第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理

第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。

本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。

在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。

§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理
设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。

由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。

（1）力的平衡方程
0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。

（2）应变位移关系式（几何关系）
)(2
1,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系）
kl ijkl ij a ε=σ （5-3）
kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）
式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。

（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即
u S S S +=σ （5-4）
在力的边界σS 上，
i j ij T n =σ （5-5）
式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。

在位移边界u S 上，
i i u u = （5-6） 式中i u 为已知边界位移。

（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。

上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方程，6个物理关系方程。

而未知变量也共计15个：6个应力分量ij σ，6个应变分量ij ε和3个位移分量i u 。

因此该问题是可以求解的。

小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A 和余应变能泛函（余应变能密度）B 可表示为
kl ij ijkl ij a A εε=ε2
1)( （5-9） kl ij ijkl ij b B σσ=
σ2
1)( （5-10） 不难看出，)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系， )()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε （5-11）
并且容易证明
ij ij ij B σ∂σ∂=
ε)( （5-12）
ij ij ij A ε∂ε∂=σ)
( （5-13） （一）虚功原理与最小位能原理
这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。

则由虚功原理可写出虚功方程为
0dS δdV δd δV i =--εσ⎰⎰⎰
σS i i i V ij ij u T u F V （5-14） (5-14)式成立是有条件的，要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给
定位移边界条件，即 )δδ(2
1δ,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-15a ） 0δ=i u （在u S 上） （5-15b ）
虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。

反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所
容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。

值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。

如果用下面泛函表示弹性体的总位能P ∏，
⎰⎰σ
--ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([p （5-16） 对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，
⎰⎰σ
=--εσ=∏S i i V i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP （5-17） 将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。

所以，可以把最小位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。

由于
⎰⎰⎰σ=+σ=εσV j i ij i j j i V ij V ij ij V u V u u V d δd )δδ(2
1d δ,,, （5-18） 利用格林公式，上式等号右边积分可变换为
⎰⎰⎰
σ-σ=σV i j ij S i j ij V j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用（5-15b ）式，则（5-17）式可化为 0d δ)(d δ)(,=σ-++σ⎰⎰σ
S i j ij i V i i j ij S u n T V u F 因为i u δ为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即0,=+σi j ij F （在V 内）及力的边界条件（5-5）即i j ij T n =σ（在σS 上）。

（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件（5-6）的所有容许的i u 中，实际的i u 使弹性体的总位能取最小值。

（二）余虚功原理与最小余能原理
余虚功原理中，可取ij σδ表示弹性体内的应力变分，即虚应力。

另外，i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。

与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为
0d δd δ=-σε⎰⎰u
S i i V ij ij S u T V （5-19） 余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为
0δ,=σj ij （在V 内） （5-20）
0δ=i T （在σS 上） （5-21）
现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c ∏
⎰⎰-σ=∏u
S i i V ij S u T V B d d )(c （5-22）
现在对（5-22）式取驻值，即0δc =∏，则有
0d δd )(δδc =-σ=∏⎰⎰u
S i i V ij S T u V B (5-23) 利用格林公式，上式中的体积分项可化为
⎰⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σε=σV
j ij i S ij j i V ij j i ij V ij V ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,, 考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成
0d δd δ)(,=σ-σ-⎰⎰
V j ij i S j ij i i V u S n u u u (5-24) 再考虑到ij σδ应满足（5-20）式，且ij σδ为独立量，则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界u S 上
的协调条件为 0=-i i u u （5-25）
（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力ij σ中，实际的应力ij σ使弹性体的总余能取最小值。

上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 P ∏应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函c ∏应满足的条件是（5-1）式和（5-5）式。

这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。

§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理
§5.2.1 完全广义变分原理
现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。

在§
5.1节的讨论中，不论是最小位能原理或最小余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。

如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。

于是形成了下面的完全广义变分原理。

（1） 基于最小位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理
现在，让我们将最小位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和μi ，并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏，
-+-ελ+-ε=∏⎰⎰V i j j i ij ij V i i i ij V u u V u F A d )](2
1[]d )([,,Gp ⎰⎰
-μ+σu S i i i S i i S u u S u T d )(d （5-26）
式中经受变分的独立量是应变分量ij ε、位移分量i u 及拉格朗日乘子ij λ和i μ，而不需要附加任何条件。

对这些独立量进行变分，有
⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ
-μ-+μ+-+λ-λ+-ε+ελ+ε∂∂=∏S i i S i i i i i V i i V
i j j i ij V ij i j j i ij V ij ij ij S u T S u u u V u F V u u V u u V A u d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21d δ)](2
1[d δ)(δ,,,,Gp 引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为
⎰⎰⎰⎰λ-λ=λ=+λS V i j ij i j ij V j i ij V i j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(2
1,,,, 将上式代入Gp δ∏式中，得
⎰⎰⎰σ
+λ-μ-+λ-μ+-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S u T n S u u u n V u F u u u d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21[δ){(δ,,,Gp
由0δGp =∏可以导出以下各式
ij ij σ-=λ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε，0,=-λi j ij F （在V 内） （5-27a,b,c ） j ij i n λμ=，i i u u = (在u S 上) （5-27d,e ）
0=+λi j ij T n （在σS 上） （5-27f ）
显然，（5-27c ）式表示平衡方程，（5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a ）式代入（5-27d ）式中，则得j ij i n σ-=μ，将（5-27a ）式带入（5-27f ）式得j ij n T σ=，表示力边界上的给定条件。

从以上的推导中，清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系（5-1）、应变位移关系（5-2）、力边界上的给定表面力（5-5）式及位移边界上的指定位移（5-6）式。

将乘子ij λ、j μ分别用ij σ-、j ij n σ-代替，则泛函Gp ∏可写成下列形式
--σ+-ε-ε=∏⎰V i i ij i j j i ij ij V u F u u A }d )](2
1[)({,,Gp d ()d u
i i ij j i i S S Tu S n u u S σσ--⎰⎰ （5-28） 该式中经受变分的独立量是三类共15个，即ij ε、i u 和ij σ，而没有约束条件。

于是，（5-28）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式~（5-6）式的解i u 、ij ε、ij σ，必使得泛函Gp ∏有驻值。

（5-26）式和（5-28）式表示的广义原理，也称为胡海昌-鹫津原理。

现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理，即Hellinger-Reissner （海林格-莱斯纳）变分
原理，同属于无约束条件的广义变分。

Hellinger-Reissner 泛函由下式定义，
⎰⎰⎰μ-+--σ-σ=∏σu
S i i i S i i V i i ij j i ij S u u dS u T V u F B u d )(d ])([,R 式中经受变分的独立量是原理分量ij σ、位移分量i u 和拉格朗日乘子i μ，而没有约束条件。

对上式泛函取一阶变分，由驻值条件，可得
--σσ∂σ∂-σ=∏⎰⎰⎰V
i i V ij ij ij V j i ij V u F V B V u d δd δ)(d δδ,R 0d δd δ)(d δ=μ+μ-+⎰⎰⎰σu
u S i i S i i i S i i S u S u u S u T （5-29） 上式等号右边第一个积分，可以进一步用分部积分展开，可得
⎰⎰⎰⎰+-=V V
ij j i i V j ij S i j ij j i ij V u V u S u n V u d δd δd δd δ,,,σσσσ （5-30） 将（5-30）式代回（5-29）式，经过整理后，可得下式
+σ+-σ∂σ∂-+σ-=∏⎰⎰V ij V i j j i ij ij i i j ij V u u B V u F d δ)](2
1)([d δ)(δ,,,R 0d δμ)(d δ)μ(d δ)(=-+σ++-σ⎰⎰⎰σu u
S i i i S S i j ij i i i j ij S u u S u n S u T n 从上式中可以导出以下条件
0=+σi ij F （在V 内） 平衡方程
,,()
1()02
ij i j j i ij B u u σσ∂-+=∂ （在V 内） 0=-σi j ij T n （在σS 上） 力边界条件
0=-i i u u （在u S 上） 位移边界条件
并且可以得到拉格朗日乘子i μ的涵意，
μi ij j i n T σ=-=- （在u S 上） 如果引入关系式ij ij ij B σσ∂=ε)(，则还可以得到
0)(2
1,,=+-εi j j i ij u u （在V 内） 应变位移关系 从而验证了在泛函R ∏极值条件下，导出了弹性力学各类基本方程。

将拉格朗日乘子i μ用j ij n σ-代替，泛函R ∏可以写为下列形式
--σ-σ=∏⎰V i i ij j i ij V u F B u d ])([,R ⎰⎰σ--σu
S j ij i i S i i S n u u dS u T d )( （5-31） 式中经受变分的独立量共9个，即ij σ和i u ，而没有约束条件。

从泛函R ∏中不难看出，此种广义变分属于二类自变量的广义变分，ij σ和i u 是独立假设的。

Hellinger-Reissener 泛函在构造弯曲
板有限元模型得到广泛的应用（参阅本书第六章§6.3节）。

实际上，将物理关系引入（5-28）式消去应变分量ij ε，也可以得到（5-31）式。

通过分部积分，泛函（5-31）也可以写成另一形式如下：
-+σ+σ=∏-⎰V i i j ij ij V u F B d ])()([,*R ()d d u
ij j i i ij j i S S n T u S n u S σσσ--⎰⎰ （5-31’） （2） 基于最小余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理
现在我们从最小余能泛函c ∏出发，将弹性体内的平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和i μ引入，并形成下面的泛函
⎰⎰⎰σ-μ-σ+λ+σ+ε-εσ=∏σu
S i j ij S i i j ij V i i j ij ij ij ij S u n S T n V F A d d )(d ])()([,Gc 式中ij σ、ij ε、i λ和i μ均作为独立变量。

对上式进行一阶变分，得
+λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏⎰V F a i i j ij V
ij j i ij ij kl ijkl ij d )δ(δ)(δ)[(δ,,Gc +σλ+μ+μ-σ⎰
σS ij j i i i i j ij S n T n d ]δ)(δ)[( ⎰
σ-λu S ij j i i S n u d δ)( （5-32）
上式中 d δ)(,=σλ-ε⎰V ij j i ij V ⎰σλ+λ-εV ij i j j i ij V d δ)](21[,, （5-33）
将（5-33）式代入（5-32）式，则由（5-32）式可以得到以下驻值条件：
kl ijkl ij a ε=σ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε，0,=+σi j ij F (在V 内) （5-34a,b,c ） j ij i n T σ=， i i λ-=μ (在σS 上) （5-34d,e ）
i i u =λ (在u S 上) （5-34f ）
如果将上式得到的i μ和i λ代入Gc ∏式，则泛函Gc ∏可以写为下列形式
⎰⎰⎰σ--σ-+σ+ε-εσ=∏σu
S i j ij S i i j ij V i i j ij ij ij ij S u n S u T n V u F A d d )(d ])()([,Gc （5-35）
式中经受变分的独立量是三类共15个，即ij ε、i u 和ij σ，而没有约束条件。

于是，（5-35）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式~（5-6）式的解i u 、ij ε、ij σ，必使得泛函Gc ∏有驻值。

如果将平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和i μ引入总余能泛函c ∏，并形成下面的泛函
⎰⎰⎰σμ-σ+σ-λ+σ+σ=∏S i i j ij S i j ij V i i j ij ij S T n S u n V F B u d )(d d ])()([,Gc1
式中经受独立变分的量是ij σ、i λ和i μ。

可以证明，上述的泛函与（5-31’）式的泛函是相同的，即
-+σ+σ=∏⎰V i i j ij ij V u F B d ])()([,Gc1⎰⎰σ--σσu
S i j ij S i i j ij S u n dS u T n d )( （5-36） 这是一个属于二类自变量的广义变分，其中的ij σ和i u 是独立假设的。

实际上，将物理关系引入（5-35）式消去应变分量ij ε，也可以得到（5-36）式。

下面我们将进一步证明（5-28）式与（5-35）式的等价性。

将（5-28）式与（5-35）式相加，得到
⎰⎰⎰σ-σ-σ+σ+=∏+∏σu
S i j ij S i j ij V i j ij ij i j j i S u n S u n V u u u d d d ])(21[,,,Gc Gp 利用分部积分，
,,,,,1[()]d ()d d d 2u i j j i ij ij j i i j ij ij j i ij j i ij j i V V S S u u u V u u V n u S n u S σσσσσσσ++=+=+⎰⎰⎰⎰
从而得
0Gc Gp =∏+∏，或 Gc Gp ∏-=∏ （5-37）
(5-37)式证明了两种泛函的等价性。

所以，完全变分原理的两种泛函即Gp ∏与Gc ∏是等价的，只是有正、负之差，但这对取驻值没有关系。

从物理意义上也比较易于理解，由于小位移线性弹性系统的完全变分原理，在泛函中全部地概括了所有的条件，因此而构成其等价性。

而对于一般总位能泛函p ∏与总余能泛函c ∏，这一等价性并不成立，读者可以自行验证。

§5.2.2 有条件的不完全广义变分原理
在§5.2.1节中，我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理，对泛函取驻值，导出了所有的需要满足的条件。

但实际情况也并非如此，譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函，而只是在满足部分的条件（即放松提出泛函的某些条件的要求），再引用拉格朗日乘子法，组成不完全变分原理的泛函。

不完全变分原理较多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。

对于基于最小位能原理的不完全广义变分原理列举几例，概述如下。

（1）在满足位移边界条件（5-6）的所有允许变量ij σ、ij ε、i u 中，只有当ij σ、ij ε、i u 为真实解时，使下面的泛函为驻值，
d d }]λ)(2
1[)({,,mp1⎰⎰--+-+=∏σεεS i i V i i ij i j j i ij ij S u T V u F u u A （5-38）
式中ij σ、ij ε、i u 均为独立变量。

当对（5-38）式取驻值，有
⎰-λ--ε+ελ+ε∂∂=∏V ij i j j i ij ij ij ij u u A δ)2
121(δ)[(δ,,mp1 ⎰=-λu S i i i j i ij S u T V u F u 0d δ]d δ-δi , （5-39） 利用格林公式，并引入ij ij A σ=ε∂∂，可以得到
⎰⎰⎰λ-λ=λV V
i j ij S i j ij j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 将上式代入（5-39）式，同时注意到泛函是在满足位移边界（5-6）的条件下提出的，故上式等号右边第一项中的表面S 只包含力的边界，（5-39）式变为
⎰+λ--ε+ελ+σ=∏V ij i j j i ij ij ij ij u u δ)2
121(δ)[(δ,,mp1 ⎰σ
=+λ--λs i i j ij i i j ij S u T n V u F 0d δ)(d ]δ)(, （5-40） 因为ij εδ、ij λδ、i u δ均为独立变量，由（5-40）式可导出
在体积V 内
ij ij σ-=λ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε，0,=+σi j ij F （5-41a,b,c ） 在力的边界σS 上
j ij i n T λ-= （5-41d ）
将（5-41a ）式代入（5-41d ）式中，得
j ij i n T σ= （5-41d’）
将式（5-41a ）式代入（5-38）式，则得泛函mp1∏为
⎰⎰σ--σ+-ε-ε=∏S i i V i i ij i j j i ij ij S u T V u F u u A d d }])(2
1[)({,,mp1 (5-38’) （2）在满足应变位移关系式（5-2）的所有容许的变量中，只有真实解使下面的泛函取驻值
⎰-ε=∏V i i ij V u F A d ])([mp2⎰σ-S i i S u T d ⎰μ-+u
S i i i S u u d )( （5-42） 现在对mp2∏取驻值，即0δmp2=∏，有
+--εε∂∂=∏⎰⎰σS i i V i i ij ij S u T V u F A d δd ]δδ[δmp20d ]δ)(δ[=μ-+μ⎰u S i i i i S u u u （5-43）
引入（5-13）式，再利用格林公式，上式等号右边第一个积分中的第一项可化为
⎰⎰⎰⎰
-==V i j ij S i j ij V j i ij V ij ij V u S u n V u V u d δd δd δd δ,,σσσεσ 将上式代入（5-43）式，得
+-σ++σ-=∏⎰⎰σ
S i i j ij V i i j ij S u T n V u F d δ)(d δ)(δ,mp2 0d ]δ)(δ)[(=μ-+μ+σ⎰S u u u n u S i i i i i j ij
因为i u δ、i μδ为独立变量，故由上式可以导出以下条件，
在体积V 内： 0,=+σi j ij F （5-44a ）
在力的边界σS 上： j ij i n T σ= （5-44b ）
在位移u S 边界上： j ij i n σ-=μ，i i u u = （5-44c,d ）
现在将（5-44c ）代入（5-42）式，可得泛函mp2∏为
⎰-ε=∏V i i ij V u F A d ])([mp2⎰σ-S i i S u T d ⎰μ-+u S i i i S u u d )( （5-42’）
（3）设位移边界条件为)3,2,1(==i u u i i 。

在满足其中一个位移边界条件如11u u =的所有容许的i u 、ij ε、ij σ中，只有当i u 、ij ε、ij σ为真实解时，使下面的泛函有驻值
⎰--σ+-ε-ε=∏V i i ij i j j i ij ij V u F u u A d })](21[)({,,mp3
⎰σS i i S u T d ⎰σ-+σ--u
S j j j j S n u u n u u d ])()[(333222 （5-45） 这种不完全满足位移边界的泛函，可以只满足其中一部分位移边界条件，如式（5-45）那样，也可以满足其中的两个位移边界条件，而形成相应的泛函。

具体推导读者可自行完成。

（4）在满足一个应变位移关系01,111=-εu 的所有容许的位移i u 、应变ij ε及应力ij σ中，真实的i u 、ij ε、ij σ必使下列泛函为驻值
--σ-ε+σ+-ε-ε=∏⎰V i i ij i j j i ij ij V u F u u u A d })()](2
1[)({111,111,,mp4 ⎰⎰σσ--S S j ij i i i i u
S n u u S u T d )(d （5-46） 基于最小余能原理的不完全广义变分原理，其基本处理方法与上面类似，仍是利用拉格朗日乘子法，使一部分条件乘以拉格朗日乘子作为泛函的一部分，参与到泛函中去，而将另一部分条件作为泛函提出的条件。

按泛函提出满足不同的条件，也可以划分为以下几种。

（1/）在满足力的边界条件（5-5）的所有容许的位移i u 、应变ij ε及应力ij σ中，只有真实的i u 、ij ε、ij σ使下面的泛函有驻值
⎰⎰σ-λ+σ+ε-σε=∏u
S i j ij V i i j ij ij ij ij S u n V F A d d ])()([,mc1 (5-47) 式中ij σ，ij ε和拉格朗日乘子i λ均作为独立变量。

在引用了（5-13）式和（5-3）式，即
ij kl ijkl ij ij
ij ij a A A εε=εε∂ε∂=
εδδ)()(δ
及格林公式，使
⎰⎰⎰
σλ-σλ=σλV
ij j i S
ij j i V
j ij i V S n V d δd δd δ,,
后，对（5-47）式取驻值，可得到下式
⎰
⎰=σ-λ-
λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏u
S ij j i i V
i i j ij ij j i ij ij kl ijkl ij S n u V F a 0
d δ)(d ]δ)(δ)(δ)[(δ,,mc1
因为ij εδ、λδ、ij σδ都是独立变量，故由上式可导出以下驻值条件，
在体积V 内：
kL ijkL ij a ε=σ， 0,=+σi j ij F （5-48a,b ）
由
⎰
⎰=σλ-=σλ-εV
V
ij j i i ij j i ij V u V 0d δ)(d δ)(,,
可知，在体积V 内，
i i u λ= （5-48c ）
而在位移边界u S 上，
i i u =λ （5-48d ）
将（5-48c ）及(5-48d)代入（5-47）式中，得
⎰⎰σ-+σ+ε-σε=∏u
S i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc1 （5-47’
） （2/）在满足平衡方程式（5-1）的所有容许的i u 、ij ε、ij σ中，只有当i u 、ij ε、ij σ为真实解时，使下面泛函有驻值
⎰⎰⎰σ-μ-σ+ε-σε=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
ij ij ij S u n S T n V A d d )(d )]([mc2 （5-49）
式中应力ij σ，应变ij ε，乘子i μ是作为独立变量。

对泛函（5-49）取驻值，
⎰⎰
⎰=σ-+δσ+μ+μ-σ+
σ-εε-σ=∏σ
u
S ij j i i S ij j i i i i j ij V
j ij i ij kl ijkl ij S n u u S n u T n V u a 0
d δ)(d ])(δ)[(d ]δδ)[(δ,mc2
推导上式，我们用了格林公式，使
⎰⎰⎰⎰
σ-σ=σ=σεV
j ij i V
ij j i V
ij j i V
ij ij V u S n u V u V d δd δd δd δ,,
由此可导出以下各式
0,=ε-σkl ijkl j ij a （在V 内）
j ij i n T σ=，i i u -=μ （在σS 上）
i i u u = （在u S 上） （5-50a,b,c,d ）
现在将（5-50c ）式代入（5-49）式中，可得出泛函mc2∏为
⎰⎰⎰σ--σ-ε-σε=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
ij ij ij S u n S u T n V A d d )(d )]([mc2 （5-49’）
（3/）在满足一个（譬如全部共有三个）给定力边界条件如j j n T 11σ=的所有容许的i u 、ij ε、
ij σ中，只有真实的i u 、ij ε、ij σ使下列泛函为驻值
-σ-+σ+ε-σε=∏⎰⎰u
S i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc3
⎰
σ
-σ+-σS j j j j S u T n u T n d ])()[(333222 （5-51）
同样，如果要求的泛函满足二个以上给定力边界条件时，可以参考（5-51）式，也不难求出其泛函表达式。

读者可以自行推导。

§5.3 小位移弹性理论的分区变分原理
传统变分原理采用整体插值，而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体，采用的是分区插值。

将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交界面上的连续性要求，就得到所谓的分区变分原理。

分区变分原理是变分原理与分区概念相结合的产物，为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础。

设一个连续的弹性体被划分为若干个分区或单元（如图5-1所示），其体积分别为
),,3,2,1(N e V e =。

任一分区e 的体积力为e i F ，表面为e S ，e S 一般由三部分组成：
*
e e e ue e S S S S 'σ∑++=
其中，ue S 为e S 中包含给定位移i u 的边界面，e S σ为e S 中包含给定表面力i T 的边界面，*e e S '为e S 与相邻分区e '的交接面。

在分区变分原理中，各个分区按需要可任意定为位能区（如图5-1中的分区（p1V ,p2V , p3V ）或余能区（如图5-1中的分区
c3c2c1,,V V V ）。

各个分区中独立变分的量可以任意定为三类变量（位
移i u ，应力ij σ，应变ij ε）或两类变量（i u 和ij σ）或一类变量（i u 或ij σ）。

相邻分区的交接面分为pp S 、cc S 、pc S 三类，pp S 表示其两侧都是位能区，cc S 的两侧都是余能区，pc S 的一侧是位能区，另一侧是余能区。

各个分区的各类变量不仅可以独立变分，而且在边界面上可以要求或不要求满足给定的位移或面力边界条件，在分区的交接面上也可以要求或不要求满足交接面上位移或面力的连接条件（即位移相容条件和力平衡条件）。

图
5-1 分区示意图
小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成下面形式
∑∑∑∑∑---∏-∏=∏pc
cc
pp
c
p
pc cc pp c p S S S V V H H H （5-52）
上式等式右边各项的涵义为，第一项为各位能区p V 的总位能p ∏或广义的总位能Gp ∏之和，第二项为各余能区c V 的总余能c ∏或广义的总余能Gc ∏之和，第三、四、五项分别表示相邻分区交接面处的附加能量之和，取决于交接面的类型。

根据分区的性质，我们可以把分区变分原理归结为以下三类，
（1）位能分区变分原理。

弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体，并基于最小位能原理导出的修正变分原理。

（2）余能分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体，并基于最小余能原理导出的修正变分原理。

（3）混合分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体，是上述两类修正变分原理的混合。

分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，与§5.2节的完全与不完全变分原理不同的是，后者可以看作是在单元水平上进行修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行修正与混合。

下面我们将在传统变分原理的基础上，为有限元素的集合体进行分区变分原理的公式推导。

§5.3.1 位能分区变分原理
为了以后方便，现在用a V 和b V 表示两个任意的相邻元素，用ab
S 表示a V 和b V 的交接面，如图5-2所示。

另外引用两个符号
}{*a ab ab V S S ∂∈=和}{*
b ab ba V S S ∂∈=来区别交接面属于a V 的还是属
于b V 的（这里a V ∂表示a V 的整个边界）。

（1）修正最小位能原理 设每个元素的广义位移表示为
)1(i u ，)2(i u ，…，)(a i u ，)(b i u ，…，)(N i u ； 3,2,1=i
如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求： （ⅰ）在元素内，是连续的和单值的；
（ⅱ）在元素的交接面上，满足位移相容条件，即
在ab S 上，)()(b i a i u u = （5-53）
（ⅲ）如若元素的边界包含有u S ，则该元素的位移函数应满足位移边界条件（5-6）。

图5-2 a V 、b V 、ab S
则这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容许位移函数，那么，元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出
∑⎰
⎰∑--=∏=∏}d ]d )([{p Imp a
a
S i i V i i i S u T V u F u A σ （5-54）
式中经受变分的独立量是)(a i u ，p ∏是由（5-16）式确定的元素a V 的总位能泛函。

（2）修正位能原理
如果我们放松元素交接面上的位移相容条件（5-53）式，将约束条件（5-53）利用定义在ab
S 上的拉格朗日乘子i λ引入到（5-54）式的泛函表达式中，则形成下面的泛函：
∑⎰∑--∏=∏ab
S i b i a i S u u d λ)()()(p Imp1 （5-55）
式中的)(a i u 和i λ是经受变分的独立变量，并带有约束条件（5-6）。

对（5-55）式取驻值，
+
-++-=∏⎰
∑⎰}d δ)(d δ)({δ,Imp1a
a
S i i j ij V i i j ij S u T n V u F σσσ
∑⎰
⎰-
++-*
*d δ)λ(d δ)λ({)()
()()()()(ba
ab
S b i i b j b ij S a i i a j a ij S u n S u n σσ
⎰
=-ab
S i b i a i S u u 0
}d δλ)()()(
由以上的驻值条件，可导出下列的关系式，
0,=+σi j ij F （在a V 内） （5-56a ） j ij i n T σ= （在a S σ上） （5-56b ）
)()(a j a ij i n σ=λ（在*ab S 上），)
()(λb j b ij i n σ-=（在*ba S 上） （5-56c ）
0)()(=-b i a i u u （ab S 上） （5-56d ）
式中)(a i n 与)(b i n 分别表示沿*ab S 与*
ba S 上外法线方向的方向余弦，对同一点来说，有
)()(b j a j n n -=
显然，（5-56a ）为平衡方程（5-1）式，（5-56b ）为力的边界（5-5）式，（5-56c ）为乘子i λ，（5-56d ）为位移相容条件。

令)(a i T 和)(b i T 分别等于)()(a j a ij
n σ及)
()(b j b ij n σ，即有 )()()(a j a ij a i n T σ= ， )
()()(b j b ij b i n T σ= （5-57）
（5-57）式指明了拉格朗日乘子i λ的物理意义，即i λ就等于ab S 上的表面力)(a i T （注意)(a i T 是)(a i u 的函数，和记作)()()()(a i a i a i u T T =）。

将)(a i i T =λ代入（5-55）式，得到
∑∑-∏=∏1
pp p Imp1H （5-58）
而
⎰-=ab
S b i a i a i S u u T H d )()()()(1pp 或⎰-ab
S a i b i b i S u u T d )()()()( （5-59）
（5-58）式给出的原理称为放松连续性要求的第一修正位能原理，因为在1Imp ∏中放松了（5-53）式的要求，每一个元素的位移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位移相容条件的要求。

这里要指出的是，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。

泛函1Imp ∏还可以作进一步的处理。

若我们引进两个函数)(a i λ与)(b i λ，它们分别定义在*
ab S 与*
ba
S 上，且服从下列关系式： 0)()(=λ+λb i a i （A ）
由（A ）式的条件，可见：
)(a i i λ=λ ， )(b i i λ=λ- （B ）
现在将（B ）式代入（5-55）式中，等号右边末项积分的被积函数就变为以下形式
)()()()(b i b i a i a i u u λ+λ （C ）
并附带约束条件（A ）。

因此，可以引入一个定义在ab S 上新的拉格朗日乘子i μ将约束条件（A ）加入到泛函（5-55）中，于是（5-55）式可改写为下面等价形式：
∑∑-∏=∏2pp p 2Imp H （5-60）
而
⎰+-+=ab
S b i a i i b i b i a i a i S u u H d )]λλ(μλλ[)()()()()()(2pp
⎰⎰-+-=**d )μ(λd )μ(λ)()()()(ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u S u （D ）
（5-60）式称为放松连续性要求的第二修正位能原理，式中经受变分的独立量是)(a i u 、)(a i λ和i μ，
带有约束条件（5-6）式。

其中，在元素a V 中的)(a i u 及在*ab S 上的)(a i λ与在元素b V 中的)(b i u 及在*ba
S 上的)(b i λ都可以独立选取，但必须在元素交接面ab S 上有共同的i μ，以保证交接面处位移的协调性。

取（5-60）式的驻值，可得
+-+--=∏⎰∑⎰}d δ)(d ]δ)[({δ,2Imp a
a
S i i j ij V i i j ij S u T n V u F σσσ
∑⎰⎰
--+-**d δ)λ(d δ)λ({)()()()()()(ba
ab
S b i b i b i S a i a i a i S u T S u T
+---⎰⎰
**
d δλ)μ(d δλ)μ()()()()(ba
ab
S b i i b i S a i i a i S u S u }d δμ)λλ()()(⎰+ab
S i b i a i S （E ）
由此得到在ab S 上的下列驻值条件：
)()(a i a i T =λ，)()(b i b i T =λ （5-61a,b ）
)(a i i u =μ， )(b i i u =μ （5-61c,d ）
及
0)()(=λ+λb i a i （5-61e ）
（5-61）式的物理意义十分明显。

将（5-61a,b ）代入（5-61e ），得
0)()(=+b i a i T T （5-61f ）
（5-61f ）表示在交接面ab S 上，力是平衡的。

如果将驻值条件（5-61a,b ）引入2ab H 中消去)(a i λ和)(b i λ，就可以把2pp H 改写成另一形式如下
⎰⎰-+-=**d )μ(d )μ()()()()(3pp ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u T S u T H （F ）
并得到
∑∑-∏=∏3pp p Imp3H （5-62）
这个原理称为放松连续性要求的第三修正位能原理，式中经受变分的独立量是)(a i u 和i μ，带有约
束条件（5-6）式。

在这些变分的量中，a V 内的)(a i u 与b V 内的)(b i u 都可以独立选择，但是i μ对于*ab S 和*ba S 必须是共同的。

（3）修正广义位能原理
下面我们将从Imp2∏出发，导出一种修正广义变分原理。

即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值：
-+-εσ--ε=∏∑⎰a
V j i j i ij ij i i ij V u u u F A d )]}(2
1
[)({{,,ImGp1
∑⎰⎰
--σ-σ2pp }d )(d H S u u n S u T ua
a
S i i j ij S i i （5-63）
式中经受变分的独立量是)(a ij ε、)
(a ij σ、)(a i u 、)(a i λ和i μ，而不带约束条件。

可以证明，在ab S 上，mGp1∏的驻值条件也给出（5-61a,b,c,d,e ）式表示的方程。

因此，我们可以把ImGp1∏写成另一等价形式如下：
-+-εσ--ε=∏∑⎰a
V j i j i ij ij i i ij V u u u F A d )]}(2
1
[)({{,,ImGp2
∑⎰⎰
--σ-σ4pp }d )(d H S u u n S u T ua
a
S i i j ij S i i （5-64）
式中
⎰⎰-+-=**d )μ(d )μ()()()()(4pp ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u T S u T H （G ）
（5-64）式中经受变分的独立量是)(a ij ε、)
(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。

（4）修正Hellinger-Reissner 原理
利用应变位移关系式（5-2），从泛函ImGp2∏中消去应变分量ij ε就导致修正Hellinger-Reissner 泛函：
--σ---σ-σ=∏⎰
⎰
∑⎰σ}d )(d ])([{,ImR ua
a
a
S i i j ij S i i V i i ij j i ij S u u n dS u T V u F B u
∑⎰
+-+ab
S b i a i i b i b i a i a i S T T u T u T d )](μ[)()()()()()( （5-65）
式中经受变分的独立量是)(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。

利用分部积分，可以得到修正Hellinger-Reissner 泛函的另一表达式如下：
--σ-σ+σ=∏-⎰
∑⎰σa
a
S i i j ij V i i j ij ij dS u T n V u F B )(d ])()([{,*ImR
∑⎰⎰
+-ab
ua
S i b i a i S i j ij S T T S u n d μ)(}d )()(σ （5-66）
式中经受变分的独立量是)(a ij σ、)(a i u 和i μ，没有约束条件。

§5.3.2 余能分区变分原理
我们也可以从最小余能原理出发，导出有限元集合体的最小余能原理、修正余能原理以及修正广义变分原理等。

用下列记号来表示每个元素中的应力：
)1(ij
σ，)2(ij σ，…，)(a ij σ，)(b ij σ，…，)
(N ij σ； 3,2,1=j i ， 如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求：
（ⅰ）在元素中，是连续的和单值的，并且满足平衡方程（5-1）； （ⅱ）在元素的交接面上，满足平衡条件，即
在ab S 上， 0)()(=+b i a i T T （5-67）
式中)(a i T 和)(b i T 是由（5-57）式定义的；
（ⅲ）如若元素的边界包含有σS ，则该元素的应力函数应满足力边界条件（5-5）。

这些满足上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数，那么，元素集合体的最小余能原理的泛函就可以由下式给出
∑⎰
⎰∑-=∏=∏}d d )({c Ic ua
a
S i i V ij S u T V B σ （5-68）
式中经受变分的独立量是)
(a ij σ，c ∏是由（5-22）式确定的元素a V 的总余能泛函。

如果我们放松元素交接面ab S 上的平衡条件（5-67）式，将约束条件（5-67）利用定义在ab
S
上的拉格朗日乘子i μ引入到（5-68）式的泛函表达式中，则得到如下的修正余能原理的泛函：
∑⎰∑+-∏=∏ab
S b i a i i S T T d )(μ)()(c Imc1 （5-69）
式中经受变分的独立量是)
(a ii σ和i μ，并带有约束条件（5-1）和（5-5）。

关于泛函Imc1∏的原理称
为放松连续性要求的修正余能原理，因为在Imc1∏中放松了（ⅱ）的要求，每一个元素内关于应力的函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的力的平衡条件的要求。

这里要指出，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。

对（5-69）式的泛函进行一阶变分，可得到下列驻值条件：
0=-i i u u （在ua S 上） （5-70a ）
)(μa i i u =（在*ab
S 上），)(μb i i u =（在*
ba S 上） （5-70b,c ） 将（5-70 b ）或（5-70c ）代入（5-69）式，并将Imc1∏写成以下形式
∑∑-∏=∏1cc c Imc1H （5-71）
式中cc1∏由下式给出
⎰+=ab
S a i b i a i S u T T H d )()()()(cc1 或⎰+ab
S b i b i a i S u T T d )()()()( （5-72）
如若将（5-71）式中的c ∏替换为广义余能泛函Gc ∏（即（5-35）式），同样可以得到一种修正广义余能原理，即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值：
-+σ+ε-εσ=∏∑⎰a
V i i j ij ij ij ij V u F A d ])()([{,ImGc
∑⎰
⎰
-σ--σσcc1}d d )(H S u n S u T n ua
a
S i j ij S i i j ij （5-73）
式中经受变分的独立量是)
(a ij ε、)(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。

或下面的两类自变量的修正广义原理
--σ-+σ+σ=∏⎰
∑⎰σa
a
S i i j ij V i i j ij ij S u T n V u F B d )(d ])()([{,ImGc1
∑⎰
-σcc1}d H S u n ua
S i j ij （5-74）
式中经受变分的独立量是)(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。

以上变分过程，读者可自行进行。

§5.3.3 混合分区变分原理
如果弹性体在整体上被分割为位能区和余能区的混合分区（如图5-1所示的），则形成混合。