＝…＝a nB ．若a 5>a 3，则S 1<S 2<…<S nC．若a3＝2，则a21＋a25≥8D．若a4＝8，a8＝4，则S12＝66答案ACD解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝a5，所以a1＝a1＋4d，所以d＝0，则a1＝a2＝…＝a n，故A正确；因为a5>a3，所以a1＋4d>a1＋2d，所以d>0，{a n}为递增数列，但S1<S2<…<S n 不一定成立，如a1＝－2，a2＝－1，a3＝0，S1＝－2，S2＝－3，S3＝－3，故B不正确；因为a21＋a25≥＝2a23＝8，当且仅当a1＝a5＝2时取等号，故C正确；4＝a1＋3d＝8，8＝a1＋7d＝4，＝－1，1＝11，则a12＝a4＋8d＝8－8＝0，得S12＝a1＋a122×12＝66，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·上海奉贤统考一模)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝15，a4＝1，则a12＝________．答案14解析∵{a n}为等差数列，∴设首项为a1，公差为d，又a7＋a9＝15，a4＝1，a1＋14d＝15，1＋3d＝1 1＝－318，＝138，∴a12＝a1＋11d＝－318＋11×138＝14.12．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…，数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故其前n项和S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.13．(2024·浙江余姚中学质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为________．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13（a1＋a13）2＝13a7<0，S12＝12（a1＋a12）2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.14．(2023·昆明诊断)已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝4，a n ＋2－a n ＝(－1)n ＋3，则数列{a n }的前10项和为________．答案90解析由题意，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝－1＋3＝2，所以数列{a 2n －1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a 2n －1＝2＋2(n －1)＝2n ；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝1＋3＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4＋4(n －1)＝4n .设数列{a n }的前10项和为S 10，则S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 10)＝5×（2＋10）2＋5×（4＋20）2＝90.四、解答题15．(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．解(1)证明：因为2S nn＋n ＝2a n ＋1，即2S n ＋n 2＝2na n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＋(n －1)2＝2(n －1)a n －1＋(n －1)，②①－②得，2S n ＋n 2－2S n －1－(n －1)2＝2na n ＋n －2(n －1)a n －1－(n －1)，即2a n ＋2n －1＝2na n －2(n －1)a n －1＋1，即2(n －1)a n －2(n －1)a n －1＝2(n －1)，所以a n －a n －1＝1，n ≥2且n ∈N *，所以{a n }是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a 4＝a 1＋3，a 7＝a 1＋6，a 9＝a 1＋8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12，所以a n ＝n －13，所以S n ＝－12n ＋n （n －1）2＝12n 2－252n －6258，所以，当n ＝12或n ＝13时，(S n )min ＝－78.16．(2023·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝11，S 10＝40.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解(1)设等差数列的公差为d ，2＝a 1＋d ＝11，10＝10a 1＋10×92d ＝40，1＋d ＝11，a 1＋9d ＝8，1＝13，＝－2，所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .(2)因为S n ＝n （13＋15－2n ）2＝14n －n 2，令a n ＝15－2n >0，解得n <152，且n ∈N *，当n ≤7时，则a n >0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝14n －n 2；当n ≥8时，则a n <0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋…＋a n )＝S 7－(S n －S 7)＝2S 7－S n ＝2×(14×7－72)－(14n －n 2)＝n 2－14n ＋98.综上所述，T n n －n 2，n ≤7，2－14n ＋98，n ≥8.17．(2023·江西九所重点中学高三下第二次联考)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，且函数f (x )在[2，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2018)，则{a n }的前2023项和是()A ．8092B ．4046C ．2023D ．0答案B解析因为函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，于是函数y ＝f (x )的图象关于直线x＝2对称，数列{a n }是公差不为0的等差数列，则数列{a n }是单调数列，又函数f (x )在[2，＋∞)上单调，由f (a 6)＝f (a 2018)得a 6＋a 2018＝4，所以{a n }的前2023项和是a 1＋a 20232×2023＝a 6＋a 20182×2023＝4046.故选B.18．(2023·海口诊断)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6与a 8互为相反数，S n 为{|a n |}的前n 项和，T n ＝nS n ，则T n 的最小值是________．答案6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 6＋a 8＝0，a 2＝－5，a 1＋12d ＝0，1＋d ＝－5，1＝－6，＝1，∴a n＝－6＋(n－1)×1＝n－7.由a n≥0得n≥7，由a n≤0得1≤n≤7，∴当1≤n≤7时，S n＝－(a1＋a2＋…＋a n)＝－n（－6＋n－7）2＝－n（n－13）2；当n≥8时，S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a n)＝2S7＋(a1＋a2＋…＋a n)＝42＋n（n－13）2，∴当1≤n≤7时，T n＝nS n＝－n2（n－13）2.对于函数y＝－x3－13x22，y′＝－3x2－26x2，当1≤x≤7时，y′＞0，∴y＝－x3－13x22在[1，7]上单调递增，∴当1≤n≤7时，T1＝6为最小值；当n≥8时，T n＝nS n＝42n＋n2（n－13）2，对于函数y＝42x＋x3－13x22，y′＝42＋3x2－26x2，当x≥8时，y′＞0，∴函数y＝42x＋x3－13x22在[8，＋∞)上单调递增，∴当n＝8时，T8＝176为最小值．综上所述，T n的最小值是6.19．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d，且d>1.令b n＝n2＋na n，记S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，又T3＝b1＋b2＋b3＝2d＋62d＋123d＝9d，∴S3＋T3＝6d＋9d＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝12(舍去)，∴a n＝a1＋(n－1)d＝3n.(2)∵{b n}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即12a2＝2a1＋12a3，∴＝6da2a3＝6d（a1＋d）（a1＋2d）＝1a1，即a21－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴a n>0，又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a 50－99b 50＝99，即a 50－b 50＝1，∴a 50－2550a 50＝1，即a 250－a 50－2550＝0，解得a 50＝51或a 50＝－50(舍去)．当a 1＝2d 时，a 50＝a 1＋49d ＝51d ＝51，解得d ＝1，与d >1矛盾，无解；当a 1＝d 时，a 50＝a 1＋49d ＝50d ＝51，解得d ＝5150.综上，d ＝5150.。
【课件】 等差数列复习课 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
公式1：
Sn
n(a1 an ) 2
公式2：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1、 d、 an、 n 、 sn,
公式3：
Sn
=
d 2
n2
+
(a1
-
d) 2
n
说明：1)当 an= c，Sn = n c ；
2)公式中五个量 a1, d, an, n, Sn,, (知三求二),
已知其中三个量，可以求其余两个.
由题意 2000 an 2100 ,
394 n 484
76
76
5 14 n 6 28
76
76
n N* n 6
则 2000 76n 1606 2100
a6 1682 76 5 2062
394 76n 484
预计雷彗星本世纪将于2062年回归.
16
综合应用p25：
a1及
an
；
则：a1 15 1 2= 10
3 a1 =
5，d = 6
1 6
，Sn
5, 求
n及
an
4 d =2，n=15，an = 10，求 a1及Sn.
等差数列 {an}前n项和
；
a1 = 38
Sn
na1
2
an
15 38
2
10
360
1
Sn
=
n(a1 + 2
an )
综上 a1 38, Sn 360.
n+1 n 2
22
数列
Sn n
为等差数列.
数列
Sn n
为等差数列.
19
综合应用p25：
湘教版数学高二湘教版必修4讲义 9.2等差数列(二)
9.2 等差数列(二)1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，如果已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 一次的函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)(3){a n }n 为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列.要点一 等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二 根据等差数列性质 a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5， 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪演练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________．答案(1)15(2)18解析(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.要点二等差数列的设法与求解例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.规律方法利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．跟踪演练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二 若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝2， 故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三 由递推关系式构造等差数列求通项例3 已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由． (1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，得n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力． 跟踪演练3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式． (1)证明 (a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)， 故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解 由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1， 故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n . 要点四 等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由．解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }， 则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2⇒a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4⇒b 2＝26.所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只； (2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．(3)∵a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6)， ∴c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34) ＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6)．∵对称轴为n ＝94，所以当n ＝2时，c n 最大．所以第2年的规模最大．规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20，(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项a 1＝200，公差d ＝－20， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220. 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损， 由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 ∵a 1＋a 9＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．35B ．－35C ．23D ．－23 答案 A解析 由a 8－a 4＝4d ＝12，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( ) A ．新数列不是等差数列 B ．新数列是公差为d 的等差数列 C ．新数列是公差为2d 的等差数列 D ．新数列是公差为3d 的等差数列 答案 C解析 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， ∴数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______． 答案 4,6,8解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d >0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8.1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．一、基础达标1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82. 3．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列； 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因d >0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d >0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 方法一 依题意2a 1＋9d ＝10，所以3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝20. 方法二 3a 5＋a 7＝a 5＋a 6＋a 4＋a 7＝a 3＋a 8＋a 3＋a 8＝20.6．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值． 解 方法一 设公差为d ， 则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝km ＋b ＝n ，a n ＝kn ＋b ＝m ，得k ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝k (m ＋n )＋b ＝0. 二、能力提升8．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5 ＝5a 5＝450，∴a 5＝90.∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.9．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.10．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 答案 15解析 a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝22， ∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.11．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . (1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由．(2)求a n . 解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，高中数学-打印版校对打印版 ∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1， ∴{a n }是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2.12．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三、探究与创新13．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． (2)求a n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下； ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2， ∴a n ＝2n.。
【人教A版】高中数学选择性必修第二册：等差数列的概念 同步讲义
【人教A 版】高中数学选择性必修第二册《等差数列的概念》同步讲义知识精讲一. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．故有1121n n n n d a a a a a a +-=-=-==-…，且mna a d m n-=-()m n ≠． 根据公差d 可以判断等差数列{}n a 的单调性：{}0n d a >⇔是递增数列； {}0n d a <⇔是递减数列； {}=0n d a ⇔是常数列．二. 等差数列的通项公式1．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-，其中1a 为首项，d 为公差．2．等差数列的通项公式的推导由累加法推导等差数列的通项公式：因为数列{}n a 为等差数列，所以1n n a a d --=对于所有2n ≥的正整数都成立，则2132121n n n n a a da a da a d a a d----=-=-=-=将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-， 即等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．3．对公式的理解（1）从方程的观点来看，等差数列的通项公式中有四个量，只要已知其中3个，即可求出另外一个．其中1a 和d 为基本量，只要知道1a 和d 就可以求出等差数列任一项．（2）从函数的观点来看，n a 是n 的一次函数．其图像是直线1()y dx a d =+-上横坐标为1、2、3……的一系列孤立的点．由于两点确定一条直线，只要给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了.三点剖析一. 方法点拨函数与方程思想解题，抓住首项1a 与公差d 是解决等差数列问题的关键.二. 必备公式通项公式1(1)n a a n d =+-；公差mna a d m n-=-()m n ≠.等差数列的概念例题1、 已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，46a =，则公差d 等于（ ）A.2B.43C.1D.23例题2、 在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 15＝－10，则a 1＝（ ）A.38B.－38C.18D.－18例题3、 在ABC 中，A B C ，，成等差数列，则tan 2A tan+ 2C 3tan 2A • tan 2C的值是（ ） A.3 B.-333随练1、 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若角A 、B 、C 成等差数列，且a ＝3，c ＝1，则b 的值为（ ）3 B.2 7 D.7随练2、 若点1(,)n n a a +在直线20x y --=上，则数列{}n a 是（ ） A.公比为2的等比数列 B.公差为2的等差数列 C.公比为－2的等比数列 D.公差为－2的等差数列随练3、 已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，222112n n n a a a +-=+（n ≥2），则a 6=（ ） A.16 B.4 2 D.45等差数列的通项公式例题1、在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝（ ） A.14 B.15 C.16D.17例题2、已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=+，则16________a =．例题3、《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ） A.3733 B.6766 C.1011 D.2333随练1、在等差数列{}n a 中，23a =，5710a a +=，则110a a +=（ ） A.9 B.9.5C.10D.11随练2、已知等差数列{a n }a 345°，则cos （a 1＋a 2＋a 6）为（ ）A.1B.2C.2D.3等差数列的性质与判定知识精讲一. 等差中项如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x y A +=；反之，若2x yA +=，则x A y ，，三个数成等差数列．等差数列中相邻三项之间存在如下关系：112(2)n n n a a a n -++=≥．反之，若数列中任意相邻三项之间都存在如下关系：112(2)n n n a a a n -++=≥，则该数列是等差数列．得到对于任意整数0i n <<，有2n i n ina a a -++=，即相距n a 距离相同的两项的等差中项为n a ．若x A y ，，成等差数列，则2x yA +=、2A x y =+、A x y A -=-、x A A y -=-都是等价的．二. 等差数列的性质设{}n a 为等差数列，公差为d ，则：1．()n m a a n m d =+-*(,)m n N ∈2．若在等差数列中，若p q m n +=+*(,,,)m n p q N ∈ ，则p q m n a a a a +=+；特殊地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=3．在{}n a 中等距离地取出若干项，组成的新数列仍为等差数列，即23,,,,k k m k m k m a a a a +++．．．．也成等差数列项*(,)k m N ∈，公差为md ．4．若{}n b 也为等差数列，且公差为D ，则数列{}n n a b ±，公差为d D +；对于常数p 、q ，{} n pa q +也为等差数列，且公差为pd .三点剖析一. 方法点拨1. 等差数列项数的设法（1）通项法：根据通项公式设项1(1)n a a n d =+-，或()n m a a n m d =+-.（2）对称法：当等差数列{}n a 的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：22a d a d a a d a d --++，，，，，，；当项数n 为偶数时，可设中间两项分别为,a d a d -+，再以公差为2d 向两边分别设项：3 3 a d a d a d a d --++，，，，， 2. 等差数列的判定方法（1）定义法：1n n a a d --=（d 是常数，且*2,n n N ≥∈）{}n a ⇔为等差数列．（2）等差中项法：(){}*1122,n n n n a a a n n N a -+=+≥∈⇔为等差数列．（3）通项法：*(,)n a kn b k b n N =+∈为常数，，即n a 为n 的一次函数{}n a ⇔为等差数列． 3. 求解等差数列有关计算问题的常用方法（1）基本量法，即建立关于1a 与d 的方程组求出1a 与d 再解决问题；（2）运用等差数列的性质：若2p q m n k +=+=*(,,,,)m n p q k N ∈ ，则2p q m n k a a a a a +=+=；运用等差数列的性质可以优化解题过程．等差中项例题1、 在等差数列{}n a 中，已知1435a a ==，，则7a 等于____．例题2、 设x 是 a b ，的等差中项，2x 是22 a b ，-的等差中项，其中0 ab ≠，求:a b 的值.等差数列的性质例题1、 在等差数列{}n a 中，3737a a +=，，则2468a a a a +++=__________.例题2、 已知等差数列{}n a 中，1n n a a +<，且379a a =，4610a a +=，则此等差数列的公差d =（ ）A.-4B.-3C.-2D.13-例题3、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36936S S ==，，则789______a a a ++=随练1、 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（ ）. A.4 B.5C.8D.10随练2、 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若123=15a a a ++，123=80a a a ，则111213a a a ++=（ ） A.120 B.105C.90D.75随练3、 已知ABC ∆的三边长 a b c ，，成等差数列，且22284,a b c ++=则实数b 的取值范围是_________.随练4、 数列中，()11*211n n n a n N a a a +=-∈+=，，则2014a =（ ） A.2 B.13C.12-D.3﹣等差数列的判定方法例题1、 设数列{}n a 满足：1213a a ==，，且11211n n n na n a n a -+=-++（）（），则20a 的值是（ ） A.145B.245C.345D.445例题2、 设数列{}n a 是公差为d 的等差数列． （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式； （Ⅱ）证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．例题3、 已知数列{}n a 满足1122,,2nn n a a a a +==+（1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？说明理由．（2）求.n a随练1、 等差数列1a ，2a ，，n a 的公差为d ，则数列1ca ，2ca ，，nca （c 为常数，且0≠c ）是（ ）A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对拓展1、 由公差为d 的等差数列a 1、a2、a 3…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6…是（ ） A.公差为d 的等差数列 B.公差为2d 的等差数列 C.公差为3d 的等差数列 D.非等差数列2、 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1+a 2=1，则a 1=__________，d=__________．3、 已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为（ ） A.1720 B.5960 C.1 D.67664、 在等差数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则5a 的值是（ ） A.﹣5 B.52C.12-D.125、 已知等差数列{}n a 中，59a =，且3226a a -=，则1a 等于（ ） A.2- B.3-C.0D.16、 在等差数列{}n a 中，若4515a a +=，715a =，则2a 的值为（ ）. A.3- B.0C.1D.27、 设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A.1 B.2C.4D.68、 若()1lg3,lg sin ,lg 12x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭顺次成等差数列，则（ ）A.y 有最大值1，无最小值B.y 有最小值11,12无最大值C.y 有最小值11,12最大值1 D.y 有最小值1-，最大值19、 数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（2n ≥），设21n n b a =-．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列并证明；（2）求数列{}n a 的通项公式．10、 数列{}n a 满足()()2111n n a a n n a n N λλ++==+-∈，，是常数. （1）当21a =-时，求λ及3a 的值.（2）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.。
人教新课标版数学高二A必修5课件2.2等差数列一
明目标、知重点
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成
等差数列，求此数列. 解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项.∴b＝－12＋7＝3.
－1＋3 又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝ 2 ＝1.
明目标、知重点
3＋7 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝ 2 ＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.
明目标、知重点
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每 增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气 温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km, 8 km高度的气温. 解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1 ＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得 d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同 一个常数，那么这个数列就叫做 等差 数列，这个常数叫做等 差数列的 公差 ，公差通常用字母d表示.
2.等差中项的概念 若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的 等差中项 ， 并且A＝a＋b .
明目标、知重点
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项
公式an.
a1＋5d＝12，
解
由题意可得
a1＋17d＝36.
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系，
高中数学讲义：等差数列性质
等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
等差数列的概念(第一课时) 课件——高二上学期数学选择性必修第二册
课堂巩固
例2.－401是不是等差数列 －5,－9,－13,…,的项？如果是， 是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－ 401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1. 令－4n－1=－401,解得n=100.
等差数列的概念
情境引入
我国有用12生肖纪年的习惯，例如：2021年是牛年，从2021年开始，牛年 的年份为2021，2033，2045，2057，2069，2081....；这些年份有什么特 点？
情境引入
圜丘坛为雕砌的三层露天圆台，坛面为艾叶青石，汉白玉栏板、栏柱雕成，两道外方里圆的围墙象 征着"天圆地方"。由于是祭天坛，圜丘的整个结构是对数学的巧妙运用，坛面、台阶、栏杆的石制 构件，都取九或九的倍数，即阳数，用以象征天。坛中心的圆形石板，叫天心石(亿兆景从石)，站在 上面高喊或发出敲击声，周围即起回音，自己听起来声音很大，好似一呼百应。
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
迭代法
an a1 (n 1)d n=1时亦适合
新知探究
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个 数列通项公式？
解：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d （n ≥ 2）
(2)求等差数列8，5，2....的第20项
分析：(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公 式求数列的第20项
解：(2)由已知条件,得d=5－8=－3.
把a1=8,d=－3代入an=a1+(n－1)d, 得an=8－3(n－1)=11－3n.
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【典型例题分析】
例1、已知数列的前项和，数列的每一项都有，求数列的前项和.
变式练习：已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .
例2、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公
式。
例3、已知数列{}a n ：…，…，…，，，100
1001002100133323
1222
11+++++
+ 求证：数列{}a n 为等差数列，并求它的公差
例4、等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则（ ）
11、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121
n n
a n a n -=-，则2n n
S S = ．
12、等差数列有如下性质，若数列}{n a 是等差数列，则当}{,21n n
n b n
a a a
b 数列时+++=
也是等差数列；类比
上述性质，相应地}{n c 是正项等比数列，当数列=n d 时，数列}{n d 也是等比数列。
13、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若61420a a +=，则S 19=______________． 14、 已知等差数列{a n },其中,33,4,3
1
521==+=
n a a a a 则n 的值为 _ 15、 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示），
16、定义运算符号：“
∏
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作
∏=n
i i 1
，
∏=*
=∈n
i i n a T N n 1
).(记，其中a i 为数列)}({*∈N n a n 中的第i 项.
①若12-=n a n ，则T 4= ；
②若=∈=*
n n a N n n T 则),(2 .
8、 如图,在杨辉三角中,斜线l 上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n 项和为
S n ,则S 19等于____________.
1
1 1 1
2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … … … … … …
9、下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n 的代数式表示）
10、已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于（ ）。
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45 11、探索以下规律：
则根据规律, 从2006到2008，箭头的方向依次是( )
A B C D
12、 设数列}{n a 的前n 项和为)(*
N n S n ∈，关于数列}{n a 有下列三个命题：
①若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则1+=n n a a ；
②若),(2
R b a bn an S n ∈+=，则数列}{n a 是等差数列；
③若n
n S )1(1--=，则数列}{n a 是等比数列.
这些命题中，真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13、数列}{n a 满足：)(2
2,111N n a a a a n n
n ∈+=
=+. 1 2 5
6 7 9 10 11 …… ，
0 3 4 8。